微专题04 圆与几何综合通关专练——2024-2025学年九年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）

微专题04 圆与几何综合通关专练 一、单选题 1．如图，和分别是的外接圆和内切圆，两圆的半径分别为6和2，连接并延长交于D，则的值为（　　）    A．24 B．12 C．16 D．20 2．如图，半圆的直径，若点，在半圆上运动，且保持弦，延长、相交于点．记的度数为，的面积为．则以下结论正确的是（    ） A．随，运动而变化，随，运动而变化 B．不随，运动而变化，不随，运动而变化 C．随，运动而变化，不随，运动而变化 D．不随，运动而变化，随，运动而变化 3．如图，为半圆O的直径，且，射线交半圆O的切线于点E，交于F，若，则的半径长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，①将半径为的六等分，依次得到六个分点；②分别以点为圆心，长为半径画弧，是两弧的一个交点；③连接，则的长是（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（3，0），在y轴的正半轴上取一点C，使A、B、C三点确定一个圆，且使AB为圆的直径，则点C的坐标是（　　） A．（0，） B．（，0） C．（0，2） D．（2，0） 6．如图，以线段AB为边分别作直角三角形ABC和等边三角形ABD，其中∠ACB＝90°．连接CD，当CD的长度最大时，此时∠CAD的大小是（    ） A．105° B．90° C．135° D．120° 7．如图，中，，，点D是的中点，P是以A为圆心，以为半径的圆上的动点，连接，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，内接于半径为的半圆中，为直径，点是的中点，连结交于点，平分交于点，为的中点，可得（    ）    ①    ②    ③    ④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 9．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝4cm，∠CAB＝60°，P是弧上的一个动点，连接AP，过C点作CD⊥AP于D，连接BD，在点P移动的过程中，BD的最小值是 ． 10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝10，∠B＝45°，tan C＝，则⊙O的半径是 ． 11．如图，半径为r的⊙O分别绕面积相等的等边三角形、正方形和圆用相同速度匀速滚动一周，用时分别为、、，则、、的大小关系为 ． 12．如图，是的直径，交的中点于，于，连接，则下列结论正确的有 （填序号） ①；②；③；④是的切线． 13．对于一个矩形ABCD及⊙M给出如下定义：在同一平面内，如果矩形ABCD的四个顶点到⊙M上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：交x轴于点M，⊙M的半径为2，矩形ABCD沿直线运动（BD在直线l上），BD=2，AB∥y轴，当矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”时，点C的坐标为 ． 14．将一张圆形纸片，进行了如下连续操作： （1）将圆形纸片左右对折，折痕为，如图（2）所示. （2）将圆形纸片上下折叠，使两点重合，折痕CD与相交于M，如图（3）所示. （3）将圆形纸片沿折叠，使两点重合，折痕与相交于N，如图（4）所示.       （4）连结，如图（5）所示，则3：4π， 以上结论正确的有 . 15．如图，在中，，，，点从点出发沿方向运动，到达点B时停止运动，连结，点关于直线的对称点为，连接A′C，．在运动过程中，点到直线距离的最大值是 ；点到达点时，线段扫过的面积为 ． 16．如图，在正方形中，为对角线，的交点，经过点和点作⊙，分别交，于点，．已知正方形边长为，⊙的半径为，则的值为 ． 三、解答题 17．如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB=AC，直线MN与⊙O相切于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E． （1）求证：△ABE ≌ △ACD； （2）若AB = 5，BC = 3，求AE． 18．如图，AB是半圆O的直径，D为半圆上的一个动点(不与点A，B重合)，连接AD，过点O作AD的垂线，交半圆O的切线AC于点C，交半圆O于点E．连接BE，DE． (1)求证：∠BED＝∠C． (2)连接BD，OD，CD． 填空： ①当∠ACO的度数为　 　时，四边形OBDE为菱形； ②当∠ACO的度数为　 　时，四边形AODC为正方形． 19．如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与圆交于点D，D为BC的中点，过D作DE⊥AC于E． （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若AB＝13，CD＝5，求CE的长． 20．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，OB与y轴相交于另一点G． (1)求证：BC是OF的切线； (2)若点A、D的坐标分别为A(0，－1)，D(2，0)，求的半径； (3)求证：AF=AD+CD． 21．如图，是的直径，是上一点，，垂足为(点在线段上)，已知，． (1)求的半径； (2)E是线段上一点，点在线段上，且，延长，分别交于点，．直线与的延长线交于点．探究：随着点的运动，的大小是否改变?请说明理由． 22．如图，中，，点是上一点，以点为圆心，以为半径作分别交于点与相切于点．连接相交于点． 猜想: 与的数量关系，并证明你的猜想; 若，求的半径． 23．已知，如图，EB是的直径，且，在BE的延长线上取点P，使，A是EP上一点，过A作的切线，切点为D，过D作于F，过B作AD的垂线BH，交AD的延长线于当点A在EP上运动，不与E重合时： 是否总有，试证明你的结论； 设，，求y和x的函数关系，并写出x的取值范围．    24．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【问题探究】如图1，，为的两条弦（），点C为的中点，过C作、垂足为E．求证：． 小明同学的思路是：如图2．在BE上截取，连接，，，…请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程． 【结论运用】如图3，是的内接等边三角形，点D是上一点，，连接，．过点A作，垂足为E．若，求的周长． 【变式探究】如图4，若将（问题探究）中“点C为的中点”改为“点C为优弧的中点”，其他条件不变，请写出、、之间的等量关系，并加以证明． 25．如图，是的外接圆，点O在边上，为的切线，且，的延长线交于点P．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 26．内接于，点D在边上，射线交于点E，点F在弧上，连接，.    (1)如图1，求证：； (2)如图2，交弦于点G，经过O点，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，H为的中点，连接、，若，，求线段的长. 27．若△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径． (1)求证：； (2)已知，，，求⊙O的半径长． 28．已知：如图， AB为⊙O的直径，CE⊥AB于E，BF∥OC，连接BC，CF． 求证：∠OCF=∠ECB． 29．如图，在平面直角坐标系中，⊙A的半径为1，圆心A点的坐标为（2，1）．直线OM是一次函数y=－x的图象．将直线OM沿x轴正方向平行移动． （1）填空：直线OM与x轴所夹的锐角度数为 °； （2）求出运动过程中⊙A与直线OM相切时的直线OM的函数关系式；（可直接用（1）中的结论） （3）运动过程中，当⊙A与直线OM相交所得的弦对的圆心角为90°时，直线OM的函数关系式． 30．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，交轴于A、B两点，交轴于、两点，且为弧的中点，交轴于点，点A的坐标为，． (1)求点的坐标． (2)过点作的切线交轴于点，求直线的解析式． 31．如图1，在中，，，．以为直径作．是圆上一点且，是延长线上一点，射线与的延长线交于点，与交于点，设，． (1)求的半径． (2)求关于的关系式． (3)如图2，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 32．如图，是⊙的直径，弦于点，点在⊙上，恰好经过圆心，连接． （1）若，求⊙的半径； （2）若，点是的一个四等分点吗？为什么？ 33．如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3．点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB交于点F，过点F作FG⊥BE于点G． （1）若E是CD的中点时，证明：FG是⊙O的切线 （2）试探究：BE能否与⊙O相切？若能，求出此时DE的长；若不能，请说明理由． 34．在数学拓展课中老师提出下列问题：如图，A为上一点，C为半径的中点，延长线交于点E，于点G，交于点D，直线，交于点F．设，试问k是否为定值？若是定值，请求出其值；若不是定值，也请说明理由． 小明同学在解决这个题目时作这样的思考：将的位置特殊化，假设，则点G与点O重合…… （1）依据小明同学的思路求出当时k的值； （2）请对老师提出的问题作出解答． 35．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连接CD，点O是CD的中点，到点O的距离等于OC的所有点组成图形M，图形M分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G． （1）试判断FG与图形M的位置关系，并说明理由； （2）若AC＝3，∠B＝30°，求FG的长． 36．数学兴趣小组在探究圆中图形的性质时，用到了半径是6的若干圆形纸片． (1)如图1，一张圆形纸片，圆心为，圆上有一点A，折叠圆形纸片使得A点落在圆心上，折痕交于、两点，求的度数． (2)把一张圆形纸片对折再对折后得到如图扇形，点是弧上一动点． ①如图2，当点是弧中点时，在线段、上各找一点、，使得是等边三角形．试用尺规作出，不证明，但简要说明作法，保留作图痕迹． ②在①的条件下，取的内心，则___________． ③如图3，当在弧上三等分点S、之间（包括S、两点）运动时，经过兴趣小组探究都可以作出一个是等边三角形，取的内心，请问的长度是否变化．如变化，请说明理由；如不变，请求出的长度． 37．如图，AC为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，BE⊥CD于点E，＝． （1）求证：BE的⊙O切线． （2）若AD＝4，EC＝1，求BD的长． 38．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝5，点O、P分别在AB、AD边上运动，以点O为圆心、OA为半径作⊙O，连接BP，把⊙O沿着BP翻折得⊙Q． （1）若⊙O的半径r＝1． ①DQ的最小值为 　 　． ②当DC切⊙Q于点E时，求CE长． （2）当⊙Q在运动的过程中与BC边始终没有公共点时，请直接写出⊙O的半径r的值或取值范围． 39．如图，⊙O的直径，点为弧上一点，连接、，点为劣弧上一点（点不与点、重合），连接交、于点、． （1）当时，的长度为______； （2）当点为劣弧的中点，且∽时，求的度数； （3）当，且为直角三角形时，求四边形的面积（直接写出结果）． 40．如图，边长为4的正方形ABCD中，点P是边CD上一动点，作直线BP，过A、C、D三点分别作直线BP的垂线段，垂足分别是E、F、G． （1）如图（a）所示，当CP＝3时，求线段EG的长； （2）如图（b）所示，当∠PBC＝30°时，四边形ABCF的面积； （3）如图（c）所示，点P在CD上运动的过程中，四边形AECG的面积S是否存在最大值？如果存在，请求出∠PBC为多少度时，S有最大值，最大值是多少？如果不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题04 圆与几何综合通关专练 一、单选题 1．如图，和分别是的外接圆和内切圆，两圆的半径分别为6和2，连接并延长交于D，则的值为（　　）    A．24 B．12 C．16 D．20 【答案】A 【知识点】圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】设与相切于点，过D作的直径，连接、，由圆周角定理求出证明，得到，求出，根据三角形的内切圆和三角形的外角性质推出，推出，即可求出答案． 【详解】解：设与相切于点，过D作的直径，连接、，    ， ， ， ∴， ， ∵圆是的内切圆， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查对三角形的外角性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，等腰三角形的判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 2．如图，半圆的直径，若点，在半圆上运动，且保持弦，延长、相交于点．记的度数为，的面积为．则以下结论正确的是（    ） A．随，运动而变化，随，运动而变化 B．不随，运动而变化，不随，运动而变化 C．随，运动而变化，不随，运动而变化 D．不随，运动而变化，随，运动而变化 【答案】D 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】连接，易证为等边三角形，则，根据圆周角定理得出，再根据直径所对的圆周角为直角得出，最后根据三角形的内角和即可求出的度数；根据三角形的面积公式，得出，即可判断y是否变化． 【详解】解：连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴在中，， 即不随，运动而变化， 过点E作于点F， ∴， ∵的长度随，运动而变化， ∴随，运动而变化， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆和三角形的综合，解题的关键是掌握圆周角定理，直径所对的圆周角为直角． 3．如图，为半圆O的直径，且，射线交半圆O的切线于点E，交于F，若，则的半径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、相似三角形的综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】连接，作于H，证明，得到，得到，再证明，设，则，再根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理计算即可； 【详解】解：连接，作于H，如图所示： ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∴的半径长为； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，结合相似三角形的判定与性质和勾股定理计算是解题的关键． 4．如图，①将半径为的六等分，依次得到六个分点；②分别以点为圆心，长为半径画弧，是两弧的一个交点；③连接，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】将半径为的六等分，可知每一份对应的圆心角为，如图所示（见详解），连接，可证，，在，，根据勾股定理即可求解． 在中， 【详解】解：根据题意绘图如下， ∵将半径为的六等分， ∴， 如图所示，连接， ∴，且根据作图可知，，，， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∴，垂足为， ∴，根据六等分，则， ∴， 在中，， 在中，， 故选：． 【点睛】本题主要考查圆与直角三角形的综合，结合图形，根据题意，找出边，圆周角的关系是解题的关键． 5．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（3，0），在y轴的正半轴上取一点C，使A、B、C三点确定一个圆，且使AB为圆的直径，则点C的坐标是（　　） A．（0，） B．（，0） C．（0，2） D．（2，0） 【答案】A 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】直接根据△AOC∽△COB得出OC2=OA•OB，即可求出OC的长，即可得出C点坐标． 【详解】 如图，连结AC，CB. 依△AOC∽△COB的结论可得：OC2=OAOB， 即OC2=1×3=3， 解得：OC=或− (负数舍去)， 故C点的坐标为(0, ). 故答案选：A. 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是熟练的掌握坐标与图形的性质. 6．如图，以线段AB为边分别作直角三角形ABC和等边三角形ABD，其中∠ACB＝90°．连接CD，当CD的长度最大时，此时∠CAD的大小是（    ） A．105° B．90° C．135° D．120° 【答案】A 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、等边三角形的性质 【分析】利用圆周角定理结合点到直线的距离确定出C点在半圆中点时CD长度最大，进而得到答案． 【详解】解：∵AB长固定，∠ACB＝90°， ∴A、B、C三点共圆，AB的中点O为圆心， 则当D、O、C三点共线时，CD的长度最大， 即当C点在C'点时，CD长度最大，此时AC'＝BC'， ∴△AC'B是等腰直角三角形 ∴∠BAC'＝45°， 又△ABD为等边三角形， ∴∠BAD＝60°， ∴∠CAD＝∠C'AB+∠BAD＝45°+60°＝105°． 故选：A． 【点睛】此题主要考查圆与三角形综合，解题的关键是根据题意作图，找到符合题意的情况． 7．如图，中，，，点D是的中点，P是以A为圆心，以为半径的圆上的动点，连接，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解直角三角形的相关计算、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】此题考查了解直角三角形，根据阿氏圆的定义，分别固定，分别确定A点的运动轨迹为阿氏圆O，C点的运动轨迹为阿氏圆，，由此可知，当最最小时，的值最大，进行求解即可. 【详解】解：固定，则， ∴A点的运动轨迹为阿氏圆O， 设，则，，则， ∵，， ∴C点的运动轨迹为阿氏圆， ∴， ∴， ∴当最小时，的值最大， ， ∴， 故选：D． 8．如图，内接于半径为的半圆中，为直径，点是的中点，连结交于点，平分交于点，为的中点，可得（    ）    ①    ②    ③    ④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是90度可得，，根据圆周角定理可得；根据角平分线的性质可得，根据三角形的内角和即可求得；根据三角形的内角和可得，根据等角对等边可得，根据为的中点可得，根据勾股定理可得，；根据相似三角形的判定和性质可得，，根据勾股定理可得，根据相似三角形的判定和性质可得，根据勾股定理可得，；即可求得，故． 【详解】连接    ∵为直径 ∴， ∵点是的中点 ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ 即 ∴ 故①正确 ∴ ∴ ∴ 又∵为的中点 ∴ 在中， 令 则 解得或（舍去） 即 ∴ 故③不正确； ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 在中， 即 令 则 整理得： 解得或（舍去） 即 ∴ 故②正确 故 故④正确； 综上，①②④正确 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，正切的概念，角平分线的性质，等角对等边的性质，三角形内角和，圆周角定理及其推论等，是一道综合题，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． 二、填空题 9．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝4cm，∠CAB＝60°，P是弧上的一个动点，连接AP，过C点作CD⊥AP于D，连接BD，在点P移动的过程中，BD的最小值是 ． 【答案】（﹣1）cm 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】以AC为直径作圆O′，连接BO′、BC．在点P移动的过程中，点D在以AC为直径的圆上运动，当O′、D、B共线时，BD的值最小，最小值为O′B﹣O′D，利用勾股定理求出BO′即可解决问题． 【详解】如图，以AC为直径作圆O′，连接BO′、BC． ∵CD⊥AP， ∴∠ADC＝90°， ∴在点P移动的过程中，点D在以AC为直径的圆上运动， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，∵AB＝4cm，∠CAB＝60°， ∴BC＝AB•sin60°＝2，AC＝AB•cos60°＝2cm． 在Rt△BCO′中，BO′＝， ∵O′D+BD≥O′B， ∴当O′、D、B共线时，BD的值最小，最小值为O′B﹣O′D＝﹣1， 故答案为（﹣1）cm． 【点睛】本题考查了圆的综合题，最小值问题，涉及了解直角三角形的应用，圆周角定理，勾股定理等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝10，∠B＝45°，tan C＝，则⊙O的半径是 ． 【答案】 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、已知正切值求边长、用勾股定理解三角形 【分析】先过A点作AD⊥BC，垂足为D点，利用等腰直角三角形的性质和tan C＝求得CD=4，进而求得AC=，再连接OA、OC，利用勾股定理即可求解． 【详解】 解：过A点作AD⊥BC，垂足为D点， ∵∠B＝45°，BC＝10 ∴AD=BD=10-CD ∵tan C＝ ∴ 解得：CD=4，AD=6 ∴AC= 连接OA、OC ∵∠B＝45° ∴ ∴ 即： 解得：（舍去） 故答案为：． 【点睛】此题主要考查等腰直角三角形的性质、锐角的三角函数、同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系及勾股定理，会做辅助线是解题关键． 11．如图，半径为r的⊙O分别绕面积相等的等边三角形、正方形和圆用相同速度匀速滚动一周，用时分别为、、，则、、的大小关系为 ． 【答案】． 【知识点】圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【分析】根据面积，可得相应的周长，根据有理数的大小比较，可得答案． 【详解】设面积相等的等边三角形、正方形和圆的面积为S，等边三角形、正方形的边长分别为a，b，圆的半径为r， 等边三角形的面积S=a2,周长=3a=3， 正方形的面积S=b2,周长=4b=4， 圆的面积S=πr2,周长=2πr=2π， 周长平方后的结果分别为12S，16S，4πS ∴t1>t2>t3. 故答案为t1>t2>t3. 12．如图，是的直径，交的中点于，于，连接，则下列结论正确的有 （填序号） ①；②；③；④是的切线． 【答案】①②③④ 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】根据题意易得∠ADB=90°，可得①，进而根据线段垂直平分线的性质可得AC=AB，连接OD，然后根据圆的基本性质及切线的判定定理可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC，故①正确； ∵点D是BC的中点， ∴AC=AB， ∴△ABC是等腰三角形， ∴∠B=∠C，∠CAD=∠BAD， ∵DE⊥AC，∠CDA=90°， ∴∠EDA+∠EAD=90°，∠CAD+∠C=90°， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； 连接OD，如图所示： ∵OD=OA， ∴∠ADO=∠DAO， ∴∠ADO=∠EAD， ∴∠ADO+∠EDA=90°， ∴ED是⊙O的切线，故④正确； ∴正确的有①②③④； 故答案为①②③④． 【点睛】本题主要考查切线的判定定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握切线的判定定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 13．对于一个矩形ABCD及⊙M给出如下定义：在同一平面内，如果矩形ABCD的四个顶点到⊙M上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：交x轴于点M，⊙M的半径为2，矩形ABCD沿直线运动（BD在直线l上），BD=2，AB∥y轴，当矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”时，点C的坐标为 ． 【答案】（，）或（，） 【知识点】圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【详解】试题分析：如图所示，矩形在这两个位置时就是⊙M的“伴侣矩形”，根据直线l：得：OM=，ON=3，由勾股定理得：MN==； ①矩形在x轴下方时，分别过A、D作两轴的垂线AH、DG，由cos∠ABD=cos∠ONM=，∴，AB=，则AD=1，∵DG∥y轴，∴△MDG∽△MON，∴，∴，∴DG=，∴CG=+=，同理可得：，∴，∴DH=，∴C（，）； ②矩形在x轴上方时，同理可得：C（，）； 故答案为（，）或（，）． 考点：圆的综合题；新定义；分类讨论． 14．将一张圆形纸片，进行了如下连续操作： （1）将圆形纸片左右对折，折痕为，如图（2）所示. （2）将圆形纸片上下折叠，使两点重合，折痕CD与相交于M，如图（3）所示. （3）将圆形纸片沿折叠，使两点重合，折痕与相交于N，如图（4）所示.       （4）连结，如图（5）所示，则3：4π， 以上结论正确的有 . 【答案】（1），（2），（3），（4）. 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】根据折叠的性质可得∠BMD=∠BNF=90°，然后利用同位角相等，两直线平行可得CD∥EF，从而判定（1）正确；根据垂径定理可得BM垂直平分EF，再求出BN=MN，从而得到BM、EF互相垂直平分，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形求出四边形MEBF是菱形，从而得到（2）正确；连接ME，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠MEN=30°，然后求出∠EMN=60°，根据等边对等角求出∠AEM=∠EAM，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEM=30°，从而得到∠AEF=60°，同理求出∠AFE=60°，再根据三角形的内角和等于180°求出∠EAF=60°，从而判定△AEF是等边三角形，（3）正确；设圆的半径为r，求出MN=r，EN=r，然后求出AN、EF，再根据三角形的面积公式与圆的公式列式整理即可得到（4）正确． 