精品解析：重庆市云阳县初二中教育集团2024—2025学年上学期12月定时作业九年级数学

云阳县初二中教育集团2024年秋季12月定时作业 数学试卷 命题人：余什登 审题人：胡毅 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一个正确答案） 1. 下列四个数中，最小数为（ ） A. 3 B. 0 C. D. 2. 下列交通标志是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线被直线所截，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知方程有两个不相等的实数根，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图中共有4个●，第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第⑥个图中●的个数为（ ） A. 34 B. 36 C. 40 D. 43 7. 估计的值应在（ ） A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间 8. 如图，是直径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点E，G分别在，边上，且，，连接、，平分，过点C作于点F，连接，若正方形的边长为4，则的长度是（　　） A. B. C. D. 10. 若一列数含有n个数，除第一个数和最后一个数外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“n级浪花数”．比如一列数为5，7，2，-5，满足，，所以5，7，2，-5为四级浪花数．根据定义给出下列四个结论： ①12，3，a为三级浪花数，则a的值为-9 ②若四级浪花数中第1个数为1，则这列数的积的最大值可能为 ③任意组100级浪花数，第36个数和第63个数一定互为相反数 ④2022级浪花数中的所有数之和为0 下列说法正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 11. ______． 12. 若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是_____边形． 13. 点关于原点对称的点的坐标为_____________． 14. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为_____． 15. 端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗，某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为____________． 16. 如图，是切线，切点为点H，连接分别与圆相交于点D、E，点C为圆上一点且，若的半径长为2，且，则的长为______． 17. 关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为______． 18. 对于四位数，若千位上的数字与百位上的数字的差的两倍等于十位上的数字与个位上的数字的差，则把叫做“双倍差数”，将“双倍差数”的个位数字去掉得到的数记为，将千位数字去掉得到的数记为，并规定，则______；若一个四位数（，，，，a，b，c，d均为整数）是“双倍差数”，且除以13余1，则满足条件的M的最大值为______． 三、解答题（本题共8小题，共78分．第19题8分，其余各题，每题10分） 19. 计算： （1） （2） 20. 2023年12月4日是我国第十个国家宪法日．某校组织全校学生参加了“沐浴宪法阳光，感受宪法力量”的网上知识竞赛．现从该校七八年级中各选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中A：，B：，C：，D：，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名同学在B组分数为：； 八年级20名同学在B组的分数为：． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 91 95 八年级 91 93 （1）填空：______；______，______，并把条形统计图补充完整； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“沐浴宪法阳光，感受宪法力量”的知识竞赛中，哪个年级的学生成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校七年级有800名学生，八年级有1000名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数共有多少？ 21. 青青是一个爱思考的好孩子．学了正方形后，她用尺规作图的方式从矩形里面作出了一个最大的正方形．她的操作思路是：在矩形的边上截取，使，再作的角平分线交于点，最后连接，则得到四边形为正方形． （1）用直尺和圆规根据青青的操作思路将图补充完整；（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹） （2）根据青青的操作思路将推理过程补充完整．（除题目给的字母外，不添加其它字母或符号）． 证明：四边形为矩形 ①______ 平分 ②______ 又 ③______ 又④______ 四边形为平行四边形 又 四边形为正方形． 22. 喜迎熊猫丫丫回国，重庆一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个．