精品解析：四川省眉山市仁寿县鳌峰中学2024--2025学年12月九年级上学期数学期末模拟试卷

华师数学九年级数学上期末检测 一．单选题（每题4分，共48分） 1. 下列各式中，化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 直接根据二次根式性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项正确，符合题意； D、，根号里面的数不能为负数，该选项错误，不符合题意． 故选：C． 2. 方程：①，②，③，④中，属于一元二次方程的是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程．据此判断即可． 【详解】解：①中，不是整式方程，不是一元二次方程； ②中有两个未知数，不是一元二次方程； ③是一元二次方程； ④是一元二次方程； 综上③和④是一元二次方程， 故选：C． 3. 如图，已知与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求两个位似图形的相似比，相似三角形的判定与性质综合等知识点，熟练掌握位似图形的性质以及相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，进而可证得，于是可得，设，则，，据此即可得出答案． 【详解】解：与位似，位似中心为， ，， 的面积与的面积之比是， 与的相似比是， 即：， ， ， ， 设，则，， ， 故选：． 4. 在六张卡片上分别写有6，，3.1415，，0，六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据无理数定义确定哪些是无理数，再根据概率的公式计算即可． 【详解】解：在6，，3.1415，，0，六个数中，是无理数的有，共2个， ∴从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是， 故选：C． 【点睛】此题考查概率的计算公式，正确掌握无理数的定义会判断无理数是解题的关键． 5. 在中，都是锐角，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值的非负性，三角形内角和定理等知识．熟练掌握特殊角的三角函数值，绝对值的非负性，三角形内角和定理是解题的关键． 由题意得，，即，由都是锐角，可得，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∵都是锐角， ∴， ∴， 故选：D． 6. 某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】主要考查增长率问题，一般用"增长后的量=增长前的量×（1+增长率）"，如果设二、三月份每月的平均增长率为x，根据“计划二、三月份共生产280台”，即可列出方程． 【详解】设二、三月份每月的平均增长率为x， 则二月份生产机器为：100（1+x）， 三月份生产机器为：100（1+x）2； 又知二、三月份共生产280台； 所以，可列方程：100（1+x）+100（1+x）2=280． 故选B． 【点睛】本题可根据增长率的一般规律找到关键描述语，列出方程；平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 7. 某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图所示，在建筑物旁边有一高度为12米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（、在同一平面内，、在同一水平面上），则需测量的建筑物的高为（ ） A. 24米 B. 18米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，设过点A的水平线于交于点E，在中，用表示，在中，用表示，再利用列方程即可求出． 【详解】解：设过点A的水平线于交于点E，如图， 由题意知：四边形是矩形米，， 在中，， 在中，, ∴ ∴ ∴， 解得（米）， 故选：D． 8. 已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 【答案】B 【解析】 【分析】根据点在第四象限得，可得，则方程的判别式，即可得． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∴， ∴方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点睛】本题考查了点坐标的特征，根的判别式，解题的关键是掌握这些知识点． 9. 如图，点E为▱ABCD的AD边上一点，且AE∶ED＝1∶3，点F为AB的中点，EF交AC于点G，则AG∶GC等于(　　) A. 1∶2 B. 1∶5 C. 1∶4 D. 1∶3 【答案】B 【解析】 【分析】如图，延长FE，CD交于点H，易证△AFE∽△DHE，根据已知条件和相似三角形的性质可得HD＝3AF.再证得△AFG∽△CHG，根据相似三角形的性质即可解答 【详解】延长FE，CD交于点H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴△AFE∽△DHE， ∴ =，即 ， ∴HD＝3AF. ∵AB∥CD， ∴△AFG∽△CHG， ∴. 故选B. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定，正确作出辅助线证明△AFE∽△DHE及△AFG∽△CHG是解题的关键. 10. 函数在同一直角坐标系内的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据a、b的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除． 【详解】解：当a＞0时，二次函数的图象开口向上， 一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限， 故A、D不正确； 由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x=-＞0，且a＞0，则b＜0， 但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B． 故选C． 11. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长为1，则阴影部分面积为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据已知的图形通过推出，利用，可得到，设，根据三角形面积关系即可得出结果． 【详解】解：如图所示， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：， ， 故选：B． 12. 如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的顶点为．下列四个命题： ①当时，； ②若，则； ③抛物线上有两点和，若，且，则； ④点关于抛物线对称轴的对称点为，点分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中真命题的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】①根据二次函数所过象限，判断出y的符号即可判断；②根据A、B关于对称轴对称，求出b的值即可判断；③根据，，得到，从而得到Q点距离对称轴较远，进而判断出，即可判断；④作D关于y轴的对称点，E关于x轴的对称点，连接与的和即为四边形周长的最小值．求出的坐标即可解答． 【详解】解：①当时，函数图象过第一、四象限，当时，；当时，，故此命题是假命题； ②二次函数对称轴为直线，当时有，解得，故此命题是真命题； ③∵， ∴， ∴Q点距离对称轴比P点距离对称轴远， 又∵抛物线开口向下， ∴，故此命题是真命题； ④如图，作D关于y轴的对称点，E关于x轴的对称点， 连接与的和即为四边形周长的最小值． 当时，二次函数为，顶点纵坐标为，则，则；C点坐标为；则，； 则，． ∴四边形周长的最小值为，故此命题是假命题． 真命题有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及函数与不等式的关系、二次函数的对称轴、函数图象上点的坐标特征、轴对称—最短路径问题等，掌握二次函数的性质，轴对称的性质是解决问题的关键． 二．填空题（每题4分，共24分） 13. 最简二次根式与是同类二次根式，则 _______． 【答案】12 【解析】 【分析】此题考查了同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键．结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，进行求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：12． 14. 代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 _______． 【答案】x≥−1，且x≠3 【解析】 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴x+1≥0且x−3≠0， 解得x≥−1且x≠3， 故答案为：x≥−1，且x≠3． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，分式有意义，分母不为0，二次根式的被开方数是非负数，掌握二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据正切函数的定义即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的F处， ∴， ∴在中，， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，正切的定义． 16. 设，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系和方程的解等知识点，先利用一元二次方程解的定义得到,， 再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可得解，熟练掌握若是一元二次方程 的两根，则， 是解决此题的关键． 【详解】解：是方程 的实数根， , ,， 是方程的两个实数根， ， ， 故答案为：． 17. 如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为____． 【答案】7 【解析】 【详解】试题分析：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC． ∴CD=BC－BD=9－3=6，；∠BAD+∠ADB=120°． ∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°．∴∠DAB=∠EDC． 又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE． ∴，即． ∴． 18. 如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，若AB＝2，CD＝3，则EF＝_____． 【答案】1.2． 【解析】 【分析】根据AB∥CD∥EF可证明△AEB∽△DEC、△BFE∽△BDC，利用比例的性质以及相似三角形的性质得出，求出EF即可． 【详解】∵AB∥CD， ∴△AEB∽△DEC， ∵AB＝2，CD＝3， ∴， ∴ ∵EF//CD， ∴△BFE∽△BDC， ∴， 解得：EF＝． 故答案为：1.2 【点睛】本题考查比例的性质及相似三角形的判定与性质，平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键. 三．解答题（共78分） 19. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角三角函数的混合运算及解一元二次方程，熟练掌握掌握运算顺序和计算法则、因式分解法是解题的关键． （）先进行负整数指数幂的运算，绝对值，二次根式化简和三角函数值的运算，再进行实数的运用即可； （2）根据因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 或 ， 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）请在平面直角坐标系中画出关于轴对称的． （2）以点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，请在平面直角坐标系中画出． （3）①点的坐标为 ．②求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形，画位似图形，坐标与图形，熟练掌握位似的性质，轴对称的性质是解题的关键． （1）在坐标系中分别画出点关于轴对称的点，再顺次连接三点就可得所求三角形； （2）将，坐标乘以得到，再顺次连接三点就可得所求三角形； （3）根据坐标系写出点的坐标，根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求得的面积． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所作图形． 【小问2详解】 解：如图所示，即为所作图形． 【小问3详解】 解：①点的坐标为． 的面积为． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两实数根为，，且，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，一元二次方程根的判别式；掌握这两个知识点是关键． （1）由题意得即可证明方程有两个不相等的实数根； （2）根据根与系数的关系可得，，再将变形得到关于m的方程，解方程即可． 小问1详解】 解：由题意可知：， 方程有两个不相等实数根； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 解得， 即． 22. 为了激发学生对中国古诗词的学习兴趣，某校举行了古诗词比赛，比赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：，B组：．C组：，D组：，E组：，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： （1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，并补全学生成绩频数直方图： （2）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？ （3）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加五一劳动节的文艺汇演，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）400，60，D， （2）估计该校成绩优秀的学生有1680人 （3） 【解析】 【分析】（1）用C组的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数，由此即可求出m的值，根据总人数及已知各组人数，计算出E组的人数，从而补全直方图； （2）根据样本中优秀人数占比即可估计3000人中成绩优秀的数量； （3）由画树状图的方法得到全部结果及满足题意的结果数，利用概率公式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：本次调查一共随机抽取的学生总人数为（名）； ∴B组的人数为（名），即； ∴E组的人数为：（人）， 补全学生成绩频数分布直方图如下： 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校成绩优秀的学生有1680人； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有12种， ∴抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为． 【点睛】本题考查概率与统计综合，涉及扇形统计图与条形统计图数据关联、补全条形统计图、用样本估计总体及列举法求概率等知识，熟记相关统计量及求法，熟练掌握列举法求概率是解决问题的关键． 23. 在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是，沿着山坡向上走75米到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是，已知斜坡的坡度（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）求大楼的高度．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：） 【答案】大楼的高度为92米 【解析】 【分析】过点B分别作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分别为E、F，通过解直角三角形表示出BF、AN、AE的长度，利用BF=NE进行求解即可． 【详解】 过点B分别作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分别为E、F， 四边形BENF为矩形， 设， 在中， 斜坡的坡度，即， 在中， 在中， 解得， 所以，大楼的高度为92米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，准确理解题意，能添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 24. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.2元/个，则月销售量将减少2个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为每个50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论． 【小问1详解】 解： 设该品牌头盔销售量月增长率为x， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价为y元， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔的实际售价应定为每个50元． 25. 如图，在正方形中，，，与对角线分别交于点，，与边，分别交于点，． （1）求证：； （2）如图，连接． （）判断的形状，并说明理由； （）求证：． 【答案】（1）见解析； （2）（）等腰直角三角形，理由见解析；（）见解析． 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得，再证明，即可证明结论成立； （2）（）证，得，再证明，得，进而得，，即可得解；（ii）延长到，使得，证，得，，再证明（），得，进而证明，利用相似三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 （）解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （）延长到，使得， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的性质是解题的关键． 26. 如图，抛物线经过点，，交y轴于点C，点P为y轴右侧抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线上方，是否存在点P使？若存在请求出点P的坐标；若不存在请说明理由； （3）将线段绕点B顺时针旋转得到线段，当点P运动到x轴下方，且的值最大时，求直线的解析式． 【答案】（1） （2）存在满足条件的点P，其坐标为或 （3）当点P运动到x轴下方，且的值最大时，直线的解析式为 【解析】 【分析】（1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）由题意可知先求得，，作轴于E，作轴于F，连接，设点P的横坐标为m（），则点P的纵坐标为，，，可得到，根据时，，求得，，分别讨论即可求得点P坐标； （3）当P，B，D三点不在同一直线上时，由“三角形两边的差小于第三边”可知；当P，B，D三点在同一直线上时，，所以当P，B，D三点在同一直线上时，的值最大，据此进行求解即可得． 【小问1详解】 解：∵经过点，， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：由题意可知，，， ∴，，， ∴， ， 作轴于E，作轴于F，连接， 设点P的横坐标为m， 则点P的纵坐标为，，， ∴ ， 当时，， 解得：，， 当时，，此时P点坐标为， 当时，，此时P点坐标为， 综上可知存在满足条件的点P，其坐标为或； 【小问3详解】 解：当P，B，D三点不在同一直线上时，由“三角形两边的差小于第三边”可知； 当P，B，D三点在同一直线上时，，所以当P，B，D三点在同一直线上时，的值最大． ∵，，，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，即， 如图，设直线与直线交于点M，过M作轴于点N， 由题意可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 由，两点可求得直线的解析式是， ∴当点P运动到x轴下方，且的值最大时，直线的解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法，三角形面积，解一元二次方程，勾股定理逆定理，三角函数等，综合性较强，准确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 华师数学九年级数学上期末检测 一．单选题（每题4分，共48分） 1. 下列各式中，化简正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程：①，②，③，④中，属于一元二次方程的是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和③ 3. 如图，已知与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比是，则（ ） A. B. C. D. 4. 在六张卡片上分别写有6，，3.1415，，0，六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，都是锐角，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（） A. B. C. D. 7. 某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图所示，在建筑物旁边有一高度为12米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（、在同一平面内，、在同一水平面上），则需测量的建筑物的高为（ ） A. 24米 B. 18米 C. 米 D. 米 8. 已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 9. 如图，点E为▱ABCD的AD边上一点，且AE∶ED＝1∶3，点F为AB的中点，EF交AC于点G，则AG∶GC等于(　　) A. 1∶2 B. 1∶5 C. 1∶4 D. 1∶3 10. 函数在同一直角坐标系内的图象大致是（　　） A. B. C. D. 11. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长为1，则阴影部分面积为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 12. 如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的顶点为．下列四个命题： ①当时，； ②若，则； ③抛物线上有两点和，若，且，则； ④点关于抛物线对称轴的对称点为，点分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中真命题的个数是（　　） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（每题4分，共24分） 13. 最简二次根式与是同类二次根式，则 _______． 14. 代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 _______． 15. 如图，在矩形中，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么______． 16. 设，是方程的两个实数根，则的值为______． 17. 如图，在边长为9正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为____． 18. 如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，若AB＝2，CD＝3，则EF＝_____． 三．解答题（共78分） 19. 计算： （1） （2）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）请在平面直角坐标系中画出关于轴对称的． （2）以点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，请在平面直角坐标系中画出． （3）①点坐标为 ．②求的面积． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）如果方程两实数根为，，且，求的值． 22. 为了激发学生对中国古诗词的学习兴趣，某校举行了古诗词比赛，比赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：，B组：．C组：，D组：，E组：，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： （1）本次调查一共随机抽取了 名学生成绩，并补全学生成绩频数直方图： （2）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？ （3）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加五一劳动节的文艺汇演，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 23. 在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是，沿着山坡向上走75米到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是，已知斜坡的坡度（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）求大楼的高度．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：） 24. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.2元/个，则月销售量将减少2个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 25. 如图，在正方形中，，，与对角线分别交于点，，与边，分别交于点，． （1）求证：； （2）如图，连接． （）判断的形状，并说明理由； （）求证：． 26. 如图，抛物线经过点，，交y轴于点C，点P为y轴右侧抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线上方，是否存在点P使？若存在请求出点P的坐标；若不存在请说明理由； （3）将线段绕点B顺时针旋转得到线段，当点P运动到x轴下方，且的值最大时，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$