期末各名校真题-压轴必刷题（50题）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（浙教版）

期末各名校真题-压轴必刷题（50题） 范围：九年级全册 一、单选题 1．如图，在矩形中，点E是边上一点，将延折叠，使点D的对应点F为恰好落到边上，若，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在等腰中，，，，点D是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点E，则线段长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．定义：在平面直角坐标系中，若点满足横，纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，如：，都是“整点”．抛物线（是常数，且）与轴交于点，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有6个“整点”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，是上一点，，垂足为，，的面积为，的面积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，点分别在上，连接，且满足．现将沿所在直线折叠，当点恰好落在边的点处时，则的值为（　　）    A． B． C． D． 6．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为6；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）个    A．5 B．4 C．3 D．2 8．函数与的图象可能是（   ） A．   B．  C.  D．   二、填空题 9．如图，菱形中，，点E是边上的点，，，点F是上的一点，是以点G为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点F在直线上运动时，线段的最小值是 10．如图，的半径为4，，点P是上一动点，则的最小值等于 ． 11．已知如图，二次函数的图像交轴于、两点，交轴于点，连接，点是上一点，射线与以为圆心，为半径的相切于点，则线段的最小值是 ． 12．如图，是半圆的直径，将沿弦折叠，使与相切，若，则的长的取值范围是 ． 13．如图，是上的四点，，过点作交的延长线于点，其中正确的结论是 （填序号）． ①；②是等边三角形；③：④是等边三角形． 14．如图，，，以为斜边在的右侧作，其中，，当长度最大时，点D到的距离是 ．    15．如图，抛物线交轴于两点（在的右侧），交轴于点，点是线段的中点，点是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是 ．    16．如图，在中，，，点、是边的三等分点，点是上的动点，当取得最小值时，的值为 ． ，，，点为线段上的动点，以每秒个单位长度的速度从点向点移动，到达点时停止．过点作于点，作于点，连结，线段的长度与点的运动时间(秒)的函数关系如图所示，则函数图象最低点的坐标为 ． 18．如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为 ． 19．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2024秒时，点P的坐标是 ． 20．在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形，点在y轴上且坐标是，点在轴上，的坐标是，，以此继续下去，则点到x轴距离是 ． 21．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），点关于抛物线对称轴的对称点为点，动点在轴上，点在以点为圆心，半径为1的圆上，则的最小值是 ． 三、解答题 22．正方形和正方形的边长分别为和，将正方形绕点逆时针旋转，连接，相交于点． (1)如图1，在旋转过程中，线段和有何数量关系？请说明理由； (2)如图2，连接、，取线段中点为点，线段中点为点，连接交于，交于点，证明：； (3)如图3，在正方形旋转的过程中，连接，若点是的内心，求点到的最大距离． 23．某数学兴趣小组在学习完“，，角的三角函数值”这一节课后，做了如下探究：如图1，中，，，，延长至点D，使．根据，，得出，，，，又∵，，∴，则求出，同时还求出． (1)如图1，根据以上的思路和数据，得出________°，________．（写出最后结果） (2)如图2，中，，，请你参考兴趣小组的思路，求的值． (3)如图3，某工程队在施工过程中，要对一个三角形区域进行勘探．已知，，，请帮助他们求出的面积． 24．在四边形中，经过点A，B，C，不经过点D． (1)如图①，若，求证：是的切线； (2)如图②，，连接，与，分别交于点E，F，连接． ①求证； ②若，，求的长． 25．如图，以为直径的中，点C为上一点，连接，，延长至点M，使得，作交于点D，交的延长线于点N． (1)求证：直线为的切线； (2)如图2，若点D是的中点，连接，，求证：四边形为菱形； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 26．小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． (1)【学习心得】如图1，在中，，，求的度数，若以点A为圆心，为半径作辅助圆，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，可得 ； (2)【问题解决】如图2，在四边形中，．求证：； (3)【问题拓展】在平面直角坐标系中，A为y轴上一点．若点，．当最大时，求点A的坐标． 27．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，且与轴交于点，与轴交于点，点是第一象限抛物线上一动点，过作轴，交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，过点作于点，当△的周长最小时，动点在直线上运动，动点在轴上运动，且轴，连接、，求的最小值； (3)如图3，点在第一象限内，连接，，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，交于点，点在第二象限内直线上，连接，，若，，，请直接写出点的坐标． 28．如图①，在中，，在内作，其中点，分别在边，上，，过点作，垂足为点，且交于点． (1)求证：； (2)如图②，若是的中线，且， ①求证：； ②求的值． 29．如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为． (1)求证：为的切线； (2)若，的直径为，求的长度． 30．已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． (1)求点的坐标； (2)连接，过点作的垂线，交抛物线于点，交抛物线的对称轴于点，求的值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似，求此时点的坐标．直接写出你的结论，不必证明． 31．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)点是直线上的一动点，连接，，设外接圆的圆心为，当最大时，求点的坐标（直接写答案）． 32．如图，抛物线交轴负、正半轴于，两点，交轴于点，连接，，的外接圆的圆心为 (1)求该二次函数的解析式； (2)在段的抛物线上是否存在一点P，使，若存在请求出点P坐标，若不存在，说明理由； (3)圆上是否存在Q点，使与相似？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，说明理由． 33．如图1，内接于，直径，弦，作弦与相交于点E．    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的长； (3)如图3，过点A作的平行线交于点M，连结，若，求的面积． 34．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将点沿轴向右平移4个单位长度得到点，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，在直线上方的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请求出的坐标． 35．如图，在等腰中，，，D在边的延长线上，E在边上，，连接． 观察与思考 如图1，连接，，可以由通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小． 迁移与运用 将图1中的绕点A旋转，当直线经过的中点F时，连接，如图2，求证：． 操作与拓展 将图1中的绕点A旋转，当B，D，E三点在同一条直线上，且该直线恰好经过的中点，直接写出的值． 36．【观察与猜想】 （1）如图1，点是矩形内一点，过点的直线，分别交矩形的边为点．若，则______； 【类比探究】 （2）如图2，在平行四边形中，点分别在边上，连接与交于点．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，在边上，连接与交于点，当时，求的值． 37．如图，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，点的坐标是，点的坐标是，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)为线段上的一个动点，过点作轴于点，点坐标为． ①在上是否存在点，使为直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； ②连接，若，求的值． 38．已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标； (3)如图2，若点是的中点，点是抛物线上一点，其横坐标为，试探究是否存在点，使？若存在，求出的值（只要求条理清楚地简要写出求解思路即可，不需要写出详细计算过程）；若不存在，请说明理由． 39．