精品解析：广东省茂名市“衡水金卷”2024-2025学年高三上学期12月份联考数学试题

2025届高三年级12月份联考 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法求出，进而求出其共轭复数的虚部. 【详解】依题意，， 所以的虚部为. 故选：A 2. 中，，，，则=（ ） A. B. 1 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直转化数量积为，利用数量积坐标运算可得. 【详解】由知，，又，， 则，解得. 故选：C. 3. 四川耙耙柑以果肉饱满圆润，晶莹剔透等特点深受民众喜爱，某耙耙柑果园的质检员对刚采摘下来的耙耙柑采用随机抽样的方式对成筐的耙耙柑进行质检，记录下了8筐耙耙柑中残次品的个数为5，7，6，3，9，4，8，10，则该组样本数据的第30百分位数为（ ） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5 【答案】A 【解析】 【分析】把给定的数据组由小到大排列，再利用第30百分位数的定义求出结果. 【详解】残次品的个数由小到大排列为：3，4，5，6，7，8，9，10， 由，得该组样本数据的第30百分位数为5. 故选：A. 4. 集合的子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，确定集合的元素个数，利用子集个数公式可求得结果. 【详解】因为，则， 所以集合只有一个元素，故集合的子集个数为， 故选：A. 5. 设公比不为1的等比数列的前n项和为，已知，则=（ ） A. 55 B. 65 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对赋值得，进而求出数列前项，由等比数列待定系数，再求即可. 【详解】由已知，分别令， 得，，， 则， 因为为公比不为1的等比数列， 则，所以有， 即，解得，或. 由等比数列各项均不为，可知，则. 验证：当时，， 当时，； 当时，； 当时也适合上式，故， 则，故是公比为的等比数列，满足题意. 因此. 故选：C. 6. 已知椭圆C：的一个焦点为F，C上不与F共线的两点A，B满足周长的最大值为12，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设椭圆的另一个焦点为,根据椭圆的定义，，周长为,当三点共线时，周长取最大值，即，解得，再根据离心率定义即可求出答案. 【详解】设椭圆的另一个焦点为,根据椭圆的定义， 周长为,即， 当三点共线时，周长取最大值，此时,所以， 解得，又已知，根据可得， 离心率. 故选：D 7. 已知圆台的上、下底面圆的半径分别为和，母线长为，且该圆台上、下底面圆周上的点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆台的高，球心在上、下底圆心的连线上，利用勾股定理建立等量关系，求出球心位置，即可得到球的半径，从而解出球的表面积. 【详解】取圆台的一条母线，连接、， 过点在平面内作，垂足为点，如图： 由题意可知，四边形为直角梯形，且，，， 因为，，， 所以四边形为矩形，所以，则， 所以， 设，则， 因为圆台的上、下底面圆周上的点都在同一个球面上， 所以，解得， 则球的半径为， 故该球的表面积为. 故选：D. 8. 已知函数在区间上单调，其中为大于1的整数，若是的一个零点，，要使通过平移成为偶函数，可以将其向右平移（ ）个单位 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由在区间上单调得到周期范围，由此结合范围可知取值，结合为零点，分类讨论并求解，验证各条件可得解析式，再逐一按选择平移得解析式，判断是否为偶函数即可. 【详解】因为函数在区间上单调， 所以最小正周期， 即，， 又已知其中为大于1的整数，所以. 因为是的一个零点，所以. 当时，，由，得， 所以， 验证：， 且当，则， 函数在区间上单调递减，满足题意； 当时，，由，得， 所以， 验证：，不满足题意； 综上可知，. 由是偶函数， 又不是偶函数； 不是偶函数； 不是偶函数； 综上，将向右平移个单位，可成为偶函数，B项正确，其余选择均错误； 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项由不等式性质可得，B选项构造函数，利用函数的单调性可得，C选项应用基本不等式放缩估值可知，D选项由指数函数单调性可得. 【详解】对于选项A：因为，得， 即，所以，即，故选项A正确 对于选项B：构造函数，易知在上单调递增，因为，所以，即，故选项B错误. 对于选项C：由且，则 又，即，所以，故选项C正确. 对于选项D：因为，所以，故选项D正确. 故选：ACD 10. 某高中开展一项课外实践活动，参与活动并提交实践报告可以获得学分，且该校对报告的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知小李参加了3次课外实践活动，则（ ） A. “小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”是互斥事件 B. 若小李第一次评定为不合格，则小李获得0.4学分的概率为 C. 若小李第一次评定为合格，则小李第三次评定为合格的概率为 D. “小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”相互独立 【答案】AB 【解析】 【分析】A项由互斥事件概念可得；B项由概率乘法公式可得；C项由全概率公式求解即可判断；D项由全概率公式求概率，再结合相互独立事件的等价条件判断. 【详解】A项，事件“小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”不可能同时发生，所以互斥，故A正确； B项，若第一次评定为不合格，设事件“第次评定为合格”，. 则事件“小李获得0.4学分”即事件， 由概率乘法公式得， ，故B正确； C项，若第一次评定为合格，设事件“第次评定为合格”，“第次评定为不合格”，. 则由全概率公式得， ，故C错误； D项，由C项知； 若第一次评定为不合格，设事件“第次评定为合格”，“第次评定为不合格”，. 由全概率公式可得 ； 即； 所以，即第一次评定是否合格对第三次评定合格的概率有影响， 故“小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”不相互独立，故D错误. 故选：AB. 11. 在平面直角坐标系xOy中，设双曲线W：与圆E：交于A，B，C，D四个点，构成四边形，则（ ） A. W的两条渐近线相互垂直 B. 当时，m的取值范围是 C. 当时，n的取值范围是 D. 四边形的面积不超过8 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，结合双曲线的渐近线方程判断即可；对于B，举例判断即可；对于C，联立圆和双曲线方程，进而结合分析判断即可；对于D，易得圆心在四边形的内部的时候四边形的面积比圆心在四边形的外部的时候大，进而结合三角形的面积公式求解判断即可. 【详解】对于A，双曲线W：的渐近线方程为，两条渐近线相互垂直，故A正确； 对于B，当时，若，此时圆E：与双曲线W：， 只有3个交点：，故B错误； 对于C，当时，圆E：，圆心为，半径为2， 联立，得， 由，解得， 此时方程存在两个解，且对应两个关于轴对称的点， 对应两个关于轴对称的点，因此有4个交点，故C正确； 对于D，当圆心在四边形的外部时，此时四边形的面积， 显然小于圆心在四边形的内部的时候， 所以讨论圆心在四边形的内部，此时， 设， 由题设方程，当，时，圆E：， 联立，解得或或或， 显然四边形不可能为正方形， 则四边形的面积为 ，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键在于先分析得圆心在四边形的内部的时候，四边形的面积较大，进而结合三角形的面积公式求解判断即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由两角和与差的正切公式展开求解即可. 【详解】由题意得，， 则， 化简得，解得. 故答案为：. 13. 甲乙二人参加一种游戏：在一副扑克牌中取出5张数字分别为3，4，5，6，7的牌，随后两人分别从其中随机取走一张．甲声称：我不知道谁牌上的数字更小，乙思考片刻后，作出了与甲同样的判断．在二人的判断均准确的前提下，甲推断出了乙手中牌上的数字，其为______． 【答案】5 【解析】 【分析】先分析甲手中牌上的数字，再推理乙手中牌上的数字，由此能求出结果． 【详解】依题意，由甲判断知，甲手中牌上的数字不可能是最大和最小数字，即甲手中牌上的数字是4，5，6之一， 而乙听到甲的判断后作出判断，于是乙手中牌上的数字不可能为4和6， 所以甲推断出了乙手中牌上的数字是5. 故答案为：5 14. 已知函数的定义域为R，若，，，则=______． 【答案】2024 【解析】 【分析】根据给定条件，结合不等式的性质可得，再利用累加的方法求出. 【详解】函数的定义域为R，由，得， 即；由，得， 则，因此， 所以 . 故答案为：2024 【点睛】关键点点睛：利用赋值法思想，结合不等式性质推得是求解的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个黄球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球． （1）求有放回抽样时，取到黄球的次数X的期望与方差； （2）求不放回抽样时，取到黄球的个数Y的分布列． 【答案】（1）； （2） Y 0 1 2 P 【解析】 【分析】（1）有放回抽样时，，由二项分布期望方差公式可得； （2）不放回抽样时，取到的黄球个数Y可能的取值为，分别求出对应的概率，即可得Y的分布列． 【小问1详解】 有放回抽样时，取到黄球的次数X可能的取值为. 每次抽到黄球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则， 则期望，方差. 【小问2详解】 不放回抽样时，取到的黄球个数Y可能的取值为. ， 故Y的分布列为： Y 0 1 2 P 16. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）探究与的等量关系． 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解. （2）由（1）中信息，利用余弦定理，结合余弦函数的性质求得答案. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， 令，则，由余弦定理得， 因,则. 【小问2详解】 由（1）得，， 而， 又，所以， 因为余弦函数在上单调递减，所以. 17. 已知函数． （1）若，证明：； （2）若过坐标原点的直线能与曲线相切，求的取值范围． 【答案】（1） 当时，，其中，， 因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数，且， 当时，；当时，. 所以，函数的减区间为，增区间为，所以，， 因此，对任意的，. （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，并求其最小值，即可证得结论成立； （2）设切点坐标为，利用导数的几何意义化简得出，分析可知，可得出，从而可知的取值范围即为函数的值域，利用导数求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设切点坐标为，由题意可得， 所以，， 可得，即，其中， 当时，等式显然不成立，所以，， 所以，，令，其中， 则实数的取值范围即为函数的值域，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，所以，， 当时，；当时，， 且当时，；当时，. 所以，函数的值域为， 由可得或，即实数的取值范围是. 18. 空间直角坐标系中，点，过点的直线与过点的直线的倾斜角之和为π，且与平面xOy内的抛物线交于A，B两点，与x轴交于F，D为z轴正半轴一点，且，（，均在平面xOy内） （1）若的倾斜角为，求二面角的余弦值； （2）求三棱锥体积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在空间直角坐标系中，由题意写出点的坐标，利用平面法向量求二面角的余弦值； （2）设直线，联立抛物线方程，借助韦达定理表示，由两直线倾斜角之和与表求坐标，由此建立体积的函数关系式进而求最值可得. 【小问1详解】 若的倾斜角为，则重合，， 由题意直线的倾斜角也为， 如图空间直角坐标系中， ， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则； 设平面的法向量为， 则，令，则； 设二面角的平面角为， 则， 由图观察知为锐角，故二面角的余弦值为. 【小问2详解】 由题意可知，直线的斜率不为， 设直线，设， 联立消得， 则，，又， 设直线与轴交于，，则， 又直线，直线与直线的倾斜角之和为π，且直线过， 则与x轴交于， 则. 设，由， 则， 则 ， 且当时，， 故三棱锥体积的最大值为. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在两点，一是准确理解题意表示空间点的坐标，利用向量方法求解二面角的大小；二是借助解析几何韦达定理的应用建立体积函数关系并求最值. 19. 已知数列的前项和为，且．记的前项积为，且当时，． （1）求； （2）求的通项公式； （3）探究与的大小关系，并给出证明． 【答案】（1） （2） （3） ，证明如下： 易得，， 则， 令且， 则， 因为 ， 所以，， 所以，数列单调递增，且，所以，， 所以，，故. 【解析】 【分析】（1）令可求得的值，再由可求得的表达式，由可求得数列的通项公式； （2）由可求得数列的通项公式； （3）猜想出，利用做商法结合数列的单调性证明出，即可证得结论成立. 【小问1详解】 当时，则， 对任意的，，则，所以，； 当时，， 故当时，，也满足， 故对任意的，， 所以，当时，， 不满足，因此，. 【小问2详解】 因为，， 当时，， 综上所述，. 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：已知数列的前项和，求通项公式的步骤： （1）当时，； （2）当时，根据可得出，化简得出； （3）如果满足当时的通项公式，那么数列的通项公式为；如果不满足当时的通项公式，那么数列的通项公式要分段表示为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三年级12月份联考 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 中，，，，则=（ ） A. B. 1 C. D. 6 3. 四川耙耙柑以果肉饱满圆润，晶莹剔透等特点深受民众喜爱，某耙耙柑果园的质检员对刚采摘下来的耙耙柑采用随机抽样的方式对成筐的耙耙柑进行质检，记录下了8筐耙耙柑中残次品的个数为5，7，6，3，9，4，8，10，则该组样本数据的第30百分位数为（ ） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5 4. 集合的子集个数为（ ） A. B. C. D. 5. 设公比不为1的等比数列的前n项和为，已知，则=（ ） A. 55 B. 65 C. D. 6. 已知椭圆C：的一个焦点为F，C上不与F共线的两点A，B满足周长的最大值为12，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆台的上、下底面圆的半径分别为和，母线长为，且该圆台上、下底面圆周上的点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上单调，其中为大于1的整数，若是的一个零点，，要使通过平移成为偶函数，可以将其向右平移（ ）个单位 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 某高中开展一项课外实践活动，参与活动并提交实践报告可以获得学分，且该校对报告的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知小李参加了3次课外实践活动，则（ ） A. “小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”是互斥事件 B. 若小李第一次评定为不合格，则小李获得0.4学分的概率为 C. 若小李第一次评定为合格，则小李第三次评定为合格的概率为 D. “小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”相互独立 11. 在平面直角坐标系xOy中，设双曲线W：与圆E：交于A，B，C，D四个点，构成四边形，则（ ） A. W的两条渐近线相互垂直 B. 当时，m的取值范围是 C. 当时，n的取值范围是 D. 四边形的面积不超过8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 13. 甲乙二人参加一种游戏：在一副扑克牌中取出5张数字分别为3，4，5，6，7的牌，随后两人分别从其中随机取走一张．甲声称：我不知道谁牌上的数字更小，乙思考片刻后，作出了与甲同样的判断．在二人的判断均准确的前提下，甲推断出了乙手中牌上的数字，其为______． 14. 已知函数的定义域为R，若，，，则=______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个黄球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球． （1）求有放回抽样时，取到黄球的次数X的期望与方差； （2）求不放回抽样时，取到黄球的个数Y的分布列． 16. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）探究与的等量关系． 17. 已知函数． （1）若，证明：； （2）若过坐标原点的直线能与曲线相切，求的取值范围． 18. 空间直角坐标系中，点，过点的直线与过点的直线的倾斜角之和为π，且与平面xOy内的抛物线交于A，B两点，与x轴交于F，D为z轴正半轴一点，且，（，均在平面xOy内） （1）若的倾斜角为，求二面角的余弦值； （2）求三棱锥体积的最大值． 19. 已知数列的前项和为，且．记的前项积为，且当时，． （1）求； （2）求的通项公式； （3）探究与的大小关系，并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $