专题3 全等三角形与角平分线的性质（4知识总结+4题型）-2024-2025学年人教版数学八年级上学期期末满分冲刺

专题3全等三角形与角平分线的性质 知识点1．全等图形 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 知识点2．全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 知识点3．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 知识点4．作图一尺规作图的定义 （1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）基本要求 它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同． 直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度． 圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度． 题型一．全等图形（共6小题） 1．（2024秋•利津县月考）下列各组中的两个图形属于全等图形的是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•回民区期中）下列各组中的两个图形属于全等图形的是　　 A． B． C． D． 3．（2024秋•祥云县校级期中）下列图形中，属于全等形的是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•奇台县期末）如图，△沿直角边所在直线向右平移到△，则下列结论中，错误的是　　 A． B． C． D．△△ 5．（2023秋•龙华区校级期末）下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为　　 A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 6．（2023秋•上饶期末）下列图形中，属于全等图形的一对是　　 A． B． C． D． 题型二．全等三角形的性质（共9小题） 7．（2024秋•莒南县期中）如图，△△，点、、三点在一条直线上，下面结论不一定正确的是　　 A． B． C． D． 8．（2024秋•双柏县期中）如图所示，已知△△，如果，，那么的长为　　 A．7 B．5 C．4 D．3 9．（2024秋•红桥区校级期中）如图，，，三点共线，，，三点共线，且△△，，，则长为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 10．（2023秋•孝南区期末）已知图中的两个三角形全等，则的度数是　　 A． B． C． D． 11．（2024秋•杭州期中）已知图中的两个三角形全等，则等于　　 A． B． C． D． 12．（2024秋•泸县期中）如图，△△，点的对应点在线段上，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 13．（2023秋•长春期末）已知图中的两个三角形全等，则等于　　 A． B． C． D． 14．（2023秋•科尔沁区期末）如图，，且点恰好落在线段上，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 15．（2024秋•新华区校级期中）如图，两个三角形是全等三角形，的值是　　 A．80 B．45 C．30 D．25 题型三．角平分线的性质（共9小题） 16．（2024秋•西城区校级期中）如图，平分，于，点在上，若，，则△的面积为　　 A．18 B．9 C．6 D．3 17．（2024秋•思明区校级期中）如图，直线，垂足为，点是射线上一定点，以为边在右侧作，且满足，若点是射线上的一个动点（不与点重合），连接．作△的两个外角平分线交于点，连接．在点在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为　　 A． B． C． D． 18．（2024秋•镜湖区校级期中）如图，直线，垂足为，点是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点是射线上的一个动点（不与点重合），连接，作△的两个外角平分线交于点，在点在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为　　 A． B． C． D． 19．（2024秋•海安市月考）如图，是△的角平分线，，垂足为，，，，则长为　　 A．5 B．4 C．3 D．2 20．（2023秋•霸州市期末）如图，在中，，的角平分线交于点，于点，若与的周长分别为13和3，则的长为　　 A．10 B．16 C．8 D．5 21．（2024秋•宜州区期中）如图，在△中，是角平分线，于点，△的面积为15，，，则的长是　　 A．3 B．4 C．5 D．2 22．（2024秋•平湖市期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围城的一块三角形平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在　　 A．△三边中线的交点 B．△三个角的平分线的交点 C．△三边高线的交点 D．△三边垂直平分线的交点 23．（2024秋•潜江月考）如图，在△中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则△的面积是　　 A．15 B．30 C．45 D．60 24．（2023秋•大观区校级期末）如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四．作图—尺规作图的定义（共3小题） 25．（2023秋•安顺期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是　　 A．12 B．18 C．24 D．36 26．（2023秋•临高县期末）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是　　 A． B． C． D． 27．（2023秋•利辛县校级期末）下列尺规作图的语句正确的是　　 A．延长射线到 B．以点为圆心，任意长为半径画弧 C．作直线 D．延长线段至，使 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3 全等三角形与角平分线的性质 知识点1．全等图形 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 知识点2．全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 知识点3．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 知识点4．作图一尺规作图的定义 （1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）基本要求 它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同． 直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度． 圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度． 题型一．全等图形（共6小题） 1．（2024秋•利津县月考）下列各组中的两个图形属于全等图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用全等图形的定义进行判断即可． 【解答】解：、不属于全等图形，故此选项不符合题意； 、属于全等图形，故此选项符合题意； 、不属于全等图形，故此选项不符合题意； 、不属于全等图形，故此选项不符合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形． 2．（2024秋•回民区期中）下列各组中的两个图形属于全等图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用全等图形的概念可得答案． 【解答】解：、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意； 、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意； 、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意； 、两个图形属于全等图形，故此选项符合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形． 3．（2024秋•祥云县校级期中）下列图形中，属于全等形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据能够完全重合的两个图形是全等图形．据此判断即可． 【解答】解：．由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，选项错误，不符合题意； ．由图可知两个图形可以完全重合，所以是全等图形，选项正确，符合题意； ．由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，选项错误，不符合题意； ．由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，选项错误，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查全等图形，解题的关键是掌握等图形的概念解答． 4．（2023秋•奇台县期末）如图，△沿直角边所在直线向右平移到△，则下列结论中，错误的是　　 A． B． C． D．△△ 【答案】 【分析】把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．所以△与△的形状和大小完全相同，即△△． 【解答】解：△沿直角边所在直线向右平移到△ △△ ， 所以只有选项是错误的， 故选：． 【点评】本题涉及的是全等三角形的知识；解答本题的关键是应用平移的基本性质． 5．（2023秋•龙华区校级期末）下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为　　 A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】 【分析】根据全等形和全等三角形的概念进行做题，对选项逐一进行验证，符合性质的是正确的，与性质、定义相矛盾的是错误的． 【解答】解：由全等三角形的概念可知：全等的图形是完全重合的，所以①全等图形的形状相同、大小相等是正确的；重合则对应边、对应角是相等的，周长与面积也分别相等，所以①②③④都正确的 故选：． 【点评】本题考查了全等形的概念和三角形全等的性质：1、能够完全重合的两个图形叫做全等形，2、全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；全等三角形的周长、面积分别相等，做题时要细心体会． 6．（2023秋•上饶期末）下列图形中，属于全等图形的一对是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据图形全等的定义对题目中给出的四个选项注意进行判断即可得出答案． 【解答】解：选项中的两个图形的形状一样，大小相等， 该选项中的两个图形是全等形， 故选项符合题意； 选项中的两个图形形状一样，但大小不相等， 选项，中的两个图形不是全等形， 故选项，，不符合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了图形全等的定义，正确理解图形全等的定义是解决问题的关键． 题型二．全等三角形的性质（共9小题） 7．（2024秋•莒南县期中）如图，△△，点、、三点在一条直线上，下面结论不一定正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质和三角形内角和定理逐项求解判断即可． 【解答】解：△△， ，故正确，不符合题意； ， ，， ，故正确，不符合题意； △△， ，， ，故正确，不符合题意； 和不一定相等， 和不一定平行，故错误，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟知以上知识是解题的关键． 8．（2024秋•双柏县期中）如图所示，已知△△，如果，，那么的长为　　 A．7 B．5 C．4 D．3 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质得，再代入计算即可． 【解答】解：△△，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握：全等三角形的对应边相等． 9．（2024秋•红桥区校级期中）如图，，，三点共线，，，三点共线，且△△，，，则长为　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质可得，，即可求解． 【解答】解：△△， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 10．（2023秋•孝南区期末）已知图中的两个三角形全等，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】要根据已知的对应边去找对应角，并运用“全等三角形对应角相等”即可得答案． 【解答】解：图中的两个三角形全等， 与，与分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角， ． 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应角相等是解题的关键． 11．（2024秋•杭州期中）已知图中的两个三角形全等，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据全等三角形的对应角相等解答即可． 【解答】解：由三角形全等可得，， 故选：． 【点评】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角相等解答． 12．（2024秋•泸县期中）如图，△△，点的对应点在线段上，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】首先根据全等三角形的性质可得，，进而可得，根据“有一个角为60度的等腰三角形为等边三角形”可知△为等边三角形，即可获得答案． 【解答】解：△△，点的对应点在线段上，， ，， ， △是等边三角形， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质，证明△为等边三角形是解题关键． 13．（2023秋•长春期末）已知图中的两个三角形全等，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角进而得出答案． 【解答】解：图中的两个三角形全等， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，正确找出对应角是解题关键． 14．（2023秋•科尔沁区期末）如图，，且点恰好落在线段上，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，进而得出答案． 【解答】解：， ，， ，， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． 15．（2024秋•新华区校级期中）如图，两个三角形是全等三角形，的值是　　 A．80 B．45 C．30 D．25 【答案】 【分析】由全等三角形的对应角相等，即可求解． 【解答】解：两个三角形是全等三角形， ． 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等． 题型三．角平分线的性质（共9小题） 16．（2024秋•西城区校级期中）如图，平分，于，点在上，若，，则△的面积为　　 A．18 B．9 C．6 D．3 【答案】 【分析】过点作于，根据角平分线的性质求出，再根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：如图，过点作于， 平分，，，， ， △的面积为：， 故选：． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 17．（2024秋•思明区校级期中）如图，直线，垂足为，点是射线上一定点，以为边在右侧作，且满足，若点是射线上的一个动点（不与点重合），连接．作△的两个外角平分线交于点，连接．在点在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，过作于点，作于点，作于点，根据角平分线性质得到，，得到，得到平分，得到，求出，当时，最小，．得到． 【解答】解：连接，过作于点，作于点，作于点， 由题意可得：，， ， 平分， ， ， ， 当时，最小，． ． 故选：． 【点评】本题主要考查了角平分线．熟练掌握角平分线的性质定理和判定定理，垂线段最短，根据角平分线构造垂线，是解题的关键． 18．（2024秋•镜湖区校级期中）如图，直线，垂足为，点是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点是射线上的一个动点（不与点重合），连接，作△的两个外角平分线交于点，在点在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】作于，于，于，连接，由角平分线性质定理得，再由角平分线的判定知，点在的平分线上，则可求得；当于，则，即的最小值为，此时点与重合，从而求得此时的度数． 【解答】解：如图，作于，于，于，连接， 平分，，， ， 同理可得：， ， 平分，即点在的平分线上， ， ， ， 如图，作于，则， 即的最小值为，此时点与重合， ， ， 当线段取最小值时，的度数为． 故选：． 【点评】本题考查了角平分线的判定与性质、垂线段最短等知识，熟练掌握角平分线的判定与性质，添加适当的辅助线是解此题的关键． 19．（2024秋•海安市月考）如图，是△的角平分线，，垂足为，，，，则长为　　 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】 【分析】过点作于，然后利用△的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：如图，过点作于， 是△的角平分线，，， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 20．（2023秋•霸州市期末）如图，在中，，的角平分线交于点，于点，若与的周长分别为13和3，则的长为　　 A．10 B．16 C．8 D．5 【答案】 【分析】先根据角平分线的性质定理证得，根据与的周长分别为13和3证得． 【解答】解：，平分，， ， 在和中， ， ， ， 与的周长分别为13和3， ，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握并熟练运用角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 21．（2024秋•宜州区期中）如图，在△中，是角平分线，于点，△的面积为15，，，则的长是　　 A．3 B．4 C．5 D．2 【答案】 【分析】作于，则，再根据列式计算即可得解． 【解答】解：如图，作于， 由条件可知， △的面积为15， ，即， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线定理是关键． 22．（2024秋•平湖市期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围城的一块三角形平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在　　 A．△三边中线的交点 B．△三个角的平分线的交点 C．△三边高线的交点 D．△三边垂直平分线的交点 【答案】 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可确定度假村的修建位置． 【解答】解：设和的平分线交于点，过点作于，于，于，如图所示： ，， ， 点在的平分线上，点就是度假村的位置， 度假村应修建在△三个角的平分线的交点上． 故选：． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，解决问题的关键是理解角平分线上的点到角两边的距离相等． 23．（2024秋•潜江月考）如图，在△中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则△的面积是　　 A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】 【分析】作于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【解答】解：作于点， ， 由题意可知，是的平分线， ， ， ，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，作图基本作图，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 24．（2023秋•大观区校级期末）如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据加油站要到三条公路的距离都相等，可知加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有3个交点，内角平分线的交点有1个，据此即可求解． 【解答】解：加油站满足到三条公路的距离相等， 加油站应该在三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点， 三角形相邻两外角平分线的交点有3个，内角平分线的交点有1个， 加油站可供选址的地方有（个， 故选：． 【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 题型四．作图—尺规作图的定义（共3小题） 25．（2023秋•安顺期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是　　 A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】 【分析】过点作于点，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 【解答】解：过点作于点， 根据题意得，是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查角分线的尺规作图和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质． 26．（2023秋•临高县期末）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如图，由作图可知，，．根据证明． 【解答】解：如图，由作图可知，，． 在和中， ， ， 故选：． 【点评】本题考查作图尺规作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 27．（2023秋•利辛县校级期末）下列尺规作图的语句正确的是　　 A．延长射线到 B．以点为圆心，任意长为半径画弧 C．作直线 D．延长线段至，使 【分析】根据线段、射线以及直线的概念，利用尺规作图的方法进行判断即可得出正确的结论． 【解答】解：．根据射线是从向无限延伸，故延长射线到是错误的； ．根据圆心和半径长即可确定弧线的形状，故以点为圆心，任意长为半径画弧是正确的； ．根据直线的长度无法测量，故作直线是错误的； ．延长线段至，则，故使是错误的； 故选：． 【点评】本题主要考查了尺规作图的定义的运用，解题时注意：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图，只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$