期末复习（易错题60题29个考点）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（浙教版）

期末复习（易错题60题29个考点） 范围：九年级全册 一．二次函数的图象（共1小题） 1．函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B． C．D． 二．二次函数的性质（共1小题） 2．黄冈中学是百年名校，百年校庆上的焰火晚会令很多人记忆犹新．有一种焰火升高高度为h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种焰火在点燃升空后到最高处引爆，则从点火到引爆所需时间为　 　s； 三．二次函数图象与系数的关系（共3小题） 3．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤ 4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c＝0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是　 　．（填写正确结论的序号） 5．记函数y＝x2﹣6x﹣5a+3（﹣2≤x≤6）的图象为图形M，函数y＝﹣x+4的图象为图形N，若M与N没有公共点，则a的取值范围是　 　． 四．二次函数的最值（共1小题） 6．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（　　） A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5 五．抛物线与x轴的交点（共3小题） 7．将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（　　） A．﹣或﹣12 B．﹣或2 C．﹣12或2 D．﹣或﹣12 8．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4 9．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为（　　） A．﹣4，3 B．﹣5，2 C．﹣2，1 D．﹣3，2 六．二次函数与不等式（组）（共3小题） 10．如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m的解集为 　 　． 11．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），下列结论：①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥﹣6；③若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1，其中正确的是 　 　． 12．如图，一次函数y＝mx+n的图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相交于点A（﹣1，d），B（3，e），则mx+n＜ax2+bx+c解集是 　 　． 七．二次函数的应用（共6小题） 13．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 　 　m时，水柱落点距O点4m． 14．如图，曲线AB是顶点为B，与y轴交于点A的抛物线y＝﹣x2+4x+2的一部分，曲线BC是双曲线y＝的一部分，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线，点P（2018，m）与Q（2025，n）均在该波浪线上，则mn＝　 　． 15．某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m． （1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式； （2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本） （3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？ 16．如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和点A处，测得OA距离为6m，若以点O为原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面1m的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2的一部分，小静恰在点C（0，c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线C2：的一部分． （1）抛物线C1的最高点坐标为 　 　； （2）求a，c的值； （3）小林在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为 　 　． 17．某厂家生产一种新型电子产品，制造时每件的成本为40元，通过试销发现，销售量y（万件）与销售单价x（元）之间符合一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x的函数关系式； （2）物价部门规定：这种电子产品销售单价不得超过每件80元，那么，当销售单价x定为多少元时，厂家每月获得的利润（w）最大？最大利润是多少？ 18．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件30元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： x（元/件） 40 50 60 y（件） 10000 9500 9000 （1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）； （2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？ （3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于150元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（10≤m≤60），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请求出m的取值范围． 八．二次函数综合题（共6小题） 19．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标； （3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标． 20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE． （1）求二次函数的表达式； （2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 21．如图，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，点F的坐标为（0，），点M在抛物线上，点N在直线BC上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标． 22．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在该抛物线上且在第一象限． （1）求该抛物线的表达式； （2）将该抛物线向下平移m个单位，使得点C落在线段AB上的点D处，当AD＝3BD时，求m的值； （3）连接BC，当∠CBA＝2∠BAO时，求点C的坐标． 23．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），与y轴交于点C，已知OA＝1，OB＝4OA，连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P为BC下方抛物线上一动点，连接BP、CP，当S△BCP＝S△BOC时，求点P的坐标； （3）如图2，点N为线段OC上一点，求AN+CN的最小值． 24．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接AP，CP，设P点的横坐标为m，△ACP的面积为S，求S与m的函数关系式； （3）试探究：过点P作BC的平行线1，交线段AC于点D，在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 九．几何体的展开图（共1小题） 25．如图，已知BC是圆柱的底面直径，AB是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A、C嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB剪开，若展开图中，金属丝与底面周长围成的图形的面积是5πcm2，该圆柱的侧面积是　 　cm2． 一十．展开图折叠成几何体（共1小题） 26．已知图1的小正方形和图2中所有的小正方形都全等，将图1的小正方形安放在图2中的①、②、③、④的其中某一个位置，放置后所组成的图形是不能围成一个正方体的．那么安放的位置是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 一十一．专题：正方体相对两个面上的文字（共2小题） 27．如图，在一个正方形盒子的六面上写有“祝、母、校、更、美、丽”六个汉字，其中“祝”与“更”，“母”与“美”在相对的面上，则这个盒子的展开图（不考虑文字方向）不可能的是（　　） A． B． C． D． 28．如图1，将正方体骰子放置于水平桌面上（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4），在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按顺时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成2017次变换后，骰子朝上一面的点数是（　　） A．6 B．5 C．3 D．1 一十二．圆内接四边形的性质（共1小题） 29．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD＝（　　） A．128° B．100° C．64° D．32° 一十三．点与圆的位置关系（共1小题） 30．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣ 一十四．切线的性质（共4小题） 31．如图，P是抛物线y＝x2﹣4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y＝0相切时，点P的坐标为　 　． 32．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，PO与AB交于点C．若∠APB＝60°，OC＝1，则△PAB的周长为　 　． 33．已知点M（2.0），⊙M的半径为1，OA切⊙M于点A，点P为⊙M上的动点，当P的坐标为 　 　时，△POA是等腰三角形． 34．如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，作AD⊥CD，垂足为D． （1）若直线CD与⊙O相切于点C，求证：△ADC∽△ACB； （2）如果把直线CD向下平行移动，如图2，直线CD交⊙O于C、G两点，若题目中的其他条件不变，tan∠DAC＝，AB＝10，求圆心O到GB的距离OH的长． 