专题04 几何证明（考点串讲，3个常考点+14种重难点题型+押题预测）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版）

八年级数学上学期·期末复习大串讲 专题04 几何证明 沪教版 01 02 03 目 录 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点：知识梳理 十四大题型典例剖析+技巧方法 精选6道期末真题对应考点练 考点透视 【清单01】几何证明 1.命题：判断一件事情的句子；正确的命题叫真命题；错误的命题叫假命题；一个命题是由题设和结论两部分组成. 2.公理和定理：从长期的实践中总结出来的真命题叫公理；从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理. 3.证明真命题的步骤：①根据题意作出图形，并在图形上标出必要的字母和符号；②根据题设和结论，结合图形写出已知和求证；③经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程. 4.平行线的判定与性质 平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等．那么这两条直线平行； 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等。 5.全等三角形：全等三角形的判定：S.A.S；  A.S.A；  A.A.S；  S.S.S；              全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，对应边相等 6.等腰三角形的判定与性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等；（简称：等边对等角） 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（简称：等腰三角形的三线合一） 判定1：（定义法）有两条边相等的三角形； 判定2：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。(简称：等角对等边) 7.证明常见题型 证明两直线平行、两直线垂直、两条线段相等、两个角相等、线段或角的和差倍半简单的问题； 【清单02】线段的垂直平分线与角平分线 1.逆命题和逆定理 逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题；若其中一个命题为原命题，则另一个叫它的逆命题； 逆定理：若一个定理的逆命题经过证明是也是定理，那么这两个定理叫互逆定理，其中一个是另一个的逆定理； 2.线段的垂直平分线 3.角的平分线 4.轨迹 【清单03】直角三角形 1.直角三角形全等的判定 图形   定理 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：H.L） 符号 2.直角三角形的性质定理及推论 定理1 定理2 定理2 直角三角形的两个锐角互余； 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 直角三角形的两个锐角互余； 推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 3.勾股定理 图形       名称 边的定理 勾股定理 勾股定理 逆定理 定理 在直角三角形中，斜边大于直角边. 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 符号表示 4.两点的距离公式 ①数轴上两点A、B分别表示实数m、n，则AB的距离为 ②如果直角坐标平面内有两点 那么 两点间的距离 1.下列语句是命题吗？如果是，请将它们改写成“如果……，那么……”的形式.并指出条件和结论。 （1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； （2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式； （3）互为相反数的两个数相加得0； （4）同旁内角互补； 如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补； 如果等式两边都加同一个数，那么结果仍是等式； 如果两个数互为相反数，那么这两个数相加得0； 如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补； 题型一：命题 题型剖析 题型二：互逆命题 2. [2022·上海中考]下列说法正确的是（　A　） A.命题一定有逆命题 B.所有的定理一定有逆定理 C.真命题的逆命题一定是真命题 D.假命题的逆命题一定是假命题 A 解析：A.命题一定有逆命题，此选项说法正确；B.不是所有的定理一定有逆定理，如“全等三角形的对应角相等”没有逆定理，此选项说法错误；C.真命题的逆命题不一定是真命题，如“对顶角相等”的逆命题是假命题，此选项说法错误；D.假命题的逆命题不一定是假命题，如假命题“对应角相等的三角形全等”，其逆命题是真命题，此选项说法错误.故选A. 3. [2022·江苏无锡中考]请写出命题“如果a＞b，那么b－a＜0”的逆命题： 　如果b－a＜0，那么a＞b　⁠.  如 果b－a＜0，那么a＞b 题型三： 公理、定理 4. 下列真命题能作为公理的是 (　　) A．对顶角相等 B．三角形的内角和是180° C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．内错角相等，两直线平行 5.“经过两点有且只有一条直线”是(　　) A．公理 B．假命题 C．定义 D．以上都不是 C A 6.命题“直角三角形的两个锐角互余”是(　　) A．角的定义 B．假命题 C．公理 D．定理 分析：可以用逻辑推理的方法判断此命题是正确的 D 定义、命题、公理、定理之间的区别与联系： (1)联系：这四者都是命题． (2)区别：定义、公理、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过公理是最原始的依据；而命题不一定是真命题，因而不能作为进一步判断其他命题真假的依据． 