精品解析：甘肃省白银市第八中学2024-2025学年高三上学期第6轮周考练（12月月考）数学试卷

白银市第八中学2025届高三第6轮周考练试卷 科目：数学A卷 命题人：姚学翠 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 设，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. 9 D. 25 6. 已知等比数列的前n项和为，且，其中．若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个公差为d的等差数列，则d＝（ ） A. 2 B. 3 C. D. 7. 已知各顶点都在球面上的正四棱锥的高度为， 锥体体积为6，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现偶数点”，事件为“两次出现的点数和为”，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 与相互独立 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 为丰富优质旅游资源，释放旅游消费潜力，推动旅游业高质量发展，某地政府从2023年国庆期间到该地旅游的游客中，随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和对景区服务是否满意的数据，并绘制统计图如图所示，利用数据统计图估计，得到的结论正确的是（ ） A. 游客中，青年人是老年人的2倍多 B. 老年人的满意人数是青年人的2倍 C. 到该地旅游的游客中满意的中年人占总游客人数的24.5% D. 到该地旅游的游客满意人数超过一半 10. 下列叙述错误的是（ ） A. 若与同时成立，则 B. 命题“对任意的，有”的否定为“存在，有” C. 若函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是 D. “”是“”的充要条件 11. 已知函数，则下列正确的是（ ） A. 的极小值为 B. 在单调递增 C. 有三个实根 D. ，当时，恒成立，则的取值范围是 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知是公比不为1的正项等比数列，若，则的最小值为________． 13. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是__________ 14. 已知满足，且在处的切线方程为，则__________. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.） 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. （1）求的值； （2）若的面积为，求的周长. 16. 已知向量，，. （1）求函数的单调递增区间和最小正周期； （2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 17. 如图，在长方体中，分别是棱的中点． （1）证明：平面． （2）求平面与平面夹角的正弦值． 18. 某企业引进一条先进的生产线，发明了一种新产品，若该产品的质量指标为，其质量指标等级划分如下表： 质量指标值m [70，80） [80，85） [85，90） [90，100] 质量指标等级 废品 三等品 二等品 一等品 为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图： （1）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，求“抽出的产品中恰有1件一等品”的概率； （2）若从质量指标值的样本中利用分层抽样的方法抽取14件产品，再从这14件产品中任取3件产品，求一等品的件数的分布列及数学期望； （3）若每件产品的质量指标值与利润（单位：元）的关系如下表（）： 质量指标值m [70，80） [80，85） [85，90） [90，100] 利润y（元） －t2 2t 4t 7t 试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大． 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）若数列满足，记为数列的前项和．证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白银市第八中学2025届高三第6轮周考练试卷 科目：数学A卷 命题人：姚学翠 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘除法化简复数，再利用复数的模计算即可. 【详解】，所以， 故选：B． 2. 设，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的单调性，借助中间值比较大小. 【详解】因为函数在单调递增，且，所以，即， 因为函数在单调递减，且，所以，即， 因为函数在单调递增，且，所以，即， 所以， 故选：C 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式和同角三角函数的商数关系求得，再由二倍角的正切公式求解. 【详解】因为, , 所以，所以，则. 故选：. 4. 若，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，结合向量数量积的运算以及向量夹角的知识求得正确答案. 【详解】因为，所以， 由于，所以， 由于，所以. 故选：B 5. 已知是奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. 9 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，可得，可求值. 【详解】由是奇函数，得． 令，得． 所以． 故选：A. 6. 已知等比数列的前n项和为，且，其中．