一十五．切线的判定与性质（共2小题） 35．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，⊙A半径为3，且点A的坐标为（5，0），将⊙A沿x轴的负方向平移，使⊙A与y轴相切，则平移的距离为（　　） A．2 B．5 C．8 D．2或8 36．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点D，以AD为直径作⊙O，与AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接EN． （1）求证：EN是⊙O的切线； （2）若AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1．求线段EN与线段AE的长． 一十六．三角形的内切圆与内心（共1小题） 37．如图，把Rt△OAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），点P是Rt△OAB内切圆的圆心．将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，…，依此规律，第2020次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2020的坐标是 　 　． 一十七．扇形面积的计算（共1小题） 38．如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆于点D，以C为圆心，CD为半径画弧交AB于E点，若AB＝4，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 一十八．旋转的性质（共4小题） 39．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（　　） A．2 B．2 C．3 D． 40．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为　 　． 41．如图，长方形ABCD中AB＝2，BC＝4，正方形AEFG的边长为1．正方形AEFG绕点A旋转的过程中，线段CF的长的最小值为　 　． 42．阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 　 　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 一十九．平行线分线段成比例（共1小题） 43．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG＝2，GB＝1，BC＝5，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 二十．相似三角形的判定（共2小题） 44．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？ 45．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题： （1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2； （2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由． 二十一．相似三角形的判定与性质（共1小题） 46．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 二十二．锐角三角函数的定义（共1小题） 47．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是 　 　． 二十三．解直角三角形的应用（共3小题） 48．学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n＝称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底的物块C，但不在细管MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得BF＝12cm，DF＝16cm． （1）求入射角α的度数． （2）若BC＝7cm，求光线从空气射入水中的折射率n．（参考数据：，，） 49．图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱AB，CD和折叠杆“AE﹣EF”组成，其中AB＝CD＝1.2m，AB，CD之间的水平距离BD＝2.5m，AE＝1.5m．道闸工作时，折叠杆“AE﹣EF”可绕点A在一定范围内转动，张角为∠BAE（90°≤∠BAE≤150°），同时杆EF始终与地面BD保持平行．（参考数据：≈1.414，≈1.732） （1）当张角∠BAE为135°时，求杆EF与地面BD之间的距离（结果精确到0.01m）； （2）试通过计算判断宽度为1.8m，高度为2.45m的小型厢式货车能否正常通过此道闸？ 50．如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝40cm，CE：CD＝1：4，∠DCF＝45°，∠CDF＝37°． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）求滑竿DE的长度； （2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果精确到0.1）．参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，≈1.414． 二十四．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题） 51．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（　　） A．5cosα B． C．5sinα D． 二十五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共5小题） 52．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB． （结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732） 53．如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面30m的D处，操控者从A处观测无人机D的仰角为30°，无人机D测得教学楼BC顶端点C处的俯角为37°，又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离AB为60m，点A，B，C，D都在同一平面上． （1）求此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度（结果保留根号）； （2）求教学楼BC的高度（结果取整数）（参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）． 54．《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义． 如图2，为测量海岛上一座山峰AH的高度，直立两根高2米的标杆BC和DE，两杆间距BD相距6米，D、B、H三点共线．从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A、C、F三点共线，且仰角为45°；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A、E、G三点共线，且仰角为30°．（点F、G都在直线HB上） （1）求FG的长（结果保留根号）； （2）山峰高度AH的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：≈1.41，≈1.73） 55．我省某通信公司准备逐步在浮山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米． （1）求点D到水平地面CQ的距离． （2）求通讯塔AB的高度．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈） 56．小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点A、B处测出点D的仰角度数，可以求出信号塔DE的高．如图，AB的长为5米，高BC为3米．他在点A处测得点D的仰角为45°，在点B处测得点D的仰角为38.7°．A、B、C、D、E在同一平面内．设塔DE的高度为x米． （1）用含有x的式子表示线段CE的长：　 　米； （2）你认为小王同学能求出信号塔DE的高吗？若能，请求出信号塔DE的高；若不能，请说明理由．（参考数据：sin38.7°≈0.625，cos38.7°≈0.780，tan38.7°≈0.80，结果保留整数） 二十六．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题） 57．为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A．B点在A点的南偏东25°方向3km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°． （1）求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数； （2）求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）． 二十七．简单组合体的三视图（共1小题） 58．如图是一个空心圆柱体，其主视图是（　　） A． B． C． D． 二十八．由三视图判断几何体（共1小题） 59．用大小和形状完全相同的小正方体木块搭成一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，则搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为（　　） A．22个 B．19个 C．16个 D．13个 二十九．平行投影（共1小题） 60．春分时日，小明上午9：00出去，测量了自己的影长，出去一段时间后回来时，发现这时的影长和上午出去时的影长一样长，则小明出去的时间大约为　 　小时． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习（易错题60题29个考点） 范围：九年级全册 一．二次函数的图象（共1小题） 1．函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：解法一：由解析式y＝﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x＝0； A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误； B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确； C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误； D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误． 