题型四：互逆定理 7. [2022·江苏无锡宜兴市二模]下列命题的逆命题成立的是 　①④　⁠.  ①同旁内角互补，两直线平行 ②等边三角形是锐角三角形 ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等 ①④ ④全等三角形的三条边对应相等 解析：①“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”，成立；②“等边三角形是锐角三角形”的逆命题为“锐角三角形是等边三角形”，不成立；③“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题为“平方相等的两个实数相等”，不成立；④“全等三角形的三条边对应相等”的逆命题为“三条边对应相等的三角形全等”，成立.故答案为①④. 8.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC ( ) A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三边垂直平分线的交点 D 题型五：线段垂直平分线 证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C， 故∠QCA=∠QCB=90°. 在Rt△QCA 和Rt△QCB中， ∵QA=QB，QC=QC， ∴Rt△QCA≌Rt△QCB（H.L.）. ∴AC=BC. ∴点Q在线段AB的垂直平分线上． 9.已知： 如图，QA＝QB. 求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上． 你能根据分析中后一种添加辅助线的方法，写出它的证明过程吗？ 证明：∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC=PD. 在Rt△OCP和Rt△ODP中， ∵ OP=OP， PC=PD， ∴Rt△OCP≌ Rt△ODP（HL）. ∴ ∠CPO=∠DPO，OC=OD. 10.如图，OP为∠AOB 的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，则下列结论错误的是（ ） A.PC=PD B.∠CPO=∠DOP C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD B 题型六：角平分线 分析：在△ABC中，∠C=90°， ∴DC⊥AC. 又∵DE⊥AB，AD平分∠CAB， ∴DC=DE. 在Rt△ACD和Rt△AED中, AD=AD， DC=DE， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC=AE. ∵AC=BC， ∴AE=BC， ∴△DEB的周长为8cm. 11.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D， DE⊥AB，垂足为E，若AB=8cm，则△DEB 的周长为（ ） A.10cm B.7cm C.8cm D.不能确定 C 12.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC.求证：AD是∠BAC的平分线. C E A F D B ┐ ┐ 证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠BED=∠CFD=90°. ∵在Rt△BDE和Rt△CDF中， BE=CF， DB=DC， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）. ∴DE=DF. ∴点D在∠BAC的平分线上，即AD是∠BAC的平分线. 13.如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，BC=DC，CE⊥AD，交AD的延长线于点E，CF⊥AB于点F.求证：AC平分∠BAD. E A B C D F ┌ ┐ 证明：∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC+∠EDC=180°， ∴∠ABC=∠EDC. ∵CE⊥AD，CF⊥AB， ∴∠CED=∠CFB=90°. ∵在△BCF和△DCE中， ∠CFB=∠CED， ∠FBC=∠EDC， BC=DC， ∴△BCF≌△DCE（AAS）. ∴CF=CE，即AC平分∠BAD. D 14.如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.求证：AE是∠DAB 的平分线. 证明：过点E作EF⊥AD于点F， ∵∠B=∠C=90°， ∴DC⊥EC，EB⊥AB. ∵DE平分∠ADC， ∴EC=EF. ∵E是BC的中点， ∴EC=EB. 又∵EF⊥AD，EB⊥AB， ∴点E在∠BAD的平分线上，即AE是∠DAB的平分线. A B C E D ┌ ┌ F 15.如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF.求证：△ABE≌△CBF. 证明：∵∠ABC=90°，∠ABC+∠CBF=180°， ∴∠CBF=90°. 在Rt△ABE和Rt△CBF中， AE=CF， AB=CB， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）. 题型七：判定直角三角形全等 16.如图，点B，E，F，C在同一条直线上，AE⊥BC，DF⊥BC，AB=DC，BE=CF.试判断AB与CD的位置关系，并证明. 解：AB//CD，理由如下： ∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠AEB=∠DFC=90° ∵在Rt△ABE和Rt△DCF中， AB=DC， BE=CF， ∴ Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）. ∴∠B=∠C，则AB//CD. C A B D E F D 17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，P，Q两点分别在AC上和过点A且垂直AC的射线AM上运动，且PQ=AB.当点P运动到AC上什么位置时，△ABC与△QPA全等？ 分析：△ABC和△QPA是直角三角形，题目中已经有一边相等. ①因为AB，PQ分别为Rt△ABC和Rt△QAP的斜边，可以令“BC=AP”，选择“HL”. ②因为AB，PQ分别为Rt△ABC和Rt△QAP的斜边，可以令“AC=AP”，选择“HL”. D 解：①当点P运动到AP=BC的位置时， 在Rt△APQ和Rt△CBA中， PQ=BA， AP=BC， ∴Rt△APQ≌Rt△CBA（HL）. ∴AP=BC=5cm. D 解：②当点P运动到AP=AC的位置时， Rt△APQ和Rt△CBA中， PQ=AB， AP=CA， ∴Rt△APQ≌Rt△CAB（HL）. ∴AP=AC=10cm. 综上，当点P运动到使AP=5cm或者10cm位置时， △APQ和△CAB全等. 18. [2022·浙江湖州中考]如图，在6×6的正方形（正方形ABCD）网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点.M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2.若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则在所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（　C　） A.4 B.6 C.2 D.3 （第18题图） C 题型八：勾股定理 （第4题答图） 解析：如答图，△MNP为等腰直角三角形，∠MPN＝45°，此时PM最长.根据勾股定理，得PM＝＝＝2.故选C. （第18题答图） 19.[2021·四川自贡中考]如图，A（8，0），C（－2，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（　D　） A.（0，5） C.（6，0） B.（5，0） D.（0，6） （第19题图） 解析：根据已知，得AB＝AC＝10，OA＝8.在Rt△ABO中，∵OB＝＝6，∴B（0，6）.故选D. D 题型九：勾股定理的逆定理 20.[2022·河北石家庄模拟]如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五块正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　B　） A.1，4，5 C.3，4，5 B.2，3，5 D.2，2，4 （第20题图） B 解析：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是＝＝1；当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是＝；当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是＝＝1.∵＞，∴选取的三块纸片的面积分别是2，3，5.故选B. 21.[2022·江苏盐城模拟]如图是正方形网格，则∠BAC＋∠CDE＝ 　45°　⁠（A，B，C，D，E是网格线的交点）.  （第21题图） 45° （第7题答图） 解析：设小正方形的边长是1，连接AD，如答图. ∵AD＝＝，CD＝＝，AC＝＝，∴AD＝CD，AD2＋CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝45°.∵AB∥DE，∴∠BAC＋∠DAC＋∠ADC＋∠CDE＝180°，∴∠BAC＋∠CDE＝45°. （第21题答图） 题型十：勾股定理的应用 22. [2022·浙江金华中考]如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，－2），下列各地点，离原点最近的是（　A　） A.超市 B.医院 C.体育场 D.学校 （第22题图） A 解析：如答图，点O到超市的距离为＝，点O到学校的距离为＝，点O到体育场的距离为＝，点O到医院的距离为＝.∵＜＝＜，∴离原点最近的是超市.故选A. （第8题答图） （第22题答图） 23.数学文化 中国非物质文化 [2022·江苏泰州中考]如图的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为 　　⁠.  （第23题图） 　 （第9题答图） 解析：如答图，第一步走到①，第二步走到②.故走两步后的落点与出发点间的最短距离为＝. （第23题答图） 题型十一：勾股定理的逆定理的应用 24. [2022·广东茂名模拟]如图，学校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和△EDC，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花.经测量，∠EDC＝90°，DC＝6 m，CE＝10 m，BD＝14 m，AB＝16 m，AE＝2 m. （1）求DE的长； 解：（1）在Rt△EDC中， ∵∠EDC＝90°，DC＝6 m，CE＝10 m， ∴ED＝＝8（m）. （第24题图） （2）求四边形ABDE的面积. 解：（2）如答图，连接BE. 在Rt△EBD中，∵BD＝14 m，ED＝8 m， ∴BE2＝BD2＋ED2＝142＋82＝260（m2）. ∵AB＝16 m，AE＝2 m， ∴AB2＋AE2＝162＋22＝260（m2），∴AB2＋AE2＝BE2， ∴△ABE是直角三角形，且∠A＝90°， ∴S△ABE＝AB·AE＝×16×2＝16（m2）. 又∵S△BDE＝BD·DE＝×14×8＝56（m2）， ∴S四边形ABDE＝S△ABE＋＝72（m2）. （第10题图） （第10题答图） （第24题答图） 题型十二：分类讨论思想的运用 25.[2022·广西百色中考]活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.例如，已知在△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（　C　） A.2 C.2或 B.2－3 D.2或2－3 （第25题图） C （第11题答图） 解析：如答图，过点C作CH⊥AB于点H，在AB上取一点D，使CD＝CB，则DH＝BH.