专题2.9 二次函数与一元二次方程（4大知识点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.9 二次函数与一元二次方程（4大知识点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 　【要点提示】二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. (1) 当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； (2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 【知识点2】利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 　　用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 　【要点提示】 　　求一元二次方程的近似解的方法（图象法）： 　(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根； 　(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； 【知识点3】抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． ∴ 即 （△＞0） 【知识点4】抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 【要点提示】 抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 【题型目录】 【题型1】抛物线与坐标轴交点坐标.............................................4 【题型2】由二次函数值求自变量的值...........................................4 【题型3】抛物线与x轴交点个数与根的判别式...................................5 【题型4】数形结合求一元二次不等式解集.......................................5 【题型5】抛利用不等式求自变量或函数值的取值范围.............................6 【题型6】由抛物线与x轴交点确定截线长.......................................7 【题型7】直通中考...........................................................7 【题型8】拓展延伸...........................................................8 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】抛物线与坐标轴交点坐标 【例1】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，二次函数．的图象与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线的顶点． (1)求，两点的坐标： (2)求的面积： 【变式1】（江苏省镇江市经开区2024—2025学年九年级上学期12月月考数学试卷）已知二次函数，则下列说法错误的是（    ） A．图像与轴的交点坐标是 B．当时，y随x增大而减小 C．图像与轴的交点坐标是， D．图像的顶点坐标是 【变式2】（24-25九年级上·全国·期末）若函数的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是 ． 【题型2】由二次函数值求自变量的值 【例2】（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，抛物线与轴正半轴交于点，交轴于点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)点是第一象限内抛物线上的一点，过点作垂直轴于点，若，求点的坐标． 【变式1】（22-23九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数（），当和时，函数值相等，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式2】（2024·浙江·一模）若在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x …… 0 1 3 …… y …… 2 7 …… 则方程的解是 ． 【题型3】抛物线与x轴交点个数与根的判别式 【例3】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知抛物线经过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．   (1)求抛物线的函数表达式； (2)将抛物线的图像向上平移个单位后恰与坐标轴有两个公共点，则的值为______． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）将抛物线与坐标轴的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴有两个公共点，则a的取值范围是 ． 【题型4】数形结合求一元二次不等式解集 【例4】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）抛物线的图像与x轴交于A，B两点，A在B左侧，与y轴交于点C． (1)点C坐标为 ，顶点坐标为 ； (2)不等式的解集是 ； (3)当x满足时，y的取值范围是 ． (4)当y满足时，x的取值范围是 ． 【变式1】（23-24九年级下·山东青岛·课后作业）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ） A． B． C．且 D．或 【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图抛物线与直线交于点，，则关于的不等式的解集是 ． 【题型5】抛利用不等式求自变量或函数值的取值范围 【例5】（24-25九年级上·福建福州·期中）已知抛物线经过点，，且有最大值4． (1)求抛物线的表达式； (2)若，求函数值y的取值范围． 【变式1】（23-24九年级下·陕西咸阳·阶段练习）将抛物线沿x轴向右平移m（）个单位得到一条新抛物线，若点，在新抛物线上，且，则m的值可以是（　　） A．3 B．4 C．8 D．9 【变式2】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 ． 【题型6】由抛物线与x轴交点确定截线长 【例6】（2024·云南昆明·一模）已知抛物线 (1)求证：抛物线与x轴有两个不同的交点； (2)当时，抛物线与x轴交于点A，B，求的长． 【变式1】（2023·广东梅州·一模）已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 【变式2】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）二次函数与轴交于两点和，顶点为，连接，当时， ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型7】直通中考 【例1】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． (1)求的值； (2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 【例2】（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．   (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【题型8】拓展延伸 【例1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数的大致图象如图，顶点坐标为，点是抛物线上一点，若点是抛物线上任意一点，下列结论：①；②若，则；③若，则；④若方程有两个实数根和，且，则．其中正确的是 ． 【例2】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知抛物线的y与x的部分对应值如表： 下列结论： ①对称轴为直线； ②方程有两个不相等的实数根； ③若点，均在二次函数图象上，则； ④满足的x的取值范围是或． 其中正确结论的序号为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.9 二次函数与一元二次方程（4大知识点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 　【要点提示】二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. (1) 当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； (2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 【知识点2】利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 　　用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 　【要点提示】 　　求一元二次方程的近似解的方法（图象法）： 　(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根； 　(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； 【知识点3】抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． ∴ 即 （△＞0） 【知识点4】抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 【要点提示】 抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 【题型目录】 【题型1】抛物线与坐标轴交点坐标.............................................4 【题型2】由二次函数值求自变量的值...........................................6 【题型3】抛物线与x轴交点个数与根的判别式...................................8 【题型4】数形结合求一元二次不等式解集......................................11 【题型5】抛利用不等式求自变量或函数值的取值范围............................14 【题型6】由抛物线与x轴交点确定截线长......................................15 【题型7】直通中考..........................................................18 【题型8】拓展延伸..........................................................20 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】抛物线与坐标轴交点坐标 【例1】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，二次函数．的图象与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线的顶点． (1)求，两点的坐标： (2)求的面积： 【答案】(1)；．(2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴交点问题； （1），解方程即可求解． （2）连接，交对称轴于点，进而求得的长，即可求出的值． 解：（1）令，则， 解得：，， ∴；． （2）令，则， ∴； ∵ ∴， 设直线的解析式为，代入， 解得： ∴直线的解析式为， 如图所示，连接，交对称轴于点， 直线的解析式为，当时，，则 ∴ ∴ 【变式1】（江苏省镇江市经开区2024—2025学年九年级上学期12月月考数学试卷）已知二次函数，则下列说法错误的是（    ） A．图像与轴的交点坐标是 B．当时，y随x增大而减小 C．图像与轴的交点坐标是， D．图像的顶点坐标是 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．求出当时，的值即可判断选项A正确；将二次函数的解析式化成顶点式，由此即判断选项B正确、选项D错误；求出当时，的值即可判断选项C正确． 解：对于二次函数， 当时，，即图像与轴的交点坐标是，选项A正确，不符合题意； 抛物线的开口向上，化成顶点式为， 则当时，随的增大而减小，图像的顶点坐标是，选项B正确，不符合题意、选项D错误，符合题意； 当时，，解得或， 即图像与轴的交点坐标是，，选项C正确，不符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·期末）若函数的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题．抛物线与坐标轴有三个交点，则抛物线与x轴有2个交点，且不过原点，据此列不等式求解即可． 解：∵函数的图象与坐标轴有三个交点， ∴抛物线与轴有两个交点，与轴有一个交点，且与轴、轴的不能为， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 【题型2】由二次函数值求自变量的值 【例2】（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，抛物线与轴正半轴交于点，交轴于点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)点是第一象限内抛物线上的一点，过点作垂直轴于点，若，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为， (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求二次函数于x轴的交点坐标，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再令，得到，解方程即可求出点的坐标； （2）首先根据题意得到点D的纵坐标为4，然后代入抛物线得到，解方程求出，然后根据点是第一象限内抛物线上的一点得到点E的横坐标为，即可得到点E的坐标． 解：（1）将代入 得， 解得 ∴抛物线的解析式为 当时， 解得或 ∴； （2）∵，轴 ∴点D的纵坐标为4 令 解得 ∵点是第一象限内抛物线上的一点， ∴点D的横坐标为 ∴点E的横坐标为 ∴． 【变式1】（22-23九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数（），当和时，函数值相等，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系即可解题． 解：设当时， ∵当和时，函数值相等， ∴当时，的两个根为， ∴， 故选：A． 【点拨】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是由二次函数转换到一元二次方程根与系数的关系． 【变式2】（2024·浙江·一模）若在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x …… 0 1 3 …… y …… 2 7 …… 则方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求抛物线解析式，一元二次方程的解，抛物线解析式为，将代入求出，然后代入方程即可求解． 解：由表格可知抛物线经过， 抛物线解析式为：， 将代入可得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为， ∵， ∴，整理得： 因式分解可得： 解得：． 故答案为∶ ． 【题型3】抛物线与x轴交点个数与根的判别式 【例3】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知抛物线经过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．   (1)求抛物线的函数表达式； (2)将抛物线的图像向上平移个单位后恰与坐标轴有两个公共点，则的值为______． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了求解二次函数表达式的方法以及与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数与坐标轴交点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解表达式即可； （2）分当抛物线与轴有1个公共点，与轴有一个公共点或抛物线与轴有两个公共点，其中一个是原点两种情况分别求解即可． 解：（1）设抛物线的表达式， 把，，三点代入， 可得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）将抛物线的图像向上平移个单位后，得到的抛物线的函数表达式为， 此时抛物线与坐标轴有两个公共点， 抛物线与轴有两个交点并过原点，或是与轴只有一个交点，且不过原点， ①抛物线与轴有两个交点并过原点，即过， ， 解得， 此时函数为与坐标轴的交点为，符合题意； ②与轴只有一个交点，且不过原点， 即方程有两个相等的实数根， ， 解得， 此时函数为与坐标轴的交点为，符合题意； 故答案为：或． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）将抛物线与坐标轴的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，先令，得，可知抛物线与x轴有两个交点，当时，，可知抛物线与y轴有1个交点，故可得结论． 解：对于 当时，得，即， 此时， 所以，抛物线与x轴有两个交点； 当时，， 所以，抛物线与y轴有1个交点， 所以抛物线与坐标轴有3个交点． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴有两个公共点，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次函数的定义和抛物线与轴的交点，要结合判别式进行解答． 根据二次函数的图象与轴有两个公共点可知且，据此可知的取值范围． 解：二次函数的图象与轴有两个公共点， 且， 即， 解得且， 故答案为：且． 【题型4】数形结合求一元二次不等式解集 【例4】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）抛物线的图像与x轴交于A，B两点，A在B左侧，与y轴交于点C． (1)点C坐标为 ，顶点坐标为 ； (2)不等式的解集是 ； (3)当x满足时，y的取值范围是 ． (4)当y满足时，x的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与两坐标轴的交点及与不等式的关系，利用数形结合的思想解答是解题的关键． （1）把代入可得点坐标，把函数解析转化为顶点式可得顶点坐标； （2）把代入求出点、坐标，再结合图象解答即可求解； （3）分别求出的函数值，再结合函数的性质即可求解； （4）把代入求出对应的的值，再结合图象解答即可求解； 解：（1）把代入得，， ∴点坐标为， ∵， ∴顶点坐标为， 故答案为：； （2）把代入得，， 解得：， ， 由图象可得，当或时，，即， ∴不等式的解集是或， 故答案为：或； （3）当时，， 当时，， 顶点为，开口向上， ∴当时，， 故答案为：； （4）解：把代入得，， 解得：， ∴当时，或， 故答案为：或． 【变式1】（23-24九年级下·山东青岛·课后作业）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与不等式、二次函数的对称性，先利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可． 解：由图可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴不等式的解集是． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图抛物线与直线交于点，，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查利用图象解不等式，抛物线的性质，利用数形结合的思想是解题关键．根据题意可得出，设，即求抛物线位于一次函数的图象下方时，x的取值范围即可．根据抛物线的对称性，结合题意可得出抛物线与直线交于点，，进而即可解答． 解：∵， ∴． 设， ∵抛物线与直线交于点，，直线与直线关于y轴对称，抛物线关于y轴对称， ∴抛物线与直线交于点，， ∴当或时，抛物线位于直线的下方，即此时， ∴不等式的解集是或． 故答案为：或． 【题型5】抛利用不等式求自变量或函数值的取值范围 【例5】（24-25九年级上·福建福州·期中）已知抛物线经过点，，且有最大值4． (1)求抛物线的表达式； (2)若，求函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，掌握当时，离对称轴越远，y值越小是解题的关键； （1）由待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）根据当时，离对称轴越远，y值越小可知，当时，函数有最小值，而当时，函数有最大值，据此求解即可． 解：（1）∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵函数有最大值4， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵， ∴抛物线开口向下， 离对称轴越远，y值越小， ， 当时，函数有最小值，最小值为， 当时，函数有最大值为， ． 【变式1】（23-24九年级下·陕西咸阳·阶段练习）将抛物线沿x轴向右平移m（）个单位得到一条新抛物线，若点，在新抛物线上，且，则m的值可以是（　　） A．3 B．4 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质得到关于m的不等式是解题的关键．根据平移规律得到新抛物线为，即可得到抛物线开口向上，对称轴为直线，由点，在新抛物线上，且，即可得到关于m的不等式，解不等式即可． 解：∵， ∴将抛物线向右平移m（）个单位得到一条新抛物线为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵点，在新抛物线上，且， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先将该函数的表达式化为顶点式，得出当时，y有最小值2，再把代入，求出x的值，即可求出m的取值范围． 解：∵，， ∴当时，y有最小值2， 把代入得：， 解得：， ∵当时，有最大值3，最小值2， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性和增减性，以及求二次函数的最值的方法． 【题型6】由抛物线与x轴交点确定截线长 【例6】（2024·云南昆明·一模）已知抛物线 (1)求证：抛物线与x轴有两个不同的交点； (2)当时，抛物线与x轴交于点A，B，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查的是抛物线和x轴的交点问题，涉及一元二次方程解法与根的判别式． （1）证明，即可求解； （2）将代入抛物线表达式，令，求出点A，B的坐标，根据两点间距离公式进而求解． 解：（1）证明： ， 故此抛物线与x轴有两个不同的交点； （2）解：当时，， 令，则， 解得：或， ∴． 【变式1】（2023·广东梅州·一模）已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 【答案】A 【分析】根据题意，联立方程组求解，消元得到，利用根与系数的关系，再运用两点距离公式变形求出长度即可得到答案． 解：抛物线与一次函数交于两点， 联立，消元得， ， 故选：A 【点拨】本题考查平面直角坐标系中求线段长问题，涉及函数图像交点问题、一元二次方程根与系数的关系、两点之间距离公式及完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及两点之间距离公式是解决问题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）二次函数与轴交于两点和，顶点为，连接，当时， ． 【答案】4 【分析】本题考查的是二次函数与一元二次方程的联系，二次函数的性质，先证明为等腰直角三角形，可得，从而可得答案. 解：设二次函数的图象与轴有两个交点和的坐标分别为，， 则， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴该函数顶点的坐标为：， ∴ ， 解得：； 故答案为：4． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型7】直通中考 【例1】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． (1)求的值； (2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意设，结合几何图形面积计算方法可得点的纵坐标，代入后解一元二次方程即可求解． 解：（1）二次函数的图像与轴交于，两点， ∴， 解得，， ∴； （2）由（1）可知二次函数解析式为：，，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，无解，不符合题意，舍去； 当时，，； ∴． 【例2】（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．   (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为； (2) 【分析】（1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围． 解：（1）∵二次函数图象经过点和． ∴，解得：， ∴抛物线为， ∴顶点坐标为：； （2）当时，， ∴ 解得：，，    如图，当时， ∴． 【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键． 【题型8】拓展延伸 【例1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数的大致图象如图，顶点坐标为，点是抛物线上一点，若点是抛物线上任意一点，下列结论：①；②若，则；③若，则；④若方程有两个实数根和，且，则．其中正确的是 ． 【答案】①④ 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．①由抛物线的对称轴方程，和顶点坐标为，便可用的代数式表示、与，进而代入便可由的取值范围确定此小题的结论正确与否；②点关于直线的对称点为，当，则或，便可确定此小题的结论正确与否；③当时，，当，则，便可确定此小题的结论正确与否；④方程有两个实数根和，可得抛物线与直线交点的坐标，和，，再由抛物线与轴的两个交点坐标分别为和，便可确定此小题的结论正确与否． 解：①二次函数的大致图象开口向上，顶点坐标为， ,，且， ，， 于是①的结论正确； ②点关于直线的对称点为， 当，则或， 于是②错误； ③当时，， 当，则， 于是③错误； ④方程有两个实数根和，且， 抛物线与直线交点的坐标，和，， 抛物线时，或3， 即抛物线与轴的两个交点坐标分别为和， ， 于是④正确． 故答案为：①④． 【例2】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知抛物线的y与x的部分对应值如表： 下列结论： ①对称轴为直线； ②方程有两个不相等的实数根； ③若点，均在二次函数图象上，则； ④满足的x的取值范围是或． 其中正确结论的序号为 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出的值，再根据对称轴公式求出对称轴即可判断；利用根的判别式即可判断；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断；画出函数图形可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 解：把，，代入得， ， 解得， ∴ ∴对称轴为直线，故正确； ∵，，， ∴，即为， ∴， ∵， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故错误； ∵与时函数值相等，等于， ∴当时， 的取值范围为，故错误； ∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴，故正确； 由得， 即， 画函数和图象如下： 由，解得，， ∴，， 由图形可得，当或时，，即，故错误； 综上，正确的结论为， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$