【详解】∵纸片上下折叠A、B两点重合， ∴∠BMD=90°， ∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合， ∴∠BNF=90°， ∴∠BMD=∠BNF=90°， ∴CD∥EF，故（1）正确； 根据垂径定理，BM垂直平分EF， 又∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合， ∴BN=MN， ∴BM、EF互相垂直平分， ∴四边形MEBF是菱形，故（2）正确； 如图，连接ME，则ME=MB=2MN， ∴∠MEN=30°， ∴∠EMN=90°-30°=60°， 又∵AM=ME（都是半径）， ∴∠AEM=∠EAM， ∴∠AEM=∠EMN=×60°=30°， ∴∠AEF=∠AEM+∠MEN=30°+30°=60°， 同理可求∠AFE=60°， ∴∠EAF=60°， ∴△AEF是等边三角形，故（3）正确； 设圆的半径为r，则MN=r，EN=r， ∴EF=2EN=r，AN=r+r=r， ∴S△AEF：S圆=（×r×r）：πr2=3：4π，故（4）正确； 综上所述，结论正确的是（1）（2）（3）（4）． 【点睛】本题圆的综合题型，主要考查了翻折变换的性质，平行线的判定，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，等边三角形的判定与性质，综合题，但难度不大，仔细分析便不难求解． 15．如图，在中，，，，点从点出发沿方向运动，到达点B时停止运动，连结，点关于直线的对称点为，连接A′C，．在运动过程中，点到直线距离的最大值是 ；点到达点时，线段扫过的面积为 ． 【答案】 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、求图形旋转后扫过的面积 【分析】（1）通过分析点A′的运动轨迹，是以点C为圆心，CA为半径的圆上，从而求解； （2）画出相应的图形，从而利用扇形面积和三角形面积公式计算求解 【详解】解：（1）由题意可得点A′的运动轨迹是以点C为圆心，CA为半径的圆上， ∵点从点出发沿方向运动，到达点B时停止运动，，点关于直线的对称点为， ∴∠ACA′最大为90° 当CA′⊥AB时，点A′到直线AB的距离最大，如图 过点B作BE⊥AC ∵，，， ∴在Rt△ABE中，BE=1，AE=， 在Rt△BCE中，BE=CE=1 ∴CA′=CA= 又∵CA′⊥AB ∴在Rt△ACF中，CF= ∴A′F=A′C-CF= 即点到直线距离的最大值是； 点到达点时，线段扫过的面积为： == 故答案为：； 【点睛】本题考查轨迹，含30°直角三角形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 16．如图，在正方形中，为对角线，的交点，经过点和点作⊙，分别交，于点，．已知正方形边长为，⊙的半径为，则的值为 ． 【答案】4.5 【知识点】圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【详解】连接EF、FG，GE如图， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD=90°,∠BEA=90° ∴∠FEG=90°， ∴∠BEF=∠AEG， 又∵∠FBE=∠EAG=45°， 在△BEF与△AGE中,， ∴△BPF≌△APE， ∴BF=AE, 而AB=AD， ∴DE=AF， ∵∠BAD=90°， ∴GF为O的直径， 而O的半径为2， ∴GF=4， ∴AF2+AG2=GF2=16①， 而DG=AF， DG2+AG2=16； 又∵AD=AG+GD=AB， ∴AG+GD=5②， 由①②联立起来组成方程组,解得：AG=,GD=或AE=,ED=， ∴AG⋅GD=4.5. 故答案为4.5. 点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质及圆周角定理.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一般.同时考查了直径所对的圆周角为直径、圆内接四边形的性质、正方形的性质以及方程组的解法. 三、解答题 17．如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB=AC，直线MN与⊙O相切于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E． （1）求证：△ABE ≌ △ACD； （2）若AB = 5，BC = 3，求AE． 【答案】(1) 见解析;(2) AE = ．     【知识点】圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【详解】分析：（1）在两个三角形中，证明两个三角形全等，找出三角形全等的条件，根据同弧所对的圆周角相等，根据所给的边长相等，由边角边确定两个三角形是全等三角形． （2）可以证明得到对应边成比例，设出要求的边长，得到关于边长的方程，解方程即可． 详解：（1）连接OC， ∵直线MN与⊙O相切于点C， ∴OC ⊥ MN， ∵BD∥ MN， ∴OC ⊥ BD， ∴ =, ∴∠BAE =∠CAD， 在△ABE和△ACD中 ∴△ABE ≌ △ACD（ASA）.          （2）由（1）知∠BAC = ∠CAD = ∠CBD, ∴   ∴ , ∵, ∴CE = , ∴AE = ． 点睛：属于圆的综合题，考查圆周角的性质，垂径定理，三角形全等的判定，相似三角形的判定，注意相似三角形和全等三角形的判定方法. 18．如图，AB是半圆O的直径，D为半圆上的一个动点(不与点A，B重合)，连接AD，过点O作AD的垂线，交半圆O的切线AC于点C，交半圆O于点E．连接BE，DE． (1)求证：∠BED＝∠C． (2)连接BD，OD，CD． 填空： ①当∠ACO的度数为　 　时，四边形OBDE为菱形； ②当∠ACO的度数为　 　时，四边形AODC为正方形． 【答案】(1)证明见解析；(2)①30°；②45°． 【知识点】圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）利用同角的余角相等证明∠BED＝∠C； （2）①当∠ACO＝30°时，四边形OBDE是菱形，利用邻边相等的平行四边形为菱形进行证明； ②当∠ACO＝45°时，四边形AODC是正方形，利用利用邻边相等的矩形为正方形进行证明． 【详解】(1)r如图，设AD，OC交于点P， ∵OC⊥AD， ∴∠APC＝90°． ∴∠C+∠CAP＝180°﹣∠APC＝90° ∵AC是半圆O的切线， ∴∠CAO＝∠CAP+∠BAD＝90°． ∴∠BAD＝∠C， ∵∠BED＝∠BAD， ∴∠BED＝∠C； (2)①当∠ACO＝30°时，四边形OBDE是菱形，理由如下 连接BD，如图 ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠DAB＝∠ACO＝30°， ∴∠DBA＝60°， ∵OE⊥AD， ∴= ∴∠DBE＝∠ABE＝30° ∵∠DEB＝∠DAB＝30°， ∴∠DEB＝∠ABE， DE∥AB ∵∠ADB＝90°，即BD⊥AD， OE⊥AD， ∴OE∥BD， 故四边形OBDE 是平行四边形 ∵OB＝OE ∴四边形OBDE 是菱形； 故答案为30°； ②当∠ACO＝45°时，四边形AODC是正方形．理由如下 连接CD、OD， ∵∠BED＝∠ACO＝45°， ∴∠BOD＝2∠BED＝90°， ∴∠AOD＝90°， ∵OC⊥AD， ∴OC垂直平分AD ∴∠OCD＝∠OCA＝45°， ∴∠ACD＝90°， ∵∠ACO＝90°， ∴四边形AODC是矩形 ∵OA＝OD， ∴四边形AODC是正方形， 故答案为45°． 【点睛】本题是圆综合题，熟练运用特殊平行四边形的判定与性质是解题的关键． 19．如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与圆交于点D，D为BC的中点，过D作DE⊥AC于E． （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若AB＝13，CD＝5，求CE的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）如图，作辅助线；证明ODAC；由DE⊥AC，得到DE⊥AC，即可解决问题． （2）如图，作辅助线；证明AC＝AB＝13；证明△CDE∽△CAD，得到，求出CE的长即可解决问题． 【详解】解：（1）连接OD； ∵D为BC的中点，O为AB的中点， ∴ODAC； ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是圆O的切线． （2）∵AB是直径， ∴AD⊥BC； ∵D为BC的中点， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴AC＝AB＝13； ∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠ADC＝90°， ∴△CDE∽△CAD， ∴，而AC＝AB＝13，CD＝5， ∴CE＝． 【点睛】此题主要考查圆的切线的判定与性质综合，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质、圆的切线的判定定理． 