精品解析：四川省资阳中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

2024年10月月考 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 经过原点，且倾斜角是直线的倾斜角的2倍的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由斜率的几何意义得直线的倾斜角满足， 则由二倍角公式得所求直线的斜率， 因为直线过原点，所以直线方程为. 2. 已知样本数据的平均数与中位数之差为2，则样本数据的平均数与中位数之差为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】分别设出样本数据的平均数与中位数，推出出的平均数和中位数的表达式，即可求出样本数据的平均数与中位数之差. 【详解】解：由题意 在样本数据中，样本数据的平均数与中位数之差为2 设的平均数为，中位数为m， 则的平均数为，中位数为， ∴． 故选：C. 3. 向量的相反向量的单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用相反向量及单位向量概念即得. 【详解】∵向量， ∴， ∴向量的相反向量的单位向量是. 故选：C 4. 在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得. 【详解】在四面体中，不共面， 而 则 所以 故选：D 5. 已知，两点到直线的距离相等，求a的值（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式列出关于的方程求解即可. 【详解】因为点到直线的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或. 故选：C. 6. 我省高考从2021年开始实行“”模式，“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科.高一学生小明和小亮正准备进行选科，假如他们首选科目都是物理，再选科目选择每个科目的可能性均相等，且选择互不影响，则他们的选科完全相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用列举法求出每人从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科的选法共有6种选法；由于两人选科互不影响，所以两人选科的种类共有种，再由古典概型概率公式即可得解. 【详解】每人从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科的选法共有： {化学，生物}，{化学，政治}，{化学，地理}，{生物，政治}，{生物，地理}，{政治，地理},共6种选法. 由于两人选科互不影响，所以两人选科的种类共有种， 其中两人的选科完全相同的选法有6种， 所以他们的选科完全相同的概率为 故选：A 7. 如图①，在中，，，E，F分别为AB，AC上的点，，．如图②，将沿EF折起，当四棱锥的体积最大时，点E到平面ACF的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定四棱锥的体积最大时，平面，然后以为原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求点面距． 【详解】由得，所以，四边形的面积是确定的， 点到平面为，则，因此 四棱锥的体积最大时，取得最大值，所以平面， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 所以点到平面的距离为， 故选：B． 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不含端点）上运动，则下列结论正确的是（ ） ①的外接球表面积为； ②异面直线与所成角的取值范围是； ③直线平面； ④三棱锥的体积随着点的运动而变化. A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体棱长可知其外接球半径为,其表面积为，可判断①错误；建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的余弦值可求得②正确，求出平面的法向量为，可知，即③正确，易知点到平面的距离是定值，利用等体积法可知三棱锥的体积为定值，即④错误. 【详解】对于①，根据题意，设棱长为2的正方体外接球半径为, 则满足，可得， 此时外接球的表面积为，可知①错误； 对于②，以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，所以， 设，其中； 可得， 异面直线与所成角的余弦值为， 易知时，， 可得， 所以异面直线与所成角的取值范围是，即②正确； 对于③，由②可知，，则； 设平面的法向量为，又， 则，取，则； 所以平面的法向量为， 此时，可得，又平面， 所以直线平面，即③正确； 对于④，根据正方体性质平面，所以， 易知直线到平面的距离是定值，底面的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，因此三棱锥的体积不会随点的运动而变化，即④错误； 综上所述，正确的结论为②③. 故选：C 【点睛】方法点睛：求解异面直线所成角的方法： （1）平移法：将两异面直线通过平移作出其平面角，再利用余弦定理取得余弦值； （2）向量法：建立空间直角坐标系利用空间向量所成的角与异面直线所成的角的关系，求得两向量夹角的余弦值. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列说法正确的是（　　） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B. 已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数 C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是21 D. 甲乙丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为18 【答案】AD 【解析】 【分析】利用简单随机抽样的意义判断A；求出众数、中位数判断B；求出第70百分位数判断C；利用分层抽样的意义求出样本容量判断D作答. 【详解】对于A，个体被抽到的概率为，A正确； 对于B，数据1，2，3，3，4，5的众数为3，中位数为3，B错误； 对于，数据27，12，14，30，15，17，19，23从小到大排列为：12，14，15，17，19，23，27，30， 由于%，因此给定数据的第70百分位数是23，C错误； 对于D，令样本容量为，依题意，，解得，D正确. 故选：AD 10. 直线，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的倾斜角的范围是 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，到的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出直线的斜率范围判断A；由两直线平行求出a判断B；由两直线垂直求出a判断C；由平行线间距离公式计算判断D. 【详解】对于A，当时，直线的斜率， 当时，的倾斜角， 当时，的倾斜角，A错误； 对于B，由，得，解得，故B正确； 对于C，由，得，解得，C正确； 对于D，当时，，直线， 到的距离为，D正确. 故选：BCD 11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，、分别是线段、的中点，是线段上的一个动点（含端点、），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得异面直线与所成的角为 C. 三棱锥体积的最大值是 D. 当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用向量垂直的坐标运算判断A选项；利用异面直线的向量夹角公式计算判断B选项；连接、、，结合锥体体积公式，利用等体积法判断C选项；利用向量的坐标运算表示线面角的正弦值，然后利用二次函数及正弦函数的单调性即可判断D选项. 【详解】以为坐标原点，、、的方向为、、轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，    ，，，，，，； 对于A选项，假设存在点，使得， 则，又， 所以，解得， 即点与重合时，，A正确； 对于B选项，假设存在点，使得异面直线与所成的角为， 因为，， 所以，方程无解； 所以不存在点满足题意，B错误；    对于C选项，连接、、，设， 因为， 所以当，即点与点重合时，取得最大值； 又点到平面的距离， 所以，C正确； 对于D选项，由上分析知：，， 若是面的法向量，则， 令，则， 因为，设直线与平面所成的角为，， 所以， 当点自向处运动时，的值由到变大，此时也逐渐增大， 因为在为增函数，所以也逐渐增大，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 如图，三棱锥中，，，，点为中点，点N满足，则________．（用，，表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】. 故答案为： 13. 已知，，点是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是 ________． 【答案】[1，2] 【解析】 【分析】可以看成过点与坐标原点的直线的斜率，数形结合即得解 【详解】设，则可以看成过点与坐标原点的直线的斜率. 当点在线段上由点运动到点时，直线的斜率由增大到，如图所示. 又，，所以，即的取值范围是[1，2]. 故答案为：[1，2] 14. 台球赛的一种得分战术手段叫做“斯诺克”：在白色本球与目标球之间，设置障碍，使得本球不能直接击打目标球.如图，某场比赛中，某选手被对手做成了一个“斯诺克”，本球需经过边，两次反弹后击打目标球N，点M到的距离分别为，点N到的距离分别为，将M，N看成质点，本球在M点处，若击打成功，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】以C为原点，边分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，写出的坐标，求出关于轴的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，则直线方向为本球射出方向，利用斜率公式和诱导公式可求出结果. 【详解】以C为原点，边分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图， 则， N关于x轴的对称点为关于y轴的对称点为， 直线方向为本球射出方向， 故,. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知直线l过点. （1）从下面两个条件中任选一个，求直线l的方程； 条件①：直线l的倾斜角比直线的倾斜角大； 条件②：直线l的一个方向向量为； [注：若选多个条件作答，只按第一个作答给分] （2）若直线l在y轴截距是x轴截距的2倍，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）条件①：根据题意可知直线的倾斜角，进而可知l的倾斜角和斜率，结合直线的点斜式分析求解；条件②：由方向向量可知l的倾斜角和斜率，结合直线的点斜式分析求解； （2）分类讨论截距为0和截距不为0，结合直线的截距式方程运算求解. 【小问1详解】 条件①：因为直线的斜率为，可知其倾斜角为， 则l的倾斜角为，可知l的斜率， 所以l的方程为：，即； 条件②：由直线l的一个方向向量为，可知l的斜率， 所以l的方程为：，即. 【小问2详解】 设直线l在y轴上的截距为，则在x轴上的截距为， 当截距为0时，直线l的方程为：； 当截距不为0时，设l方程为， 将点代入得：，则， 所以直线l的方程为：，即； 综上所述，直线l的方程为：或. 16. 在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下．某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数； （2）求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的中位数； （3）由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率． 【答案】（1）4 （2）；中位数为 （3） 【解析】 【分析】（1）先分别求出的频率，进而由10乘以抽样比可求答案； （2）根据频率的性质，利用各小长方形的面积和等于1可求；利用各组中值与频率可估计平均数；先确定中位数所在的小长方形，再设中位数为，进而利用面积等于0.5即可求解； （3）根据独立事件的乘法公式即可求解. 【小问1详解】 从图中可知组距为，则的频率分别为， 从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人时， 成绩不高于50分的人数为（人）. 【小问2详解】 由图可知，解得.. 因为且， 所以中位数在内， 设估计的中位数为，则，得. 【小问3详解】 记甲、乙、丙获优秀等级分别为事件、、， 则三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率等于 . 17. 如图，已知和所在的平面互相垂直，，，求： （1）AD与BC所成的角； （2）AD与平面BCD所成的角； （3）二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得与所成的角. （2）利用向量法求得与平面所成的角. （3）利用向量法求得二面角的大小. 【小问1详解】 设， 作于点，连接， 由于平面平面，且交线为， 所以平面，则. 由于， 所以三角形与三角形全等. 所以. 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， ， ， 所以与所成的角为. 【小问2详解】 平面的法向量为， 设与平面所成角为， 则， 由于，所以. 【小问3详解】 设平面的法向量为， ， ，故可设. 设二面角的为，由图可知为钝角， . 18. 如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且. （1）求证：共面； （2）当为何值时，； （3）若，且，求的长. 【答案】（1）在平行六面体中，连接， 因为， 所以， ， 所以，即且， 所以四边形为平行四边形，即共面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用向量证明，然后可证； （2）以为基底表示出，然后根据求解可得； （3）利用基底表示出，然后平方转化为数量积求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， ， 若，则， 即， 即， 解得或舍去， 所以时， 【小问3详解】 ， ， ， 所以 ，所以的长为 19. 如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2． （1）当为何值时，平面平面? （2）设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）先探索面面垂直的必要条件，再证明充分性即可. （2）由（1）得面面垂直、线面垂直关系，建立空间直角坐标系，用向量方法表示线面角的正弦值，建立关于的方程求解即可 （3）借助体积公式可得当平面时，三棱锥的体积最大，借助等体积法计算可得内切球半径. 【小问1详解】 连接，由题意得，， 则为等边三角形，， 在中，， 由余弦定理得， 所以，由， 则，故. 若平面平面， 由平面平面，平面，， 则平面，平面，则， 所以. 下面证明当时，平面平面. 证明：由，则， 所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 故当时，平面平面； 【小问2详解】 由（1）知，，则平面平面. 在平面内过作， 由平面平面，平面， 则平面，平面，则. 如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 由， ， 因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以， 化简得，解得或（舍去）， 故当时，存在，使直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 设点到平面的距离为， 由，其中为定值， 则要使三棱锥的体积最大时，则点到平面的距离取最大， 取中点，连接，则， 当平面时，点到平面的距离最大， 此时，由平面，则平面平面， 由（1）知，，为直角三角形， . 则， ， ， 在中，，取中点， 则，且， 所以， 设内切球球心为，内切球半径为，由等体积法知， 其中，， 故， 故当三棱锥的体积最大时，三棱锥的内切球的半径为. 【点睛】方法点睛：空间几何体的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出或找到截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径；三是建立空间直角坐标系，设出球心坐标，利用有关半径等的等量关系解方程组可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年10月月考 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 经过原点，且倾斜角是直线的倾斜角的2倍的直线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 已知样本数据的平均数与中位数之差为2，则样本数据的平均数与中位数之差为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 3. 向量的相反向量的单位向量是（ ） A. B. C. D. 4. 在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，两点到直线的距离相等，求a的值（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 我省高考从2021年开始实行“”模式，“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科.高一学生小明和小亮正准备进行选科，假如他们首选科目都是物理，再选科目选择每个科目的可能性均相等，且选择互不影响，则他们的选科完全相同的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图①，在中，，，E，F分别为AB，AC上的点，，．如图②，将沿EF折起，当四棱锥的体积最大时，点E到平面ACF的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不含端点）上运动，则下列结论正确的是（ ） ①的外接球表面积为； ②异面直线与所成角的取值范围是； ③直线平面； ④三棱锥的体积随着点的运动而变化. A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列说法正确的是（　　） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B. 已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数 C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是21 D. 甲乙丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为18 10. 直线，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的倾斜角的范围是 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，到的距离为 11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，、分别是线段、的中点，是线段上的一个动点（含端点、），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得异面直线与所成的角为 C. 三棱锥体积的最大值是 D. 当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 如图，三棱锥中，，，，点为中点，点N满足，则________．（用，，表示） 13. 已知，，点是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是 ________． 14. 台球赛的一种得分战术手段叫做“斯诺克”：在白色本球与目标球之间，设置障碍，使得本球不能直接击打目标球.如图，某场比赛中，某选手被对手做成了一个“斯诺克”，本球需经过边，两次反弹后击打目标球N，点M到的距离分别为，点N到的距离分别为，将M，N看成质点，本球在M点处，若击打成功，则___________． 四、解答题：本题共5小题共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 已知直线l过点. （1）从下面两个条件中任选一个，求直线l的方程； 条件①：直线l的倾斜角比直线的倾斜角大； 条件②：直线l的一个方向向量为； [注：若选多个条件作答，只按第一个作答给分] （2）若直线l在y轴截距是x轴截距的2倍，求直线l的方程. 16. 在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下．某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数； （2）求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的中位数； （3）由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率． 17. 如图，已知和所在的平面互相垂直，，，求： （1）AD与BC所成的角； （2）AD与平面BCD所成的角； （3）二面角的余弦值． 18. 如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且. （1）求证：共面； （2）当为何值时，； （3）若，且，求的长. 19. 如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2． （1）当为何值时，平面平面? （2）设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $