第06讲 勾股定理的逆定理（1个知识点+4大考点举一反三+过关测试）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（人教版）

第06讲 勾股定理的逆定理 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.经历勾股定理的逆定理的探索过程，知道勾股定理与逆定理的联系与区别； 2. 能用勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题； 3.初步认识勾股定理的逆定理的重要意义，会用勾股定理就解决一些几何问题。 知识点：勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 考点一：判断三边能否构成直角三角形 例1.若实数x的立方根是2，且实数y、z满足． (1)分别求x、y、z的值； (2)若x、y、z是的三边长，试判定的形状，并说明理由； (3)求其最大边上的高． 【变式1-1】下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-2】下列条件中，不能判断为直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 【变式1-3】下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（   ） A．，， B．2，2，4 C．6，8，10 D．，， 考点二：在网格中判断直角三角形 例2.如图，在边长为1的正方形组成的网格图中，的三个顶点均在格点上 (1)求的周长； (2)试判断的形状． 【变式2-1】如图，每个小正方形的边长为1，请借用网格解决以下问题： (1)如图所示，请计算的面积； (2)在图中画，使三边、、的长分别为、，，并判断的形状，说明理由． 【变式2-2】如图，每个格子都是边长为1的小正方形，，四边形的四个顶点都在格点上． (1)求四边形的周长； (2)连结，试判断的形状，并说明理由． 【变式2-3】如图所示，在边长均为1的正方形网格中，A、B、C、D均在格点上． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 考点三：利用勾股定理的逆定理求解 例3.如图，在中，，是边上的一点，，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的周长． 【变式3-1】如图，在四边形中，，，，．求四边形的面积． 【变式3-2】如图所示，在四边形中，，，，，求的度数． 【变式3-3】已知，，，．回答下列问题． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 考点四：勾股定理逆定理的实际应用 例4.如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． (1)求四边形的面积； (2)若每平方米草皮需要元，问学校需要投入多少资金买草皮？ 【变式4-1】如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了和三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知米，米，米，米． (1)求四边形的面积； (2)小明和小林同时以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段的长度． 【变式4-2】如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物，现要从公路上的点处开凿隧道修通一条公路到点处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上的另一停靠站的距离为，停靠站，之间的距离为，且． (1)判断是什么三角形？并说明理由； (2)求修通的公路的长． 【变式4-3】森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点的最短距离； (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要15秒，请你通过计算说明着火点能否被飞机扑灭． 1．下列各组数据，能作为直角三角形三边长的是（　　） A． B． C． D． 2．园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知，，，，且，这块草坪的面积是（     ） A． B． C． D． 3．已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 5．如图，小正方形的边长均为1，、、是小正方形的顶点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．已知的三边长分别为10，24，26，则的面积为 ． 7．如图，中，是边的中线，，，，的面积为 ． 8．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，则是 三角形（填直角、锐角或钝角）． 9．如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时海里的速度前进，小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距海里，则乙船沿 方向航行． 10．如图，一块四边形草地，测得，，，，．求该四边形草地的面积． 11．如图，某港口位于东西方向的海岸线上，型和型海警船同时离开港口，各自沿一固定方向巡航．型海警船航速为节（节海里/小时），型海警船航速为节，它们离开港口一小时后分别位于点，处，且相距海里．若型海警船沿北偏东方向航行，请解答下列问题． (1)试说明是直角三角形． (2)型海警船沿哪个方向航行？ 12．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，由C到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（点A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)已知新的取水点H与原取水点A相距0.5千米，则新路比路少多少千米？ 13．如图，某小区的两个喷泉A，B的距离．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，到的距离，到喷泉B的距离． (1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； (2)求出喷泉B到小路的最短距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 勾股定理的逆定理 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.经历勾股定理的逆定理的探索过程，知道勾股定理与逆定理的联系与区别； 2. 能用勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题； 3.初步认识勾股定理的逆定理的重要意义，会用勾股定理就解决一些几何问题。 知识点：勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 考点一：判断三边能否构成直角三角形 例1.若实数x的立方根是2，且实数y、z满足． (1)分别求x、y、z的值； (2)若x、y、z是的三边长，试判定的形状，并说明理由； (3)求其最大边上的高． 【答案】(1)，， (2)直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）由立方根的定义可求出x的值，由平方和算术平方根的非负性可求出y和z的值； （2）根据勾股定理逆定理求解即可； （3）设最大边上的高为，根据三角形面积公式可得出，代入数据求解即可． 【详解】（1）解：∵实数x的立方根是2， ∴． ∵，则， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴的形状为直角三角形； （3）解：设最大边上的高为， ∵， ∴，即最大边上的高为． 【点睛】本题考查立方根的定义，非负数的性质，勾股定理逆定理，代数式求值，三角形的面积计算．熟练掌握上述知识是解题关键． 【变式1-1】下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据三角形存在的条件，勾股定理的逆定理，解答即可． 本题考查了三角形的存在，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵，与两边之和大于第三边一致，构成三角形， 但，构不成直角三角形， ∴A不符合题意； ∵，与两边之和大于第三边不一致，构不成三角形， 更不可能构成直角三角形， ∴B不符合题意； ∵，与两边之和大于第三边一致，构成三角形， 但，构不成直角三角形， ∴C不符合题意； ∵，与两边之和大于第三边一致，构成三角形， 且，构成直角三角形， ∴D符合题意； 故选：D． 【变式1-2】下列条件中，不能判断为直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的判定，掌握勾股定理的逆定理，三角形内角和定理是解题的关键．利用勾股定理的逆定理，三角形内角和，直角三角形两个锐角互余，逐项分析即可． 【详解】解：A．， ， 故该选项能判断为直角三角形，不符合题意； B． ， 设， 则， ， 故该选项能判断为直角三角形，不符合题意； C． ，， ， 故该选项能判断为直角三角形，不符合题意； D． ， 设， ， 解得 故该选项不能判断为直角三角形，符合题意； 故选：D． 【变式1-3】下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（   ） A．，， B．2，2，4 C．6，8，10 D．，， 【答案】C 【分析】题目主要考查勾股定理逆定理，理解题意，熟练掌握运用勾股定理逆定理是解题关键．运用勾股定理逆定理验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断直角三角形． 【详解】解：A、，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意； B、，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意； C、，能组成直角三角形，故符合题意； D、，，则，故不能组成直角三角形，故不符合题意， 故选：C． 考点二：在网格中判断直角三角形 例2.如图，在边长为1的正方形组成的网格图中，的三个顶点均在格点上 (1)求的周长； (2)试判断的形状． 【答案】(1) (2)是直角三角形，见解析 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理，勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理可得：，，，从而求出，，的长，然后利用三角形的周长公式，进行计算即可解答； （2）利用（1）的结论，再根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答； 【详解】（1）由题意得： ， ， ， ∴， ， ， ∴的周长， ∴的周长为； （2）是直角三角形， 理由：由（1）可得： ，， ∴， ∴是直角三角形． 【变式2-1】如图，每个小正方形的边长为1，请借用网格解决以下问题： (1)如图所示，请计算的面积； (2)在图中画，使三边、、的长分别为、，，并判断的形状，说明理由． 【答案】(1) (2)直角三角形，见解析 【分析】本题考查了根据网格求三角形面积，勾股定理和无理数，勾股定理逆定理． （1）用割补法即可解答； （2）由，确定，，，根据勾股定理逆定理，即可确定形状． 【详解】（1）解：． （2）解：∵，， 如图所示，即为所求． ， 即， ∴是直角三角形． 【变式2-2】如图，每个格子都是边长为1的小正方形，，四边形的四个顶点都在格点上． (1)求四边形的周长； (2)连结，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的定义，正确计算是解题的关键． （）利用网格和勾股定理求出四边形的各边长即可求解； （）利用勾股定理的逆定理和等腰三角形的定义可得是等腰直角三角形． 【详解】（1）解：，，，， ∴； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下， ∵，，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，． 【变式2-3】如图所示，在边长均为1的正方形网格中，A、B、C、D均在格点上． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理与网格，勾股定理得逆定理，掌握勾股定理及逆定理是解题关键． （1）由网格可知，，，，再根据勾股定理的逆定理求解即可； （2）根据求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， ； （2）解：． 考点三：利用勾股定理的逆定理求解 例3.如图，在中，，是边上的一点，，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的周长． 【答案】(1)直角三角形；理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理以及逆定理，解拓展一元一次方程，属于常考题型，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）设，则，然后在中根据勾股定理即可得到关于x的方程，解方程即可求出x，进一步即可求出的长，从而求得的周长． 【详解】（1）解：是直角三角形；理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，则， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴，即， 解得：，则 ∴的周长． 【变式3-1】如图，在四边形中，，，，．求四边形的面积． 【答案】132 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理判断直角三角形是解题的关键； 连接，根据勾股定理求出，再证明，得出，根据即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 【变式3-2】如图所示，在四边形中，，，，，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、等腰直角三角形的判定与性质，连接，由题意可得是等腰直角三角形，推出，由勾股定理结合勾股定理逆定理得出是直角三角形，且，即可得解． 【详解】解：连接， 在中，， 是等腰直角三角形 ， 在中，， 是直角三角形，且， ． 【变式3-3】已知，，，．回答下列问题． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理及二次根式的应用，利用勾股定理逆定理判定是直角三角形是解决此题的关键. （1）根据，，易证是等腰直角三角形，得到，再利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，得到，即可求解出的角度； （2）根据四边形的面积就等于两个直角三角形的面积之和即可求解. 【详解】（1）解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵，． ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：∵都是直角三角形， ∴． 即四边形的面积为． 考点四：勾股定理逆定理的实际应用 例4.如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． (1)求四边形的面积； (2)若每平方米草皮需要元，问学校需要投入多少资金买草皮？ 【答案】(1) (2)学校需要投入元买草皮 【分析】此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形是解题的关键． （1）连接，利用勾股定理求出，由、、的长度关系可得三角形为一直角三角形，用即可解答； （2）根据总价单价数量计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ，，， 在中，， ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积为：， ； （2）解：根据题意：（元） 答：学校需要投入元买草皮． 【变式4-1】如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了和三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知米，米，米，米． (1)求四边形的面积； (2)小明和小林同时以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段的长度． 【答案】(1)平方米 (2)线段的长度为米 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用； （1）根据勾股定理求得，进而根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据三角形的面积公式，即可求解； （2）根据题意得出米，设米，则米，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵米，米 ∴米 ∵ ∴是直角三角形，且 ∴四边形的面积为平方米 （2）解：由（1）可得是直角三角形， 依题意，米， 设米，则米 在中， ∴ 解得：，即线段的长度为米． 【变式4-2】如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物，现要从公路上的点处开凿隧道修通一条公路到点处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上的另一停靠站的距离为，停靠站，之间的距离为，且． (1)判断是什么三角形？并说明理由； (2)求修通的公路的长． 【答案】(1)直角三角形，理由见解析； (2)修通的公路的长是． 【分析】（）根据勾股定理的逆定理，由得到是直角三角形； （）利用的面积公式可得，从而求出的长； 本题考查了勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． 【详解】（1）解：直角三角形，理由， ∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（）得：是直角三角形； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴修通的公路的长是． 【变式4-3】森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点的最短距离； (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要15秒，请你通过计算说明着火点能否被飞机扑灭． 【答案】(1) (2)着火点C能被扑灭，理由见解析． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握这两个定理是解题的关键． （1）过点作于点，先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，利用直角三角形的面积计算出的长，与500比较即可得出结论； （2）当时求出的长，进而得出的长，再根据路程、速度、时间之间的关系即可求出时间，从而作出判断． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，，， ，， ， 是直角三角形， ， ， 因为飞机中心周围以内可以受到洒水影响，， 所以着火点受洒水影响； （2）解：如图，当时，飞机正好喷到着火点， ， 在中，， 所以． 因为飞机的速度为， 所以， 20秒秒， 答：着火点能被扑灭． 1．下列各组数据，能作为直角三角形三边长的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形，掌握勾股数的定义及勾股定理的逆定理是解答本题的关键． 根据勾股数是正整数以及勾股定理的逆定理逐项判断即可解答． 【详解】解：A、， 不能组成三角形，故A选项错误； B、， 不能作为直角三角形三边长，故B选项错误； C、， 能作为直角三角形三边长，故C选项正确； D、， 不能作为直角三角形三边长，故D选项错误． 故选：C． 2．园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知，，，，且，这块草坪的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点．连接，先根据勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形．从而用求和的方法求面积． 【详解】解：连接，则由勾股定理得， ∵，即， ∴． 这块草坪的面积． 故选：D． 3．已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理，解题的关键是解出a，b，c的值，并正确运用勾股定理的逆定理． 根据非负数的性质可知a，b，c的值，再由勾股定理的逆定理即可判断三角形为直角三角形． 【详解】解： ， ，，， ，，， ，， ， 三角形的形状是直角三角形， 故选：D． 5．如图，小正方形的边长均为1，、、是小正方形的顶点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理及逆定理，利用勾股定理求，，的长可判断为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】解：由图可知：，，， ，， ∴为等腰直角三角形，， ． 故选：B． 6．已知的三边长分别为10，24，26，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆运算，三角形中，若两较小的边的长的平方和等于最大边的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可证明是直角三角形，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵的三边长分别为10，24，26，且， ∴是直角三角形，且两直角边的长分别为10，24， ∴的面积为， 故答案为：． 7．如图，中，是边的中线，，，，的面积为 ． 【答案】120 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，首先根据中线的定义得，则有.根据勾股定理的逆定理得，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵中，是边的中线， ∴ ∵， ∴， ∴是直角三角形，则， ∴的面积是：． 故答案为：120． 8．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，则是 三角形（填直角、锐角或钝角）． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，利用勾股定理得到，再根据三角形中，若两较小边的平方和等于最大边的平方，那么这个三角形是直角三角形即可得到答案． 【详解】解：由网格的特点和勾股定理得，，， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 9．如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时海里的速度前进，小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距海里，则乙船沿 方向航行． 【答案】南偏东 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，以及方向角，解题关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 首先根据速度和时间计算、的路程，再根据勾股定理逆定理证明，进而可得答案． 【详解】解：由题意得：甲船的路程：（海里）， 乙船的路程：（海里）， ∵， ∴， ∵是北偏东方向， ∴是南偏东． 故答案为：南偏东． 10．如图，一块四边形草地，测得，，，，．求该四边形草地的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积等知识，熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出是解题的关键．由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，，然后由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形且， 该四边形草地的面积． 11．如图，某港口位于东西方向的海岸线上，型和型海警船同时离开港口，各自沿一固定方向巡航．型海警船航速为节（节海里/小时），型海警船航速为节，它们离开港口一小时后分别位于点，处，且相距海里．若型海警船沿北偏东方向航行，请解答下列问题． (1)试说明是直角三角形． (2)型海警船沿哪个方向航行？ 【答案】(1)证明见解析 (2)型海警船沿北偏西航行 【分析】本题考查的知识点是勾股定理逆定理的应用以及方向角，解题关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． （1）直接利用勾股定理逆定理即可得出是直角三角形； （2）结合，，进而得出方向角． 【详解】（1）解：依题得：，海里，海里，海里， ， 即， ， 即是直角三角形． （2）解：，， ， 即型海警船沿北偏西航行． 12．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，由C到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（点A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)已知新的取水点H与原取水点A相距0.5千米，则新路比路少多少千米？ 【答案】(1)是，见解析 (2)0.1千米 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明，根据垂线段最短，即可得出结论； （2）先求出，再利用勾股定理求出的长度，减去的长度即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解决问题的关键． 【详解】（1）解： 是村庄到河边最近的路；理由如下： ，， ， 是直角三角形，且， ， 垂线段最短， 是村庄到河边最近的路； （2）解：， ， ， （千米）， ， 答：新路比路少0.1千米． 13．如图，某小区的两个喷泉A，B的距离．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，到的距离，到喷泉B的距离． (1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； (2)求出喷泉B到小路的最短距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用， （1）在中，根据勾股定理求得的长，进而求得的长，在中，勾股定理求得的长即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，可得，即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ∴， 在中，， ∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长：； （2）解：∵，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． ∴喷泉B到小路AC的最短距离是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$