解法二： ①k＞0，双曲线在一、三象限，﹣k＜0，抛物线开口向下，顶点在y轴正半轴上，选项B符合题意； ②K＜0时，双曲线在二、四象限，﹣k＞0，抛物线开口向上，顶点在y轴负半轴上，选项B符合题意； 故选：B． 二．二次函数的性质（共1小题） 2．黄冈中学是百年名校，百年校庆上的焰火晚会令很多人记忆犹新．有一种焰火升高高度为h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种焰火在点燃升空后到最高处引爆，则从点火到引爆所需时间为　4　s； 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意得焰火引爆处为抛物线的顶点处，顶点处的横坐标即代表从点火到引爆所需时间， 则t＝﹣20×＝4s， 故答案为4s． 三．二次函数图象与系数的关系（共3小题） 3．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（　　） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【答案】B 【解答】解：①∵对称轴在y轴的右侧， ∴ab＜0， 由图象可知：c＞0， ∴abc＜0， 故①不正确； ②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∴b﹣a＞c， 故②正确； ③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0， 故③正确； ④∵x＝﹣＝1， ∴b＝﹣2a， ∵a﹣b+c＜0， ∴a+2a+c＜0， 3a＜﹣c， 故④不正确； ⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c， 而当x＝m时，y＝am2+bm+c， 所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1）， 故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b）， 故⑤正确． 故②③⑤正确． 故选：B． 4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c＝0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是　①③⑤　．（填写正确结论的序号） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0， 根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0， 根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0， ∴abc＞0，故①正确； 直线x＝﹣1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣＝﹣1，可得b＝2a， a﹣2b+4c＝a﹣4a+4c＝﹣3a+4c， ∵a＜0， ∴﹣3a＞0， ∴﹣3a+4c＞0， 即a﹣2b+4c＞0，故②错误； ∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．且过点（，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（，0）， 当x＝﹣时，y＝0，即， 整理得：25a﹣10b+4c＝0，故③正确； ∵b＝2a， ∴25a﹣20a+4c＝0， ∴5a+4c＝0，即c＝﹣a； ∵b＝2a，a+b+c＜0， ∴， 即3b+2c＜0，故④错误； 由二次函数的性质可知，当x＝﹣1时，y取最大值， ∴对任意﹣m的值，满足a﹣b+c≥am2﹣bm+c， 整理得，a﹣b≥m（am﹣b）； 故⑤正确； 故答案为：①③⑤． 5．记函数y＝x2﹣6x﹣5a+3（﹣2≤x≤6）的图象为图形M，函数y＝﹣x+4的图象为图形N，若M与N没有公共点，则a的取值范围是　或　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵函数y＝x2﹣6x﹣5a+3（﹣2≤x≤6）的图象为图形M， 函数y＝﹣x+4的图象为图形N，若M与N没有公共点， ∴①Δ＜0， ∴x2﹣6x﹣5a+3＝﹣x+4 ∴x2﹣5x﹣5a﹣1＝0 △＝25+20a+4＝20a+29 ∴20a+29＜0解得a＜﹣； ②当x＝﹣2时，代入函数y＝﹣x+4，得y＝6， 代入函数y＝x2﹣6x﹣5a+3，得y＝﹣5a+19， 当﹣2≤x≤6时，﹣5a+19＜6，解得a＞； ③当x＝6时，代入函数y＝﹣x+4，得y＝﹣2， 代入函数y＝x2﹣6x﹣5a+3，得y＝﹣5a+3， 当﹣2≤x≤6时，﹣5a+3＜﹣2，解得a＞1． 所以综上a＞． 则a的取值范围是a＞或a＜﹣． 故答案为：a＞或a＜﹣． 四．二次函数的最值（共1小题） 6．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（　　） A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5 【答案】B 【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4， 对称轴是：x＝﹣1 ∵a＝1＞0， ∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小， 由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5， x＝﹣1时y有最小值，是﹣4， 故选：B． 五．抛物线与x轴的交点（共3小题） 7．将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（　　） A．﹣或﹣12 B．﹣或2 C．﹣12或2 D．﹣或﹣12 【答案】A 【解答】解：如图所示，过点B的直线y＝2x+b与新图象有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时与新图象也有三个公共点， 令y＝x2﹣5x﹣6＝0，解得：x＝﹣1或6，即点B坐标（6，0）， 将一次函数与二次函数表达式联立得：x2﹣5x﹣6＝2x+b，整理得：x2﹣7x﹣6﹣b＝0， Δ＝49﹣4（﹣6﹣b）＝0，解得：b＝﹣， 当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y＝2x+b得：0＝12+b，解得：b＝﹣12， 综上，直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为﹣12或﹣； 故选：A． 8．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4 【答案】D 【解答】解：当k＝3时，函数y＝2x+1是一次函数，它的图象与x轴有一个交点； 当k≠3，函数y＝（k﹣3）x2+2x+1是二次函数， 当22﹣4（k﹣3）≥0， k≤4 即k≤4时，函数的图象与x轴有交点． 综上k的取值范围是k≤4． 故选：D． 9．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为（　　） A．﹣4，3 B．﹣5，2 C．﹣2，1 D．﹣3，2 【答案】C 【解答】解：把B（1，1）代入y＝ax2， 得a＝1， 把A（﹣2，4），B（1，1）代入y＝bx+c， 得， 解得：， 关于x的方程化为x2+x﹣2＝0， （x+2）（x﹣1）＝0， x1＝﹣2，x2＝1， 故选：C． 六．二次函数与不等式（组）（共3小题） 10．如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m的解集为 　x＜1或x＞3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2）， ∴根据图象可知，不等式x2+bx+c＞x+m 的解集为x＜1或x＞3； 故答案为：x＜1或x＞3． 11．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），下列结论：①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥﹣6；③若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1，其中正确的是 　①②④　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点，只是左边那个没画出来而已， 从而由二次函数与一元二次方程的关系可知，Δ＝b2﹣4ac＞0，从而b2＞4ac，故①正确； 已知该抛物线是开口向上，顶点为（﹣3，﹣6），故ax2+bx+c≥﹣6正确，从而②正确； 由抛物线的对称轴为x＝﹣3，点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则点（﹣2，m）离对称轴的距离为1，而点（5，n）离抛物线的距离为2，开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，从而m＜n，故③错误； 由图象可知，x＝﹣1为关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的一个根，由二次函数的对称性，可知﹣5为另一个根，从而④正确；、 综上，正确的是①②④． 故答案为：①②④． 12．如图，一次函数y＝mx+n的图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相交于点A（﹣1，d），B（3，e），则mx+n＜ax2+bx+c解集是 　﹣1＜x＜3　． 【答案】﹣1＜x＜3． 【解答】解：mx+n＜ax2+bx+c体现在图象上就是一次函数y＝mx+n的图象在二次函数y＝ax2+bx+c的图象的下方． 由图知，图象在点A，B之间， ∴﹣1＜x＜3． 故答案为：﹣1＜x＜3． 七．二次函数的应用（共6小题） 13．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 　8　m时，水柱落点距O点4m． 【答案】8． 【解答】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5， 将（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5＝0， 整理得2.5a+b+1＝0①； 喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4； 将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②， 联立可求出a＝﹣，b＝， 设喷头高为h时，水柱落点距O点4m， ∴此时的解析式为y＝﹣x2+x+h， 将（4，0）代入可得﹣×42+×4+h＝0， 解得h＝8． 故答案为：8． 14．