专题9 乘法公式（5知识总结+5题型）-2024-2025学年人教版数学八年级上学期期末满分冲刺

专题9 乘法公式 知识点1．完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点2．完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 知识点3．完全平方式 完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式． a2±2ab+b2＝（a±b）2 完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）” 知识点4．平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 知识点5．平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 题型一．完全平方公式（共9小题） 1．（2024秋•钟山县期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•龙海区期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 3．（2024秋•东区校级期中）若，则的值为　　 A．0 B．2 C．4 D．6 4．（2023秋•腾冲市期末）下列计算结果正确的是　　 A． B． C． D． 5．（2024春•白塔区校级期中）利用公式计算的结果为　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•大连期末）已知，，则　　 A．25 B．22 C．19 D．13 7．（2023秋•道外区期末）若，，则　　 A．7 B．10 C．16 D．22 8．（2024•蜀山区校级三模）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 9．（2024秋•栖霞市期中）知，则代数式的值为　　． 题型二．完全平方公式的几何背景（共6小题） 10．（2024春•白塔区校级期中）如图，长为，宽为的长方形的周长为16，面积为12，则的值为　　 A．88 B．70 C．64 D．40 11．（2023秋•沈丘县期末）我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释．那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是　　 A． B． C． D． 12．（2023秋•遂宁期末）如图将4个长、宽分别均为，的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是　　 A． B． C． D． 13．（2024春•龙华区期末）下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是　　 A． B． C． D． 14．（2023秋•遵义期末）如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开，再按如图②的方式摆成正方形，则阴影部分的周长为　　 A． B． C． D． 15．（2024秋•青秀区校级月考）如图1，将边长的正方形剪出两个边长分别为，的正方形（阴影部分），观察图形，解答下列问题：（1）用两种不同的方法表示图一阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积． 方法　　，方法　　；将你从中发现的结论写出来：　　； （2）运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，求的值； ②如图2，是线段上一点，以，为边向两边作正方形，，两个正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 题型三．完全平方式（共6小题） 16．（2024秋•东坡区期中）已知代数式是完全平方式，则的值为　　 A．1 B． C． D．2 17．（2023秋•安陆市期末）如果是完全平方式，则的值为　　 A． B． C．9 D．36 18．（2024秋•泸州期末）若多项式是完全平方式，则的值为　　 A． B．4 C．2 D．5或1 19．（2023秋•仁寿县校级期末）若是完全平方式，则的值　　 A．1 B． C．1或 D．5 20．（2024秋•长春月考）若多项式是关于、的完全平方式，则的值为　　 A．21 B．19 C．21或 D．或19 21．（2024春•裕华区期末）若关于的二次三项式是一个完全平方式，那么的值是　　 A． B．6 C． D．10或 题型四．平方差公式（共8小题） 22．（2024秋•唐河县期中）下面计算正确的是　　 A． B． C． D． 23．（2024秋•衡阳期中）下列各式中，能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 24．（2024秋•渭源县期末）的计算结果是　　 A． B． C． D． 25．（2023秋•思明区期末）将变形正确的是　　 A． B． C． D． 26．（2024秋•江油市期中）下列能使用平方差公式的是　　 A． B． C． D． 27．（2023秋•定西期末）已知，，则的值为　　 A． B． C．2 D．4 28．（2024秋•松江区期中）下列各式中，运算正确的是　　 A． B． C． D． 29．（2024秋•龙海区期中）下列各式不能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 题型五．平方差公式的几何背景（共4小题） 30．（2023秋•播州区期末）如图，两个顶点重合，边重合的正方形，求阴影部分的面积．下列表示错误的是　　 A． B． C． D． 31．（2023秋•西山区校级期末）如图的面积关系，可以得到的恒等式是　　 A． B． C． D． 32．（2024秋•晋江市期中）如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是　　 A． B． C． D． 33．（2024秋•龙海区期中）我国著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如我们可以利用下面的图形计算得出的结果．方法如下： 如图示，与把正方形分割成了四个部分，其中，是边长分别为10和2的正方形的面积，，则是两个长宽分别为10和2的长方形的面积．由，可列式计算：． （1）请仿照此方法，直接列式计算； 列式计算： （2）利用数形结合的思想方法，计算． 画示意图：列式计算： 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9 乘法公式 知识点1．完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点2．完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 知识点3．完全平方式 完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式． a2±2ab+b2＝（a±b）2 完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）” 知识点4．平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 知识点5．平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 题型一．完全平方公式（共9小题） 1．（2024秋•钟山县期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据运算法则分别判断即可． 【解答】解：．计算结果是，故该选项不正确，不符合题意； ．计算结果是，故该选项不正确，不符合题意； ．，故该选项正确，符合题意； ．计算结果是，故该选项不正确，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法，合并同类项等，熟练掌握以上知识点是关键． 2．（2024秋•龙海区期中）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据相关计算法则分别计算出对应式子的结果即可得到答案． 【解答】解：、计算结果是，原式计算错误，不符合题意； 、原式计算正确，符合题意； 、两者不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； 、运算结果是，原式计算错误，不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了同底数幂除法计算，幂的乘方计算，完全平方公式和合并同类项，熟练掌握以上知识点是关键． 3．（2024秋•东区校级期中）若，则的值为　　 A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】 【分析】利用完全平方公式等式变形，即可计算求值． 【解答】解：， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的定义是关键． 4．（2023秋•腾冲市期末）下列计算结果正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用幂的乘方法则，积的乘方法则，同底数幂除法法则，完全平方公式逐项判断即可． 【解答】解：，则不符合题意； ，则符合题意； ，则不符合题意； ，则不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 5．（2024春•白塔区校级期中）利用公式计算的结果为　　 A． B． C． D． 【分析】因为本题是“括号的平方”这种形式，因此我们可以从括号里面提出一个，平方后变为1，剩下的就是，展开后就能得出答案． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题主要考查我们的公式变形能力，熟练掌握公式结构是求解的关键． 6．（2023秋•大连期末）已知，，则　　 A．25 B．22 C．19 D．13 【答案】 【分析】根据完全平方式，将与的值代入即可求出答案． 【解答】解：， ， 故选：． 【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是正确理解完全平方公式，本题涉及整体的思想． 7．（2023秋•道外区期末）若，，则　　 A．7 B．10 C．16 D．22 【答案】 【分析】利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：，， ． 故选：． 【点评】本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式是解题关键． 8．（2024•蜀山区校级三模）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的运算法则，即可判断答案． 【解答】解：、，所以选项错误，不符合题意； 、计算正确，符合题意； 、，所以选项错误，不符合题意； 、，所以选项错误，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了合并同类项，完全平方公式，幂的运算，熟练掌握幂的运算法则及完全平方公式是解题的关键． 9．（2024秋•栖霞市期中）知，则代数式的值为　36　． 【答案】36． 【分析】先用含的式子表示出，进而表示出，再把所求式子中的用含的式子替换求解即可． 【解答】解：根据题意可知，， ， ． 故答案为：36． 【点评】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的定义是关键． 题型二．完全平方公式的几何背景（共6小题） 10．（2024春•白塔区校级期中）如图，长为，宽为的长方形的周长为16，面积为12，则的值为　　 A．88 B．70 C．64 D．40 【答案】 【分析】由题意知，，，再把变形为，然后再整体代入求解即可． 【解答】解：由题意知，，． ． ． 故选：． 【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法进行因式分解是解决本题的关键． 11．（2023秋•沈丘县期末）我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释．那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是　　 A． B． C． D． 【分析】根据空白部分的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积再加上右上角小正方形的面积列式整理即可得解． 【解答】解：空白部分的面积：， 还可以表示为：， 所以，此等式是． 故选：． 【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，利用两种方法表示出空白部分的面积是解题的关键． 12．（2023秋•遂宁期末）如图将4个长、宽分别均为，的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积小正方形的面积个矩形的面积． 【解答】解：大正方形的面积小正方形的面积个矩形的面积， ，即． 故选：． 【点评】考查了完全平方公式的几何背景，能够正确找到大正方形和小正方形的边长是难点．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． 13．（2024春•龙华区期末）下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据完全平方公式的几何背景，结合面积之间的和差关系进行判断即可． 【解答】解：选项中的阴影部分的面积可以用来解释， 故选：． 【点评】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 14．（2023秋•遵义期末）如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开，再按如图②的方式摆成正方形，则阴影部分的周长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据图形得出阴影部分的边长为，即可解答． 【解答】解：由图可知，阴影部分的边长为：， 阴影部分的周长为：． 故选：． 【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的定义是关键． 15．（2024秋•青秀区校级月考）如图1，将边长的正方形剪出两个边长分别为，的正方形（阴影部分），观察图形，解答下列问题：（1）用两种不同的方法表示图一阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积． 方法　　，方法　　；将你从中发现的结论写出来：　　； （2）运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，求的值； ②如图2，是线段上一点，以，为边向两边作正方形，，两个正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；；； （2）①或0；②12． 【分析】（1）方法1可采用两个正方形的面积和；方法2可以用大正方形减去两个长方形的面积；根据两种方式表示的面积是相等的，即可得出结论； （2）①设，，则，，根据（1）可知：，即，得出，可求得，再列出方程组求出，的值，再代入求值即可； ②设，，根据已知条件可列方程组，求出的值，由于阴影部分的面积为，即可得出答案． 【解答】解：（1）根据题意可知，方法1：阴影部分面积是边长为的正方形面积和边长为的正方形面积之和， ， 方法2：阴影部分面积边长为的正方形面积长为，宽为的长方形面积， ， 又两种方式表示的阴影部分面积是相等的：， 故答案为：；；； （2）①，设，， 则，， 根据（1）可知：， 即， ， ， ， 或， 解得：或， 当时，， 当时，， 或0； ②设，， ，， 联立方程组可得：， ， 阴影部分的面积为． 【点评】本题考查的知识点是完全平方公式的几何背景、通过对完全平方公式变形求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式． 题型三．完全平方式（共6小题） 16．（2024秋•东坡区期中）已知代数式是完全平方式，则的值为　　 A．1 B． C． D．2 【答案】 【分析】利用完全平方式的结构特征判断即可确定出的值． 【解答】解：代数式是一个完全平方式， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是关键． 17．（2023秋•安陆市期末）如果是完全平方式，则的值为　　 A． B． C．9 D．36 【答案】 【分析】由完全平方式的结构特点，可得． 【解答】解：是完全平方式， ， 故选：． 【点评】此题考查了对完全平方式概念的了解应用能力，关键是能理解完全平方式的机构特点． 18．（2024秋•泸州期末）若多项式是完全平方式，则的值为　　 A． B．4 C．2 D．5或1 【答案】 【分析】根据平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式即可确定出值． 【解答】解：根据题意可知，是完全平方式， ， ， 解得：或1． 故选：． 【点评】本题主要考查了完全平方式，掌握完全平方式的定义是关键． 19．（2023秋•仁寿县校级期末）若是完全平方式，则的值　　 A．1 B． C．1或 D．5 【答案】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值． 【解答】解：是一个完全平方式， ， 解得：或， 故选：． 【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 20．（2024秋•长春月考）若多项式是关于、的完全平方式，则的值为　　 A．21 B．19 C．21或 D．或19 【答案】 【分析】先得出完全平方式为，再将其展开，则有，计算出的值即可． 【解答】解：且多项式是关于、的完全平方式， ， ， ， 或． 故选：． 【点评】本题考查了完全平方式，牢记完全平方公式是解题的关键． 21．（2024春•裕华区期末）若关于的二次三项式是一个完全平方式，那么的值是　　 A． B．6 C． D．10或 【答案】 【分析】根据完全平方式的特征进行计算，即可解答． 【解答】解：是一个完全平方式， ， ， ， 解得：或， 故选：． 【点评】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键． 题型四．平方差公式（共8小题） 22．（2024秋•唐河县期中）下面计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据同底数幂的除法、同底数幂的乘法、平方差公式、积的乘方运算法则逐项计算判断即可． 【解答】解：、，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了同底数幂的除法、同底数幂的乘法、平方差公式、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 23．（2024秋•衡阳期中）下列各式中，能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平方差公式：，进行判断即可． 【解答】解：．不能用平方差公式进行计算，不符合题意； ．，能用平方差公式进行计算，符合题意； ．不能用平方差公式进行计算，不符合题意； ．，不能用平方差公式进行计算，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是关键． 24．（2024秋•渭源县期末）的计算结果是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【解答】解：原式 ， 故选：． 【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 25．（2023秋•思明区期末）将变形正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据进行变形即可． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题考查了利用完全平方公式进行简便运算，掌握是解题的关键． 26．（2024秋•江油市期中）下列能使用平方差公式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据能用平方差公式计算的式子特点：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数进行分析即可． 【解答】解：、不能使用平方差公式，故本选项不符合题意； 、不能使用平方差公式，故本选项不符合题意； 、不能使用平方差公式，故本选项不符合题意； 、能使用平方差公式，故本选项符合题意； 故选：． 【点评】本题主要查了平方差公式，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．． 27．（2023秋•定西期末）已知，，则的值为　　 A． B． C．2 D．4 【答案】 【分析】先利用平方差公式分解因式，再运用整体的思想求代数式的值． 【解答】解：，， ． 故选：． 【点评】本题考查的是平方差公式，熟练掌握和运用平方差公式是解本题的关键． 28．（2024秋•松江区期中）下列各式中，运算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用平方差公式，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可． 【解答】解：，则不符合题意； ，则符合题意； ，则不符合题意； ，则不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查平方差公式，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 29．（2024秋•龙海区期中）下列各式不能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平方差公式：进行求解即可． 【解答】解：、符合平方差公式特征，故不符合题意； 、符合平方差公式特征，故不符合题意； 、符合平方差公式特征，故不符合题意； 、，不符合平方差公式特征，故符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 题型五．平方差公式的几何背景（共4小题） 30．（2023秋•播州区期末）如图，两个顶点重合，边重合的正方形，求阴影部分的面积．下列表示错误的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】用不同的方法，用代数式分别表示图形中阴影部分的面积即可》 【解答】解：图中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 如图1，两块阴影部分的面积和为， 如图2，两块阴影部分的面积和为， 而表示图1中阴影部分①的面积，而是图1正方形②的面积，因此不是阴影部分的面积，因此选项符合题意，选项、、不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查平方差公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握平方差公式的结构特征以及多项式乘多项式的几何意义是正确解答的关键． 31．（2023秋•西山区校级期末）如图的面积关系，可以得到的恒等式是　　 A． B． C． D． 【分析】根据正方形和矩形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：阴影部分的面积； 阴影部分的面积， 则． 故选：． 【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键． 32．（2024秋•晋江市期中）如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】图乙中求边长为的正方形的面积得到数学公式． 【解答】解：中间阴影部分正方形面积：． 故选：． 【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景：运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释是关键． 33．（2024秋•龙海区期中）我国著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如我们可以利用下面的图形计算得出的结果．方法如下： 如图示，与把正方形分割成了四个部分，其中，是边长分别为10和2的正方形的面积，，则是两个长宽分别为10和2的长方形的面积．由，可列式计算：． （1）请仿照此方法，直接列式计算； 列式计算： （2）利用数形结合的思想方法，计算． 画示意图：列式计算： 【答案】（1）10404；（2）画图见解析，285． 【分析】（1）先根据题干信息列式：，再计算即可； （2）先画图形，构建边长为143的正方形，再在里面构建边长为142的正方形，再利用图形面积差进行简便运算即可． 【解答】解：（1）； （2）如图， ； 【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式，平方差公式的定义是关键． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$