若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个公差为d的等差数列，则d＝（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用关系可得，结合等比数列定义写出通项公式，进而得，，根据等差数列通项求公差. 【详解】因为，当时，， 两式相减，得，即，故公比为2， 所以，而当时，得， 所以等比数列的通项公式为，， 所以，，公差为． 故选：B 7. 已知各顶点都在球面上的正四棱锥的高度为， 锥体体积为6，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得正四棱锥的高，然后利用勾股定理求得球的半径，进而求得球的表面积. 【详解】设正四棱锥底面边长为，则， 底面正方形的对角线长为， 设球的半径为，则， 解得，则球的表面积为. 故选：B 8. 将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现偶数点”，事件为“两次出现的点数和为”，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 与相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】由古典概型计算可判断A错误；由及可得B错误；应用条件概率公式计算判断C,由独立事件的乘法公式可以判断D. 【详解】对于A：将一枚均匀的骰子掷两次基本事件共有个， 事件包括，2个基本事件，所以，故A错误； 对于B：因为不互斥，，， 所以，故B错误； 对于C：事件包括4个基本事件，所以， ，故C错误； 对于D：事件为“第一次出现偶数点”， ，， ，与相互独立，故D正确； 故选：D. 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 为丰富优质旅游资源，释放旅游消费潜力，推动旅游业高质量发展，某地政府从2023年国庆期间到该地旅游的游客中，随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和对景区服务是否满意的数据，并绘制统计图如图所示，利用数据统计图估计，得到的结论正确的是（ ） A. 游客中，青年人是老年人的2倍多 B. 老年人的满意人数是青年人的2倍 C. 到该地旅游的游客中满意的中年人占总游客人数的24.5% D. 到该地旅游的游客满意人数超过一半 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意结合统计图表逐项分析判断. 【详解】由扇形统计图可知青年人占比是老年人占比的2倍多，故A正确； 其中满意的青年人占总人数的， 满意的中年人占总人数的， 满意的老年人占总人数的，故B错误，C正确； 总满意率为，故D正确. 故选：. 10. 下列叙述错误的是（ ） A. 若与同时成立，则 B. 命题“对任意的，有”的否定为“存在，有” C. 若函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是 D. “”是“”的充要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式的性质及做差比较法判断A，由全称命题的否定判断B，根据零点存在性定理判断C，由特殊值法判断D. 【详解】A，，而，所以，故正确； B，由全称命题的否定知，“对任意的，有”的否定为“存在，有”，故错误； C，因为在上为增函数，所以存在零点需满足，解得，故正确； D，当时，不妨取，此时不满足，所以“”不是“”的充要条件，故错误. 故选：BD 11. 已知函数，则下列正确的是（ ） A. 的极小值为 B. 在单调递增 C. 有三个实根 D. ，当时，恒成立，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导后可得单调性，结合极值定义可知AB正误；作出图象，根据与的交点个数可得C正确；将D中问题转化为在上单调递增，由，采用分离参数的方式可求得D正确. 【详解】由题意知：定义域为，； 当时，；当时，； 的单调递减区间为，；单调递增区间为； 对于A，的极小值为，A正确； 对于B，当时，单调递减，B错误； 对于C，的极大值为，且当时，，由此可得图象如下图所示， 由图象可知：与有三个不同的交点， 即有三个实根，C正确； 对于D，由当时，恒成立可得：， 令，则在上单调递增， 在上恒成立，在上恒成立； 在上的最大值为，，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知是公比不为1的正项等比数列，若，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】结合等比数列性质及基本不等式“1”的活用计算即可得. 【详解】设数列的公比为，则，故， 则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为. 故答案为：. 13. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是__________ 【答案】 【解析】 【分析】将平移后的图象解析式写出来，利用图象关于轴对称，从而当时函数取最值，得到，化简为，即可求出的最小值． 【详解】记曲线C对应的函数为， 则. 因为函数的图象关于y轴对称，所以，得. 因为，所以的最小值为． 故答案为：． 14. 已知满足，且在处的切线方程为，则__________. 【答案】-2 【解析】 【分析】根据是R上的奇函数，得到，求出，验证满足要求，求导，根据，得到，故. 【详解】函数的定义域为R， 因为，所以函数是R上的奇函数， 所以，解得，所以， 又， 故符合要求，则， 因为在处的切线方程为， 所以，即，解得，所以. 故答案为：-2 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.） 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. （1）求的值； （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可得，再由正弦定理计算可得结果； （2）由三角形面积公式可得，可得，所以的周长为5. 【小问1详解】 根据题意由余弦定理可得， 又可得，即可得， 所以，可得， 由正弦定理可得； 【小问2详解】 易知， 解得，即； 由（1）中可得， 所以的周长为. 16. 已知向量，，. （1）求函数的单调递增区间和最小正周期； （2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调增区间为，；；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算,并利用两角和差的三角函数公式化简得到函数的解析式，有三角函数的性质求得周期，单调增区间； （2）将不等式分离参数，根据不等式有解的意义得到；然后根据角的范围，利用三角函数的性质求得函数的最小值，进而求得的取值范围. 【详解】（1）因为 所以函数的最小正周期； 因为函数的单调增区间为，， 所以，， 解得，， 所以函数的单调增区间为，； （2）不等式有解，即； 因为，所以，又， 故当，即时， 取得最小值，且最小值为， 所以. 17. 如图，在长方体中，分别是棱的中点． （1）证明：平面． （2）求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1） 取棱的中点，连接， 因为分别是棱的中点，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，且， 所以，所以四边形是平行四边形，所以， 因为是棱的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，所以， 因为平面平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取棱的中点，先证明，再证明，根据平行的传递性以及线面平行的判定定理完成证明； （2）建立合适空间直角坐标系，分别求解出平面和平面的一个法向量，根据法向量夹角的余弦值求解二面角的余弦值，则二面角的正弦值可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意可知两两垂直，则以为坐标原点， 以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 故， 设平面的法向量为 则，令，得， 设平面的法向量为 则，令，得， 设平面与平面的夹角为， 则， 故， 即平面与平面夹角的正弦值为． 18. 某企业引进一条先进的生产线，发明了一种新产品，若该产品的质量指标为，其质量指标等级划分如下表： 质量指标值m [70，80） [80，85） [85，90） [90，100] 质量指标等级 废品 三等品 二等品 一等品 为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图： （1）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，求“抽出的产品中恰有1件一等品”的概率； （2）若从质量指标值的样本中利用分层抽样的方法抽取14件产品，再从这14件产品中任取3件产品，求一等品的件数的分布列及数学期望； （3）若每件产品的质量指标值与利润（单位：元）的关系如下表（）： 质量指标值m [70，80） [80，85） [85，90） [90，100] 利润y（元） －t2 2t 4t 7t 试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大． 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，求得1件产品为一等品的概率为，进而求得其概率； （2）由频率分布直方图，结合分层抽样抽取的件产品中，二等品有件，一等品有件，得到随机变量的所有可能取值，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解； （3）由频率分布直方图，得到该产品的质量指标值与利润（元）的关系，求得每件产品的平均利润，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：记“抽出的产品中恰有1件一等品”为事件， 由频率分布直方图可得，1件产品为一等品的概率为， 则抽出的产品中恰有1件一等品的概率为. 【小问2详解】 解：由频率分布直方图可知，质量指标值的产品中， 可得的频率为，的频率为， 利用分层抽样抽取的件产品中，二等品有件，一等品有件， 所以随机变量的所有可能取值为， 可得，， ，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 所以. 【小问3详解】 解：由频率分布直方图可得，该产品的质量指标值与利润（元）的关系如下表所示（） 质量指标值 [70，80） [80，85） [85，90） [90，100] 利润（元） 0.15 0.15 0.4 0.3 故每件产品的平均利润： ， 所以当时，， 即当时，每件产品的平均利润达到最大． 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）若数列满足，记为数列的前项和．证明：． 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）． （3） 由， 得，且． 由（2）可知，令，有可得， 令可得即． 由得即． 两边取对数得，由上述不等式得 于是， 所以． 当时，，不等式成立； 当时， ．即当时，不等式成立． 综上，得证． 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负即可求解， （2）根据题意可得，即可由导数结合分类讨论求解最值，进一步将问题转化为，构造函数，求导即可求解最值求解， （3）根据（2）的求解可得不等式和，即可根据，得，由累加法以及裂项求和即可求证. 【小问1详解】 当时，， 故当单调递减； 当单调递增． 综上，的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 由题意，． ①当时，在单调递减， 由，不合题意； ②当时，在单调递减，单调递增． 由恒成立，得． 即． 令， 恒成立， 所以在单调递减，且． 故当，符合题意， 当，不合题意． 综上，的取值范围为． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $