精品解析：山西省长治市2024-2025学年九年级上学期12月期末考试数学试题

九年级期末适应性训练（数学） 时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列根式是二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式．熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如的式子是二次根式． 根据二次根式的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，，不是二次根式，是二次根式， ∴A、B、D不符合要求；C符合要求； 故选：C． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式的意义．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．先计算出，然后再判断实数根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 3. 如图，已知，且，则与的对应高线之比为（ ）． A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据推出，再利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴与的对应高线之比为， 故选：D． 4. 在中，，、、的对边分别为a、b、c，则（）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据题意画出图形，再根据解答即可． 【详解】解：如图所示：中，、、的对边分别为a、b、c， ； 故选：B． 5. 已知方程有一个根为1，则（ ）． A. 1 B. C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，即方程的解的定义，深刻理解根的定义是解题关键． 将代入方程即可得到关系式的值． 【详解】解：∵方程有一个根为1， ∴， 故选：C． 6. 一个不透明袋子中装有除颜色外均相同的5个小球，其中3个红球，2个黄球，小明一次从中摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A. 摸出3个黄球 B. 摸出3个红球 C. 摸出2个黄球，1个红球 D. 摸出2个红球，1个黄球 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，熟练掌握不可能事件是解题的关键．根据不可能事件的定义判断即可． 【详解】解：A．摸出3个黄球，为不可能事件，故本选项符合题意； B．摸出3个红球，为可能事件，故本选项不合题意； C．摸出2个黄球，1个红球，为可能事件，故本选项不合题意； D．摸出2个红球，1个黄球，为可能事件，故本选项不合题意； 故选：A． 7. 如图，一组平行线被直线a、b所截，交点分别为A、B、C、D、E、F，则（）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到，，，即可得到答案． 【详解】解：一组平行线被直线a、b所截，交点分别为A、B、C、D、E、F， ，，， 所以选项A，B，C不正确，选项D正确， 故选：D． 8. 一元二次方程的两根分别为、，若，则（）． A. 16 B. 19 C. 13 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确得到是解题的关键．先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，再由进行求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别为，， ， ， ， 故选：C． 9. 复印用纸中的纸对折后成为2张纸，纸对折后成为2张纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，则复印用纸的长宽之比为（ ）． A. B. C. 2∶1 D. 1∶2 【答案】A 【解析】 【分析】本题侧重考查相似图形的性质，掌握其性质是解决此题的关键．纸和纸相似，那么纸和纸的对应边成比例．设纸的宽为，长为，则的宽为，长为，再根据相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：设纸的宽为，长为，则的宽为，长为， 得到的两个矩形都和原来的矩形相似， ，即， ， 即纸的长与宽之比是． 故选：A． 10. 如图，在矩形中，点E在边上，连接，过点E作交的外角平分线于点F，若，，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 先证明，进而求得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点F作交于点G，如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 由勾股定理，得， 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解． 【详解】解：由二次根式在实数范围内有意义可得： ，解得：； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 12. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】若方程有实数根，则方程对应的根的判别式大于等于0，据此解答． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得； 故答案为：； 【点睛】本题考查的是根的判别式，关键是明白方程有实数根的条件． 13. 如图，在中，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是特殊角的三角函数值、直角三角形的性质等，此题比较简单，关键是设出，便于解决此题．先设，根据是边上的高，，得出，再根据，表示出的长，再在中，根据，即可求出的值，从而得出的长，再求出． 【详解】解：过点A作， 设， 在中， ，即， ， , 故答案为：． 14. 锐角中，，，，______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 先证得，利用勾股定理得，，即可求解． 【详解】解：过点A作交于点D， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，作，可得，推出，即可求解． 【详解】解：作交于点H，如图所示： 由题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程以及实数的混合运算． （1）先化简绝对值，求特殊三角形函数的函数值，计算0指数幂，负指数幂，然后去括号，最后再算加减法； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） （2） 或 ∴， 17. 如图，在中，点D是边上的一点，连接，请添加一个条件，使，并说明理由． 【答案】 解：添加（答案不唯一），理由： 又∵，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．利用相似三角形的判定可求解． 【详解】略 18. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛，各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．请认真阅读信息，回答下列问题： 整理数据：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图． 数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7.625 a 7 4.48 乙组 7.625 7 b 0.73 c （1）填空：______，______，______； （2）从优秀率的角度分析，我认为______组成绩较好． （3）若从该两组成绩优秀的学生中随机选两名学生去参加决赛，求恰好选中初赛成绩最高的2人的概率． 【答案】（1）7.5；7； （2）甲 （3） 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数、概率的计算，熟练掌握中位数、众数和概率的计算是解题的关键． （1）根据中位数，众数和优秀率的定义和计算公式计算即可； （2）比较优秀率解答即可； （3）根据概率的计算公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵甲组成绩从小到大排列为：3，7，7，7，8，9，10，10， ∴， ∵乙组成绩出现最多的是7分， ∴， 优秀率：， 故答案为：7.5；7；． 【小问2详解】 解：∵， ∴甲组成绩较好， 故答案为：甲． 【小问3详解】 解：甲组成绩优秀的有：9、10、10，乙组成绩优秀的有：9、9，共5名同学，所有可能如下： 则从该两组成绩优秀的学生中随机选两名学生去参加决赛，共有10种，恰好选中初赛成绩最高的2人有1种， ∴， ∴恰好选中初赛成绩最高的2人的概率为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】（1） 所作如图所示： （2）是，如图画出， M的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了作图位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）根据位似变换的性质找出对应点，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据平移变换的性质画出，再根据位似中心的性质求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：与是关于某一点M为位似中心的位似图形，如图，M的坐标为． 20. 阅读下列材料，并解决问题 自然界的设计密码 —黄金比例与叶序现象的完美体现 春黄菊的头状花序呈现出一种令人惊叹的数学规律：小花以螺旋状排列，从不同方向可以数出21条深蓝螺旋和13条浅蓝螺旋，这两个数字属于著名的斐波那契数列（1，1，2，3，5，8，13，21…）．斐波那契数列广泛存在于自然界中，其相邻两项的比值逐渐逼近黄金比例（约0.618）．这种比例是植物生长的关键优化机制，被称为叶序现象． 具体来说，植物在生长过程中以固定的黄金角逐渐生成新的小花或种子，这种角度能够最大化空间利用率，避免重叠并形成紧密且均匀的排列．通过这种机制，春黄菊的螺旋排列不仅展现了自然选择的智慧，还体现了数学的深刻美感． 问题（1）：黄金角是恰好把圆周分成的两条半径的夹角，请求出其中较小的黄金角为______（精确到）． 问题（2）：若斐波那契数列的无理数表达形式为，已知89是斐波那契数列中的某一项，请根据阅读材料内容，求出89的相邻两项． 【答案】（1）；（2）55和143 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的应用，解决本题的关键是熟练掌握黄金分割的概念． （1）根据黄金角是恰好把圆周分成的两条半径的夹角进行计算即可； （2）设89的前面一项为，89的后面一项为，根据斐波那契数列广泛存在于自然界中，其相邻两项的比值逐渐逼近黄金比例，进行计算即可求解． 【详解】解：（1）黄金角是恰好把圆周分成的两条半径的夹角， 其中较小的黄金角为， 故答案为：； （2）设89的前面一项为，89的后面一项为， 斐波那契数列广泛存在于自然界中，其相邻两项的比值逐渐逼近黄金比例， ， 89的相邻两项分别是55和143． 21. 研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米； 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，． 【答案】点A到地面的距离的长约为27米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 延长交于点，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：延长交于点， 由题意得，四边形为矩形， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 设米． ， ， ， 解得， （米）； 答：点到地面的距离的长约为27米． 22. 山西特产专卖店销售核桃，进价为元，按元出售，平均每天可售出，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克核桃的售价应为多少元？ （2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，该店应按原价的几折出售？ （3）每千克核桃降价多少元时，获利最大？并求出最大利润． 【答案】（1）54元或56元 （2）九折 （3）每千克核桃降价5元时，获利最大，最大利润为2250元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程． （1）设每千克核桃降价x元，利用“销售量每件利润2240”列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折； （3）确定W和y之间的关系，再利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设每千克核桃应降价x元， 根据题意，得 ， 解得，， ∴（元），（元）， 答：每千克核桃售价为54元或56元． 【小问2详解】 解：∵为尽可能让利于顾客， ∴每千克核桃应降价6元，售价为54元， ∴， 答：该店应按原价的九折出售． 【小问3详解】 解：设每千克核桃降价y元，利润为W元， 由题意得，， ∵， ∴当时，利润最大，， 答：每千克核桃降价5元时，获利最大，最大利润为2250元． 23. 