工作5天后还未加工完，于是增加了工人人数，增加工人后每天加工玩偶的个数比增加前多加工20个，又加工了两天才完成了任务． （1）求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； （2）由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶1000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数． 23. 如图，在矩形中，，动点以每秒3个单位长度的速度从出发，点以每秒4个单位长度的速度从出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动，设运动时间为秒，点的距离为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）写出点相距5个单位长度时，的值． 24. 如图，小开家所在居民楼，楼底C点的左侧30米处有一个山坡，坡角为，E点处有一个图书馆，山坡坡底到图书馆的距离为40米，在图书馆E点处测得小开家的窗户B点的仰角为，居民楼与山坡的剖面在同一平面内． （1）求高度；（结果精确到个位，参考数据：≈1．73） （2）某天，小开到家后发现有资料落在图书馆，此时离图书馆闭馆仅剩5分钟，若小开在平地的速度为6m/s，上坡速度为4m/s，电梯速度为1．25m/s，等候电梯及上、下乘客所耽误时间共3分钟，请问小开能否在闭馆前赶到图书馆？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线解析式： （2）点P为直线下方抛物线上一动点，作轴交于点E，轴交于点E，当的周长最大时，求点P的坐标和周长的最大值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新的抛物线，在新的抛物线上是否存在点H，使，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠AED＝90°，AB＝AC，EA＝ED． （1）如图1，当点A、C、D在同一直线上时，且AC＝CD＝2，连接CE、BE、BD，求线段BE的长； （2）如图2，当点A、C、D不在同一直线上时，连接CD、BD，F为CD的中点，连接EF，求证：EF＝BD； （3）在（2）的条件下，若AD＝6，M为AD边上一动点，如图3，连接EM，将△AEM沿EM所在直线翻折，点A的对应点为A'，H为AE边上一点，且HE＝2，连接A'H、A'D，请直接写出当3HA'+A'D取最小值时，△AEA'的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 云阳县初二中教育集团2024年秋季12月定时作业 数学试卷 命题人：余什登 审题人：胡毅 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一个正确答案） 1. 下列四个数中，最小的数为（ ） A. 3 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数大小比较法则．正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．根据实数的大小比较解答即可． 【详解】解：∵． ∴其中最小的数是． 故选：C． 2. 下列交通标志是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：选项B、C、D中的图形都不是中心对称图形， 选项A中的图形是中心对称图形， 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂除法、单项式乘以单项式等知识，利用运算法则逐项计算后即可得到答案． 【详解】解：A. ，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项正确，符合题意． 故选：D 4. 如图，直线，直线被直线所截，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”． 根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”和即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 已知方程有两个不相等的实数根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数，牢固掌握二次根式判别式是做出本题的关键． 先找出方程中对应公式中，，的值，直接代入判别式中解不等式即可． 【详解】解：，，， ， 得． 故选：A． 6. 下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图中共有4个●，第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第⑥个图中●的个数为（ ） A. 34 B. 36 C. 40 D. 43 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出图n中点的个数为．根据已知图形得出图n中点的个数为，据此可得． 【详解】解：因为图①中点的个数为， 图②中点的个数为， 图③中点的个数为， 图④中点的个数为， …… 图n中点的个数为， 所以图⑥中点的个数为， 故选：A． 7. 估计的值应在（ ） A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，先根据二次根式的运算法则求出，再根据无理数的估算方法得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，是直径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理．先求出，再根圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：∵是直径，， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，在正方形中，点E，G分别在，边上，且，，连接、，平分，过点C作于点F，连接，若正方形的边长为4，则的长度是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于H，利用已知条件证明，然后利用全等三角形的性质证明，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图：延长交于H， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 而， ∴， ∵，正方形的边长为4， ∴，，， 在中，， 在中，， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，也利用了正方形的性质，三角形中位线的性质，具有一定的综合性，解题关键是作出辅助线，利用全等三角形、正方形和三角形中位线的性质以及勾股定理求解． 10. 若一列数含有n个数，除第一个数和最后一个数外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“n级浪花数”．比如一列数为5，7，2，-5，满足，，所以5，7，2，-5为四级浪花数．根据定义给出下列四个结论： ①12，3，a为三级浪花数，则a的值为-9 ②若四级浪花数中第1个数为1，则这列数的积的最大值可能为 ③任意组100级浪花数，第36个数和第63个数一定互为相反数 ④2022级浪花数中的所有数之和为0 下列说法正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义：除第一个数和最后一个数外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“n级浪花数”，进行一一判断即可 【详解】解：①∵12，3，a为三级浪花数， ∴a+12=3， 解得：a=-9， 故①正确； ②设这四级浪花数分别为1，x+1，x，-1， 则其积为：， 当x=时，其积最大值为， 所以这列数的积的最大值不可能为， 故②错误； ③设任意组100级浪花数中第一个数x，第二个数为y， 由题意得这一列数依次为：x，y，y-x，-x，-y，x-y，x，y，y-x，-x，-y，x-y，…… 可以看出每六个数一次循环， 36÷6=6，所以第36个数为x-y， 63÷6=10余3，所以第63个数为y-x， 所以第36个数和第63个数一定互为相反数， 故③正确； ④2022级浪花数中第一个数为x，第二个数为y， 则一列数依次：x，y，y-x，-x，-y，x-y，x，y，y-x，-x，-y，x-y，……， 可以看出每六个数一次循环， 这六个数的和为：x+y+y-x-x-y+x-y=0，且2022÷6=337， 所以2022级浪花数中的所有数之和为0 由④正确； 故选：C 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，根据数的变化，找出该数列连续六个数相加等于零是解题的关键． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 11. ______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算．先化简绝对值和计算零指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解： 故答案为： 12. 若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是_____边形． 【答案】七 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式，列式求解即可． 【详解】设这个多边形是边形，根据题意得， ， 解得． 故答案为七． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键． 13. 点关于原点对称的点的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键． 直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为：． 故答案为：． 14. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解（能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解），把代入一元二次方程得到，然后利用代数式变形可得到代数式的值，最后整体代入即可．掌握一元二次方程解的定义是解题的关键，也考查了求代数式的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 故答案为：． 15. 端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗，某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由售价及销售间的关系，可得出降价后每袋粽子的销售利润为，每天可售出袋，利用超市每天售出此种粽子的利润每袋的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：每袋粽子的销售利润为，每天可售出袋， ∴超市每天售出此种粽子的利润． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16. 如图，是的切线，切点为点H，连接分别与圆相交于点D、E，点C为圆上一点且，若的半径长为2，且，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接、，根据切线的性质，得到，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半和三角形内角和定理，得到，，利用勾股定理求出，然后利用圆周角定理得到，从而得到，推出，即可求出的长． 【详解】解：连接、， 是的切线，切点为点H， ， ， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是圆和三角形的综合题，考查了切线的性质，30度角所对的直角边等于斜边一半，三角形内角和定理，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关性质是解题关键． 17. 关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式方程组，首先解得不等式方程组的解，根据题意找到a的范围，再解的分式方程的解，结合分式方程的解和a的范围求得a的可能值即可． 【详解】解： 由，解得， 由，解得， 则不等式方程组的解为，， ∵关于的不等式组有且仅有3个整数解， ∴，解得， 去分母得，， 去括号、移项得，， 系数化为1得，， ∵为分式方程的增根， ∴，解得， ∵关于的分式方程的解为整数， ∴当时，； 当时，，舍去； 当时，舍去； 当时，； 则所有满足条件的整数的值之和为． 故答案为：． 18. 对于四位数，若千位上的数字与百位上的数字的差的两倍等于十位上的数字与个位上的数字的差，则把叫做“双倍差数”，将“双倍差数”的个位数字去掉得到的数记为，将千位数字去掉得到的数记为，并规定，则______；若一个四位数（，，，，a，b，c，d均为整数）是“双倍差数”，且除以13余1，则满足条件的M的最大值为______． 【答案】 ①. 82 ②. 6939 【解析】 【分析】①根据题目所给“双倍差数”的定义，以及的运算法则，计算出的值即可；②将M化为，即可得出各个数位上的数字，再得出的表达式，根据“双倍差数”的定义，得出，根据 除以13余1，得出能被13整除，进而得出能被13整除，根据a和b的取值范围，得出a关于b表达式，进行分类讨论，当a取最大值时，M才取最大值，最后逐个求出各个字母即可． 【详解】解：①，， ∴， ∵该四位数为“双倍差数”， ∴，解得：， ∴； ② ∵，，，， ∴，，，， ∴M个位上的数字为，十位上的数字为，百位上的数字为，千位上是数字为， ∵，， ∴， ∵M是“双倍差数”， ∴，整理得：， ∴ ， ∵除以13余1， ∴能被13整除， 即能被13整除， ∵ ， ∴能被13整除， ∵，， ∴，，则 ∴， ∴， （1）当 时，， ∵，，且a、b为整数， ∴此情况不符合题意，舍去； （2）当 时，， ∵，，且a、b为整数， ∴， （3）当 时，， ∵，，且a、b为整数， ∴此情况不符合题意，舍去； （4）当 时，， ∵，，且a、b整数， ∴此情况不符合题意，舍去； （5）当 时，， ∵，，且a、b为整数， ∴此情况不符合题意，舍去； 综上：， ∵千位上数字为， ∴当时，M取最大值， 把代入，解得：， ∵， ∴，则， ∵， ∴当时，取最大值，则 综上：当M取最大值时，，，，， ∴满足条件的M的最大值为． 故答案为：82，6939． 【点睛】本题主要考查了新定义下是实数运算，解题的关键是正确理解题意，明确题目所给新定义的运算法则． 三、解答题（本题共8小题，共78分．第19题8分，其余各题，每题10分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算和分式的混合运算． （1）利用平方差公式和单项式乘以多项式的法则展开，合并同类项即可； （2）先计算括号内的加减法，再计算分式的除法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 20. 2023年12月4日是我国第十个国家宪法日．某校组织全校学生参加了“沐浴宪法阳光，感受宪法力量”的网上知识竞赛．现从该校七八年级中各选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中A：，B：，C：，D：，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名同学在B组的分数为：； 八年级20名同学在B组的分数为：． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 91 95 八年级 91 93 （1）填空：______；______，______，并把条形统计图补充完整； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“沐浴宪法阳光，感受宪法力量”的知识竞赛中，哪个年级的学生成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校七年级有800名学生，八年级有1000名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数共有多少？ 【答案】（1）92.5，94，60 （2）八年级的学生成绩更好，理由见解析 （3）1130 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可求出a、b的值，用优秀的人数除以总人数即可得m的值，用总人数减去其它组的人数求出A组的人数即可补全条形统计图； （2）根据中位数和优秀率进行判断即可； （3）用样本估计总体可得结果． 【小问1详解】 七年级学生竞赛成绩从小到大排列后， 处在中间位置的两个数的平均数为（分）， 因此中位数， 八年级学生竞赛成绩的94出现的次数最多，故众数， ，即， 七年级A组的人数为（人）， 补全条形统计图如下： 故答案为：92.5，94，60； 【小问2详解】 八年级的学生成绩更好，理由如下： 因为八年级学生的中位数和优秀率都高于七年级，所以八年级的学生成绩更好； 【小问3详解】 （人）， 答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数共有1130人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 21. 青青是一个爱思考的好孩子．学了正方形后，她用尺规作图的方式从矩形里面作出了一个最大的正方形．她的操作思路是：在矩形的边上截取，使，再作的角平分线交于点，最后连接，则得到四边形为正方形． （1）用直尺和圆规根据青青的操作思路将图补充完整；（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹） （2）根据青青的操作思路将推理过程补充完整．（除题目给的字母外，不添加其它字母或符号）． 证明：四边形为矩形 ①______ 平分 ②______ 又 ③______ 又④______ 四边形为平行四边形 又 四边形为正方形． 【答案】（1）作图见解析 （2）；；； 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）证明四边形是平行四边形，可得结论． 【小问1详解】 解：图形如图所示： 【小问2详解】 证明：∵四边形矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 又∵，， ∴四边形为正方形． 故答案为：；；；． 【点睛】本题考查作图—基本作图，矩形的性质，角平分线的定义，平行四边形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是掌握正方形的判定方法． 22. 喜迎熊猫丫丫回国，重庆一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个．工作5天后还未加工完，于是增加了工人人数，增加工人后每天加工玩偶的个数比增加前多加工20个，又加工了两天才完成了任务． （1）求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； （2）由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶1000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数． 【答案】（1）增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个 （2）乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为个 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程及一元一次方程是解此题的关键． （1）设甲车间增加前每天加工熊猫玩偶的个数为个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个，根据“工作5天后还未加工完，于是增加了工人人数，增加工人后每天加工玩偶的个数比增加前多加工20个，又加工了两天才完成了任务”，列出方程，解方程即可得到答案； （2）设乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个，根据“提前2天完成任务”，列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设甲车间增加前每天加工熊猫玩偶的个数为个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个， 由题意得：， 解得：， 个， 增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个； 【小问2详解】 解：设乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为个． 23. 如图，在矩形中，，动点以每秒3个单位长度的速度从出发，点以每秒4个单位长度的速度从出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动，设运动时间为秒，点的距离为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）写出点相距5个单位长度时，的值． 【答案】（1） （2）图象见解析，性质见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理求出，再求出点E到达点A时，点F也到达点C，则分当时，当时，两种情况求解即可； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象即可； （3）分当时，当时，两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴点E到达点A时，点F也到达点C， 当时，， ∴， 当时，； 综上所述， 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 由函数图象可知，该函数的最大值为10； 【小问3详解】 解：当时，则，解得； 当时，则，解得； ∴当或时，点相距5个单位长度． 【点睛】本题主要考查了画函数图象，从函数图象获取信息，求函数值，矩形的性质，勾股定理，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 24. 如图，小开家所在居民楼，楼底C点的左侧30米处有一个山坡，坡角为，E点处有一个图书馆，山坡坡底到图书馆的距离为40米，在图书馆E点处测得小开家的窗户B点的仰角为，居民楼与山坡的剖面在同一平面内． （1）求的高度；（结果精确到个位，参考数据：≈1．73） （2）某天，小开到家后发现有资料落在图书馆，此时离图书馆闭馆仅剩5分钟，若小开在平地的速度为6m/s，上坡速度为4m/s，电梯速度为1．25m/s，等候电梯及上、下乘客所耽误时间共3分钟，请问小开能否在闭馆前赶到图书馆？ 【答案】（1）的高度约为85米 （2）小开能在闭馆前赶到图书馆 【解析】 【分析】（1）如图，作于F，作，解直角三角形即可； （2）根据题意，列算式计算出小开到图书馆所用时间即可． 【小问1详解】 如图，作于F，作，交延长线于点G， 得矩形， ∴， 根据题意可知：米，，米，， ∴米， ∴（米）， ∴米， ∴米， ∴（米）， 答：BC的高度约为85米； 【小问2详解】 根据题意得：（秒）， ∵， ∴小开能在闭馆前赶到图书馆． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，通过添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式： （2）点P为直线下方抛物线上一动点，作轴交于点E，轴交于点E，当的周长最大时，求点P的坐标和周长的最大值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新的抛物线，在新的抛物线上是否存在点H，使，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，点H的坐标为或 【解析】 【分析】本题为二次函数的综合题，涉及一次函数的图象和性质、待定系数法、二次函数的平移等知识． （1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出点的坐标，进而可求出直线的表达式，由题意可得，推出，，则，求出的最大值即可求解； （3）求出新抛物线的表达式为：，分当点H在x轴上方时，延长交轴于点，当点H在下方时，过点B作直线，两种情况讨论，即可求出答案． 【小问1详解】 解：将、点代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 令，则， 点， 设直线的表达式为：， 将点，点，代入得： ， 解得：， 直线直线的表达式为：， ∵， ∴， ∵轴交于点E，轴交于点E， ∴， ，， ∴ 设点，则， 则， 即， ， 有最大值为2，此时点； 则的周长有最大值，最大值为； 【小问3详解】 存在，点H的坐标为或 将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向右平移个单位，向上平移个单位， 则新抛物线的表达式为：， 连接， 当点H在下方时，过点B作直线，则点即为直线与抛物线的交点， ∵， ∴， ∵， ∴， 设直线的表达式为：， 将点，点，代入得： ， 解得：， 直线的表达式为：， 设直线的解析式为， 把点代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得到， 解得或（舍去）， ∴点H的坐标为； 当点H在x轴上方时，延长交轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 联立得到， 解得或（舍去）， 此时两点重合， ∴点H的坐标为； 综上，点H的坐标为或． 26. 如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠AED＝90°，AB＝AC，EA＝ED． （1）如图1，当点A、C、D在同一直线上时，且AC＝CD＝2，连接CE、BE、BD，求线段BE的长； （2）如图2，当点A、C、D不在同一直线上时，连接CD、BD，F为CD的中点，连接EF，求证：EF＝BD； （3）在（2）的条件下，若AD＝6，M为AD边上一动点，如图3，连接EM，将△AEM沿EM所在直线翻折，点A的对应点为A'，H为AE边上一点，且HE＝2，连接A'H、A'D，请直接写出当3HA'+A'D取最小值时，△AEA'的面积． 【答案】（1）BE＝2；（2）见解析；（3）S△AEA′＝． 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长BC交DE于H．证明∠BHE＝90°，解直角三角形求出BH，EH即可解决问题． （2）延长DE到T，使得ET＝DE，连接AT，CT．证明△BAD≌△CAT（SAS），推出BD＝CT，再利用三角形中位线定理证明即可． （3）如图3中，如图，延长EA到R，使得ER＝18，连接A′R，DR．证明△A′EH∽△RHA′，推出，推出A′R＝3A′H，推出3A′H+A′D＝A′R+A′D，因为A′R+A′D≥DR，所以当R，A′，D共线时，3A′H+A′D的值最小（如图4），过点E作EW⊥DR于W，过点A′作A′Q⊥ER于Q．求出A′Q即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中，延长BC交DE于H． ∵∠BAC＝∠AED＝90°，AB＝AC，EA＝ED， ∴∠ACB＝∠EAD＝45°， ∴BH∥AE， ∵AC＝CD＝2，CH∥AE， ∴EH＝HD， ∵∠AED＝90°，AC＝CD， ∴EC⊥AD，EC＝CA＝CD＝2， ∴DECD＝4， ∴CH＝EH＝DH＝2，CH⊥DE， ∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°， ∴BCAB＝4， ∴BH＝BC+CH＝6， ∵∠BHE＝90°， ∴BE2． （2）延长DE到T，使得ET＝DE，连接AT，CT． ∵∠AED＝90°， ∴AE⊥DT， ∵ET＝DE， ∴AT＝AD， ∵AE＝ED＝ET， ∴∠DAT＝90°， ∵∠BAC＝∠DAT＝90°， ∴∠BAD＝∠CAT， ∵AB＝AC，AD＝AT， ∴△BAD≌△CAT（SAS）， ∴BD＝CT， ∵CF＝DF，DE＝DT， ∴EFCT， ∴EFBD． （3）如图3中，如图，延长EA到R，使得ER＝18，连接A′R，DR． ∵∠AED＝90°，EA＝ED，AD＝6， ∴EA＝ED＝6， ∵A，A′关于EM对称， ∴EA＝EA′＝6， ∵EH＝2，ER＝18， ∴EA′2＝EH•ER， ∵，∠A′EH＝∠RA′E， ∴△A′EH∽△RHA′， ∴， ∴A′R＝3A′H， ∴3A′H+A′D＝A′R+A′D， ∵∠DER＝9°，ED＝6，ER＝18， ∴DR6， ∵A′R+A′D≥DR， ∴当R，A′，D共线时，3A′H+A′D的值最小（如图4），过点E作EW⊥DR于W，过点A′作A′Q⊥ER于Q． ∵S△ERD•ER•DE•DR•EW， ∴EW， ∴DW， ∵EA′＝ED，EW⊥DR， ∴WA′＝DW， ∵S△ERD＝S△ERA′+S△EDA′， ∴6×1818×A′Q， ∴A′Q， ∴S△AEA′•AE•A′Q6． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$