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B，点C的坐标为，点为轴正半轴上的动点，连结，过点作直线的垂线交轴于点，垂足为点，连结． (1)求出A，B两点的坐标； (2)求证：； (3)在点D的运动过程中，当为等腰三角形时，请直接写出点D的坐标． 40．如图，在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为（，为常数），点、分别在轴和轴上，且，点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，以点为顶点的抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)在（2）中抛物线的对称轴上有一点，且以点、、为顶点的三角形与相似，求出所有满足条件的点的坐标． 41．已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G． 【问题发现】 （1）如图1，若四边形是正方形，且于G，则______； 【拓展研究】 （2）如图2，当四边形是矩形时，且于G，，，则______； 【解决问题】 （3）老师上课时提出这样的问题：如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：； 小圳同学冥思苦想不得其解，提问到：在做题过程中，我先将转化成：，发现与显然不相似，所以没办法直接得出，怎么办呢？ 老师提示说：你是不是可以考虑引入一个桥梁或者考虑下添加辅助线来帮助解题呢？ 同学们，请你帮助小圳同学解决此题，写出完整证明过程； （4）如图4，若，，，于G，请直接写出的值．      42．综合与探究    (1)如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，则线段与的之间的数量关系为_____________； (2)【类比探究】如图2，在矩形中，，点E，F分别在边，上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论． (3)【拓展延伸】如图3，在中，，D为上一点，且，连接，过点B作于点F，交于点E，求的长． 43．如图，正方形中，点E、F分别在正方形的边、上，将线段绕点E逆时针旋转，得到线段，点F的对应点是点G，连接． (1)如图①，当点G在边上，且，时，求． (2)如图②，若E是的中点，与相交于点H，连接．求证：平分． (3)如图③，若点F和点B重合，、分别交于点M、N，连接．求证：． 、44．（1）在菱形中，，点P在边边上，连接，点Q在的延长线上，连接，，求证：； （2）菱形中，点P、Q分别是,上的动点，且满足，当时，求与的面积之和． （3）平行四边形中，，P是上一动点，Q是上一动点，且满足，，，当时，求的长度． 45．已知：如图，在四边形中，，，，，，连接，点从点出发沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发沿方向匀速运动，速度为；过点作交于点，连接，当一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为． (1)当点在线段的垂直平分线上时，求的值； (2)当四边形是矩形时，求的值； (3)设四边形的面积为，求与的函数关系式； (4)取的中点，是否存在某一时刻，使得点、、在同一条直线上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 46．平移图形是解答几何题目时一种重要的添加辅助线策略． 如图①，在正方形中，E、F、G分别是、、上的点，于点Q．求证：． 小鹿在分析解题思路时想到了两种平移法： 方法一：平移线段使点F与点B重合，构造全等三角形； 方法二：平移线段使点B与F重合，构造全等三角形；    【尝试应用】 (1)请按照小鹿的思路，选择其中一种方法进行证明； (2)如图②，点E、F、G、H分别是矩形边、、、上的点，且，若，，求的值； 【拓展探究】 (3)如图③，点E、F分别是平行四边形边、上的点，连接、交于点G，若，求证：． 47．在中，，D为上一点，连接，将绕C点逆时针旋转至，连接，过C作交于F，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求． 48．如图，矩形的两个顶点A、B分别落在x、y轴上，顶点C、D位于第一象限，且，对角线交于点G，若曲线经过点C、G． (1)设，求点G的坐标（用含m、n的式子表示）； (2)求点C的坐标； (3)求矩形的面积． 49．已知，点O是等边内的任一点，连接． (1)如图1，已知，，将绕点按顺时针方向旋转得． ①的度数是　　　　； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)设，． ①当，满足什么关系时，有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由； ②若等边的边长为1，直接写出的最小值． 50．如图①，在中，，，点为边上的一点，连接，过点作于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图②，若 ，，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末各名校真题-压轴必刷题（50题） 范围：九年级全册 一、单选题 1．如图，在矩形中，点E是边上一点，将延折叠，使点D的对应点F为恰好落到边上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，解直角三角形．根据题意设，，则，由翻折变换可知，，，证明，推出，，在中，由勾股定理求得，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， ∵， ∴， 设，，则， 由翻折变换可知，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴，， ∴， 故选：A． 2．如图，在等腰中，，，，点D是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点E，则线段长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，取的中点M，连接，根据圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，线段最短原理解答即可． 【详解】解：连接， ∵为直径的圆交于点E， ∴， 取的中点M，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，取得最小值， ∴最小值为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，线段最短原理，熟练掌握圆的性质，特殊角的三角函数值，勾股定理是解题的关键． 3．定义：在平面直角坐标系中，若点满足横，纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，如：，都是“整点”．抛物线（是常数，且）与轴交于点，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有6个“整点”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，数形结合思想的应用是解决本题的关键．首先将二次函数的表达式化为顶点式，可以直接得到点，，，必在所要求的区域内，然后向外扩充2个“整点”，通过图象经过点，点判断区域内“整点”个数，进而求出的取值范围． 【详解】解：由已知可得， 函数的顶点是， ， 点，，，四点必在抛物线在，之间部分与线段所围成的区域（包括边界）内， 当点在边界上时，，由抛物线的对称性可知，图象过，此时区域内有6个“整点”， 当点在边界上时，，由抛物线的对称性可知，图象过，此时区域内有8个“整点”，不符合题意， 当时，该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有6个“整点”． 故选：D． 4．如图，在矩形中，是上一点，，垂足为，，的面积为，的面积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，设，，由勾股定理得，证明，得到，可求出，进而求出，再证明，得到相似比，由相似三角形的性质即可求出，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，矩形， ∴设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，相似比， ∴， 故选：． 5．如图，在中，，点分别在上，连接，且满足．现将沿所在直线折叠，当点恰好落在边的点处时，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求线段长，涉及勾股定理、折叠性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，先利用勾股定理求出的斜边长，再由折叠性质求出角度关系及长，最后由相似三角形的判定与性质得到，代值求解即可得到答案，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示：    在中，，则，且， ， ， 将沿所在直线折叠，当点恰好落在边的点处时，则，，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ，即，解得， 故选：B． 6．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点．关键是掌握二次函数的性质．根据对称轴、开口方向、与轴的交点位置即可判断、、与0的大小关系，然后将由对称轴可知，图象过代入二次函数中可得，再由图象与轴有两个交点及系数的特点即可判断． 【详解】解：①由图可知： 故①正确； ②由题意可知： ，故②正确； ③对称轴为直线，且与轴的一个交点坐标为． 与轴的另一个交点坐标为， 将代入，得， 故③正确； ④ ， 故④正确； ∴正确结论的个数是4个． 故选：D． 7．如图，是等边内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为6；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）个    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】证明即可说明可以由绕点逆时针旋转得到，故①正确； 根据旋转的性质可知是等边三角形，则点与的距离为8，故②错误； 利用：四边形的面积等边面积面积，进行计算即可判断，故④错误； ，故③正确； 过作交的延长线于，根据三角形的面积公式即可得到，故⑤正确． 