∵∠A＝30°，∴CH＝AC＝，AH＝＝ .在Rt△CBH中，由勾股定理，得BH＝＝＝，∴AB＝AH＋BH＝＋＝2，AD＝AH－DH＝－＝.故选C. （第25题答图） 26. [2022·黑龙江牡丹江模拟]腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长是 。 解析：①如答图（1），当AB＝AC＝5，AD＝4时，BD＝CD＝3，∴此时底边长为6；②如答图（2），当AB＝AC＝5，CD＝4时，AD＝3，∴BD＝2，∴BC＝＝2，∴此时底边长为2；③如答图（3），当AB＝AC＝5，CD＝4时，AD＝＝3，∴BD＝8，∴BC＝＝4，∴此时底边长为4.综上可知，腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长是6或2或4. 6或4或2 （第12题答图） （第26题答图） 题型十三：方程思想的运用 27. 数学文化 中国数学古典 [2021·江苏宿迁中考]《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：水深、葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处（如图），问：水深、芦苇长各多少尺？该问题中的水深是 　12　⁠尺.  12 （第27题图） （第13题答图） （第27题答图） 解析：依题意画出图形，如答图.设芦苇长AC＝AC'＝x尺，则水深AB＝（x－1）尺.∵C'E＝10尺，∴C'B＝5尺.在Rt△AC'B中，52＋（x－1）2＝x2，解得x＝13，∴x－1＝12.故芦苇长13尺，水深是12尺. 28.(1)过点A,并且半径为5cm的圆的圆心的轨迹是 . (2)底边为线段AB的等腰△ABC的顶点C的轨迹是 . (3)在等腰三角形内部,到两腰距离相等的点的轨迹是 . (4) 线段AB=10cm,到A和B的距离和等于10cm的点的轨迹是 . 以A点为圆心,5cm的长为半径的圆 线段AB的垂直平分线(AB的中点D除外) 底边上的高(中线) 线段AB 题型十四：轨迹 1.（2023秋•虹口区校级期末）下列命题的逆命题是真命题的是( ____ ) A.若a＞0，b＞0，则a+b＞0 B.全等三角形的对应角相等 C.对顶角相等 D.若|a|=|b|，则a=b 【解析】 解：A、逆命题为若a+b＞0，则a＞0，b＞0，错误，是假命题，不符合题意； B、逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题；不符合题意； C、逆命题为：相等的角是对顶角，错误，是假命题；不符合题意； D、逆命题为：若a=b,则|a|=|b|，正确，是真命题，符合题意． 故选：D． D 押题预测 2.（2023秋•长宁区校级期末）在直角坐标平面内点A(2，-1)与点B(-2，-3) 的距离等于 　　. 【解析】解：∵A(2，-1)，B（-2，-3）， ∴点A和点B的距离= =2 ． 故答案为：2 ． 3.（2024秋•徐汇区校级期末）已知两个定点A、B的距离为2厘米，则到点A、B的距离之和为2厘米的点的轨迹是 ________ ． 线段AB 【解析】解：不防设这个点为P，由PA+PB≥AB， 取等号的条件是点P在线段AB上 故答案为：线段AB． 4.（2023秋•静安区校级期末）如图，在△ABC和△ADC中∠ABC=∠ADC=90°，联结AC与BD交于点O，M，N分别是AC、BD的中点．求证：MN垂直平分BD． 【解析】证明：如图，_连接BM，DM， ∵∠ABC=∠ADC=90°， ∴BM= AC，CM=DM= AC， ∴BM=DM， ∵点N是BD的中点， ∴MN⊥BD， ∴MN垂直平分BD． 5.（2023秋•黄浦区期末）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE=2，DE=4，AE=8． (1)求证：∠ADC=90°； (2)求DF的长． 【解析】证明：(1)∵DE⊥AC于点E， ∴∠AED=∠CED=90°， 在Rt△ADE中，∠AED=90°， ∴AD2=AE2+DE2=82+42=80，同理：CD2=20， ∴AD2+CD2=100，∵AC=AE+CE=8+2=10， ∴AC2=100，∴AD2+CD2=AC2， ∴△ADC是直角三角形， ∴∠ADC=90°； (2)∵AD是△ABC的中线，∠ADC=90°， ∴AD垂直平分BC， ∴AB=AC=10， 在Rt△ADB中，∠ADB=90°， ∵点F是边AB的中点，∴DF= ． 5.（2023秋•黄浦区期末）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE=2，DE=4，AE=8． (1)求证：∠ADC=90°； (2)求DF的长． 6.（2024秋•徐汇区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D在边CA的延长线上，点E在边BC上(不与点C重合)，且BE=AD，联结DE，交边AB于点N，过点E作EM平行于CA，交边AB于点M． (1)如图2，过点N作NP垂直于DE，交边AC于点P，设BE=x,PC=y,求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域； (2)在(1)的条件下，当CP=PN时，求x的值． 【解析】解：(1)如图2，连接EP， 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∴∠B=∠BAC=45°， ∵EM∥BC， ∴∠BME=∠BAC=45°，∠MEN=∠ADN， ∴BE=EM，∵BE=AD，∴EM=AD， 在△MNE和△AND中， ， ∴△MNE≌△AND(AAS)，∴EN=DN， ∵PN⊥ED，∴EP=DP， ∵BE=x,PC=y,AC=BC=2，∴EC=2-x,EP=PD=2-y+x, 在Rt△ECP中，EP2=EC2+CP2，∴(2-y+x)2=(2-x)2+y2， 整理得：y= (0＜x＜2)； (2)∵PC=PN，PC⊥EC，PN⊥EN，∴∠CEP=∠DEP， ∵PE=PD，∴∠CDE=∠DEP，∴∠D=30°， ∴ED=2EC，∴CD= EC，∴2+x= (2-x)， 解得：x=4-2 ．