20．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，OB与y轴相交于另一点G． (1)求证：BC是OF的切线； (2)若点A、D的坐标分别为A(0，－1)，D(2，0)，求的半径； (3)求证：AF=AD+CD． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）连接EF，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠FEA=∠EAC，得到FE∥AC，根据平行线的性质得到∠FEB=∠C=90°，证明结论； （2）连接FD，设⊙F的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （3）作FR⊥AD于R，得到四边形RCEF是矩形，得到EF=RC=RD+CD，根据垂径定理解答即可． 【详解】（1）证明：如图连接EF， ∵AE平分∠BAC， ∴∠FAE=∠CAE， ∵FA=FE， ∴∠FAE=∠FEA， ∴∠FEA=∠EAC， ∴FE∥AC， ∴∠FEB=∠C=90°，即BC⊥EF ∵EF为圆F的半径， ∴BC是⊙F的切线； （2）连接FD，设⊙F的半径为r， ∵A(0，－1)，D(2，0)， ∴OA=1，OD=2，则OF=r－1 在Rt△ODF中，OF2+OD2=DF2 即(r－1)2+22=r2， 解得，r=， 即⊙F的半径为； （3）证明：如图，过点F作FR⊥AD于R， 则∠FRC=90°，AR=DR=AD， ∴∠FEC=∠C=CFRC=90°， ∴四边形RCEF是矩形， ∴EF=RC=RD+CD， ∴EF=RD+CD=AD+CD， ∵AF=EF， ∴AF=AD+CD． 【点睛】本题考查的是切线的判定、垂径定理的应用、矩形的判定和性质，掌握切线的判定定理是解题的关键． 21．如图，是的直径，是上一点，，垂足为(点在线段上)，已知，． (1)求的半径； (2)E是线段上一点，点在线段上，且，延长，分别交于点，．直线与的延长线交于点．探究：随着点的运动，的大小是否改变?请说明理由． 【答案】（1）的半径为5；（2）保持不变，理由见解析． 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、利用垂径定理求值 【分析】（1）如下图，连接OC，在Rt△OCH中，利用勾股定理可求得； （2）如下图，证，因点D为定点，故而得保持不变，即证保持不变． 【详解】(1)解：如图，连接 设，则， . 在中， 解得r=5. 的半径为5; (2)解：如图，延长交于点，交于点，连接，交于点，连接，. ，且， . . . 于点 ， ∵点为定点， ∴点为定点. 保持不变，即保持不变. 【点睛】本题考查圆的性质的综合，第（2）问的解题关键是利用角度转化，得出． 22．如图，中，，点是上一点，以点为圆心，以为半径作分别交于点与相切于点．连接相交于点． 猜想: 与的数量关系，并证明你的猜想; 若，求的半径． 【答案】(1) 猜想：，理由见解析；(2) 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、根据平行线判定与性质证明 【分析】(1)根据AB是的直径得到，又，得到CB∥DE，由DE是的切线可知，故可得到,再根据垂径定理即可求解； (2)先得到四边形是矩形，设的半径为，在中，得到故 ，即可求出半径的长． 【详解】猜想： 证明: 是的直径， ， 与相切于点, ． 解: ， 四边形是矩形． ， 设的半径为． 在中， 即: 解得: 的半径为． 【点睛】此题主要考查切线的性质及判定，解题的关键是熟知切线的性质及垂径定理的性质． 23．已知，如图，EB是的直径，且，在BE的延长线上取点P，使，A是EP上一点，过A作的切线，切点为D，过D作于F，过B作AD的垂线BH，交AD的延长线于当点A在EP上运动，不与E重合时： 是否总有，试证明你的结论； 设，，求y和x的函数关系，并写出x的取值范围．    【答案】(1)有，理由见解析；(2) 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、相似三角形的综合问题、圆周角定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】(1) 连接BD，先证△DFB≌△DHB，由此可得△BFH是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可证得BD⊥FH，而BD⊥DE，则FH∥DE，由此得证． (2) 由于BH=BF，可用y表示出EF的值，进而在Rt△DEB中，根据射影定理得到y、x的函数关系式；当A、P重合时，连接OD，则OD⊥PH，根据平行线分线段成比例，可求得BH的长，进而可得到BF、EF的值，然后由射影定理即可求得DE的长，求得x的取值范围． 【详解】解：(1)无论点A在EP上怎么移动点A不与点E重合， 总有，证明如下： 连接DB，交FH于G，如下图所示：    是的切线，． 又，BE为直径， ．有． 在和中， ，， ，， ∴≌． ∴ ∴是等腰三角形． ∴，即． ， ． 故答案为：总有成立. (2)，，，， ， 又是斜边上的高， ∽， ， 即．即， ， 当A从E向左移动，ED逐渐增大，当A和P重合时，ED最大， 这时，连接OD，如下图所示：    则， ． 又，， ，即：， ，． 由， 得：， ，， ， 故答案为：所求函数关系式为 【点睛】此题主要考查了切线的性质、圆周角定理、全等三角形及相似三角形的判定和性质、平行线的判定等知识；（2）①中，能够构造出与所求相关的全等三角形是解决问题的关键． 24．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【问题探究】如图1，，为的两条弦（），点C为的中点，过C作、垂足为E．求证：． 小明同学的思路是：如图2．在BE上截取，连接，，，…请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程． 【结论运用】如图3，是的内接等边三角形，点D是上一点，，连接，．过点A作，垂足为E．若，求的周长． 【变式探究】如图4，若将（问题探究）中“点C为的中点”改为“点C为优弧的中点”，其他条件不变，请写出、、之间的等量关系，并加以证明． 【答案】【问题探究】见解析；【结论运用】；【变式探究】，理由见解析 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、圆周角定理、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【问题探究】在上截取，连接，，，，证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的三线合一、结合图形证明结论；【结论运用】连接，在上截取，连接，证明，得到，根据等腰直角三角形的性质求出，根据三角形的周长公式计算，得到答案；【变式探究】在线段上截取，连接、、、，证明，根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：【问题探究】如图2，在上截取，连接，，，， ∵点C为的中点， ∴， ∴， 由圆周角定理得，， 在和中， ∴， ∴，又， ∴， ∴； 【结论运用】连接，在上截取，连接， ∵是的内接等边三角形， ∴， 由【问题探究】可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【变式探究】， 理由如下： 在线段上截取，连接、、、，如图所示： ∵点C为优弧的中点， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，掌握圆心角、弦、弧之间的关系、圆周角定理、全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 25．如图，是的外接圆，点O在边上，为的切线，且，的延长线交于点P．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）根据切线的性质及，证明垂直平分，推出，由圆周角定理即可证明结论； （2）先证明，根据勾股定理得出，进而求得，再证明，根据相似三角形的性质即可得出，代入可求出答案． 【详解】（1）证明：如图1，连接，    是的切线，是的直径， ∴， ， ， ， ∴， 点是的中点， ∴垂直平分， , ∴， ∴， ∴平分； （2）∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，勾股定理，正确理解题意证明三角形相似是解题的关键． 26．内接于，点D在边上，射线交于点E，点F在弧上，连接，.    (1)如图1，求证：； (2)如图2，交弦于点G，经过O点，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，H为的中点，连接、，若，，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用垂径定理求值、圆周角定理、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）连接，得到，，即，然后根据，可得到结果； （2）连接，找到角度之间的关系，结合（1）中的结论，可得到，通过同弧所对的圆周角相等，可得到，进而得到，即可求得结果； （3）延长交于点K，过O作于点M，过A作于点N，则，然后根据（1）（2）中的条件判断出四边形是平行四边形，四边形是矩形，得到，进而根据勾股定理得到答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长交于点K，过O作于点M，过A作于点N，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由（2）得， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理可得， ∴（舍）或， ∴，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查了圆与三角形的综合问题，其中有同弧所对的圆周角相等，垂线定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是找到各个角度、边长之间的关系． 27．若△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径． (1)求证：； (2)已知，，，求⊙O的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）先证明∠ABE=∠ADC，∠AEB=∠ACB，然后根据两个角相等的两个三角形相似，证明，得出，即可得出结论； （2）根据，代入数据求出AE的长，即可得出半径的长． 【详解】（1）证明：连接BE，如图所示： ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE=90°， ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC=90°， ∴∠ABE=∠ADC， ∵， ∴∠AEB=∠ACB， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，，，， ∴， ∴⊙O的半径为：． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，三角形相似的判定和性质，证明是解题的关键． 28．已知：如图， AB为⊙O的直径，CE⊥AB于E，BF∥OC，连接BC，CF． 求证：∠OCF=∠ECB． 【答案】见解析 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】延长CE交⊙O于点G，连接BG，由垂径定理可得BC=BG，从而可得∠G=∠2，再根据BF∥OC，可得∠1=∠F，再根据圆周角定理可得∠G=∠F，从而得证. 【详解】延长CE交⊙O于点G，连接BG， ∵AB为⊙O的直径，CE⊥AB于E， ∴BC=BG， ∴∠G=∠2， ∵BF∥OC， ∴∠1=∠F 又∵∠G=∠F， ∴∠1=∠2． 即∠OCF＝∠ECB． 29．如图，在平面直角坐标系中，⊙A的半径为1，圆心A点的坐标为（2，1）．直线OM是一次函数y=－x的图象．将直线OM沿x轴正方向平行移动． （1）填空：直线OM与x轴所夹的锐角度数为 °； （2）求出运动过程中⊙A与直线OM相切时的直线OM的函数关系式；（可直接用（1）中的结论） （3）运动过程中，当⊙A与直线OM相交所得的弦对的圆心角为90°时，直线OM的函数关系式． 【答案】(1)45;(2) y=－x+3－或y=－x+3+;(3) y=－x+2或y=－x+4． 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）利用直线y＝−x上点的坐标特征易得直线y＝x为第二、三四象限的角平分线，则直线OM与x轴所夹的锐角度数为45°； （2）如图1中，设⊙A与x轴相切于点C，平移后的直线OM与⊙A相切于点E，交x轴于P，连接AE，AC，作ED⊥AC于D．求出点E坐标，利用待定系数法即可解决问题，再根据对称性解决另一种相切情形； （3）当平移后的直线OM经过点C（⊙A与x轴的切点）时，弦EC所对的圆心角为90°，此时直线EC的解析式为y＝−x＋2．再根据对称性解决另一种情形. 【详解】解：（1）∵直线y=－x上点到x轴和y轴的距离相等， ∴直线y=x为第二、四象限的角平分线， ∴直线OM与x轴所夹的锐角度数为45°； 故答案为45． （2）如图1中，设⊙A与x轴相切于点C，平移后的直线OM与⊙A相切于点E，交x轴于P，连接AE，AC，作ED⊥AC于D． ∵∠OPE=45°， ∴∠EPC=135°， ∵∠AEP=∠ACP=90°， ∴∠EAD=45°， ∵AE=1， ∴AD=DE= ∴CD=1－ ∴E（2－，1－）， 设直线PE的解析式为y=－x+b， 则有1－=－（2－）+b， ∴b=3－， ∴平移后直线OM的解析式为y=－x+3－． 根据对称性可知，直线PE向右平移个单位直线与⊙A相切于点E′，此时直线OM的解析式为y=－x+3+． 综上所述，运动过程中⊙A与直线OM相切时的直线OM的函数关系式为y=－x+3－或y=－x+3+． （3）当平移后的直线OM经过点C（⊙A与x轴的切点）时，弦EC所对的圆心角为90°，此时直线EC的解析式为y=－x+2． 根据对称性可知，当直线EC继续向右平移2个单位，与⊙A交于点D，E′，此时∠DAE′=90°，此时直线的解析式为y=－x+4． 综上所述，满足条件的直线OM的解析式为：y=－x+2或y=－x+4． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了切线的性质、垂径定理、等边三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题；学会解决动点问题． 30．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，交轴于A、B两点，交轴于、两点，且为弧的中点，交轴于点，点A的坐标为，． (1)求点的坐标． (2)过点作的切线交轴于点，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、圆与函数的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）由，且为直径，得到，，求得，即可得到，即可求得点的坐标 （2）连接，则，用勾股定理分别求得，，，求得，即可求得直线的解析式 【详解】（1）∵，且为直径， ∴， ∵C为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为 （2）由（1）知点的坐标为，则， ∴设直线的解析式为：，则点F的坐标为：， 在中，， 设的半径为r，连接，则， 点A的坐标为，则， 在中，，即， 解得：， ∴ 在中，， 由得：， 解得：， ∴直线的解析式为： 【点睛】本题考查了圆与函数的综合(圆的综合问题)和几何问题(一次函数的实际应用)，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键 31．如图1，在中，，，．以为直径作．是圆上一点且，是延长线上一点，射线与的延长线交于点，与交于点，设，． (1)求的半径． (2)求关于的关系式． (3)如图2，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）根据勾股定理求出直径长即可； （2）延长交于M，证明，利用相似三角形的性质列出比例式即可； （3）分类讨论，根据等腰三角形的性质求出x，再利用（2）中的结论求出y即可． 【详解】（1）解：在中，，，． ∴， ∴的半径为； （2）解：延长交于M， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； （3）解：当时，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴经过圆心， ∴， ∴， ； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了相似三角形和圆的性质，解题关键是恰当构建相似三角形，利用它的性质进行推理证明． 32．如图，是⊙的直径，弦于点，点在⊙上，恰好经过圆心，连接． （1）若，求⊙的半径； （2）若，点是的一个四等分点吗？为什么？ 【答案】（1）5；（2）是，理由详见解析 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）由CD＝8，BE＝2，根据垂径定理得出CE＝DE＝4，设⊙O的半径为r，则OE=r−2，根据勾股定理即可求得结果； （2）由∠P＝∠D，∠DOB＝2∠P则有∠DOB＝2∠D，结合直角三角形可以求OD=2OE，又等量代换OB=2OE；继而可得结论 ． 【详解】解：（1）∵AB⊥CD，CD＝8， ∴CE＝DE＝4， 设OB=OD=r， 又∵BE＝2， ∴OE=r−2 由勾股定理可得： 解得：r=5， ∴⊙的半径为5； （2）∵∠P＝∠D，又∠DOB＝2∠P ∴∠DOB＝2∠D， 在Rt△DOE中，∠DOB＋∠D＝90°，∠DOB＝2∠D ∴∠D＝30°，OD=2OE， ∵OB＝OD ∴OB=2OE； ∵AB＝2OB ∴AB＝4OE即OE= AB，点是的一个四等分点． 【点睛】本题主要考查圆的综合问题，涉及到垂径定理，勾股定理，圆周角定理，综合运用所学知识是解题的关键． 33．如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3．点E是CD上的动点，以AE为直径的⊙O与AB交于点F，过点F作FG⊥BE于点G． （1）若E是CD的中点时，证明：FG是⊙O的切线 （2）试探究：BE能否与⊙O相切？若能，求出此时DE的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）点E不存在，BE不能与⊙O相切，理由见解析 【知识点】圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）要证明FG是⊙O的切线只要证明OF⊥FG即可； （2）先假设BE能与⊙O相切，则AE⊥BE，即∠AEB=90°．设DE的长为x，然后用x表示出CE的长，根据勾股定理可得出一个关于x的一元二次方程，若BE能与⊙O相切，那么方程的解即为DE的长；若方程无解，则说明BE不可能与⊙O相切． 【详解】（1）连接OF、EF； ∵AE是⊙O的直径，AF⊥EF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝∠D＝90°，AB＝CD， ∴四边形ADEF是矩形， ∴AF＝DE， ∴EC＝BF， ∵E是CD的中点， ∴F是AB的中点， ∴OF∥BE， ∵FG⊥BE， ∴OF⊥FG， ∴FG为⊙O的切线． （2）若BE能与⊙O相切，因AE是⊙O的直径，则AE⊥BE，∠AEB＝90°． 设DE＝x，则EC＝5﹣x． 由勾股定理得：AE2+EB2＝AB2， 即（9+x2）+[（5﹣x）2+9]＝25， 整理得x2﹣5x+9＝0， ∵b2﹣4ac＝25﹣36＝﹣11＜0， ∴该方程无实数根， ∴点E不存在，BE不能与⊙O相切． 【点睛】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．本题还要会熟练运用勾股定理作为相等关系列方程求解． 34．在数学拓展课中老师提出下列问题：如图，A为上一点，C为半径的中点，延长线交于点E，于点G，交于点D，直线，交于点F．设，试问k是否为定值？若是定值，请求出其值；若不是定值，也请说明理由． 小明同学在解决这个题目时作这样的思考：将的位置特殊化，假设，则点G与点O重合…… （1）依据小明同学的思路求出当时k的值； （2）请对老师提出的问题作出解答． 【答案】（1）；（2）见解析 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）证明△AOC∽△FOD即可得出，即可解答； （2）延长AO交圆O于H，连接HD，OD，易证∠AOC=∠AHD=∠FOD，再进一步根据圆内接四边形的性质证明∠AOC=∠AEF，从而由三角形内角和定理可得∠F=∠OAC，进而可得△AOC∽△FOD，从而证明结论． 【详解】解：（1）当OA⊥OB，即点G与点O重合时，则AD为直径， ∴∠AED=90°， ∴∠A+∠D=90°， 又∵∠FOD=90°， ∴∠F+∠D=90°， ∴∠A=∠F， ∴△AOC∽△FOD， ∴， 又∵OA=OB=OD，OC=OB， ∴； （2）结论：， 如图，延长AO交圆O于H，连接HD，OD， ∵AH是直径， ∴∠ADH=90°， 又∵OB⊥AD， ∴HD∥OF， ∴∠AOC=∠AHD， 又∵四边形AHDE内接于圆O， ∴∠AEF=∠AHD， ∵∠AOC=∠ECF， ∴∠F=∠OAC， ∵OC⊥AD，OA=OD， ∴∠AOC=∠FOD， ∴△AOC∽△FOD， ∴， 又∵OA=OB=OD，OC=OB， ∴． 【点睛】本题考查了圆与相似三角形综合，解题的关键是根据圆的性质和角的转换证明三角形相似，再通过线段代换得出结论． 35．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连接CD，点O是CD的中点，到点O的距离等于OC的所有点组成图形M，图形M分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G． （1）试判断FG与图形M的位置关系，并说明理由； （2）若AC＝3，∠B＝30°，求FG的长． 【答案】（1）FG与⊙O相切，理由详见解析；（2）FG＝． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、解直角三角形的相关计算、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）如图，连接OF，根据直角三角形的性质得到CD＝BD，得到∠DBC＝∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠OFC＝∠OCF，得到∠OFC＝∠DBC，推出∠OFG＝90°，于是得到结论； （2）连接DF，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）FG与⊙O相切， 理由：根据圆的定义知：到点O的距离等于OC的所有点组成图形M，图形M就是⊙O， 如图，连接OF， ∵∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CD＝BD， ∴∠DBC＝∠DCB， ∵OF＝OC， ∴∠OFC＝∠OCF， ∴∠OFC＝∠DBC， ∴OF∥DB， ∴∠OFG+∠DGF＝180°， ∵FG⊥AB， ∴∠DGF＝90°， ∴∠OFG＝90°， ∴FG与⊙O相切； （2）连接DF， ∵∠ACB＝90°，AC＝3，∠B＝30°， ∴AB＝2AC＝6， ∴BC＝AB＝3， ∵CD为⊙O的直径， ∴∠DFC＝90°， ∴FD⊥BC， ∵DB＝DC， ∴BF＝BC＝， ∵sin∠ABC， 即， ∴FG＝． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 36．数学兴趣小组在探究圆中图形的性质时，用到了半径是6的若干圆形纸片． (1)如图1，一张圆形纸片，圆心为，圆上有一点A，折叠圆形纸片使得A点落在圆心上，折痕交于、两点，求的度数． (2)把一张圆形纸片对折再对折后得到如图扇形，点是弧上一动点． ①如图2，当点是弧中点时，在线段、上各找一点、，使得是等边三角形．试用尺规作出，不证明，但简要说明作法，保留作图痕迹． ②在①的条件下，取的内心，则___________． ③如图3，当在弧上三等分点S、之间（包括S、两点）运动时，经过兴趣小组探究都可以作出一个是等边三角形，取的内心，请问的长度是否变化．如变化，请说明理由；如不变，请求出的长度． 【答案】(1) (2)①图见解析，说明见解析；②；③不变， 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、已知正切值求边长、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）根据折叠得出，证明是等边三角形，，同理得出，即可得出的度数； （2）①作等边，作垂直平分线交于点，以为圆心为半径作圆交于点，连接、、即可； ②设，则，，，求出，根据，得出，求出x，即可得出答案； ③取中点，连接，，，作交于点，设，，则，，，根据勾股定理得出，最后在中，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：由折叠可得， ， ， 是等边三角形， ， 同理：， ； （2）解：①作等边，作垂直平分线交于点，以为圆心为半径作圆交于点，连接、、得； 根据作图可知，， 根据折叠可知，， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形； ②根据解析①可知，为等边三角形，， ∴内心的内心N在上，，， 设，则，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：． ③不变，理由如下： 如图，取中点，连接，，，作交于点， 设，，则，，， 在中，， 为的中点， ， 在中，， 在中，， 即有化简得， 在中， ； 即，的值不变． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握等边三角形的判定和性质． 37．如图，AC为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，BE⊥CD于点E，＝． （1）求证：BE的⊙O切线． （2）若AD＝4，EC＝1，求BD的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、由平行判断成比例的线段、证明某直线是圆的切线、利用垂径定理求值 【分析】（1）连接，根据可得，再根据可得，AC为⊙O的直径可得，从而得到，再由，可得，得到即可求解； （2）作，则，，四边形为矩形，设半径为，则，，由勾股定理求得半径，即可求解． 【详解】解：（1）连接，如下图： ∵， ∴，即点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴， ∵AC为⊙O的直径， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵为半径， ∴BE的⊙O切线； （2）作，如下图： 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴ ∵， ∴， ∴，即， 设半径为，则，， 由勾股定理可得：，即，解得， ，， ． 【点睛】此题考查了圆的有关性质，切线的判定与性质定理，垂径定理，弦、弧、圆心角的关系、勾股定理，垂直平分线的性质，矩形的判定与性质，平行线分线段成比例的性质，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解． 38．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝5，点O、P分别在AB、AD边上运动，以点O为圆心、OA为半径作⊙O，连接BP，把⊙O沿着BP翻折得⊙Q． （1）若⊙O的半径r＝1． ①DQ的最小值为 　 　． ②当DC切⊙Q于点E时，求CE长． （2）当⊙Q在运动的过程中与BC边始终没有公共点时，请直接写出⊙O的半径r的值或取值范围． 【答案】（1）①；②；（2）r＞或0＜r＜时，⊙Q在运动的过程中与BC边始终没有公共点． 【知识点】圆与四边形的综合(圆的综合问题)、解直角三角形的相关计算、切线的性质定理、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）①连接BD交圆弧于点Q，点Q在以B为圆心，BO长为半径的圆上，可知当B、Q 、D三点在一条线上时，DQ最小，结合勾股定理即可求解；②连接QE，BQ，过点Q作QM⊥BC，可得四边形MCEQ是矩形，进而即可求解； （2）取两个临界状态：当点P与点A重合时，⊙O恰好过点C时，连接OC，当点P与点D重合时，⊙Q恰好过点C时，此时点Q在CD上，连接OQ交BD于点M，分别求出对应的r，进而即可得到答案． 【详解】解：（1）①以B为圆心，BO长为半径画弧，连接BD交圆弧于点Q， 由翻折的性质可得：BO=BQ，且点Q在以B为圆心，BO长为半径的圆上， ∴当B、Q 、D三点在一条线上时，DQ最小， ∵AB=8，OA=1， ∴BQ=BO=8-1=7， ∴DQ的最小值=BD-BQ=， 故答案是：； ②连接QE，BQ，过点Q作QM⊥BC， ∵DC切⊙Q于点E，即：QE⊥CD， ∴四边形MCEQ是矩形， ∴CM=QE=1，BM=5-1=4， 在中，MQ=， ∴CE= MQ=； （2）如图：当点P与点A重合时，⊙O恰好过点C时，连接OC， 设OC=OP=r，则OB=8-r， ∴，解得：r=， ∴当点P在AD边上运动，r＞时，⊙Q在运动的过程中与BC边始终没有公共点； 如图：当点P与点D重合时，⊙Q恰好过点C时，此时点Q在CD上，连接OQ交BD于点M，则OQ垂直平分BD， ∵cos∠BDC=，DM=， ∴，解得：DQ=， ∴r=CQ=AO=8-=， ∴当点P在AD边上运动，0＜r＜时，⊙Q在运动的过程中与BC边始终没有公共点， 综上所述：r＞或0＜r＜时，⊙Q在运动的过程中与BC边始终没有公共点． 【点睛】本题主要考查圆的性质和矩形的性质，轴对称的性质，切线的性质，分类画出图形，添加辅助线，是解题的关键． 39．如图，⊙O的直径，点为弧上一点，连接、，点为劣弧上一点（点不与点、重合），连接交、于点、． （1）当时，的长度为______； （2）当点为劣弧的中点，且∽时，求的度数； （3）当，且为直角三角形时，求四边形的面积（直接写出结果）． 【答案】（1）；（2）18°；（3）或． 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、已知余弦求边长、利用相似三角形的性质求解、由平行判断成比例的线段 【分析】（1）过点作于点，根据垂径定理及余弦的定义解题； （2）连接，设，由三角形的外角性质得，由 得到，最后根据三角形的外角性质解题； （3）分两种情况讨论，①当时，作辅助线，作平行线，根据平行线分线段成比例定理计算AH、OH、BH的长，再由面积差解题；②当时，连接AC，证明，分别计算各边的长，最后根据面积差解题． 【详解】解:（1）如图，过点作于点， 故答案为：； （2）如图，连接， ∵， ∴， ∵点为弧中点， ∴，， ∵ ， ∴， 在中，由外角定理① （或在中，由外角定理） 在中，② 由①②解得； （3）分两种情况讨论， ①当时，过点作于点， ； ②当时，连接， 同理得 综上所述，四边形AOEB的面积为或． 【点睛】本题考查圆的综合题，涉及平行线分线段成比例定理，余弦、勾股定理、三角形外角性质、三角形和四边形的面积公式等知识，有难度，掌握相关知识是解题关键． 40．如图，边长为4的正方形ABCD中，点P是边CD上一动点，作直线BP，过A、C、D三点分别作直线BP的垂线段，垂足分别是E、F、G． （1）如图（a）所示，当CP＝3时，求线段EG的长； （2）如图（b）所示，当∠PBC＝30°时，四边形ABCF的面积； （3）如图（c）所示，点P在CD上运动的过程中，四边形AECG的面积S是否存在最大值？如果存在，请求出∠PBC为多少度时，S有最大值，最大值是多少？如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）6+2；（3）当∠PBC为22.5°时，S有最大值，最大值是4+4． 【知识点】圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）延长AE交BC于点Q，过点D作DR⊥AE，由题意可证四边形DREG是矩形，即DR＝EG，由勾股定理可求BP＝5，由等角的余角相等可得∠ADR＝∠PBQ，可证△ADR∽△PBC，可得,可求出DR＝，即EG＝；（2）过点F作FM⊥AB于点M，作FN⊥BC于点N，由题意可证四边形BNFM是矩形，可得FM＝BN，由直角三角形的性质可求CF＝2，NC＝1，FN＝NC＝，即FM＝BN＝3，根据S四边形ABCF＝S△ABF+S△BFC，可求四边形ABCF的面积；（3）连接AF，AC，过点D作DR⊥AE，由第一问的结论和全等三角形的性质可得BF＝EG，由S四边形AECG＝S△AEG+S△CEG＝×EG×AE+×EG×CF＝×BF×AE+×BF×CF＝S△ABF+S△BCF＝S四边形ABCF＝S△ABC+S△AFC＝8+S△AFC，则当点F在AC的右侧，且到AC距离最大时，S四边形AECG值最大，由点B，点C，点F，点N四点在以O为圆心，OC为半径的圆上，可知当OF⊥AC时，点F到AC距离最大，根据圆的有关性质和等腰三角形的性质，可求四边形AECG的面积S是的最大值和∠PBC的度数； 【详解】解： （1）如图，延长AE交BC于点Q，过点D作DR⊥AE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BC＝4，AD∥BC， ∴∠DAR＝∠AQB， ∵∠AQB+∠PBC＝90°，∠DAR+∠ADR＝90°， ∴∠ADR＝∠PBC， ∵PC＝3，BC＝4， ∴BP＝＝5， ∵∠ADR＝∠PBC，∠ARD＝∠BCD＝90°， ∴△ADR∽△PBC， ∴， ∴， ∴DR＝， ∵DR⊥AE，DG⊥BP，AE⊥BP， ∴四边形DREG是矩形， ∴EG＝DR＝； （2）如图，过点F作FM⊥AB于点M，作FN⊥BC于点N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝4，∠ABC＝90°， ∵FM⊥AB，FN⊥BC，∠ABC＝90°， ∴四边形BNFM是矩形， ∴FM＝BN， ∵∠PBC＝30°， ∴FC＝BC＝2，∠FCB＝60°， ∴∠NFC＝30°， ∴NC＝1，FN＝NC＝， ∴BN＝BC﹣NC＝4﹣1＝3＝MF， ∴S四边形ABCF＝S△ABF+S△BFC， ∴S四边形ABCF＝×4×3+×4×＝6+2； （3）如图，连接AF，AC，过点D作DR⊥AE， 由第一问可得，DR＝EG，∠ADR＝∠PBC， ∵AD＝BC，∠ADR＝∠PBC，∠ARD＝∠CFB＝90°， ∴△ADR≌△CBF（AAS） ∴DR＝BF， ∴BF＝EG， ∵S四边形AECG＝S△AEG+S△CEG， ∴S四边形AECG＝×EG×AE+×EG×CF＝×BF×AE+×BF×CF＝S△ABF+S△BCF， ∴S四边形AECG＝S四边形ABCF， ∴S四边形AECG＝S△ABC+S△AFC＝8+S△AFC， ∴当点F在AC的右侧，且到AC距离最大时，S四边形AECG值最大， 如图，连接BD交AC于点N，取BC中点O，连接ON，OF交AC于点M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BNC＝90°＝∠BFC，BN＝CN， ∴点B，点C，点F，点N四点在以O为圆心，OC为半径的圆上， ∴OC＝OF＝ON＝2， ∵BN＝CN，BO＝CO，∠BNC＝90°， ∴∠CON＝90°，∠BCN＝∠CNO＝45°， ∴NC＝， 即AC＝， 当OF⊥AC时，点F到AC的距离最大， ∵OF⊥AC，ON＝OC，∠NOC＝90°， ∴OM＝MN＝MC＝，∠FOC＝∠NOC＝45°， ∴FM＝2﹣， ∴四边形AECG的面积S的最大值＝8+×4×（2﹣）＝4+4， ∵OB＝OF， ∴∠PBO＝∠OFB， ∵∠PBO+∠OFB＝∠FOC＝45°， ∴∠PBC＝22.5°， ∴当∠PBC为22.5°时，S有最大值，最大值是4+4. 【点睛】本题主要考查了勾股定理、矩形的性质，掌握勾股定理、矩形的性质，是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$