【详解】解：在和中， ， ， ． 可以由绕点逆时针旋转得到，故①正确； 如图1，连接，根据旋转的性质可知是等边三角形，   点与的距离为8，故②错误； 在中，，，， 是直角三角形，． 面积， 又等边面积， 四边形的面积为，④错误； ，③正确； 如图2，过作交的延长线于，   ， ， ， ， ， ， ，故⑤正确， 故选：C 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，此题难度较大，解题的关键是通过旋转把三条线段转化到特殊三角形中，利用特殊三角形的性质进行求解，使得问题迎刃而解． 8．函数与的图象可能是（   ） A．   B．    C．    D．    【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，解题的关键是根据a，b与0的大小关系以及交点情况进行讨论． 根据二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧判断出a，b与0的大小关系，进而推出一次函数图像经过第一、三、四象限，再利用二次函数与一次函数交点情况即可作出判断． 【详解】解：由四个选项可知，二次函数开口均向上，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴一次函数图像应该经过第一、三、四象限， 当时，即，， 当时，即， 则二次函数与一次函数在x轴上有一交点，且为 A．一次函数图像经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意． B．一次函数图像经过第一、三、四象限，且有一交点在x轴上，故本选项符合题意． C．一次函数图像经过第一、三、四象限，但交点均不在x轴上，故本选项不符合题意． D．一次函数图像经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意． 故选：B． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 9．如图，菱形中，，点E是边上的点，，，点F是上的一点，是以点G为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点F在直线上运动时，线段的最小值是 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，垂线段最短，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．过点作，则点四点共圆，从而得到，根据，求出的值即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，作于点，作于点， ， 点四点共圆， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 10．如图，的半径为4，，点P是上一动点，则的最小值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，圆的相关概念，构造相似三角形是解题的关键． 连接，在射线上取点，使得，连接，在射线上取点，使得，连接，过点作于点G，则，则，由于，故当点三点共线时，取得最小值，且为，再解即可． 【详解】解：连接，在射线上取点，使得，连接，在射线上取点，使得，连接，过点作于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值，且为， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为, 故答案为：． 11．已知如图，二次函数的图像交轴于、两点，交轴于点，连接，点是上一点，射线与以为圆心，为半径的相切于点，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质定理、勾股定理、求抛物线与坐标轴的交点，掌握以上知识点是解答本题的关键．先根据题意求出、、三点的坐标，过点作于点，连接，在中，由勾股定理得：，要使最小，则最小，当时，最小，求出，进而可得． 【详解】解：二次函数的图像交轴于、两点，交轴于点， 令，得，令，得， ，，， ， 过点作于点，连接，如下图所示： 射线与以为圆心，为半径的相切于点， ， 在中，由勾股定理得：， 为定值， 要使最小，则最小， 当时，最小，则最小， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， 故答案为：． 12．如图，是半圆的直径，将沿弦折叠，使与相切，若，则的长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据题意画出图形，分别求出的最大值和最小值即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，的值最大， 过点作交于点，连接，则， 由折叠可得，    ， ∴， ∴； 如图，当点与点重合，时，的值最小， ∵，， ∴； ∴的长的取值范围是， 故答案为：． 13．如图，是上的四点，，过点作交的延长线于点，其中正确的结论是 （填序号）． ①；②是等边三角形；③：④是等边三角形． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，由圆内接四边形的性质可判断；由圆周角定理可得，即可判断；证明即可判断；进一步证明，得到即可判断；掌握圆的有关性质是解题的关键． 【详解】解：∵是上的四点， ∴， ∵， ∴，故正确； ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，故正确； ∵四边形是的内接四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形，故正确； ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∵为等边三角形， ∴， ∴，故正确； ∴正确的结论是， 故答案为：． 14．如图，，，以为斜边在的右侧作，其中，，当长度最大时，点D到的距离是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，构造出与相似的三角形得出取最大时的情况是本题解题的关键；以为斜边构造与相似的直角三角形，然后利用三角形三边关系得出最大时的情况，再根据相似三角形的判定和性质进行求解即可． 【详解】解：作直角三角形，使，，，连接，    ∵，， ∴设，，则， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，当在同一直线上时，即时，长度最大，    ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴， 作于F， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为： 15．如图，抛物线交轴于两点（在的右侧），交轴于点，点是线段的中点，点是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是 ．    【答案】 【分析】先根据抛物线解析式求出点A、B、C的坐标，从而得出，，，再根据勾股定理求出的长度，然后根据翻折的性质得出在以D为圆心，以为半径的圆弧上运动．当D，，B在同一直线上时，最小．过点D作，垂足为E，由中位线定理得出，的长，然后由勾股定理求出的长，从而得出结论． 【详解】    由得 时，， 解得，， ，， ，， 当时，， ， ， ， ∵点是线段的中点， ， ∵是由沿折叠所得， ， ∴在以D为圆心，以为半径的圆弧上运动， 当D，，B在同一直线上时，最小， 过点D作，垂足为E， 则，， ∴， ， ， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，翻折变换、勾股定理以及求线段最小值等知识，关键是根据抛物线的性质求出A、B、C的坐标． 16．如图，在中，，，点、是边的三等分点，点是上的动点，当取得最小值时，的值为 ． 【答案】 【分析】如图，作关于的对称点，连接交于，连接，则，可知当三点共线时，取得最小值，如图，连接，过作于，由题意知，设，，则，，，由勾股定理得，，由轴对称的性质可知，，，可求，证明，则，即，可求，由勾股定理得，，根据，求，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接交于，连接，则， ∴， 当三点共线时，取得最小值， 连接，过作于， ∵，， ∴， 设，，则，，， 由勾股定理得，， 由轴对称的性质可知，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．熟练掌握轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 17．如图，在中，，，，点为线段上的动点，以每秒个单位长度的速度从点向点移动，到达点时停止．过点作于点，作于点，连结，线段的长度与点的运动时间(秒)的函数关系如图所示，则函数图象最低点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，函数的图象，函数的最小值，连接，利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，利用矩形的判定定理得到四边形为矩形，利用矩形的对角线相等得到，再利用垂线段最短的性质得到当时，取得最小值，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可求解，熟练掌握动点问题的函数的图象的特征是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵， ，， ∴，， ∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点为线段上的动点，由于垂线段最短， ∴当时，取得最小值，即取最小值， 过点作于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴当时，取最小值为， ∴函数图象最低点的坐标为， 故答案为：． 18．如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，如图，连接， 取的中点， 连接，， ，，，，利用三角形中位线定理求出，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，设，则 ，求出 的最大值，可得结论，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用参数解决问题，熟练掌握知识点的应用． 【详解】如图， 连接， 取的中点， 连接，， ，，，， ∵点、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设，则， ∵， ∴最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 19．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2024秒时，点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标规律问题，解题的关键是得出点的坐标规律即可． 由题意易知圆的周长为个单位长度，然后可得点P运动半圆所需2秒，即可求解． 【详解】解：由题意得：圆的周长为个单位长度， 点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， 点P运动半圆所需（秒）， 第1秒时，点P的坐标为；第2秒时，点P的坐标为；第3秒时，点P的坐标为；第4秒时，点P的坐标为；； 综上可知：第2024秒时，点P的坐标是； 故答案为：． 20．在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形，点在y轴上且坐标是，点在轴上，的坐标是，，以此继续下去，则点到x轴距离是 ． 【答案】 【分析】先证明求得，，再根据相似三角形的判定与性质得到后面正方形的边长是前一个正方形边长的，进而得到第2024个正方形的边长，过轴于E，延长交x轴于P，根据相似三角形的判定与性质求得，由此可得出点到轴的距离是对应正方形边长的，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，则， ∵， ∴，又， ∴， ∴，， ∵点在轴上，， ∴,， ∴， ∴，， 同理，，，…， ∴； 如图，过轴于E，延长交x轴于P， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，则， ∵，， ∴， ∴， ∴，则， 同理可得，点到轴的距离是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，得到正方形边长之间的关系是解答的关键． 21．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），点关于抛物线对称轴的对称点为点，动点在轴上，点在以点为圆心，半径为1的圆上，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】先求出，，，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，由轴对称的性质可得：，，当、、在同一直线上时，最小，由勾股定理可得，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，当时，， 解得，， ，， ， 抛物线的对称轴为直线， 点关于抛物线对称轴的对称点为点， ， 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接， ， 由轴对称的性质可得：，， 当、、在同一直线上时，最小，此时， ，， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、轴对称的性质、勾股定理，圆的基本性质，掌握以上基础知识，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题 22．正方形和正方形的边长分别为和，将正方形绕点逆时针旋转，连接，相交于点． (1)如图1，在旋转过程中，线段和有何数量关系？请说明理由； (2)如图2，连接、，取线段中点为点，线段中点为点，连接交于，交于点，证明：； (3)如图3，在正方形旋转的过程中，连接，若点是的内心，求点到的最大距离． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图1中，证明，可得结论； （2）根据以及三角形内角和定理得出，根据中位线的性质得出，进而证明是等腰直角三角形，即可得出是等腰直角三角形，即可得证； （3）根据得出在以为直径的半圆上运动，根据内心的性质得出四边形是正方形，则 ，设，则，结合图形可得，即当取得最大值，当三点共线时取得等于号，取得最大值，此时，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：结论：，理由如下： 四边形，四边形都是正方形， ，，， ， 在和中， ， ∴， ； （2）解：如图所示，连接交于点，连接，设交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ， ， ； ∵四边形为正方形， ∴是的中点； ∵线段中点为点，线段中点为点，是的中点， ∴，； ∵，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （3）解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，连接； ∵，则， ∴在以为直径的半圆上运动， ∵是的内心， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴ ， 设，则， ∵，即，即当等于半径时，取得最大值，取得最大值， ∴当三点共线时取得等于号，取得最大值， 此时， ∴， 解得：， ∴点到的最大距离为． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形的中位线的性质与判定，三角形内心的性质，直角所对的弦是直径，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 23．某数学兴趣小组在学习完“，，角的三角函数值”这一节课后，做了如下探究：如图1，中，，，，延长至点D，使．根据，，得出，，，，又∵，，∴，则求出，同时还求出． (1)如图1，根据以上的思路和数据，得出________°，________．（写出最后结果） (2)如图2，中，，，请你参考兴趣小组的思路，求的值． (3)如图3，某工程队在施工过程中，要对一个三角形区域进行勘探．已知，，，请帮助他们求出的面积． 【答案】(1)75， (2) (3)平方千米 【分析】（1）由直角三角形的性质及锐角三角函数的定义可得出答案； （2）延长到I，使，设，由勾股定理得：，，，则可得出答案； （3）过点H作，垂足为O，求出和，由三角形的面积可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ， ． 故答案为：75，； （2）解：延长到I，使，设， ∵，， ∴， ∴，由勾股定理得：， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：过点H作，垂足为O，如图所示： 由兴趣小组的结论，可得， 由题意可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由第（2）问可知，， ∴， ∴， ∴的面积 【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识． 24．在四边形中，经过点A，B，C，不经过点D． (1)如图①，若，求证：是的切线； (2)如图②，，连接，与，分别交于点E，F，连接． ①求证； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②6 【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，利用圆周角定理和等腰三角形的性质定理得到，利用全等三角形的判定与性质得到，则，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）①连接，利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到，则，得到，利用线段垂直平分线的判定定理得到为的垂直平分线，结论可得； ②连接并延长，交于点，利用垂径定理的推论得到，，利用勾股定理求得，利用三角形的面积公式求得，利用勾股定理求得，再利用相似三角形的判定与性质求得． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点，连接，如图， 则为的直径， ， ， ∵， ∴， ∵ ． 在△和△中， ， ． ， ， ， ， 即， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：①连接，如图， ， ． ， ， ， ， ， ， ， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 为的垂直平分线， ； ②连接并延长，交于点，如图， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ． ，， 为的垂直平分线， ． ， ， ． ． ，， ∴， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 25．如图，以为直径的中，点C为上一点，连接，，延长至点M，使得，作交于点D，交的延长线于点N． (1)求证：直线为的切线； (2)如图2，若点D是的中点，连接，，求证：四边形为菱形； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据是的直径得到，根据得到，结合即可得到即可得到答案； （2）根据得到，从而得到，得到，根据点D是的中点得到从而得到，得到，根据得到，从而得到，即可得到，即可得到证明； （3）根据四边形为菱形得到，结合，得到是等边三角形即可得到，从而得到，结合角所对直角边等于斜边一半在中求出半径，在中即可求出； 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ， ∴直线为的切线； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形； （3）解：连接， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴，， ∴，． 