已知：如图，在中，，，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为，设运动时间为t秒，解答下列问题： （1）当t为何值时，与相似？ （2）是否存在某一时刻t，使，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （3）是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当t为或时，与相似 （2）当时， （3）当或或时，为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求出，再分为当时及当时，两种情况求解即可； （2）作于点，首先证明，可表示出，由，可得，代入面积公式即可列出方程，从而得出答案； （3）分，，三种情形，分别画出图形，进行计算即可解决问题． 【小问1详解】 解：在中，由勾股定理得： ， 由题意得，， 当时， 有， 即， 解得：， 当时， 有， 即， 解得：， 当t为或时，与相似； 【小问2详解】 解：存在， 如图，作于点， ，， ， ， 即， 解得：， ， ， ， ∵ ， 解得：， 当时，； 【小问3详解】 解：存在，当时， ， ， 当时，作于点， ，， ， ， 即， ， ∵， ， ， 解得：； 当时， 作于点， ， ， ， 即， ， ∵，， ， ， 解得：， 当或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，图形的面积，解一元二次方程等知识，运用分类讨论思想分别画出图形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期末适应性训练（数学） 时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列根式是二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 如图，已知，且，则与的对应高线之比为（ ）． A. B. 3 C. D. 4. 在中，，、、的对边分别为a、b、c，则（）． A. B. C. D. 5. 已知方程有一个根为1，则（ ）． A. 1 B. C. 0 D. 2 6. 一个不透明袋子中装有除颜色外均相同的5个小球，其中3个红球，2个黄球，小明一次从中摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A. 摸出3个黄球 B. 摸出3个红球 C. 摸出2个黄球，1个红球 D. 摸出2个红球，1个黄球 7. 如图，一组平行线被直线a、b所截，交点分别为A、B、C、D、E、F，则（）． A. B. C. D. 8. 一元二次方程的两根分别为、，若，则（）． A. 16 B. 19 C. 13 D. 8 9. 复印用纸中的纸对折后成为2张纸，纸对折后成为2张纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，则复印用纸的长宽之比为（ ）． A. B. C. 2∶1 D. 1∶2 10. 如图，在矩形中，点E在边上，连接，过点E作交的外角平分线于点F，若，，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，满分15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____． 12. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 13. 如图，在中，，，，则______． 14. 锐角中，，，，______． 15. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算： （2）解方程： 17. 如图，在中，点D是边上的一点，连接，请添加一个条件，使，并说明理由． 18. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛，各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．请认真阅读信息，回答下列问题： 整理数据：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图． 数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7.625 a 7 4.48 乙组 7.625 7 b 0.73 c （1）填空：______，______，______； （2）从优秀率的角度分析，我认为______组成绩较好． （3）若从该两组成绩优秀的学生中随机选两名学生去参加决赛，求恰好选中初赛成绩最高的2人的概率． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 20. 阅读下列材料，并解决问题 自然界的设计密码 —黄金比例与叶序现象的完美体现 春黄菊的头状花序呈现出一种令人惊叹的数学规律：小花以螺旋状排列，从不同方向可以数出21条深蓝螺旋和13条浅蓝螺旋，这两个数字属于著名的斐波那契数列（1，1，2，3，5，8，13，21…）．斐波那契数列广泛存在于自然界中，其相邻两项的比值逐渐逼近黄金比例（约0.618）．这种比例是植物生长的关键优化机制，被称为叶序现象． 具体来说，植物在生长过程中以固定的黄金角逐渐生成新的小花或种子，这种角度能够最大化空间利用率，避免重叠并形成紧密且均匀的排列．通过这种机制，春黄菊的螺旋排列不仅展现了自然选择的智慧，还体现了数学的深刻美感． 问题（1）：黄金角是恰好把圆周分成的两条半径的夹角，请求出其中较小的黄金角为______（精确到）． 问题（2）：若斐波那契数列的无理数表达形式为，已知89是斐波那契数列中的某一项，请根据阅读材料内容，求出89的相邻两项． 21. 研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米； 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，． 22. 山西特产专卖店销售核桃，进价为元，按元出售，平均每天可售出，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克核桃的售价应为多少元？ （2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，该店应按原价的几折出售？ （3）每千克核桃降价多少元时，获利最大？并求出最大利润． 23. 已知：如图，在中，，，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为，设运动时间为t秒，解答下列问题： （1）当t为何值时，与相似？ （2）是否存在某一时刻t，使，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （3）是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $