第04讲 勾股定理（2个知识点+6大考点举一反三+过关测试）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（人教版）

第04讲 勾股定理 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1. 掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法 2.会借助勾股定理确定数轴上表示无理数的点，理解实数与数轴上的点一一对应关系 3．能够从实际问题中抽象出直角三角形，并能运用勾股定理进行有关的计算和证明。 知识点 1 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 知识点2 勾股定理证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 考点一：用勾股定理解三角形 例1.在中，，，，． (1)若，，求c的值； (2)若，，求b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ； （2）解：在中，，，， ． ． 【变式1-1】若一个直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则其第三边的长为（    ） A． B．9 C． D．13 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边长的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵一个直角三角形的两条直角边长分别为5和12， ∴第三边的长为， 故选：D． 【变式1-2】中，、、所对的边分别是、、，且． (1)若，，求； (2)，，求，． 【答案】(1)20 (2)， 【分析】本题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半是解此题的关键． （1）由勾股定理计算即可得出答案； （2）先求出，由含角的直角三角形的性质得出，再由勾股定理求出，进而可求出． 【详解】（1）解：∵，，， ∴由勾股定理得：； （2）解：在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴． 【变式1-3】已知：如图，在中，两直角边． (1)求的长； (2)求斜边上的高的长． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，求三角形的高： （1）根据直角三角形两直角边的长的平方和等于斜边的平方求解即可； （2）根据代值计算即可． 【详解】（1）解：∵在中，两直角边， ∴； （2）解：由题意得，， ∴． 考点二：已知两点坐标求两点距离 例2.阅读理解：在平面直角坐标系中，，，如何求的距离．如图，在，，所以．因此，我们得到平面上两点，之间的距离公式为．根据上面得到的公式，解决下列问题： (1)已知点，，试求、两点间的距离； (2)已知点，且，求的值； (3)求代数式的最小值． 【答案】(1)13 (2)； (3) 【分析】（1）根据两点距离公式进行计算便可； （2）根据两点距离公式列出m的方程进行解答便可； （3）把看成点到两点和的距离之和，求出两点和的距离便是的最小值． 【详解】（1）解：根据两点的距离公式得，； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴； （3）解：∵看成点到两点和的距离之和， ∴的最小值为点到两点和的距离之和的最小值， ∵当点在以两点和为端点的线段上时，点到两点和的距离之和的最小值，其最小值为以两点和为端点的线段长度， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了两点的距离公式及应用，关键是读懂题意，运用两点距离公式计算两点距离和应用两点距离公式解决具体问题． 【变式2-1】阅读材料： 例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值． 解：． 几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． 求最小值：设点关于轴对称点，则．因此，求的最小值，只需求的最小值，而点，间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以由勾股定理得，即原式的最小值为． 根据以上阅读材料，解答下列问题：    (1)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点B 的距离之和．（填写点B的坐标） (2)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 与点A 、点B 的距离之和．（填写点A，B的坐标） (3)求出代数式+的最小值． 【答案】(1)或； (2)； (3)最小值为10． 【分析】本题属于几何变换综合题，考查的是轴对称−最短路线问题，解答此题的关键是利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题． （1）先把原式化为的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论； （2）先把原式化为的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点的距离之和； （3）在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可． 【详解】（1）∵原式化为的形式， ∴代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点或的距离之和， 故答案为或； （2）∵原式化为的形式， ∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点的距离之和， 故答案为：． （3）如图所示：设点A关于x轴的对称点为，则，    ∴的最小值，只需求的最小值，而点、B间的直线段距离最短， ∴的最小值为线段的长度， ∵ ∴，， ∴ ， ∴代数式的最小值为10． 【变式2-2】如图，是平面直角坐标系中的一点． (1)用二次根式表示线段的长． (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了坐标与图形，坐标两点的距离公式． （1）由坐标两点距离公式求解即可； （2）由坐标两点距离公式求解即可； 【详解】（1）解：，， ，即段的长为； （2）解：若，， 则， 即的长为4． 【变式2-3】阅读材料：一般地，设平面上任意两点和可以用表示A、B两点之间的距离，那么该如何计算呢？作轴、作轴，垂足分别是点；作轴，垂足为点、作轴，垂足为点，且与交于点C，则四边形是矩形． ∵，， ∴． ∴． 这就是平面直角坐标系中两点之间的距离公式． 如：点和点之间的距离．    (1)请运用公式计算点和点之间的距离； (2)在（1）的条件下，点O为原点，求的周长； (3)平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，当值最小时，用尺规作出点P，并求出的最小值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题是阅读理解题， 主要考查了尺规作图，轴对称的性质，平面直角坐标系中两点之间的距离， 解题的关键是正确利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式． （1）利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式直接计算即可； （2）利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式分别计算出， 即可计算出的周长． （3）尺规作点的对称点，得出当三点共线时，最小，最小值是，求解即可； 【详解】（1）解：， ∴点和点之间的距离是． （2）解：， ， ∴的周长． （3）解：如图，作点的对称点， 则，， 当三点共线时，最小，最小值是， ∴．    考点三：以直角三角形三边为边长的图形面积 例3.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为 ． 【答案】72 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用；根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，得到四个小正方形的面积之和等于最大正方形的面积，即可求解． 【详解】解：根据勾股定理和正方形的性质可知， ， ， ， ， 正方形A、B、C、D、E、F的面积之； 故答案为：72． 【变式3-1】以直角三角形的三边为边长分别向外作正方形，如图字母B所代表的正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据正方形的面积可以计算直角三角形斜边和一条直角边的长，则另一条直角边根据勾股定理就可以计算出来，即可得出正方形的面积． 【详解】解：如图， 由题意得：，，， ， 正方形的面积为， 故答案为：． 【变式3-2】如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正方形的面积以及规律型中数学的变化类，根据面积的变化找出变化规律进行计算即可． 【详解】解：是等腰直角三角形， ， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ， ， ， ， ， ， 故选A． 【变式3-3】如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为．其中，，，，则 ． 【答案】54 【分析】本题考查了勾股定理、等边三角形、圆形面积的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、等边三角形面积计算和性质，从而完成求解． 设对应的边长为，根据题意，通过等边三角形和勾股定理的性质，得，从而计算得到；设对应的边长为，通过圆形面积和勾股定理性质，得，从而计算得到，即可得到答案． 【详解】解：分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为， 则对应的边长设为， 过点A作， 则， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵， ， ， 以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为， 则对应的边长设为， 根据题意得：， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：54． 考点四：勾股定理的证明 例4.阅读材料，解决问题： 三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图1，这是由8个全等的直角边长分别为，，斜边长为的三角形拼成的“弦图”． (1)在图1中，正方形的面积可表示为______，正方形的面积可表示为______（用含，的式子表示）； (2)请结合图1用面积法说明，，三者之间的等量关系； (3)已知，，求正方形的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)正方形的面积为39 【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式，三角形的面积，关键是应用正方形的面积公式进行计算． （1）由正方形面积公式即可得到答案； （2）由正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，即可得到答案； （3）由正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，得到正方形的面，代入有关数据即可计算． 【详解】（1）解：正方形的面积可表示为，正方形的面积可表示为． 故答案为：；； （2）解：正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积， ， ； （3）解：正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积， 正方形的面积． 【变式4-1】【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】（1），  （2）见解析  （3）见解析  （4） 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得， 再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图所示图形,然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）依据题意,通过证明即可判断得解； （3）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （4）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设 故又在 中,则，求出后可列式计算得解. 【详解】(1)证明：由图可知， ，， 正方形边长为， ， 即． 故答案为：，； （2）证明: ∵, ∴， ∵, ∴， ∴， 又, , ∴. ∴； (3)证明： 由题意，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； (4)由题意,如图, ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为, ， 设则， 在中, ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为：． 【变式4-2】我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． (1)如图1，请用两种不同方法表示图中空白部分面积． 方法1：______； 方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； (2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； (3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3)阴影部分的面积为27． 【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键． （1）方法1：求得小正方形的边长为，方法2：大正方形的面积减4个直角三角形的面积，据此计算即可； （2），列式计算即可证明； （3）先用勾股定理计算出c，再利用计算面积即可． 【详解】（1）解：方法1：； 方法2：； ∵，即， 故； 根据以上信息，可以得到等式：； 故答案为：；；； （2）解：∵， 即， 整理得， 故； （3）解：如图，， ∵，， ∴， 则， ∴， 故阴影部分的面积为27． 【变式4-3】我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”．如图，，，． (1)请你利用这个图形，推导勾股定理：； (2)若直角三角形ABE的面积为54，，求小正方形EFGH的边长． 【答案】(1) (2)小正方形EFGH的边长为3 【分析】本题考查勾股定理的证明，完全平方公式，整体思想，面积法，掌握面积法以及整体思想是解题的关键． （1）将正方形的面积用四个全等的直角三角形的面积加正方形的面积表示，再整理即可； （2）根据直角三角形的面积为54，列出等式，再求出即可． 【详解】（1）解：正方形由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，，，， ， 整理，得； （2）直角三角形的面积为54，， ，， ， 小正方形的面积， 小正方形的边长为3． 考点五：勾股定理与无理数 例5.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．      (1)应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示2的点A，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使，以原点O为圆心，为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点C表示的数是_________； (2)应用场景2——解决实际问题．如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽6尺，求竹竿长． 【答案】(1) (2)10尺 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据实数与数轴关系解答； （2）竹竿长x尺，则门高尺，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，，， 在中，， ∴， ∴点C表示的数为， 故答案为：； （2）解：竹竿长x尺，由题意，竹竿，门高 尺，门宽尺，， 在中， ∴， ∴， 解得， 答：竹竿长10尺． 【点睛】本题考查勾股定理的应用、实数与数轴，理解题意，熟练掌握勾股定理是解答的关键． 【变式5-1】甲同学用如图方法作出C点，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝3，且点O、A、C在同一数轴上，OB＝OC． （1）请求出甲同学所做的点C表示的数； （2）仿照小明同学的做法，请你在如下所给数轴上描出表示－的点D． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）依据勾股定理求得OB的长，从而得到OC的长，故此可得点C表示的数； （2）由17=16+1，依据勾股定理即可作出表示的点D. 【详解】（1）解：由勾股定理得： ∴ ∴点C表示的数是 （2） 【点睛】本题为考查勾股定理、实数与数轴的综合题，难度不大，熟练掌握勾股定理是解题关键. 【变式5-2】如图，矩形的一条边在数轴上，长为2个单位长度，宽为1个单位长度，以原点为圆心，以矩形对角线的长为半径画弧，与正负半轴分别交于点、．在点的左侧截取，点表示的数为3，回答下列问题：    (1)点、、表示的实数依次为______，______，______； (2)计算线段和的长度，并用作差法比较它们的大小． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数： （1）勾股定理求出的长，两点间的距离求出点、、表示的实数即可； （2）根据两点间的距离公式，求出和的长，作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：由题意和勾股定理，得：， ∴点表示的实数为和， ∵， ∴， ∴点表示的实数为； 故答案为：，， （2）∵点C表示的数为，点D表示的数为3 ∵点B表示的数为 ， ∴， ∵， ∴ ∴． 【变式5-3】阅读下面的材料： 如图1，在线段上找一点C（），若，则称点C为线段的黄金分割点，这时比值为，人们把称为黄金分割数，长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．    我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在数轴上点O表示数0，点E表示数2，过点E作，且，连接；以F为圆心，长为半径作弧，交于H；再以O为圆心，长为半径作弧，交于点P，则点P就是线段的黄金分割点． 根据材料回答下列问题： (1)根据作图，写出图中相等的线段：　 　； (2)求点P在数轴上表示的数，并写出的值． 【答案】(1)， (2)点P在数轴上表示的数为， 【分析】（1）根据作图步骤可知半径相等，即可解答； （2）根据垂直定义可得，根据已知可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，再根据作图可得：，，从而求出的长，进而求出的长，最后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：根据作图步骤可知半径相等，图中相等的线段：，； 故答案为：，； （2）解：， ， ， ， ， ， 由作图得：，， ， ， ， ∴点P在数轴上表示的数为，． 【点睛】本题考查了黄金分割，实数与数轴，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 考点六：勾股数 例6.在下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A．0.3，0.4，0.5 B． C．1，2，3 D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，根据勾股数的定义逐项判断即可，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A. 0.3，0.4，0.5不是整数，故不是勾股数，不符合题意； B.不是整数，故不是勾股数，不符合题意； C. ，不能够构成三角形，不符合题意； D.，故是勾股数，符合题意； 故选：D． 【变式6-1】下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．3，4，6 D．4，5，8 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数．熟练掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义：三个正整数，满足两个数的平方和等于第三个数的平方，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不是勾股数，不符合题意，选项错误； B、，是勾股数，符合题意，选项正确； C、，不是勾股数，不符合题意，选项错误； D、，不是勾股数，不符合题意，选项错误； 故选：B． 【变式6-2】勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其股是 （结果用含m的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股数的定义及求法：满足的三个正整数称为勾股数；根据题意得为偶数，设其股是，则玄为，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：∵m为正整数， ∴为偶数， 设其股是a，则弦为， 根据勾股定理得，， 解得：， 故答案为：． 【变式6-3】观察以下几组勾股数，并寻找规律：①，，；②，，；③，，；④，，…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股数的规律题、勾股定理等知识点，发现勾股数与组数的规律是解题的关键． 先根据给出的数据找出规律，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：经观察，可以发现第①组勾股数的第一个数是奇数3，第②勾股数的第一个数是5，…，故第⑤组勾股数的第一个数是11，第6组勾股数的第一个数是13； 又发现每一组勾股数的第二、第三个数相差1， 故设第二个数为x，第三个数为， 根据勾股定理可得：，解得． ∴第6组数是：． 故答案为：． 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．，1， B．3，4，7 C．1，， D．6，8，10 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数和勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、，1，不是整数，故此选项不符合题意； B、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、1，，不是整数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．如图，在中，，则的长为（     ） A．6 B． C．24 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：根据题意，， ， ∴， 故选：A ． 3．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，现将折叠，使点与点重合，得到折痕，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠的性质．由折叠可得：，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由折叠可得：， ， 设，则， ，， 在中，，即， 解得：， 即， ， 故答案为：． 4．如图， 已知，则数轴上点 M表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，是基础题，熟记定理并求出的长是解题的关键，先根据勾股定理列式求出的长，即为的长，再进一步解答即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵， ∴， ∵点A表示的数是， ∴点表示的数是． 故答案为：． 5．如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定；根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到的面积的面积的面积． 【详解】解：三个正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， （如上图），根据勾股定理的几何意义，的面积的面积的面积， 的面积的面积的面积． 故答案为：． 6．如图，将矩形纸片沿折叠，使点与边上的点重合．若，，则的长为 ； 【答案】 【分析】本题考查了图形的翻折变换、勾股定理，解题的关键是折叠的性质找到线段之间的关系，首先设，可得，根据折叠的性质可得：，利用勾股定理可得方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：如下图所示， 设， ， ， 根据折叠的性质可得：， 在中，, ， 解得： 故答案为： ． 7．如图，在中，，，垂足为． (1)在上求作一点，使点到射线，距离相等；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）中，设与相交于点，求证； (3)在（2）条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题主要考查角平分线的尺规作图与性质、勾股定理及等腰三角形的判定，熟练掌握角平分线的尺规作图与性质、勾股定理及等腰三角形的判定是解题的关键； （1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，交，于两点，再以这两点为圆心，大于这两点之间距离一半为半径画弧，进而问题可求解； （2）由（1）可知：平分，则有，然后可得，进而问题可求证； （3）过点F作于点H，由题意易得，然后可得，，进而根据等积法可进行求解． 【详解】（1）解：所作图形如下： （2）证明：由（1）可知：平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：过点F作于点H，如图所示， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 8．如图， 已知等腰的底边，为腰上的高，且，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，根据勾股定理得出，设，则，再勾股勾股定理求出即可，解题的关键是熟练掌握勾股定理及逆定理的应用和等腰三角形的性质． 【详解】解：∵为腰上的高， ∴， ∵，， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴的周长为． 9．在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有认识】由于，由此得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． 【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． 【拓展运用】（1）请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为-1）内． ①画出顶点在格点的，其中， ②直接写出的面积=____________，点C到AB边的距离为____________． 【拓展运用】（2）①在图3中，设 轴，轴，于点，则____________，____________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式，； ②图4中，平面直角坐标系中有两点为轴上任一点，则的最小值为____________； ③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最大值为：____________． 【答案】（1）①见解析；②2，；（2）①，；②；③ 【分析】本题是三角形的综合题，考查了两点间的距离公式，勾股定理，轴对称最短路径问题，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和两点间的距离公式是解题的关键． （1）①根据题意画出图形；②根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式即可得到结论； （3）①根据题意列出代数式即可； ②利用轴对称求最短路线方法得出点位置，进而求出的最小值． ③把看成点到两点和的距离之和，根据两点间的距离公式即可得到结论． 【详解】解：（1）①如图所示； ②， ， 的面积， 点到边的距离， 故答案为：2，； （2）① 轴，轴，， ，， 故答案为：，； ②如图，作点关于轴对称的点，连接，直线与轴的交点即为所求的点． ， ， ， ， 即的最小值为， 故答案为：； ③把式看成点到两点和的距离之差， 两点和的距离是的最大值， 最大值为：， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 勾股定理 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1. 掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法 2.会借助勾股定理确定数轴上表示无理数的点，理解实数与数轴上的点一一对应关系 3．能够从实际问题中抽象出直角三角形，并能运用勾股定理进行有关的计算和证明。 知识点 1 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 知识点2 勾股定理证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 考点一：用勾股定理解三角形 例1.在中，，，，． (1)若，，求c的值； (2)若，，求b的值． 【变式1-1】若一个直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则其第三边的长为（    ） A． B．9 C． D．13 【变式1-2】中，、、所对的边分别是、、，且． (1)若，，求； (2)，，求，． 【变式1-3】已知：如图，在中，两直角边． (1)求的长； (2)求斜边上的高的长． 考点二：已知两点坐标求两点距离 例2.阅读理解：在平面直角坐标系中，，，如何求的距离．如图，在，，所以．因此，我们得到平面上两点，之间的距离公式为．根据上面得到的公式，解决下列问题： (1)已知点，，试求、两点间的距离； (2)已知点，且，求的值； (3)求代数式的最小值． 【变式2-1】阅读材料： 例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值． 解：． 几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． 求最小值：设点关于轴对称点，则．因此，求的最小值，只需求的最小值，而点，间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以由勾股定理得，即原式的最小值为． 根据以上阅读材料，解答下列问题：    (1)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点B 的距离之和．（填写点B的坐标） (2)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 与点A 、点B 的距离之和．（填写点A，B的坐标） (3)求出代数式+的最小值． 【变式2-2】如图，是平面直角坐标系中的一点． (1)用二次根式表示线段的长． (2)若，，求的长． 【变式2-3】阅读材料：一般地，设平面上任意两点和可以用表示A、B两点之间的距离，那么该如何计算呢？作轴、作轴，垂足分别是点；作轴，垂足为点、作轴，垂足为点，且与交于点C，则四边形是矩形． ∵，， ∴． ∴． 这就是平面直角坐标系中两点之间的距离公式． 如：点和点之间的距离．    (1)请运用公式计算点和点之间的距离； (2)在（1）的条件下，点O为原点，求的周长； (3)平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，当值最小时，用尺规作出点P，并求出的最小值． 考点三：以直角三角形三边为边长的图形面积 例3.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为 ． 【变式3-1】以直角三角形的三边为边长分别向外作正方形，如图字母B所代表的正方形的面积为 ． 【变式3-2】如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为．其中，，，，则 ． 考点四：勾股定理的证明 例4.阅读材料，解决问题： 三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图1，这是由8个全等的直角边长分别为，，斜边长为的三角形拼成的“弦图”． (1)在图1中，正方形的面积可表示为______，正方形的面积可表示为______（用含，的式子表示）； (2)请结合图1用面积法说明，，三者之间的等量关系； (3)已知，，求正方形的面积． 【变式4-1】【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【变式4-2】我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． (1)如图1，请用两种不同方法表示图中空白部分面积． 方法1：______； 方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； (2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； (3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 【变式4-3】我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”．如图，，，． (1)请你利用这个图形，推导勾股定理：； (2)若直角三角形ABE的面积为54，，求小正方形EFGH的边长． 考点五：勾股定理与无理数 例5.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．      (1)应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示2的点A，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使，以原点O为圆心，为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点C表示的数是_________； (2)应用场景2——解决实际问题．如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽6尺，求竹竿长． 【变式5-1】甲同学用如图方法作出C点，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝3，且点O、A、C在同一数轴上，OB＝OC． （1）请求出甲同学所做的点C表示的数； （2）仿照小明同学的做法，请你在如下所给数轴上描出表示－的点D． 【变式5-2】如图，矩形的一条边在数轴上，长为2个单位长度，宽为1个单位长度，以原点为圆心，以矩形对角线的长为半径画弧，与正负半轴分别交于点、．在点的左侧截取，点表示的数为3，回答下列问题：    (1)点、、表示的实数依次为______，______，______； (2)计算线段和的长度，并用作差法比较它们的大小． 【变式5-3】阅读下面的材料： 如图1，在线段上找一点C（），若，则称点C为线段的黄金分割点，这时比值为，人们把称为黄金分割数，长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．    我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在数轴上点O表示数0，点E表示数2，过点E作，且，连接；以F为圆心，长为半径作弧，交于H；再以O为圆心，长为半径作弧，交于点P，则点P就是线段的黄金分割点． 根据材料回答下列问题： (1)根据作图，写出图中相等的线段：　 　； (2)求点P在数轴上表示的数，并写出的值． 考点六：勾股数 例6.在下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A．0.3，0.4，0.5 B． C．1，2，3 D．5，12，13 【变式6-1】下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．3，4，6 D．4，5，8 【变式6-2】勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其股是 （结果用含m的式子表示）． 【变式6-3】观察以下几组勾股数，并寻找规律：①，，；②，，；③，，；④，，…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数为 ． 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．，1， B．3，4，7 C．1，， D．6，8，10 2．如图，在中，，则的长为（     ） A．6 B． C．24 D．2 3．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，现将折叠，使点与点重合，得到折痕，则的面积为 ． 4．如图， 已知，则数轴上点 M表示的数为 ． 5．如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和，则的面积为 ． 6．如图，将矩形纸片沿折叠，使点与边上的点重合．若，，则的长为 ； 7．如图，在中，，，垂足为． (1)在上求作一点，使点到射线，距离相等；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）中，设与相交于点，求证； (3)在（2）条件下，若，，求的长． 8．如图， 已知等腰的底边，为腰上的高，且，求的周长． 9．在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法． 【已有认识】由于，由此得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． 【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段． 【拓展运用】（1）请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为-1）内． ①画出顶点在格点的，其中， ②直接写出的面积=____________，点C到AB边的距离为____________． 【拓展运用】（2）①在图3中，设 轴，轴，于点，则____________，____________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式，； ②图4中，平面直角坐标系中有两点为轴上任一点，则的最小值为____________； ③应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最大值为：____________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$