12.4 分式方程（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（冀教版）

12.4 分式方程 数学（冀教版） 八年级 上册 第十二章 分式和分式方程 学习目标 2.掌握解分式方程的基本思路和解法. 1.理解分式方程的概念并会判断一个方程是否是分式方程. 4.理解分式方程可能无解的原因. 3.能解决根据分式方程根的情况，确定字母的值或取值范围. 　 温故知新 去分母、去括号、移项、合并同类项、化未知数的系数为1. 含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程. 3.解一元一次方程有哪些步骤？ 1.什么叫方程？ 2.什么叫方程的解？ 使方程的左右两边相等的未知数的值. 　 导入新课 一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等.设江水的流速为x千米/时，根据题意可列方程 . 这个程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次方程有什么区别？ 讲授新课 知识点一 分式方程的定义 甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍. （1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？ （2）如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，那么x满足怎样的方程？ （3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh，那么 y 满足怎样的方程？ 讲授新课 （1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？ 解：（1）等量关系： 列车的速度×行驶时间=1400 乘高铁列车行驶时间=乘特快列车的行驶时间﹣9 高铁列车的平均速度=特快列车平均速度× 2.8 讲授新课 (2)如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，那么x满足怎样的方程？ 那么高铁列车的平均行驶速度为2.8xkm/h 已知路程和速度，用时间关系列方程 讲授新课 (3)如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh，那么y满足怎样的方程？ 那么特快列车从甲地到乙地需(y+9)h 已知路程和时间，用速度关系列方程 讲授新课 思考：由上面的问题，我们得到了两个方程，它们有什么共同特点？ 分母中都含有未知数. 讲授新课 比较左右两边的方程，有什么不同? 方程的分母中不含未知数 方程的分母中含未知数 整式方程 分式方程 讲授新课 归纳总结 1.分式方程的概念 2.分式方程的特征： 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. （1）是等式； （2）方程中含有分母； （3）分母中含有未知数. 讲授新课 思考：分式方程与整式方程有什么区别？ 我们学过的一元一次方程、二元一次方程等都是整式方程，分母中不含未知数。 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 区别分式方程和整式方程：看分母是否含有未知数 讲授新课 练一练 1、下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程. 整式方程 分式方程 讲授新课 知识点二 分式方程的解法 你能试着解这个分式方程吗？ （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？ （4）这样做的依据是什么？ 解分式方程最关键的问题是什么？ （1）如何把它转化为整式方程呢？ “去分母” 讲授新课 方程各分母最简公分母是：（30+x）(30-x) 解：方程①两边同乘（30+x)(30-x)，得 检验：将x=6代入原分式方程中，左边= =右边，因此x=6是原分式方程的解. 90（30-x)=60(30+x)， 解得 x=6. x=6是原分式方程的解吗？ 讲授新课 解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母” 即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法. 归纳: 讲授新课 下面我们再讨论一个分式方程： 解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得 x+5=10， 解得 x=5. x=5是原分式方程的解吗？ 讲授新课 检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程 的解，实际上，这个分式方程无解. 讲授新课 思考： 上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解， 而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 讲授新课 真相揭秘： 分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同. 我们再来观察去分母的过程: 90(30-x)=60(30+x) 两边同乘(30+x)(30-x) 当x=6时,(30+x)(30-x)≠0 讲授新课 真相揭秘：分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解. x+5=10 两边同乘(x+5)(x-5) 当x=5时, (x+5)(x-5)=0 讲授新课 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验． 分式方程解的检验------必不可少的步骤 检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 讲授新课 典例精析 【例1】 ：解方程： 解:去分母,得x=3(x-2). 去括号,得x=3x-6. 移项,得x-3x=-6. 合并同类项,得-2x=-6. 未知数的系数化为1,得x=3. 讲授新课 练一练 解：方程两边都乘x－2，得 解这个方程，得x=2． 1－x=－1－2（x－2）． 1、解分式方程 ． 检验：当 x=2时，x-2=0, x=2是原方程的增根， 所以，原方程无解。 讲授新课 2、解方程 解： 方程两边乘x(x-3),得 2x=3x-9. 解得 x=9. 检验：当x=9时，x(x-3) ≠0. 所以，原分式方程的解为x=9. 讲授新课 3、解方程 解： 方程两边乘(x-1)(x+2),得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3. 解得 x=1. 检验：当x=1时， (x-1)(x+2) =0, 因此x=1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 讲授新课 知识点三 根据分式方程解的情况求参数 【例2】 关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是____________． 解析：去分母得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1， ∵关于x的方程 的解是正数， ∴x＞0且x≠1， ∴－a－1＞0且－a－1≠1， 解得a＜－1且a≠－2， ∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2. a＜－1且a≠－2 讲授新课 1、若关于x的分式方程 有非负数解，则a的取值范围是_______．   讲授新课 解：去分母，得-3（x+1）+a（x-1）=8， ∵原方程有增根， ∴最简公分母（1-x）（x+1）=0， 解得x=1或-1， 当x=1时，-6=8，这是不可能的． 当x=-1时，-2a=8，此时a=-4． 由此可得方程的增根为-1. 若 有增根，则这个方程的增根是_______． 2、 讲授新课 3、若关于x的方程 有增根，则m的值是_______． 解：方程两边都乘以（x-2）得， 2-x-m=2（x-2）， ∵分式方程有增根， ∴x-2=0， 解得x=2， ∴2-2-m=2（2-2）， 解得m=0． 讲授新课 若关于x的分式方程 无解，求m的值． 4、 解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根． 解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)， 即(m－1)x＝－10. ①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1； ②方程有增根，则x＝2或x＝－2， 当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×2＝－10，m＝－4； 当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6， ∴m的值是1，－4或6. 讲授新课 5、已知关于x的方程 无解，求m的值． 解：去分母，整理得 （m+3）x=4m+8，① 由于原方程无解，故有以下两种情况： （1）方程①无实数根，即m+3=0， 而4m+8≠0，此时m=-3． （2）方程①的根是增根，增根是x=3，把x=3代入方程①解得m=1． 因此，m的值为-3或1． 当堂检测 1.下列方程①，②，③，④中，是关于x的分式方程的有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2.把分式方程的两边同时乘以，约去分母，得（     ） A． B． C． D． A D 当堂检测 3.解方程时： 小燕认为：方程两边都乘以，得 小红认为：方程两边都乘以，得 小杰认为：方程两边都乘以，得 以上三位同学的理解，错误的是(     ) A．小燕 B．小红 C．小杰 D．没有错误，三位同学都正确 C 当堂检测 4.关于x的方程的解为x=1，则a的值为（     ） A．2 B．3 C．-1 D．-3 5.下列说法：①是分式方程：②x=1或x=-1是分式方程=0的解；③分式方程转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘x(x+4)；④解分式方程时一定会出现增根，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6.如果方程，那么（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 D B B 当堂检测 7.当________时，分式与分式互为相反数． 8.如图在解分式方程的过程 中，步骤（2）的依据是________________， 步骤（4）的依据是_______________． 解分式方程： 解：……（1） ……（2） ……（3） ……（4） ……（5） ……（6） 经检验，是原方程的解． 等式的基本性质2 等式的基本性质1 当堂检测 9.若分式方程 有增根，则k=_______． 解：去分母得：2（x-2）+1-kx=-1， 整理得：（2-k）x=2， ∵分式方程有增根， ∴x-2=0，2-x=0， 解得：x=2， 把x=2代入（2-k）x=2得：k=1． 当堂检测 10.解下列分式方程： (1)； (2)． （1）解：方程两边同时乘以最简公分母得∶ 解得 检验：当 时，， ∴是原方程的的解． 当堂检测 10.解下列分式方程： (1)； (2)． （2）解：方程两边同时乘以最简公分母得 ， ， ， ． 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴分式方程无解． 当堂检测 11.若分式方程有增根，求a的值． 解：方程两边都乘， 得， 原方程有增根， 最简公分母， 解得， 当时，． 当堂检测 12.关于x的方程无解，求m的值． 解：分式方程两边同乘以得： ， 整理得：， ∴当，即时，方程无解，则原分式方程无解； 当时， ∵原分式方程无解， 当堂检测 13．已知（其中A，B为常数），求的值． 解：去分母得， 整理得， ∴ 解得： ∴. 课堂小结 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 注：(1)分式方程的主要特征：含分母且分母里含有未知数. (2)分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数. 1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则原分式方程无解； 4.写出原方程的根. 简记为：“一化二解三检验”. “去分母法”解分式方程的步骤： 谢 谢~ $$