专题6 平面向量（考点精练）-2025年河北省高职单招数学备考复习讲练测

专题6 平面向量 1．下列说法中，正确的个数是 (　 　) ①零向量是没有方向的； ②向量的模是一个正实数； ③相等向量一定是平行向量； ④向量a与b不共线，则a与b都是非零向量． A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是_ __(填序号)． (1)与；(2)与；(3)与；(4)与． 3．若C是线段AB的中点，则＋＝ (　 　) A． B． C．0 D．以上均不正确 4．在△ABC中，＝a，＝b，则等于 (　 　) A．a＋b B．－a－b C．a－b D．b－a 5．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝_ __，y＝__－__. 6．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于(　 　) A．－　　 B．　　　　 C．－或　　 D．0 7．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝(　 　) A．12　　 B．12　　 C．－12　　 D．－12 8．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　 　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 9．向量满足与的夹角为，则 ． 10．已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝__ __. 11．已知，且，则向量 . 12．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于(　 　) A．3　　 B．－3　　 C．　　 D．－ 13．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于(　 　) A．　　 B．2　　 C．4　　 D．12 14．已知量，，若，则（    ） A． B． C． D．2 15．设，，，则（    ） A． B．1 C． D． 1．下列说法正确的是 (　 　) A．共线的两个单位向量相等 B．相等向量的起点相同 C．若∥，则一定有直线AB∥CD D．若点A，B，C，D在同一直线上，则∥ 2．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与平行的向量有 (　 　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋等于 (　B　) A． B． C． D． 4．化简－＋－得 (　 　) A． B． C． D．0 5．点C在直线AB上，且＝3，则等于 (　 　) A．－2 B． C．－ D．2 6．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝__ __. 7．如图所示，矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于(　A　) A．(5e1＋3e2) B．(5e1－3e2) C．(3e2－5e1) D．(5e2－3e1) 8. 设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是(　D　) A．|a|＝|b|　　 B．a·b＝0 C．a∥b　　 D．(a－b)⊥b 9．已知点A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则·等于(　B　) A．－1　　 B．0　　 C．1　　 D．2 10．向量，，则 （    ） A． B．0 C． D．1 11．已知三点A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，求∠BAC的余弦值 12．已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 13．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，求k的值. 14．设x、y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝(　 　) A．　　 B．　　 C．2　　 D．10 15．设两个非零向量a与b不共线， (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线. 1. （2024年河北单招）下列各组向量中互相垂直的向量是（ ） A. B. C. D. 2. （2024年河北单招）已知向量，则向量与向量夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 3. （2023年河北单招）已知向量，则=（ ） A. （3，0） B. （3，4）C. （1，-4） D.（1，0） 4. （2023年河北单招）已知向量，则=（ ） A. 1 B. -1C. 0 D.2 5. （2023年河北单招）已知两点A（2，5）和B(-4,-3)，则|AB|=（ ） A. 5 B. 4C. 8 D.10 6. （2022年河北单招）已知向量 ( ) 7 （2022年河北单招）已知点A（5，3），B(3,-1)，则=（ ） A.（1，2） B.（2，4） C. （-2，-4） D. （-1，-2） 8. （2022年河北单招）下列向量中，与共线的向量是（ ） A.（-3，2） B.（3，-2） C. （-2，3） D. （2，3） 9. （2022年河北单招）已知，则（ ） A.9 B. -7 C. -3 D.6 10. （2021年河北单招）已知向量，则（ ） A.（3，-7） B.（-3，7） C. （-1，-1） D. （1，1） 11. （2021年河北单招）已知向量（ ） A.4 B.8 C. D. 12. （2021年河北单招）已知向量，则（ ） A. B. C. D. 13. （2021年河北单招）两个单位向量一定相等. ( ) 14. （2021年河北单招）. ( ) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6 平面向量 1．下列说法中，正确的个数是 (　B　) ①零向量是没有方向的； ②向量的模是一个正实数； ③相等向量一定是平行向量； ④向量a与b不共线，则a与b都是非零向量． A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　对于①，零向量的方向是任意的，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确． 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是__(1)(4)__(填序号)． (1)与；(2)与；(3)与；(4)与． [解析]　由平行四边形的性质和相等向量的定义可知： ＝，≠；≠，＝． 3．若C是线段AB的中点，则＋＝ (　C　) A． B． C．0 D．以上均不正确 [解析]　由题意知与大小相等，方向相反，则＝＝0，故选C． 4．在△ABC中，＝a，＝b，则等于 (　B　) A．a＋b B．－a－b C．a－b D．b－a [解析]　＝－＝－－＝－a－b，故选B． 5．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝__－15__，y＝__－12__. [解析]　∵向量e1，e2不共线， ∴解得 6．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于(　C　) A．－　　 B．　　　　 C．－或　　 D．0 [解析]　本题考查了向量的坐标运算，向量平行的坐标表示等.由a∥b知1×2＝m2，即m＝或m＝－. 7．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝(　C　) A．12　　 B．12　　 C．－12　　 D．－12 [解析]　m·n＝|m||n|cos θ＝4×6×cos 135°＝－12. 8．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　B　) A．　　 B．　　 C．　　 D． [解析]　∵|a|＝，|b|＝，a·b＝5． ∴cos〈a，b〉＝＝＝. 又∵a，b的夹角范围为[0，π]，∴a与b的夹角为. 9．向量满足与的夹角为，则 ． 【答案】2 【分析】先求，即可得解. 【详解】， 所以. 故答案为：2. 10．已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝__－__. [解析]　∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)， ∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4， |a|＝＝2，|b|＝＝10． ∴cos〈a，b〉＝＝＝－. 11．已知，且，则向量 . 【答案】 【分析】利用向量数量积的坐标运算可求得，由此可计算得到所求模长. 【详解】，，，. 故答案为：. 12．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于(　A　) A．3　　 B．－3　　 C．　　 D．－ [解析]　a·b＝－x＋6＝3，故x＝3． 13．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于(　B　) A．　　 B．2　　 C．4　　 D．12 [解析]　∵a＝(2,0)，|b|＝1，∴|a|＝2， a·b＝2×1×cos 60°＝1． ∴|a＋2b|＝＝2. 14．已知量，，若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】若，则，解得. 故选：C. 15．设，，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据向量相加的坐标运算以及向量相乘的坐标运算可求得结果. 【详解】因为，， 所以，又， 所以， 故选：C. 1．下列说法正确的是 (　D　) A．共线的两个单位向量相等 B．相等向量的起点相同 C．若∥，则一定有直线AB∥CD D．若点A，B，C，D在同一直线上，则∥ [解析]　A错，共线的两个单位向量的方向可能相反；B错，相等向量的起点和终点都可能不相同；C错，直线AB与CD可能重合；D正确． 2．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与平行的向量有 (　C　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋等于 (　B　) A． B． C． D． [解析]　＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝． 4．化简－＋－得 (　D　) A． B． C． D．0 [解析]　原式＝(－)＋(＋)＝＋＝0． 5．点C在直线AB上，且＝3，则等于 (　D　) A．－2 B． C．－ D．2 [解析]　＝－＝3－＝2． 6．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝__(－3，－5)__. [解析]　∵＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5). 7．如图所示，矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于(　A　) A．(5e1＋3e2) B．(5e1－3e2) C．(3e2－5e1) D．(5e2－3e1) [解析]　＝＝(－)＝(＋)＝(5e1＋3e2). 8. 设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是(　D　) A．|a|＝|b|　　 B．a·b＝0 C．a∥b　　 D．(a－b)⊥b [解析]　a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝1－1＝0，所以(a－b)⊥b. 9．已知点A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则·等于(　B　) A．－1　　 B．0　　 C．1　　 D．2 [解析]　∵＝(2,3)－(1,2)＝(1,1)，＝(－2,5)－(1,2)＝(－3,3)，∴·＝1×(－3)＋1×3＝0． 10．向量，，则 （    ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】用坐标表示出，再由向量的数量积的坐标运算得出结果. 【详解】由题可知， ∴. 故选：D. 11．已知三点A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，求∠BAC的余弦值 [解析]　∵＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)， ＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)， ∴·＝3×(－1)＋3×6＝15． 又||＝＝3，||＝＝， ∴cos∠BAC＝＝＝. 12．已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据平面向量数量积的运算律和坐标表示建立关于x的方程，解之即可求解. 【详解】由，得，即， 又， 所以，即， 解得. 故选：D 13．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，求k的值. [解析]　ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4). 又ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0． 即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0得k＝19． 14．设x、y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝(　B　) A．　　 B．　　 C．2　　 D．10 [解析]　由a⊥c，得2x－4＝0　则x＝2，由b∥c得－4＝2y则y＝－2，|a＋b|＝＝. 15．设两个非零向量a与b不共线， (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线. [分析]　(1)欲证三点A、B、D共线，即证存在实数λ，使＝λ，只要由已知条件找出λ即可. (2)由两向量共线，列出关于a、b的等式，再由a与b不共线知，若λa＝μb，则λ＝μ＝0． [解析]　证明：(1)∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b) ∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b) ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5. ∴、共线， 又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线. 1. （2024年河北单招）下列各组向量中互相垂直的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的性质分析即可. 【详解】A：，故A正确； B：， 故B错误； C：，故C错误； D：, 故D错误. 故选：A. 2. （2024年河北单招）已知向量，则向量与向量夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的夹角公式可得，将条件代入计算可得答案. 【详解】因为向量, 所以, ， 记向量的夹角为， 由向量的夹角公式可得. 故选：D. 3. （2023年河北单招）已知向量，则=（ ） A. （3，0） B. （3，4）C. （1，-4） D.（1，0） 【答案】A 4. （2023年河北单招）已知向量，则=（ ） A. 1 B. -1C. 0 D.2 【答案】C 5. （2023年河北单招）已知两点A（2，5）和B(-4,-3)，则|AB|=（ ） A. 5 B. 4C. 8 D.10 【答案】D 6. （2022年河北单招）已知向量 ( ⅹ ) 7 （2022年河北单招）已知点A（5，3），B(3,-1)，则=（ ） A.（1，2） B.（2，4） C. （-2，-4） D. （-1，-2） 【答案】C 8. （2022年河北单招）下列向量中，与共线的向量是（ ） A.（-3，2） B.（3，-2） C. （-2，3） D. （2，3） 【答案】C 9. （2022年河北单招）已知，则（ ） A.9 B. -7 C. -3 D.6 【答案】A 10. （2021年河北单招）已知向量，则（ ） A.（3，-7） B.（-3，7） C. （-1，-1） D. （1，1） 【答案】C 11. （2021年河北单招）已知向量（ ） A.4 B.8 C. D. 【答案】C 12. （2021年河北单招）已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 13. （2021年河北单招）两个单位向量一定相等. ( ⅹ ) 14. （2021年河北单招）. ( √ ) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司7 学科网（北京）股份有限公司 $$