如图，曲线AB是顶点为B，与y轴交于点A的抛物线y＝﹣x2+4x+2的一部分，曲线BC是双曲线y＝的一部分，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线，点P（2018，m）与Q（2025，n）均在该波浪线上，则mn＝　24　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由图可得，A，C之间的水平距离为6， 2018÷6＝336…2， 由抛物线y＝﹣x2+4x+2可得，顶点B（2，6），即A，B之间的水平距离为2， ∴点P'、点B离x轴的距离相同，都为6，即点P的纵坐标m＝6， 由抛物线解析式可得AO＝2，即点C的纵坐标为2， ∴C（6，2）， ∴k＝2×6＝12， ∴双曲线解析式为y＝， 2025﹣2018＝7，故点Q与点P的水平距离为7， ∵点P'、Q“之间的水平距离＝（2+7）﹣（2+6）＝1， ∴点Q“的横坐标＝2+1＝3， ∴在y＝中，令x＝3，则y＝4， ∴点Q“、点Q'离x轴的距离相同，都为4，即点Q的纵坐标n＝4， ∴mn＝6×4＝24， 故答案为：24． 15．某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m． （1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式； （2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本） （3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m． ∴OH＝AB＝3， ∴EO＝EH﹣OH＝4﹣3＝1， ∴E（0，1），D（2，0）， ∴该抛物线的函数表达式为：y＝kx2+1， 把点D（2，0）代入，得k＝﹣， ∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+1； （2）∵GM＝2， ∴OM＝OG＝1， ∴当x＝1时，y＝， ∴N（1，）， ∴MN＝， ∴S矩形MNFG＝MN•GM＝×2＝， ∴每个B型活动板房的成本是： 425+×50＝500（元）． 答：每个B型活动板房的成本是500元； （3）根据题意，得 w＝（n﹣500）[100+] ＝﹣2（n﹣600）2+20000， ∵每月最多能生产160个B型活动板房， ∴100+≤160， 解得n≥620， ∵﹣2＜0， ∴n≥620时，w随n的增大而减小， ∴当n＝620时，w有最大值为19200元． 答：公司将销售单价n（元）定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大，最大利润是19200元． 16．如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和点A处，测得OA距离为6m，若以点O为原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面1m的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2的一部分，小静恰在点C（0，c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线C2：的一部分． （1）抛物线C1的最高点坐标为 　（3，2）　； （2）求a，c的值； （3）小林在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为 　4或5　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意，∵抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2， ∴抛物线 C1 的最高点坐标为的（3，2）． 故答案为：（3，2）． （2）由题得，B（6，1）． 将B（6，1）代入抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2， ∴． ∴抛物线C1：y＝﹣（x﹣3）2+2． ∴当x＝0时，y＝c＝1． （3）∵小林在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包， ∴此时，点B的坐标范围是（5，1）～（7，1）， 当经过（5，1）时，1＝﹣×25+×5+1+1， 解得：n＝． 当经过（7，1）时，1＝﹣×49+×7+1+1， 解得：n＝， ∴≤n≤， ∵n为整数， ∴符合条件的n的整数值为4和5． 故答案为：4或5． 17．某厂家生产一种新型电子产品，制造时每件的成本为40元，通过试销发现，销售量y（万件）与销售单价x（元）之间符合一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x的函数关系式； （2）物价部门规定：这种电子产品销售单价不得超过每件80元，那么，当销售单价x定为多少元时，厂家每月获得的利润（w）最大？最大利润是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， ∵函数图象经过点（40，200）和点（60，160）， ∴，解得：， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+280． （2）由题意得：w＝（x﹣40）（﹣2x+280）＝﹣2x2+360x﹣11200＝﹣2（x﹣90）2+5000． ∵试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，且电子产品的成本为每千克40元， ∴自变量x的取值范围是40≤x≤80． ∵﹣2＜0， ∴当x＜90时，w随x的增大而增大， ∴x＝80时，w有最大值，其最大值为4800， 答：当销售单价x定为80元时，厂家每月获得的利润（w）最大，最大利润是4800万元． 18．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件30元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： x（元/件） 40 50 60 y（件） 10000 9500 9000 （1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）； （2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？ （3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于150元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（10≤m≤60），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请求出m的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0）， 把x＝40，y＝10000和x＝50，y＝9500代入得， ， 解得，， ∴y＝﹣50x+12000； （2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得， ， 解得，30≤x≤120， 设利润为w元，根据题意得， w＝（x﹣30）y ＝（x﹣30）（﹣50x+12000） ＝﹣50x2+13500x﹣360000 ＝﹣50（x﹣135）2+551250， ∵﹣50＜0， ∴当x＜135时，w随x的增大而增大， ∵30≤x≤120，且x为正整数， ∴当x＝120时，w取最大值为：﹣50×（120﹣135）2+551250＝540000， 答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为540000元，售价为120元； （3）根据题意得，w＝（x﹣30﹣m）（﹣50x+12000） ＝﹣50x2+（13500+50m）x﹣360000﹣12000m， ∴对称轴为直线x＝135+0.5m， ∵﹣50＜0， ∴当x＜135+0.5m时，w随x的增大而增大， ∵该商场这种商品售价不大于150元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大． 对称轴x＝135+0.5m，m大于等于10，则对称轴大于等于149，由于x取整数， 实际上x是二次函数的离散整数点，x取30，31，...149时利润一直增大， 只需保证x＝150时利润大于x＝149时即可满足要求，所以对称轴要大于149就可以了， ∴135+0.5m＞149.5，解得m＞29， ∵29＜m≤60， ∴29＜m≤60． 八．二次函数综合题（共6小题） 19．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标； （3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3）， ∴， 解得， 故抛物线的函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）令x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， 则点C的坐标为（3，0）， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴点E坐标为（1，﹣4）， 设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F， ∵DC2＝OD2+OC2＝m2+32，DE2＝DF2+EF2＝（m+4）2+12， ∵DC＝DE， ∴m2+9＝m2+8m+16+1， 解得m＝﹣1， ∴点D的坐标为（0，﹣1）； （3）∵点C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4）， ∴CO＝DF＝3，DO＝EF＝1， 根据勾股定理，CD＝＝＝， 在△COD和△DFE中， ∵， ∴△COD≌△DFE（SAS）， ∴∠EDF＝∠DCO， 又∵∠DCO+∠CDO＝90°， ∴∠EDF+∠CDO＝90°， ∴∠CDE＝180°﹣90°＝90°， ∴CD⊥DE， ①分OC与CD是对应边时， ∵△DOC∽△PDC， ∴＝， 即＝， 解得DP＝， 过点P作PG⊥y轴于点G， 则＝＝， 即＝＝， 解得DG＝1，PG＝， 当点P在点D的左边时，OG＝DG﹣DO＝1﹣1＝0， 所以点P（﹣，0）， 当点P在点D的右边时，OG＝DO+DG＝1+1＝2， 所以，点P（，﹣2）； ②OC与DP是对应边时， ∵△DOC∽△CDP， ∴＝， 即＝， 解得DP＝3， 过点P作PG⊥y轴于点G， 则＝＝， 即＝＝， 解得DG＝9，PG＝3， 当点P在点D的左边时，OG＝DG﹣OD＝9﹣1＝8， 所以，点P的坐标是（﹣3，8）， 当点P在点D的右边时，OG＝OD+DG＝1+9＝10， 所以，点P的坐标是（3，﹣10）， 综上所述，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为（﹣，0）、（，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）． 20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE． （1）求二次函数的表达式； （2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6）， ∴， 解得， 所以二次函数的解析式为：y＝， （2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y＝， 过点D作DG⊥x轴于G，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图 设D（m，），则点F（m，）， ∴DF＝﹣（）＝， ∴S△ADE＝S△ADF+S△EDF＝×DF×AG+DF×EH ＝×DF×（AG+EH） ＝×4×DF ＝2×（） ＝， ∴当m＝时，△ADE的面积取得最大值为． （3）y＝的对称轴为x＝﹣1， 设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0）， 可求PA2＝9+n2，PE2＝1+（n+2）2，AE2＝16+4＝20， 当PA2＝PE2时，9+n2＝1+（n+2）2， 解得，n＝1，此时P（﹣1，1）； 当PA2＝AE2时，9+n2＝20， 解得，n＝，此时点P坐标为（﹣1，）； 当PE2＝AE2时，1+（n+2）2＝20， 解得，n＝﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）． 综上所述， P点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）． 21．如图，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，点F的坐标为（0，），点M在抛物线上，点N在直线BC上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0），C（0，3）， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解法一：作点B关于y轴的对称点B'，作射线B'C交抛物线于点D， ∵B的坐标为（4，0）， ∴B'（﹣4，0）， ∴直线B'C的解析式为：y＝x+3， 则﹣x2+x+3＝x+3， 解得：x1＝0（舍），x2＝2， ∴D（2，）； 如图1，过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，则∠ECB＝∠ABC， 过点D作DH⊥CE于点H，则∠DHC＝90°， ∵∠DCB＝∠DCH+∠ECB＝2∠ABC， ∴∠DCH＝∠ABC， ∵∠DHC＝∠COB＝90°， ∴△DCH∽△CBO， ∴， 设点D的横坐标为t，则， ∵C（0，3）， ∴， ∵点B是y＝﹣+x+3与x轴的交点， ∴， 解得x1＝4，x2＝﹣1， ∴B的坐标为（4，0）， ∴OB＝4， ∴， 解得t1＝0（舍去），t2＝2， ∴点D的纵坐标为：， 则点D坐标为； （3）设直线BC的解析式为：y＝kx+b， 则，解得：， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3， 设N（m，﹣m+3）， 分两种情况： ①如图2﹣1和图2﹣2，以DF为边，DN为对角线，N在x轴的上方时，四边形DFNM是平行四边形， ∵D（2，），F（0，）， ∴M（m+2，﹣m+4）， 代入抛物线的解析式得：﹣＝﹣m+4， 解得：m＝， ∴N（，3﹣）或（﹣，3+）； ②如图3﹣1和3﹣2，以DF为边，DM为对角线，四边形DFMN是平行四边形， 同理得：M（m﹣2，﹣m+2）， 代入抛物线的解析式得：﹣＝﹣m+2， 解得：m＝4， ∴N（4+，﹣）或（4﹣，）； ③以DF为对角线时，设中点P的坐标为（1，4）， 设M（t，﹣t2+t+3），N（n，﹣n+3）， ∴， 此方程组无解，所以此种情况不成立； 综上，点N的坐标分别为：（，3﹣）或（﹣，3+）或（4+，﹣）或（4﹣，）． 22．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在该抛物线上且在第一象限． （1）求该抛物线的表达式； （2）将该抛物线向下平移m个单位，使得点C落在线段AB上的点D处，当AD＝3BD时，求m的值； （3）连接BC，当∠CBA＝2∠BAO时，求点C的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2； （2）m＝； （3）C（2，3）． 【解答】解：（1）把点A（4，0）和点B（0，2）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2； （2）如图1，过点D作DG⊥x轴于G， ∴DG∥OB， ∴△ADG∽△ABO， ∴， ∵AD＝3BD， ∴AG＝3OG， ∵A（4，0），B（0，2）， ∴OA＝4，OB＝2， ∴OG＝1，DG＝， ∵D（1，）， 由平移得：点C的横坐标为1， 当x＝1时，y＝﹣×1+×1+2＝3， ∴m＝3﹣＝； （3）∵∠CBA＝2∠BAO，点C在该抛物线上且在第一象限， ∴点C在AB的上方， 如图2，过A作AF⊥x轴于A，交BC的延长线于点F，过B作BE⊥AF于点E， ∴BE∥OA， ∴∠BAO＝∠ABE， ∵∠CBA＝2∠BAO＝∠ABE+∠EBF， ∴∠FBE＝∠ABE， ∵∠BEF＝∠AEB＝90°， ∴∠F＝∠BAF， ∴AB＝BF， ∴AE＝EF＝OB＝2， ∴F（4，4）， 设BF的解析式为：y＝kx+n， 则， 解得：， ∴BF的解析式为：y＝x+2， ∴， 解得或， ∴C（2，3）． 23．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），与y轴交于点C，已知OA＝1，OB＝4OA，连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P为BC下方抛物线上一动点，连接BP、CP，当S△BCP＝S△BOC时，求点P的坐标； （3）如图2，点N为线段OC上一点，求AN+CN的最小值． 【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4； （2）P（2，﹣6）； （3）． 【解答】解：（1）∵OA＝1，OB＝4OA， ∴OB＝4， ∴A（﹣1，0），B（4，0）， 将A，B坐标代入抛物线解析式得，， 解得， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4； （2）过点P作y轴的平行线，交BC于点Q， 设点P的横坐标为t，则P（t，t2﹣3t﹣4）， 由（1）知抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4， 令x＝0，则y＝﹣4， ∴C（0，﹣4）， ∴OB＝OC＝4， ∴S△BOC＝×4×4＝8． 设直线BC的解析式为y＝mx+n， 则，解得， ∴直线MN的解析式为y＝x﹣4， ∴Q（t，t﹣4）， ∴QP＝t﹣4﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t， ∴S△BCP＝S△BPQ+S△QCP＝PQ•（xB﹣xQ）+PQ•（xQ﹣xC）＝PQ•（xB﹣xC）＝•（﹣t2+4t）×（4﹣0）＝﹣2t2+8t， ∵S△BCP＝S△BOC， ∴﹣2t2+8t＝8， 解得t＝2； 此时y＝22﹣3×2﹣4＝﹣6， ∴P（2，﹣6）； （3）如图，过点N作NM⊥BC于点M， ∴∠CMN＝90°， 由（2）知，OB＝OC＝4， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∴△CNM是等腰直角三角形， ∴NM＝CN， ∴AN+CN＝AN+NM， 则当A，N，M三点共线时，即AM⊥BC时，取到最小值，如图，过点A作AM′⊥BC于点M′， 则△AM′B是等腰直角三角形， ∴AM′＝AB＝． ∴AN+CN的最小值为：． 24．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接AP，CP，设P点的横坐标为m，△ACP的面积为S，求S与m的函数关系式； （3）试探究：过点P作BC的平行线1，交线段AC于点D，在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2+2x﹣3； （2）S＝﹣m2﹣m（﹣3＜m＜0）； （3）点E的坐标为（﹣+1，）或（﹣3，﹣4）． 【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c得：， 解得：， ∴y＝x2+2x﹣3； （2）如图1，过点P作PM∥y轴交直线AC于点M， ∵A（﹣3，0），C（0，﹣3）， 设直线AC的解析式为：y＝kx+n， ∴， ∴， ∴AC的解析式为：y＝﹣x﹣3， ∵P点的横坐标为m， ∴P的坐标是（m，m2+2m﹣3），则M的坐标是（m，﹣m﹣3）， ∴PM＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m， ∵点P是直线AC下方抛物线上的一个动点， ∴﹣3＜m＜0， ∴S＝•PM•OA＝（﹣m2﹣3m）＝﹣m2﹣m（﹣3＜m＜0）； （3）分两种情况： ①如图2，四边形CDEB是菱形， 设D（t，﹣t﹣3），则E（t+1，﹣t）， ∵四边形CDEB是菱形， ∴CD＝BC， ∴（t﹣0）2+（﹣t﹣3+3）2＝12+32， ∴t＝±， ∵t＜0， ∴t＝﹣， ∴E（﹣+1，）； ②如图3，四边形CBDE是菱形， 设D（t，﹣t﹣3），则E（t﹣1，﹣t﹣6）， ∵四边形CBDE是菱形， ∴CE＝BC， ∴（t﹣1﹣0）2+（﹣t﹣6+3）2＝12+32， ∴t＝0（舍）或﹣2， ∴E（﹣3，﹣4）； 综上所述，点E的坐标为（﹣+1，）或（﹣3，﹣4）． 九．几何体的展开图（共1小题） 25．如图，已知BC是圆柱的底面直径，AB是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A、C嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB剪开，若展开图中，金属丝与底面周长围成的图形的面积是5πcm2，该圆柱的侧面积是　10π　cm2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，AC＝A'C，且点C为BB'的中点， ∵AA'∥BB'，四边形ABB'A'是矩形， ∴S△AA'C＝S长方形ABB'A'， 又∵展开图中，S△AA'C＝5πcm2， ∴圆柱的侧面积是10πcm2． 故答案为：10π． 一十．展开图折叠成几何体（共1小题） 26．已知图1的小正方形和图2中所有的小正方形都全等，将图1的小正方形安放在图2中的①、②、③、④的其中某一个位置，放置后所组成的图形是不能围成一个正方体的．那么安放的位置是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【解答】解：将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体． 故选：A． 一十一．专题：正方体相对两个面上的文字（共2小题） 27．如图，在一个正方形盒子的六面上写有“祝、母、校、更、美、丽”六个汉字，其中“祝”与“更”，“母”与“美”在相对的面上，则这个盒子的展开图（不考虑文字方向）不可能的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由图可得，“祝”与“更”，“母”与“美”在相对的面上，则这个盒子的展开图可能是A，B，C选项， 而D选项中，“更”与“祝”的位置互换后则符合题意． 故选：D． 28．如图1，将正方体骰子放置于水平桌面上（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4），在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按顺时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成2017次变换后，骰子朝上一面的点数是（　　） A．6 B．5 C．3 D．1 【答案】B 【解答】解：根据题意可知，连续3次变换是一循环． 2017÷3＝672…1． 所以得到第1次变换后的图形，即按上述规则连续完成2017次变换后，骰子朝上一面的点数是5． 故选：B． 一十二．圆内接四边形的性质（共1小题） 29．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD＝（　　） A．128° B．100° C．64° D．32° 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A＝∠DCE＝64°， ∴∠BOD＝2∠A＝128°． 故选：A． 一十三．点与圆的位置关系（共1小题） 30．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣ 【答案】B 【解答】解：如图， ∵点C为坐标平面内一点，BC＝1， ∴C在⊙B上，且半径为1， 取OD＝OA＝2，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM＝CD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°， ∴BD＝2， ∴CD＝2+1， ∴OM＝CD＝，即OM的最大值为+； 故选：B． 一十四．切线的性质（共4小题） 31．如图，P是抛物线y＝x2﹣4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y＝0相切时，点P的坐标为　（2+，1）或（2﹣，1）或（2，﹣1）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当y＝1时，x2﹣4x+3＝1， 解得：x＝2±， ∴P（2+，1）或（2﹣，1）， 当y＝﹣1时，x2﹣4x+3＝﹣1， 解得：x1＝x2＝2， ∴P（2，﹣1）， 则点P的坐标为：（2+，1）或（2﹣，1）或（2，﹣1）． 32．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，PO与AB交于点C．若∠APB＝60°，OC＝1，则△PAB的周长为　6　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵PA、PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA＝PB， ∵∠APB＝60°， ∴△PAB是等边三角形，AB＝2AC，PO⊥AB， ∴∠PAB＝60°， ∴∠OAC＝∠PAO﹣∠PAB＝90°﹣60°＝30°， ∴AO＝2OC， ∵OC＝1， ∴AO＝2， ∴AC＝， ∴AB＝2AC＝2， ∴△PAB的周长＝6． 故答案为：6． 33．已知点M（2.0），⊙M的半径为1，OA切⊙M于点A，点P为⊙M上的动点，当P的坐标为 　（1，0），（3，0）（，）　时，△POA是等腰三角形． 【答案】（1，0），（3，0），（，）． 【解答】解：如图，当P的坐标为（1，0），（3，0），（，）时，△POA是等腰三角形．理由如下： 连接AM， ∵M（2.0），⊙M的半径为1， ∴OM＝2，AM＝PM＝1， ∴OP＝1， ∵OA切⊙M于点A， ∴∠MAO＝90°， ∴∠AOM＝30°， ∴∠AMO＝60°， ∴PA＝AM＝PM＝1， ∴OP＝PA＝1， ∴P（1，0）； 当OA＝OP′时，连接AP′交x轴于点H， ∵OA切⊙M于点A， ∴OP′切⊙M于点P′， ∴∠P′OM＝∠AOM＝30°， ∴∠AOP′＝60°， ∴△AOP′是等边三角形， ∴AP′＝OA＝＝＝， ∴OH＝OA＝，P′H＝AP′＝， ∴P′（，）； ∵MA＝MP″，∠AMO＝60°， ∴∠MAP″＝∠MP″A＝30°， ∴∠AOP″＝∠MP″A＝30°， ∴OA＝OP″， ∴P″（3，0）． 综上所述：当P的坐标为（1，0），（3，0），（，）时，△POA是等腰三角形． 故答案为：（1，0），（3，0），（，）． 34．如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，作AD⊥CD，垂足为D． （1）若直线CD与⊙O相切于点C，求证：△ADC∽△ACB； （2）如果把直线CD向下平行移动，如图2，直线CD交⊙O于C、G两点，若题目中的其他条件不变，tan∠DAC＝，AB＝10，求圆心O到GB的距离OH的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接OC，如图1， ∵直线CD与⊙O相切于点C， ∴OC⊥CD， ∵AD⊥CD， ∴AD∥OC， ∴∠DAC＝∠ACO， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO， ∴∠DAC＝∠CAO， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB， ∴△ADC∽△ACB； （2）解：如图2，∵AB是⊙O的直径， ∴∠AGB＝90°， ∵四边形ABGC是⊙O的内接四边形， ∴∠ACD＝∠B， ∵∠ADC＝∠AGB＝90°， ∴∠DAC＝∠GAB， ∵tan∠DAC＝＝tan∠GAB＝， 设GB＝3x，AG＝4x， ∵AB＝10， ∴（3x）2+（4x）2＝102， 解得x＝2， ∴AG＝8，GB＝6， ∵OH⊥GB，AG⊥GB， ∴OH∥AG， ∴△ABG∽△OBH， ∴＝＝， ∴OH＝4． 一十五．切线的判定与性质（共2小题） 35．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，⊙A半径为3，且点A的坐标为（5，0），将⊙A沿x轴的负方向平移，使⊙A与y轴相切，则平移的距离为（　　） A．2 B．5 C．8 D．2或8 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当⊙A位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为2； 当⊙A位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为8． 故选：D． 36．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点D，以AD为直径作⊙O，与AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接EN． （1）求证：EN是⊙O的切线； （2）若AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1．求线段EN与线段AE的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）证明：如图，连接OE， ∵NM是BE的垂直平分线， BN＝EN， ∴∠B＝∠NEB， ∵OA＝OE ∴∠A＝∠OEA， ∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠OEN＝90°，即OE⊥EN， ∵OE是半径， ∴EN是⊙O的切线； （2）如图，连接ON， 设EN长为x，则BN＝EN＝x ∵AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1， ∴CN＝4﹣x，OC＝AC﹣OA＝3﹣1＝2， ∴OE2+EN2＝OC2+CN2， ∴12+x2＝22+（4﹣x）2， 解得x＝， ∴EN＝． 连接ED，DB，设AE＝y， ∵AC＝3，BC＝4， ∴AB＝5， ∵⊙O的半径为1． ∴AD＝2， 则DE2＝AD2﹣AE2＝22﹣y2， ∵CD＝AC﹣AD＝3﹣2＝1， ∴DB2＝CD2+BC2＝17， ∵AD为直径， ∴∠AED＝∠DEB＝90°， ∴DE2+EB2＝DB2， 即22﹣y2+（5﹣y）2＝17， 解得y＝， ∴EN＝，AE＝． 一十六．三角形的内切圆与内心（共1小题） 37．如图，把Rt△OAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），点P是Rt△OAB内切圆的圆心．将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，…，依此规律，第2020次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2020的坐标是 　（8081，1）　． 【答案】（8081，1）． 【解答】解：∵点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB＝＝5， ∴Rt△OAB内切圆的半径＝（3+4﹣5）＝1， ∴P的坐标为（1，1）， ∵将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合， 所以第一次滚动后圆心为P1（5，1），第二次滚动后圆心为P2（11，1），…， ∴P3（3+5+4+1，1），即（13，1）， 每滚动3次一个循环， ∵2020÷3＝673…1， ∴第2020次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2020的横坐标是673×（3+5+4）+5＝8081， 即P2020的横坐标是8081， ∴P2020的坐标是（8081，1）； 故答案为：（8081，1）． 一十七．扇形面积的计算（共1小题） 38．如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆于点D，以C为圆心，CD为半径画弧交AB于E点，若AB＝4，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：连接AD，OD，BD， ∵AB为半圆O的直径， ∴∠ADB＝90°，又CD⊥AB， ∴△ACD∽△CDB， ∴＝，即＝， ∴CD＝，又OC＝1， ∴∠COD＝60°， ∴S扇形OAD＝＝π， S△CDO＝×CO×CD＝， ∴S扇形OAD﹣S△CDO＝π﹣，S扇形CDE＝＝π， ∴阴影部分的面积＝S半圆﹣（S扇形OAD﹣S△CDO+S扇形CDE）＝π+． 故选：A． 一十八．旋转的性质（共4小题） 39．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（　　） A．2 B．2 C．3 D． 【答案】C 【解答】解：过点G作GH⊥BC，垂足为H， ∴∠GHF＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝4，∠B＝90°， ∴∠B＝∠GHF＝90°， 由旋转得： EF＝FG，∠EFG＝90°， ∴∠EFB+∠GFH＝90°， ∵∠BEF+∠BFE＝90°， ∴∠BEF＝∠GFH， ∴△EBF≌△FHG（AAS）， ∴BF＝GH＝1， ∴点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上， ∴当点G在CD边上时，DG最小且DG＝4﹣1＝3， ∴DG的最小值为3， 故选：C． 40．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为　9　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1， ∴△ABC≌△A1BC1， ∴A1B＝AB＝6， ∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°， 如图，过A1作A1D⊥AB于D，则A1D＝A1B＝3， ∴S△A1BA＝×6×3＝9， 又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC， S△A1BC1＝S△ABC， ∴S阴影＝S△A1BA＝9． 故答案为：9． 41．如图，长方形ABCD中AB＝2，BC＝4，正方形AEFG的边长为1．正方形AEFG绕点A旋转的过程中，线段CF的长的最小值为　2﹣　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，连接AF，CF，AC， ∵长方形ABCD中AB＝2，BC＝4，正方形AEFG的边长为1， ∴AC＝2，AF＝， ∵AF+CF≥AC， ∴CF≥AC﹣AF， ∴当点A，F，C在同一直线上时，CF的长最小，最小值为2﹣， 故答案为：2﹣． 42．阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 　150°　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP， ∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB， 由题意知旋转角∠PA P′＝60°， ∴△AP P′为等边三角形， P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°， 易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°， ∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°； 故答案为：150°； （2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′， 由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAF＝∠E′AF， 在△EAF和△E′AF中， ∴△EAF≌△E′AF（SAS）， ∴E′F＝EF， ∵∠CAB＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠E′CF＝45°+45°＝90°， 由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2， 即EF2＝BE2+FC2． （3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2， ∴BC＝， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°， ∴△A′O′B如图所示； ∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°， ∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B， ∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO， ∴△BOO′是等边三角形， ∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°， ∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°， ∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°， ∴C、O、A′、O′四点共线， 在Rt△A′BC中，A′C＝， ∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝． 一十九．平行线分线段成比例（共1小题） 43．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG＝2，GB＝1，BC＝5，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解答】解：∵AG＝2，GB＝1， ∴AB＝AG+BG＝3， ∵直线l1∥l2∥l3， ∴＝， 故选：D． 二十．相似三角形的判定（共2小题） 44．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设经过t秒时，以△QBP与△ABC相似，则AP＝2t厘米，BP＝（8﹣2t）厘米，BQ＝4t厘米， ∵∠PBQ＝∠ABC， ∴当＝时，△BPQ∽△BAC，即＝，解得t＝2（s）； 当＝时，△BPQ∽△BCA，即＝，解得t＝0.8（s）； 即经过2秒或0.8秒时，△QBP与△ABC相似． 45．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题： （1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2； （2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G 如图 ∴DF∥AG，＝ ∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6． ∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t， ∴＝ 解得DF＝（10﹣t） ∵S△BDE＝BE•DF＝7.5 ∴（10﹣t）•t＝15 解得t＝5． 答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2． （2）存在．理由如下： ①当BE＝DE时，△BDE∽△BCA， ∴＝即＝， 解得t＝， ②当BD＝DE时，△BDE∽△BAC， ＝即＝， 解得t＝． 答：存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似． 二十一．相似三角形的判定与性质（共1小题） 46．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】B 【解答】解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x， ∵四边形EFGH是正方形， ∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∵AD是△ABC的高， ∴∠HDN＝90°， ∴四边形EHDN是矩形， ∴DN＝EH＝x， ∵△AEF∽△ABC， ∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ∵BC＝120，AD＝60， ∴AN＝60﹣x， ∴＝， 解得：x＝40， ∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20． 故选：B． 二十二．锐角三角函数的定义（共1小题） 47．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是 　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB的延长线于点C， 则AC＝4，OC＝2， 在Rt△ACO中，AO＝， ∴sin∠OAB＝． 故答案为：． 二十三．解直角三角形的应用（共3小题） 48．学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n＝称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底的物块C，但不在细管MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得BF＝12cm，DF＝16cm． （1）求入射角α的度数． （2）若BC＝7cm，求光线从空气射入水中的折射率n．（参考数据：，，） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图：过点D作DG⊥AB，垂足为G， 由题意得：四边形DGBF是矩形， ∴DG＝BF＝12cm，BG＝DF＝16cm， 在Rt△DGB中，tan∠BDG＝＝＝， ∴∠BDG＝53°， ∴∠PDH＝∠BDG＝53°， ∴入射角α的度数为53°； （2）∵BG＝16cm，BC＝7cm， ∴CG＝BG﹣BC＝9（cm）， 在Rt△CDG中，DG＝12cm， ∴DC＝＝＝15（cm）， ∴sinβ＝sin∠GDC＝＝＝， 由（1）得：∠PDH＝53°， ∴sin∠PDH＝sinα≈， ∴折射率n＝＝＝， ∴光线从空气射入水中的折射率n约为． 49．图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱AB，CD和折叠杆“AE﹣EF”组成，其中AB＝CD＝1.2m，AB，CD之间的水平距离BD＝2.5m，AE＝1.5m．道闸工作时，折叠杆“AE﹣EF”可绕点A在一定范围内转动，张角为∠BAE（90°≤∠BAE≤150°），同时杆EF始终与地面BD保持平行．（参考数据：≈1.414，≈1.732） （1）当张角∠BAE为135°时，求杆EF与地面BD之间的距离（结果精确到0.01m）； （2）试通过计算判断宽度为1.8m，高度为2.45m的小型厢式货车能否正常通过此道闸？ 【答案】（1）2.26米； （2）不能通过． 【解答】解：（1）过点E作EM⊥BD，垂足为M，交AC于点N，则EN⊥AC， ∵AB⊥BD， ∴四边形ABMN是矩形， ∴AB＝MN＝1.2（米），∠BAN＝90°， ∵∠BAE＝135°， ∴∠EAN＝∠BAE﹣∠BAN＝45°， 在Rt△AEN中，EN＝AEsin45°＝1.5×＝（米）， ∴EM＝EN+MN＝+1.2≈2.26（米）， 答：杆EF与地面BD之间的距离为2.26米； （2）由（1）得：∠BAN＝90°， 当∠BAE＝150°时， ∴∠EAN＝∠BAE﹣∠BAN＝60°， 在Rt△AEN中，EN＝AEsin60°＝1.5×＝（米）， ∴EM＝EN+MN＝+1.2≈2.5（米）， 当QD＝PC＝1.8m， ∴BQ＝AP＝2.5﹣1.8＝0.7m， 当∠BAE＝150°时， ∴∠EAP＝∠BAE﹣∠BAP＝60°， 在Rt△AGP中，GP＝APtan60°＝0.7≈1.212米， ∴GP+PQ＝1.212+1.2＝2.412米， ∵2.412＜2.45， ∴宽度为1.8m，高度为2.45m的小型厢式货车不能正常通过此道闸． 50．如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝40cm，CE：CD＝1：4，∠DCF＝45°，∠CDF＝37°． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）求滑竿DE的长度； （2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果精确到0.1）．参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，≈1.414． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）过点F作FG⊥CD，垂足为G， 在Rt△DFG中，∠CDF＝37°．DF＝40cm， ∴FG＝DF•sin37°≈40×＝24（cm）， DG＝DF•cos37°≈40×＝32（cm）， 在Rt△CFG中，∠DCF＝45°， ∴CG＝＝24（cm）， ∴DC＝CG+DG＝24+32＝56（cm）， ∵CE：CD＝1：4， ∴CE＝CD＝14（cm）， ∴DE＝CE+CD＝70（cm）， ∴滑竿DE的长度约为70cm； （2）过点A作AH⊥CD，交CD的延长线于点H， ∵DE＝BC＝AB＝70cm， ∴AC＝AB+BC＝140（cm）， 在Rt△ACH中，∠ACH＝45°， ∴AH＝AC•sin45°＝140×＝70≈99.0（cm）， ∴拉杆端点A到水平滑杆ED的距离约为99.0cm． 二十四．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题） 51．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（　　） A．5cosα B． C．5sinα D． 【答案】B 【解答】解：如图，过点B作BC⊥AF于点C． ∵BC＝5米，∠CBA＝∠α． ∴AB＝＝． 故选：B． 二十五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共5小题） 52．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB． （结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732） 【答案】建筑物的高度AB约为31.9米． 【解答】解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F， 则DE＝AF，DF＝AE， 在Rt△DEC中，tanθ＝＝， 设DE＝3x米，则CE＝4x米， ∵DE2+CE2＝DC2， ∴（3x）2+（4x）2＝400， ∴x＝4或x＝﹣4（舍去）， ∴DE＝AF＝12米，CE＝16米， 设BF＝y米， ∴AB＝BF+AF＝（12+y）米， 在Rt△DBF中，∠BDF＝30°， ∴DF＝＝＝y（米）， ∴AE＝DF＝y米， ∴AC＝AE﹣CE＝（y﹣16）米， 在Rt△ABC中，∠ACB＝60°， ∴tan60°＝＝＝， 解得：y＝6+8， 经检验：y＝6+8是原方程的根， ∴AB＝BF+AF＝18+8≈31.9（米）， ∴建筑物的高度AB约为31.9米． 53．如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面30m的D处，操控者从A处观测无人机D的仰角为30°，无人机D测得教学楼BC顶端点C处的俯角为37°，又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离AB为60m，点A，B，C，D都在同一平面上． （1）求此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度（结果保留根号）； （2）求教学楼BC的高度（结果取整数）（参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）． 【答案】（1）此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度为（60﹣30）m； （2）教学楼BC的高度约为24m． 【解答】解：（1）在Rt△ADE中，∠A＝30°，DE＝30m， ∴AE＝DE＝30（m）， ∵AB＝60m， ∴BE＝AB﹣AE＝（60﹣30）m， ∴此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度为（60﹣30）m； （2）过点C作CF⊥DE，垂足为F， 由题意得：CF＝BE＝（60﹣30）m，BC＝EF，CF∥DG， ∴∠DCF＝∠CDG＝37°， 在Rt△DCF中，DF＝CF•tan37°≈（60﹣30）×0.75＝（45﹣22.5）m， ∴EF＝DE﹣DF＝30﹣（45﹣22.5）＝22.5﹣15≈24（m）， ∴BC＝EF＝24m， ∴教学楼BC的高度约为24m． 54．《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义． 如图2，为测量海岛上一座山峰AH的高度，直立两根高2米的标杆BC和DE，两杆间距BD相距6米，D、B、H三点共线．从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A、C、F三点共线，且仰角为45°；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A、E、G三点共线，且仰角为30°．（点F、G都在直线HB上） （1）求FG的长（结果保留根号）； （2）山峰高度AH的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：≈1.41，≈1.73） 【答案】（1）FG的长为（4+2）米； （2）山峰高度AH的长约为10.2米． 【解答】解：（1）由题意得：CB⊥FH，ED⊥HG， 在Rt△FBC中，∠BFC＝45°，BC＝2， ∴BF＝＝2（米）， 在Rt△DEG中，∠G＝30°，DE＝2， ∴DG＝＝＝2（米）， ∵BD＝6米， ∴FG＝BD+DG﹣BF＝6+2﹣2＝（4+2）米， ∴FG的长为（4+2）米； （2）设AH＝x米， 在Rt△AHF中，∠AFH＝45°， ∴FH＝＝x（米）， ∵FG＝（4+2）米， ∴HG＝HF+FG＝（x+4+2）米， 在Rt△AHG中，∠G＝30°， ∴HG＝＝＝AH， ∴x+4+2＝x， 解得：x＝5+3≈10.2， ∴AH＝10.2米， ∴山峰高度AH的长约为10.2米． 55．我省某通信公司准备逐步在浮山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米． （1）求点D到水平地面CQ的距离． （2）求通讯塔AB的高度．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈） 【答案】（1）点D到水平地面CQ的距离为10米； （2）通讯塔AB的高度约为38.5米． 【解答】解：（1）过点D作DF⊥CQ，垂足为F， ∵斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1：2.4， ∴＝＝， ∴设DF＝5x米，则CF＝12x米， 在Rt△CDF中，CD＝26米， ∴CD2＝CF2+DF2， ∴262＝（5x）2+（12x）2， 解得：x＝2或x＝﹣2（舍去）， ∴CF＝12x＝24（米），DF＝5x＝10（米）， ∴点D到水平地面CQ的距离为10米； （2）延长AB交CQ于点E，过点D作DH⊥AE，垂足为H， 由题意得：DF＝HE＝10米，DH＝FE， 设DH＝FE＝y米， ∵CF＝24米， ∴CE＝CF+EF＝（24+y）米， 在Rt△ADH中，∠ADH＝53°， ∴AH＝DH•tan53°≈y（米）， ∴AE＝AH+HE＝（y+10）米， 在Rt△ACE中，∠ACE＝45°， ∴tan45°＝＝1， ∴AE＝CE， ∴y+10＝24+y， 解得：y＝42， ∴DH＝FE＝42米，AH＝y＝56（米）， ∵斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1：2.4， ∴＝＝， ∴BH＝17.5米， ∴AB＝AH﹣BH＝56﹣17.5＝38.5（米）， ∴通讯塔AB的高度约为38.5米． 56．小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点A、B处测出点D的仰角度数，可以求出信号塔DE的高．如图，AB的长为5米，高BC为3米．他在点A处测得点D的仰角为45°，在点B处测得点D的仰角为38.7°．A、B、C、D、E在同一平面内．设塔DE的高度为x米． （1）用含有x的式子表示线段CE的长：　（x+4）　米； （2）你认为小王同学能求出信号塔DE的高吗？若能，请求出信号塔DE的高；若不能，请说明理由．（参考数据：sin38.7°≈0.625，cos38.7°≈0.780，tan38.7°≈0.80，结果保留整数） 【答案】（1）（x+4）； （2）我认为小王同学能求出信号塔DE的高，理由见解答． 【解答】解：（1）由题意得：BC⊥AC，DE⊥CE， 在Rt△ABC中，AB＝5米，BC＝3米， ∴AC＝＝＝4（米）， 在Rt△ADE中，∠DAE＝45°，DE＝x米， ∴AE＝＝x（米）， ∴CE＝AC+AE＝（x+4）米， 故答案为：（x+4）； （2）我认为小王同学能求出信号塔DE的高， 理由：过点B作BF⊥DE，垂足为F， 由题意得：BF＝CE＝（x+4）米，BC＝EF＝3米， 在Rt△BDF中，∠DBF＝38.7°， ∴DF＝BF•tan38.7°≈0.8（x+4）米， ∵DF+EF＝DE， ∴0.8（x+4）+3＝x， 解得：x＝31， ∴DE＝31米， ∴信号塔DE的高约为31米． 二十六．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题） 57．为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A．B点在A点的南偏东25°方向3km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°． （1）求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数； （2）求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得：∠NAC＝80°，∠BAS＝25°， ∴∠CAB＝180°﹣∠NAC﹣∠BAS＝75°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝60°， ∴行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60°； （2）过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在Rt△ABD中，AB＝3km，∠ABC＝45°， ∴AD＝AB•sin45°＝3×＝3（km）， BD＝AB•cos45°＝3×＝3（km）， 在Rt△ADC中，∠ACB＝60°， CD＝＝＝（km）， ∴BC＝BD+CD＝（3+）km， ∴检查点B和C之间的距离（3+）km． 二十七．简单组合体的三视图（共1小题） 58．如图是一个空心圆柱体，其主视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形， 又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线， 故选：D． 二十八．由三视图判断几何体（共1小题） 59．用大小和形状完全相同的小正方体木块搭成一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，则搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为（　　） A．22个 B．19个 C．16个 D．13个 【答案】D 【解答】解：综合正视图和俯视图，这个几何体的底层最少有3+3+1＝7个小正方体，第二层最少有3个，第三层最少有2个，第四层最少有1个，因此搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为7+3+2+1＝13个． 故选：D． 二十九．平行投影（共1小题） 60．春分时日，小明上午9：00出去，测量了自己的影长，出去一段时间后回来时，发现这时的影长和上午出去时的影长一样长，则小明出去的时间大约为　6　小时． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：依题意，要令影长相等，就要使太阳高度角相等．已知上午9：00与15：00的太阳高度角是相等的，故可求出小明出去的之间为6小时． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$