【点睛】本题考查圆的切线证明，菱形的判定与性质，直角三角形角所对直角边等于斜边一半，等边三角形的判定与性质，解题的关键是做出辅助线． 26．小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． (1)【学习心得】如图1，在中，，，求的度数，若以点A为圆心，为半径作辅助圆，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，可得 ； (2)【问题解决】如图2，在四边形中，．求证：； (3)【问题拓展】在平面直角坐标系中，A为y轴上一点．若点，．当最大时，求点A的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)点A的坐标为或 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识． （1）如图：若以点A为圆心，为半径作辅助圆，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，即可求解； （2）以为半径的圆上，构建如图所示的图形，延长交圆于点P，连接，则，即可求解； （3）当最大时，线段的中点坐标为，圆心在的垂直平分线上，即可求解． 【详解】（1）解：如图，若以点A为圆心，为半径作辅助圆， 则点C、D必在上，是的圆心角， 而是圆周角，可得， 故答案为：； （2）证明：如图，以点A为圆心，为半径作辅助圆，延长交圆于点P，连接， ， 点B、C、D是在以A圆心， 则， ∵为直径， ∴， ∴， ； （3）解：如图，当最大时， 过B、C两点的与y轴相切，切点为点A， 过点作，垂足为点H， 线段的中点坐标为，圆心在的垂直平分线上， 点横坐标为4， ∵，，， ∴， ∴点A的坐标为或． 27．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，且与轴交于点，与轴交于点，点是第一象限抛物线上一动点，过作轴，交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，过点作于点，当△的周长最小时，动点在直线上运动，动点在轴上运动，且轴，连接、，求的最小值； (3)如图3，点在第一象限内，连接，，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，交于点，点在第二象限内直线上，连接，，若，，，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可． （2）先证明是等腰直角三角形，从而得出是等腰直角三角形，得出，即可得的周长为，当的周长最大时，最大，求出直线的解析式为，设，则，得出，得出当时，最大，此时，的周长最大，求出，，如图，作点，，连接，，，证明四边形是平行四边形，从而得出，即可求出的最小值； （3）如图，过点作轴的垂线分别交轴和直线于点，，证明，得出，，设，，则，，根据是等腰直角三角形，得出，从而得出，证出，即可证明，根据相似三角形的性质即可求出，求出，，，，证明，得出，，由（2）可知，求出，分为当时和当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点和点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线与轴交于点， ， ， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 的周长为， 当的周长最大时，最大， 设直线的解析式为， 将、代入得， 解得， 直线的解析式为， 设，则， ， 当时，最大，此时，的周长最大， ，， 如图，作点，，连接，，， 则，， 四边形是平行四边形， ， 又轴垂直平分， ， ， 的最小值为； （3）解：如图，过点作轴的垂线分别交轴和直线于点，， 则， ， 由旋转得：，， ， ， ， ，， 设，， 则，， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ，即， 解得：， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， 由（2）可知， 解得：， 当时，， 此时，； 当时，， 此时，； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，求二次函数、一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 28．如图①，在中，，在内作，其中点，分别在边，上，，过点作，垂足为点，且交于点． (1)求证：； (2)如图②，若是的中线，且， ①求证：； ②求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，正切函数的应用，平行线分线段成比例定理； （1）证明，，可证； （2）①根据，设，则，证明得出，由（1）可知，得出，即可得证； ②作，则，证明，根据平行线分线段成比例定理得出，进而得出，结合，即可求解． 【详解】（1）证明∵ ∴. ∵， ∴，， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. （2）解：∵， 设，则， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴ 由（1）可知， ∴， ∴，即 ∴ 即 ②如图，作于点， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，即， ∴． 29．如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为． (1)求证：为的切线； (2)若，的直径为，求的长度． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】连接，根据可证：，根据角平分线定义可证：，等量代换可得：，根据内错角相等两直线平行可得：，根据可得，又因为是的半径，所以可证为的切线； 过作，则，可证四边形为矩形，设，在△中，由勾股定理得，从而求得的值，由勾股定理得出的长． 【详解】（1）证明：如下图所示， 连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ，且为半径， 为的切线； （2）解：如下图所示，过作，垂足为， ， 四边形为矩形， ，． ， 设，则， 的直径为10， ， ， 在△中，由勾股定理得． 即， 化简得， 解得，． 大于0，故舍去， ， 从而，， ，由垂径定理知，为的中点， ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解． 30．已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． (1)求点的坐标； (2)连接，过点作的垂线，交抛物线于点，交抛物线的对称轴于点，求的值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似，求此时点的坐标．直接写出你的结论，不必证明． 【答案】(1)，， (2)2 (3)存在； 【分析】（1）根据抛物线解析式，分别令，解方程，即可求解； （2）过点 作 轴于点 ，即 ．证明，得出，设 ，，则 ．即 ． 代入抛物线解析式，求得 ，进而勾股定理求得，根据正切的定义，即可求解； （3）以为顶点的三角形与相似，分两种情况讨论，或，根据（2）的结论，分别解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点 ∴当时，， 解得： ∴，， 当时，， ∴ （2）∵， ∴ 过点 作 轴于点 ，即 ． ， ． ， ． ， ， 设 ，，则 ．即 ． 把点 坐标代入二次函数解析式，得 解得：或（舍去） ． ，， ． ，， ． 在 中， ． （3）解：∵在抛物线的对称轴上，，， ∴ 设直线的解析式为，代入， 得， 解得： ∴直线的解析式为 当时， ∴ ∵，而， ∴以为顶点的三角形与相似，分两种情况讨论，或， 如图所示， 当， ∴ ∴ ∵在抛物线的对称轴上，，则 ∴ ∴，即 当时， ∴ ∴ 设，则， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴，即 综上所述， 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，求抛物线与坐标轴交点，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质，相似三角形的性质是解题的关键． 31．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)点是直线上的一动点，连接，，设外接圆的圆心为，当最大时，求点的坐标（直接写答案）． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据平移可求，将点的坐标代入可求，从而可求，再由面积求出的坐标，即可求解的解析式； （2）是的中点，在直线上运动，可得，当取得最小值时，的值最大，由此可得：当垂直直线时，取得最小值，进而可求解． 【详解】（1）解：将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为， ， 点的坐标为，代入抛物线的解析式得，， ， 抛物线的解析式为，即． 令，则， 解得：，， ； ， 的面积为5， ， ， ， 解得：，， ． 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：如图，是的中点，在直线上运动， ， ， 当取得最小值时，的值最大， ， 当取得最小值时，的值最大， 当垂直直线时，取得最小值， 此时、在二次函数的对称轴直线上， ， 根据对称性，存在， 故：或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的外心，三角函数定义，二次函数与圆的综合等，掌握二次函数的性质，运用转化思想是解题的关键． 32．如图，抛物线交轴负、正半轴于，两点，交轴于点，连接，，的外接圆的圆心为 (1)求该二次函数的解析式； (2)在段的抛物线上是否存在一点P，使，若存在请求出点P坐标，若不存在，说明理由； (3)圆上是否存在Q点，使与相似？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法直接求出抛物线解析式； （2）分两种情况用三角形的面积建立方程，解方程即可得出点的坐标； （3）先判断出三角形是直角三角形，进而得出是的直径的一个端点，再分两种情况求出直线交点坐标，进而判定是否相似即可． 【详解】（1）解： 抛物线交轴于点， ， ， ， ， ， 代入抛物线解析式得： ， 解得， 该二次函数的解析式为； （2）解：在段的抛物线上存在一点，使；理由如下： 令， 解得：，， ， 设， 点在段的抛物线上， ， 如图1，过作轴于， 则： ， ，， 解得，或（舍去）， 点纵坐标为：， 点坐标为； （3）解：圆上存在点，使与相似；理由如下： 如图2， 由（1）可知：， ， ， 的垂直平分线是抛物线的对称轴， 点的横坐标是1， 是直角三角形，与相似， 是直角三角形， 不是直径， 点是的直径的一个端点， ①当是直角，则是直径， ， ， ，即， ，， ， 设点， ， 解得，或（舍去）， ， ， 设点， 点是的中点， ， 解得：， ； ②当时，则是直径， 设， 点是的中点， ， 解得：， ； 综上，满足条件的或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象性质，求二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、勾股定理，圆周角定理，作辅助线够构造直角三角形是解题的关键． 33．如图1，内接于，直径，弦，作弦与相交于点E．    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的长； (3)如图3，过点A作的平行线交于点M，连结，若，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先由圆周角定理的推论求出，再由三角函数得到的度数，最后根据等腰三角形的性质求出角度； （2）如图：连结，先解直角三角形求出的长度，证明，再根据相似三角形的性质列式求出的长即可； （3）根据题意分当E在线段上和当点E在线段上两种情况，分别画出对应的图，求出的长，根据相似三角形的性质求出的面积． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图：连结，    ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：①当E在线段上时，连接，连结交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 由（2）得， ∴， ∴．    ②当点E在线段上时， 同理， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的性质与判定等知识点，先利用分类讨论思想画图、再根据相似三角形的性质求出三角形的面积是解题的关键． 34．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将点沿轴向右平移4个单位长度得到点，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，在直线上方的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请求出的坐标． 【答案】(1)抛物线表达式为 (2)存在， (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用．利用数形结合，分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）根据平移，求出点坐标，设出两点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴于，交直线于点，设，则，将三角形的面积转化为二次函数求最值即可； （3）设，以为边时，利用平移思想，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∵将点沿轴向右平移4个单位长度得到点， ∴， ∴设抛物线表达式为， 将代入得， ∴抛物线表达式为； （2）存在点，使的面积最大． 过点作轴于，交直线于点， 设，则，由题意得：， 故， ∴当时，最大．此时，， ∴； （3）∵， ∴对称轴为直线， 设，当以点为顶点，为边的四边形为平行四边形时， ∵ ∴点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点， ∴点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点，或点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点， ∴且， ∴或， ∴或． 35．如图，在等腰中，，，D在边的延长线上，E在边上，，连接． 观察与思考 如图1，连接，，可以由通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小． 迁移与运用 将图1中的绕点A旋转，当直线经过的中点F时，连接，如图2，求证：． 操作与拓展 将图1中的绕点A旋转，当B，D，E三点在同一条直线上，且该直线恰好经过的中点，直接写出的值． 【答案】观察与思考：是由绕点逆时针旋转得到的；迁移与运用：见解析；操作与拓展： 【分析】观察与思考 先证明，再证明，根据旋转定义判断解答即可． 迁移与运用 连接，延长至点，使，连接．证明，再证明，利用内错角相等，两直线平行证明即可． 操作与拓展 连接，过点作于点，设的中点为Q，先证明，再证明，得到，利用勾股定理计算解答即可． 【详解】解：观察与思考 ∵， ∴ 故是由绕点逆时针旋转得到的． 迁移与运用   连接，延长至点，使，连接． ， ， ． ， ∵， ， ， ， ， ， ， ． 操作与拓展  ．理由如下： 连接，过点作于点，设的中点为Q， ， ∵， ， ， ，， ，， ， ， ∴， ∴, ∴, ∴． 【点睛】本题考查了旋转的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判断和性质是解题的关键． 36．【观察与猜想】 （1）如图1，点是矩形内一点，过点的直线，分别交矩形的边为点．若，则______； 【类比探究】 （2）如图2，在平行四边形中，点分别在边上，连接与交于点．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，在边上，连接与交于点，当时，求的值． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】（1）如图，过作于，过作于，根据矩形的性质得到，，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结论； （3）如图，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质得到，，，求得，在上截取，则为等边三角形，根据相似三角形的性质得到，设，则，列方程得到，过点作交于点，根据平行四边形的性质以及平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，过作于，过作于， 则四边形，四边形是矩形，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：，， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 即； （3）解：如图，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点， 四边形是平行四边形， ，，， ， 在上截取，则为等边三角形， ， ， ， ， ， 设，则， ， 则， ， ， 解得：， ， 四边形是平行四边形， 过点作交于点， 由（2）可得：， 故四边形为平行四边形， ， ， ． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键． 37．如图，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，点的坐标是，点的坐标是，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)为线段上的一个动点，过点作轴于点，点坐标为． ①在上是否存在点，使为直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； ②连接，若，求的值． 【答案】(1) (2)①存在，或；② 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）①利用待定系数法求得直线的解析式为，由于，不可能为直角，分两种情况：当时，当时，分别求解即可；②连接，过点作，交延长线于点，过点作轴于点，过点作轴于点，交于点，证明得出，由题意得，从而得到，，证明得出，代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）①存在，理由如下： ， ∴抛物线的顶点为， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， ， ，不可能为直角； 当时，则， 轴， ， 解得：， ； 当时，过点作轴于，如图，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ，， ， ， 解得：，， ， ， ， ， 综上所述，当为直角三角形时，点的坐标为或； ②解：如图，连接，过点作，交延长线于点，过点作轴于点，过点作轴于点，交于点， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 由题意得，， ∴， 由题意知，四边形、四边形都是矩形， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，采用数形结合和分类讨论的思想，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 38．已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标； (3)如图2，若点是的中点，点是抛物线上一点，其横坐标为，试探究是否存在点，使？若存在，求出的值（只要求条理清楚地简要写出求解思路即可，不需要写出详细计算过程）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2) (3)在抛物线上存在点，当或时，使． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理等等： （1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，连接由对称性可得，则当P、B、C三点共线时，有最小值，即此时有最小值，求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，再求出直线与对称轴的交点坐标即可得到答案； （3）如图所示，取点，连接，求出，证明是等腰直角三角形，得到，则射线与抛物线的交点即为点N的位置，同理取，可证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：把、代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，连接 点B与点关于对称轴对称， ， ∴， ∴当P、B、C三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 在中，当时，， ∴ 设直线的解析式为， ∴， ∴， 直线的解析式为， ， 对称轴为直线， 将代入得，， ； （3）解：存在点，使． 如图所示，取点，连接， ∵，点M为的中点， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴射线与抛物线的交点即为点N的位置， 同理可得直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去）， ∴； 同理取，可证明， 同理可得直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去）， ∴； 综上所述，当或，． 39．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B，点C的坐标为，点为轴正半轴上的动点，连结，过点作直线的垂线交轴于点，垂足为点，连结． (1)求出A，B两点的坐标； (2)求证：； (3)在点D的运动过程中，当为等腰三角形时，请直接写出点D的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为； (2)见解析 (3)当为等腰三角形时，点的坐标为或． 【分析】（1）把代入，得点的坐标，把代入，得点的坐标； （2）证明，和，得到； （3）设，则，，分，和三种情况求解点的坐标． 【详解】（1）解：把代入，得， 点的坐标为， 把代入，得， 点的坐标为； （2）解：，， ， ， ， ，， ， ，， ； （3）解：在延长线上取一点，使得，连接， 由（2）得，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则，， ①若，则，得， 与点为轴正半轴上的动点矛盾，此情况不成立； ②若，则，得， 解得， ， ， 点的坐标为； ③若，则，得， 解得， ， ， ， 设， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， ，即， 得， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查求一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的存在性问题，相似三角形的判定与性质等，本题的关键是利用分类讨论思想解题． 40．如图，在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为（，为常数），点、分别在轴和轴上，且，点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，以点为顶点的抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)在（2）中抛物线的对称轴上有一点，且以点、、为顶点的三角形与相似，求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)， (2)抛物线的解析式为 (3)满足条件的点的坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数综合应用，对称变换，三角形相似的判定与性质； （1）在中，令得可得，又，即有； （2）根据点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，得，，设抛物线的解析式为，将点代入得可求出，故抛物线的解析式为； （3）因点在抛物线的对称轴上，即在轴上，故，而，，所有要使以点、、为顶点的三角形与相似，只需或，设点的坐标为，①当 时，，有，可得，；②当 时，，有，可得，． 【详解】（1）解：在中，令得：， 解得， ， ， ， ， ； （2）解：点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为， 由（1）知，， ，， 由以点为顶点的抛物线经过点，设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得， 抛物线的解析式为； （3）解：如图： 点在抛物线 的对称轴上，即在轴上， ， ，， 要使以点、、为顶点的三角形与相似，只需或， 设点的坐标为， ①当时，， ， ， ，； ②当时，， ， ， ，， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 41．已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G． 【问题发现】 （1）如图1，若四边形是正方形，且于G，则______； 【拓展研究】 （2）如图2，当四边形是矩形时，且于G，，，则______； 【解决问题】 （3）老师上课时提出这样的问题：如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：； 小圳同学冥思苦想不得其解，提问到：在做题过程中，我先将转化成：，发现与显然不相似，所以没办法直接得出，怎么办呢？ 老师提示说：你是不是可以考虑引入一个桥梁或者考虑下添加辅助线来帮助解题呢？ 同学们，请你帮助小圳同学解决此题，写出完整证明过程； （4）如图4，若，，，于G，请直接写出的值．      【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析；（4） 【分析】（1）由四边形为正方形，利用正方形的性质得到，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）由四边形为矩形，得到一对直角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似得到，利用相似三角形对应边成比例即可得证； （3）如图，在的延长线上取点，使，利用平行线的性质，以及同角的补角相等得到，利用相似三角形对应边成比例即可得证． （4）过点C作于点M，作于点N，连接，设，利用三角形全等，相似和勾股定理，解得即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； （2）∵四边形是矩形，，， ∴，,， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵四边形为平行四边形， ∴，， 如图，在的延长线上取点，使，      则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． （4）过点C作于点M，作于点N，设， ， 四边形为矩形，， 为公共边， ， ， ， ， ，即， ， 在中，， 即，    解得（舍），或， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了特殊平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握和运用各图形的性质和定理进行推理是解决本题的关键． 42．综合与探究    (1)如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，则线段与的之间的数量关系为_____________； (2)【类比探究】如图2，在矩形中，，点E，F分别在边，上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论． (3)【拓展延伸】如图3，在中，，D为上一点，且，连接，过点B作于点F，交于点E，求的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）通过证明，利用相似三角形的性质，即可求解； （3）过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，延长交于点，勾股定理求得，根据（2）知，求得，证明，利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：结论：，理由如下： 设与相交于点P，如图1中，    ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）结论：，理由如下： ∵， ∴． 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，过点A作的垂线，过点C作的垂线，两垂线交于点G，延长交于点H． ∴ ∵，      ∴四边形是矩形． ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． 43．如图，正方形中，点E、F分别在正方形的边、上，将线段绕点E逆时针旋转，得到线段，点F的对应点是点G，连接． (1)如图①，当点G在边上，且，时，求． (2)如图②，若E是的中点，与相交于点H，连接．求证：平分． (3)如图③，若点F和点B重合，、分别交于点M、N，连接．求证：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）先根据正方形的性质，得到，然后利用直角三角形的性质推得，再根据全等三角形的判定得到，从而求得的长，最后根据勾股定理计算即得答案； （2）延长和延长线相交于点P，先根据正方形的性质，证明，然后证明，得到，再根据线段垂直平分线的性质，证得，从而得到，即得答案； （3）过点G作，交的延长线于点Q，先证明，得到，，进一步推得，从而可得，继续推理可证明，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：延长和延长线相交于点P， E是的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即平分； （3）证明：过点G作，交的延长线于点Q， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 44．（1）在菱形中，，点P在边边上，连接，点Q在的延长线上，连接，，求证：； （2）菱形中，点P、Q分别是,上的动点，且满足，当时，求与的面积之和． （3）平行四边形中，，P是上一动点，Q是上一动点，且满足，，，当时，求的长度． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）4 【分析】（1）连接，证明即可得证． （2）延长到H使得，连接，证明，判定三角形是等边三角形，得到，计算即可． （3）延长到H使得，证明，再证明是等边三角形，解答即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． （2）解：延长到H使得，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，，． ∵，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． （3）解：延长到H使得， ∵， ， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 45．已知：如图，在四边形中，，，，，，连接，点从点出发沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发沿方向匀速运动，速度为；过点作交于点，连接，当一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为． (1)当点在线段的垂直平分线上时，求的值； (2)当四边形是矩形时，求的值； (3)设四边形的面积为，求与的函数关系式； (4)取的中点，是否存在某一时刻，使得点、、在同一条直线上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)； (4)存在某一时刻时，使得点、、在同一条直线上． 【分析】过点作于点，由勾股定理求得，再证明，用表示，由当点在线段的垂直平分线上时，得，列出的方程求得的值便可； 当四边形是矩形时，则，得，进而列出的方程求解便可； 先证明，得，求得，再证，用表示，，，根据得出结果便可； 过点作，与交于点，如图，则，当、、三点共线时，，根据相似三角形的性质列出的方程，若方程无解，则不存在某一时刻，使得点、、在同一条直线上，若方程有解，则存在某一时刻，使得点、、在同一条直线上，求得其解便可． 【详解】（1）解：过点作于点，如图， ，，， ， ， ， ， ， ，即， ， 当点在线段的垂直平分线上时，则， 即， 解得； （2）解：当四边形是矩形时，则， ， ，即， 解得； （3）解：，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， 即； （4）解：过点作，与交于点，如图，则， 是的中点， ∴， ，， ， 当、、三点共线时， ， ， ，即， 整理得，， 解得舍或， 故存在某一时刻时，使得点、、在同一条直线上． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，三角形的面积，直角三角形的性质，求函数解析式，构造直角三角形和证明相似三角形是解题的关键． 46．平移图形是解答几何题目时一种重要的添加辅助线策略． 如图①，在正方形中，E、F、G分别是、、上的点，于点Q．求证：． 小鹿在分析解题思路时想到了两种平移法： 方法一：平移线段使点F与点B重合，构造全等三角形； 方法二：平移线段使点B与F重合，构造全等三角形；    【尝试应用】 (1)请按照小鹿的思路，选择其中一种方法进行证明； (2)如图②，点E、F、G、H分别是矩形边、、、上的点，且，若，，求的值； 【拓展探究】 (3)如图③，点E、F分别是平行四边形边、上的点，连接、交于点G，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)证明见解析． 【分析】（1）平移至，使点F与点重合，证明，进而得出结论； （2）将平移至，将平移至，可证得，进而得出结果； （3）平移至，交于，以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于，，，从而得出，进一步得出结论． 【详解】（1）证明：如图1，    平移至，使点F与点重合， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ． （2）解：如图2，    将平移至，将平移至， ，， 同理（1）得， ， 同理（1）可得： ，， ， ， ． （3）解：如图3，    平移至，交于，以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， 在四边形中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，平行四边形、矩形的性质与判定，平移的性质，解本题的关键是根据题意做出适当的辅助线． 47．在中，，D为上一点，连接，将绕C点逆时针旋转至，连接，过C作交于F，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）将绕C点逆时针旋转至可得是等腰直角三角形，再判定，即可证明结论； （2）如图：连接，根据是的垂直平分线可得，再根据中，，即可证明结论； （3）根据可得，设,则，再根据中，即可解得，进而得到的长即可． 【详解】（1）证明：绕C点逆时针旋转至可得是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：如图，连接， ∵是等腰直角三角形， ∴是的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． （3）解：∵，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设,则， 在中，， 解得（负值舍去）， ∴． 48．如图，矩形的两个顶点A、B分别落在x、y轴上，顶点C、D位于第一象限，且，对角线交于点G，若曲线经过点C、G． (1)设，求点G的坐标（用含m、n的式子表示）； (2)求点C的坐标； (3)求矩形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图，分别过C、G两点作x轴的垂线，交x轴于点E、F，根据矩形的性质可得，进而得到、即可解答； （2）由题意可得解得，作轴于H，即；再证明，利用相似三角形的性质列比例式可得，进而得到即可解答； （3）由勾股定理可得、，然后根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，分别过C、G两点作x轴的垂线，交x轴于点E、F， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵曲线经过点C、G， ∴， 解得：， 如图：作轴于H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴ ∵，， ∴ ∴矩形的面积． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、坐标与图形、勾股定理、反比例函数与几何的综合等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 49．已知，点O是等边内的任一点，连接． (1)如图1，已知，，将绕点按顺时针方向旋转得． ①的度数是　　　　； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)设，． ①当，满足什么关系时，有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由； ②若等边的边长为1，直接写出的最小值． 【答案】(1)①；②．证明见解析 (2)①当时，有最小值，见解析；② 【分析】（1）①根据旋转变换的性质、四边形内角和为计算即可； ②连接，根据勾股定理解答； （2）①将绕点按顺时针方向旋转得，连接，根据等边三角形的性质解答； ②根据等边三角形的性质计算． 【详解】（1）解：①，， ， 由旋转的性质可知，，， ， 故答案为：； ②线段，，之间的数量关系是． 如图1，连接． 绕点按顺时针方向旋转得， ，． ，，． 是等边三角形， ，， ，， ， ，． ． 在中，， ． ． （2）解：①如图2，当时，有最小值． 作图如图2， 如图2，将绕点按顺时针方向旋转得，连接． ，． ，，， ． 是等边三角形． ，． ， ． ． 四点，，，共线． 时值最小； ②当等边的边长为1时，的最小值． 50．如图①，在中，，，点为边上的一点，连接，过点作于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图②，若 ，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，证明； （2）过点B作交的延长线于H，根据相似三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明结论； （3）证明，根据相似三角形的性质求出，根据平行线分线段成比例列出比例式，计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图①，过点B作交的延长线于H， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 由（1）可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：在中，，， ， 则，， 设，则， 在中，， 则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得： (舍去)， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、一元二次方程的解法，掌握相似三角形的判断定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$