精品解析：重庆市巴蜀中学2024-2025学年上学期12月月考八年级数学试题

数学 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 2024年9月9日，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知8纳米米，0.000000008用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 2. 要使代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A. 2，3，4 B. 6，7，8 C. 9，40，45 D. 5. 估计的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 6. 如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．若长方形的面积是，则正方形和的面积之和为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 10. 世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出“二进制”记数法的人，用“二进制”记数只需数字0和1．对于“二进制”整数可理解为“逢二进一”．例如：十进制数，则十进制数3在二进制中表示为；十进制数，则十进制数5在二进制中表示为．若（n为正整数），则n表示的二进制数为，其中，或1（）．下列说法正确的个数为（ ） ①二进制数转化为十进制数为10；②十进制数89转化为二进制数为；③计算： A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11 计算：______． 12. 因式分解：______． 13. 如图所示，是一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要__________米． 14. 已知a，b对应点在数轴上的位置如图所示，化简的结果等于______． 15. 若，则分式的值为______． 16. 如图，，，，，，垂足为，将边沿翻折，使点落在上的点处，则线段的长为__________． 17. 若关于x的不等式组至少有两个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的和是______． 18. 一个四位正整数，将的千位数字和百位数字分别作为两位数的十位数字和个位数字，将的十位数字和个位数字分别作为两位数的十位数字和个位数字，规定，当能被6整除时，被称为“顺心数”．例如：，则，，，因为能被整除，所以是“顺心数”．最小的“顺心数”为______；若“顺心数”（其中，，，，，均为整数），且的各个数位数字之和等于它千位数字的倍，则的最大值为______． 三、解答题（本大题8个小题，共78分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 计算： （1）； （2）． 21. 解方程： （1） （2） 22. 先化简，再求值：，请从2，0，，4中选择一个合适的数代入求值． 23 如图，四边形，连接 （1）用直尺和圆规过A点作的垂线，交与E，交于F． （2）若平分，求证：． 24. 如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到的小路，经测量，，，，，． （1）求小路长； （2）淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？ 25. 某文创店，最近一款印有“保卫里”的书签销售火爆．该店第一次用1000元购进这款书签，很快售完，又花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍． （1）求该店两次购进这款书签各多少个？ （2）第二次购进这款书签后仍按第一次售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？ 26. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，，给出如下定义：若P为内（不含边界）一点，且AP与的一条边相等，则称P为的关联点． （1）在，，中，的关联点是______； （2）如图2，若P为内一点，且P为的关联点，当时，求； （3）直线l为过点，且与x轴平行的直线，若直线l上存在的三个关联点，直接写出m的取值范围． 27. 在中，，以为边作，，，与交于点E．         （1）如图1，若，，求的长度； （2）如图2，若，延长至点F，连接交于点H，若点H为的中点，证明：； （3）如图3．若，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，取的中点G，连接．在旋转过程中，当最大时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 2024年9月9日，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知8纳米米，0.000000008用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：B． 2. 要使代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，，进行计算即可得． 【详解】解：由题意得，， 解得，， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，同底数幂的乘法，解题的关键是掌握相关知识．根据整式的加减，同底数幂的乘法逐一判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A. 2，3，4 B. 6，7，8 C. 9，40，45 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故选项A不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故选项B不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故选项C不符合题意； D、，能构成直角三角形，故选项D符合题意； 故选：D． 5. 估计的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式乘法，无理数的估算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理原式，因为，则，故，即可作答． 【详解】解：， ∵，且， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据勾股定理求出点到原点距离，再根据点在原点左侧，即可求解． 【详解】解：点到原点的距离， ∵点在原点左侧， ∴点表示数是， 故选：B ． 7. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可得，从而可得，再解方程组即可．本题考查的是分式的加减运算的逆运算，二元一次方程组的应用，理解题意，建立方程组解题是关键． 【详解】解：， ， ， 解得：， ， 故选：C． 8. 如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．若长方形的面积是，则正方形和的面积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】设， ∵长方形的周长是，长方形的面积是， ∴，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了图形的面积与完全平方公式，熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积的个数，两数和的完全平方公式是解题的关键． 9. 如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长到点，使，连接、，则，因为，，所以，，而，即可证明，得，，再推导出，进而证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长到点，使，连接、， 则， ，， ，， 在和中， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：A． 10. 世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出“二进制”记数法的人，用“二进制”记数只需数字0和1．对于“二进制”整数可理解为“逢二进一”．例如：十进制数，则十进制数3在二进制中表示为；十进制数，则十进制数5在二进制中表示为．若（n为正整数），则n表示的二进制数为，其中，或1（）．下列说法正确的个数为（ ） ①二进制数转化为十进制数为10；②十进制数89转化为二进制数为；③计算： A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了十进制，有理数的混合运算，数学常识以及等式的性质，熟练运用新定义法则是解题的关键．根据题意，利用二进制数与十进制数的转化方法逐项判断即可． 【详解】解：①二进制数转化为十进制数为：，故①正确； ②，则十进制数89转化为二进制数为，故②正确； ③．故③错误； ①②正确，共2个， 故选：B． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零次幂和负整数指数幂，据此相关运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，先整理原式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：依题意， 故答案为：． 13. 如图所示，是一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要__________米． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．利用平移的性质知，当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：∵是直角三角形，米，米， ∴米， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米． 故答案为：7． 14. 已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴判断、、与0的大小关系，然后根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．本题考查实数与数轴，化简绝对值，二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 【详解】解：由数轴可知：，，， ∴ ． 故答案为：． 15. 若，则分式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 已知等式整理得到关系式，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：等式整理得：，即， 则． 故答案为：． 16. 如图，，，，，，垂足为，将边沿翻折，使点落在上的点处，则线段的长为__________． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，等面积法以及勾股定理，解决本题的关键是熟练运用等面积法．首先根据折叠可得，，利用等面积法得到的值，在中利用勾股定理求得，然后即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， 根据折叠的性质可知，， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：． 17. 若关于x的不等式组至少有两个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的和是______． 【答案】 【解析】 【分析】不等式组整理后，根据至少有两个整数解，确定出的范围，再由分式方程解为整数，确定出满足题意整数的值，求出之和即可．此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 【详解】解：∵不等式组 ∴整理得：， 不等式组至少有两个整数解， ， 解得：， 分式方程去分母得：， 解得：， 分式方程解为整数， ∴， 即， ∴， ∵，且为整数，且为整数， ∴或或，或， （舍去）或1或或（舍去） ． 故答案为：． 18. 一个四位正整数，将的千位数字和百位数字分别作为两位数的十位数字和个位数字，将的十位数字和个位数字分别作为两位数的十位数字和个位数字，规定，当能被6整除时，被称为“顺心数”．例如：，则，，，因为能被整除，所以是“顺心数”．最小的“顺心数”为______；若“顺心数”（其中，，，，，均为整数），且的各个数位数字之和等于它千位数字的倍，则的最大值为______． 【答案】 ①. 1014 ②. 【解析】 【分析】本题考查了顺心数得到定义，6的倍数特征，以及列举法，排除法解题，解题的关键是找到的千位，百位，十位，个位数字分别是谁，正确理解顺心数的定义．为了使最小，千位数最小为1，百位数最小为0，十位是，即，然后找出个数数字；由题意可知，的千位数字是，百位数字是，十位数字是，各位数字是，那么有，因为是顺心数，是的倍数，即是的倍数，所以推出，是2的倍数，因为，为了大一些，那么取，从而得出的最大值． 【详解】①是一个正四位数，为了使最小 千位数最小为1，百位数最小为0，即， 为了使最小，能被6整除，且为两位数， 当的十位数为1，个位数取0时，，不能被6整除， 当的十位数为1，个位数取1时，，不能被6整除， 当的十位数为1，个位数取2时，，不能被6整除， 当的十位数为1，个位数取3时，，不能被6整除， 当的十位数为1，个位数取4时，，能被6整除， 最小的“顺心数”为1014， 故答案为：1014． ②（其中，，，，，均为整数）， 由题意可知，的千位数字是，百位数字是，十位数字是，个位数字是 的各个数位数字之和等于它千位数字的倍， 即 是顺心数 是的倍数 即是的倍数 是的倍数，且，，，，均为整数 必须是，可以是，，， ， 为了使最大，要越大越好，那么越小越好 当，时， ，满足 此时，，， ，是的倍数，所以是顺心数； 故的最大值是； 故答案为：． 三、解答题（本大题8个小题，共78分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，平方差公式，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平方差公式，完全平方公式进行展开再合并同类项，即可作答． （2）先根据二次根式的性质化简括号内，再运算除法，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先运算分式的乘方，再利用分式的乘除法则进行计算即可； （2）先把除法化为乘法，再算乘法，最后算减法即可． 本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）原分式方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程． （1）先去分母化为一元一次方程，再解方程并检验即可； （2）先去分母化一元一次方程，再解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：原分式方程整理得，， 去分母得， ， ， 经检验：是方程的解，原分式方程的解为． 【小问2详解】 解：原分式方程整理得，， 去分母得，， ， 经检验：是方程的增根，原分式方程无解． 22. 先化简，再求值：，请从2，0，，4中选择一个合适的数代入求值． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式混合运算的法则，先化简，根据分式有意义的条件，的值只能取4，代入求值即可．本题考查了分式的化简求值，取合适的数代入求值时，要特注意原式及化简过程中的每一步都有意义． 【详解】解： ． ∵，， ∴，， 依题意，把代入， 得． 23. 如图，四边形，连接 （1）用直尺和圆规过A点作的垂线，交与E，交于F． （2）若平分，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心，大于点A到距离为半径画弧，与交于M、N两点，作线段的垂直平分线，则即为的垂线； （2）根据证明，根据全等三角形的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：以点A为圆心，大于点A到的距离为半径画弧，与交于M、N两点，作线段的垂直平分线，则即为所求作的垂线，如图所示： 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作垂线，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． 24. 如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到的小路，经测量，，，，，． （1）求小路的长； （2）淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？ 【答案】（1） （2）当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与淇淇的距离最近． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与勾股逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）先证明，再运用面积法，得出，根据勾股定理列式计算得出，最后结合运动速度，即可作答． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴在中，， ∴小路的长为； 【小问2详解】 解：如图所示：过B作， 依题意，当小狗在小路上奔跑，且跑到点的位置时，小狗淇淇的距离最近． ∵，．， ∴， 即， ∴， 则， 即， ∴ ∵小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑， ∴， 则 当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与淇淇的距离最近． 25. 某文创店，最近一款印有“保卫里”的书签销售火爆．该店第一次用1000元购进这款书签，很快售完，又花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍． （1）求该店两次购进这款书签各多少个？ （2）第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？ 【答案】（1）该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个； （2）第一次销售时每个书签的售价至少为8元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购进这款书签个，由题意：每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，列出分式方程，解方程即可； （2）设第一次销售时每个书签的售价为m元，由题意：要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购进这款书签个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个． 【小问2详解】 设第一次销售时每个书签的售价为m元， 由题意得： 解得：， 答：第一次销售时每个书签售价至少为8元． 26. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，，给出如下定义：若P为内（不含边界）一点，且AP与的一条边相等，则称P为的关联点． （1）在，，中，的关联点是______； （2）如图2，若P为内一点，且P为的关联点，当时，求； （3）直线l为过点，且与x轴平行的直线，若直线l上存在的三个关联点，直接写出m的取值范围． 【答案】（1），； （2）30， （3） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质和坐标得出，，，进而通过证明和勾股定理列式计算，且结合“关联点”进行解答即可； （2）设，得，，根据三角形的内角和定理解答即可； （3）根据关联点的概念分三种情况①②③解答即可． 【小问1详解】 解：，，， ，， 连接，，如图1， 点与点关于轴对称，点在轴上， ， 点是△的关联点； 连接，，，过点分别作轴，轴的垂线段，，如图2， 则，， ， 在与中， ， ∴ ， 点是△的关联点； 连接，，，过点分别作轴，轴的垂线段，，如图3， 则，，， ，，， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， 点不是△的关联点； 综上所述，△的关联点是，， 故答案为：，； 【小问2详解】 证明：为△的关联点， ， ， 在和中，， ， ， 设， ，， ， ， ． 故答案为：30； 【小问3详解】 解：由题意知，的关联点，满足或或， 若，则点在线段的垂直平分线上， 即轴上； 若，则点在线段的垂直平分线上； 若，则点在以点为圆心，长为半径的圆弧上， 设的中点为，则点的纵坐标为3，如图4， 由图可知，当直线在过点且平行于轴的直线与轴之间时，直线存在的关联点， 直线为过点且与轴平行的直线，若直线上存在的三个关联点，则的取值范围是． 【点睛】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是根据轴对称的性质和勾股定理解答． 27. 在中，，以为边作，，，与交于点E．         （1）如图1，若，，求的长度； （2）如图2，若，延长至点F，连接交于点H，若点H为的中点，证明：； （3）如图3．若，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，取的中点G，连接．在旋转过程中，当最大时，直接写出的面积． 【答案】（1）4 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，证是等边三角形，利用特殊角三角函数求出边即可； （2）过点作，交于点，根据证明，，利用等式的性质证明即可； （3）如图3，取中点，连接，，，，由“”可证，可得，，由三角形的三边关系可得，则当点在线段上时，有最大值，由勾股定理可求的长，即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，过点作，垂足为，     ，， ，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 设，则， ， 即， 解得， ， ， ， 是等边三角形， ； 【小问2详解】 解：过点作，交于点，         ∵ ，， 又， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 即， ， ， ； 【小问3详解】 解：，， ，， ，， ∴, 点在线段上， ，， ，， 将绕点逆时针旋转得到， ，，，，， 如图3，取中点，连接，，，，     ，点是的中点， ， 是等边三角形， ， ， 点是的中点，点是的中点， ，， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 当点在线段上时，有最大值， 此时，如图4，     ， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，30度所对的直角边是斜边的一半，勾股定理等知识点，确定的最大值是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$