09二项分布与超几何分布及正态分布-2025年高二数学寒假自学讲义（选择性必修第三册课程）（人教2019A版专用）

9二项分布与超几何分布及正态分布（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 3 考点一：二项分布 3 考点二：超几何分布 8 考点三：正态分布 13 【自学检测】 18 自学概念 1. n重伯努利试验 (1)只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. (2)n重伯努利试验具有如下共同特征： ①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果相互独立. 2. 二项分布 (1)二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p). 3. 超几何分布 (1)一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. (2)设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p＝，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，则E(X)＝n·＝np. 4. 正态分布 (1)f(x)＝e－，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数.显然，对任意的x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线. (2)若随机变量X的概率密度函数为f(x)＝e－，x∈R，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2).特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布. (3)正态曲线的特点： ①正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ②曲线在x＝μ处达到峰值； ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. (4)若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. (5)服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在三个特殊区间内取值的概率： P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 在实际应用中，通常认为X只取区间[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 自学考点 考点一：二项分布 一、单选题 1．（23-24高二下·河南安阳·期中）若随机变量服从二项分布，且，则（    ） A．39 B．50 C．63 D．68 2．（23-24高二下·浙江湖州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．随机变量，则 B．某人在7次射击中，击中目标的次数为且，则当时概率最大 C．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 D．从个红球和个白球颜色外完全相同中，一次摸出个球，则摸到红球的个数服从超几何分布 3．（23-24高二下·山东青岛·期中）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知随机变量满足：，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·四川达州·期中）设随机变量，随机变量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的期望 D．的期望 6．（23-24高二下·云南昆明·期中）下列命题中，正确的命题是（   ） A．已知随机变量服从两点分布，且．设，那么 B．已知某随机变量的分布列如图表，则随机变量的方差 0 20 40 C．已知，，，则 D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，，当时概率最大 三、填空题 7．（22-23高二下·广东潮州·期末）在3重伯努利试验中事件出现的概率相同，若事件A至少出现1次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为 ． 8．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知随机变量服从二项分布，若，，则 . 9．（2023·浙江金华·模拟预测）一次掷两枚骰子，若两枚骰子点数之和为4或5或6，则称这是一次成功试验．现进行四次试验，则恰出现一次成功试验的概率为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D C BCD AC BCD 1．C 【分析】先利用二项分布的概率公式求出的值，再利用排列数公式和组合数公式求解． 【详解】随机变量服从二项分布，且， ， ， ， ． 故选：C． 2．D 【分析】由二项分布的概率计算公式代入计算，即可判断AB，由互斥事件对立事件的定义即可判断C，由超几何分布的定义即可判断D 【详解】由二项分布的概率公式可得，故A错误； 在7次射击中，击中目标的次数为且， 当时，对应的概率为， 当时，，由可得， 即当时概率最大，故B错误； 至少有一黑球包含的基本事件为“一黑一红，两黑”，至少有一个红球包含的基本事件为“一黑一红，两红”，故至少有一个黑球与至少有一个红球不互斥，故C错误； 设摸出红球的个数为，则， 故满足超几何分布，故D正确； 故选：D 3．C 【分析】利用二项分布的概率公式计算即可. 【详解】由题意可知：. 故选：C. 4．BCD 【分析】根据二项分布的期望公式和方差公式列方程求出，然后根据期望性质和方差性质依次判断即可. 【详解】对A，因为，所以， 解得，故A错误； 对B，由上知，故B正确； 对C，，故C正确； 对D，，故D正确． 故选：BCD． 5．AC 【分析】因为X服从二项分布，A,B选项代入即可判断；C选项代入期望公式即可判断，D选项利用二项分布期望的性质即可. 【详解】,故A正确； ，，故B错误； ，故C正确； ,故D错误； 故选：AC 6．BCD 【分析】选项A：即；选项B：利用概率之和为1，求出的值，再分别求出期望和方差；选项C：利用条件概率公式，对式子变形后，两式相加，求出；选项D：由二项分布概率计算公式写出，列不等式组，求出的值. 【详解】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，由题知，所以， 所以， 所以， 故B正确； 对于选项C，，， 所以，， 所以， 所以， 解得，故C正确； 对于选项D，， 由， 得， 解得，所以， 即当时概率最大，故D正确. 故选：BCD. 7． 【分析】利用二项分布的概率公式求解. 【详解】记“A至少发生1次”为事件，则表示其对立事件“A发生0次”， 事件A的发生符合二项分布，设事件A在1次试验中出现的概率为p， ， 所以， 所以，解得 ，      故答案为：． 8．9 【分析】根据二项分布的期望、方差公式，即可求得答案. 【详解】由题意知随机变量服从二项分布，，， 则，即得， 故答案为：9 9． 【分析】首先分析出做一次成功试验的概率，设出现成功试验的次数为，则，计算即可． 【详解】一次掷两枚骰子，两枚骰子点数之和为4的情况有3种， 两枚骰子点数之和为5的情况有4种， 两枚骰子点数之和为6的情况有5种， 在一次试验中，出现成功试验的概率， 设出现成功试验的次数为，则， 所以重复做这样的试验4次，则恰出现一次成功试验的概率为， 故答案为：． 考点二：超几何分布 一、单选题 1．（24-25高三上·上海·单元测试）设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的期望为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·宁夏石嘴山·期末）在10件工艺品中，有3件二等品，7件一等品，现从中抽取5件，则抽得二等品件数X的数学期望为（    ）． A．2 B．4 C． D． 3．（22-23高二下·天津·期末）某学校要从名男生和名女生中选出人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 （    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（22-23高二下·山东聊城·期末）一箱儿童玩具中有3件正品，2件次品，现从中不放回地任取2件进行检测．记随机变量为检测到的正品的件数，则（    ） A．服从二项分布 B． C． D．最有可能取得的为1 5．（2022·湖北武汉·模拟预测）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）在一个袋中装有大小相同的4黑球，6个白球，现从中任取3个小球，设取出的3个小球中白球的个数为，则下列结论正确的是（    ） A．随机变量服从超几何分布 B．随机变量服从二项分布 C． D． 三、填空题 7．（24-25高二·全国·课后作业）某公司有日生产件数为95件的“生产能手”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X的标准差为 ． 8．（23-24高二下·北京海淀·期末）某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为 ，数学期望 ． 9．（23-24高二下·安徽滁州·期中）一个袋子中共有6个大小相同的球，其中3个红球，3个白球，从中随机摸出2个球，设取到白球的个数为X，则的方差为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C B BCD ACD ACD 1．D 【分析】设抽得次品数为，根据超几何分布的概率公式求解概率，进而可求得的值． 【详解】设抽得次品数为，则随机变量的可能取值有0、1、2， 则，，， 所以． 故选：D． 2．C 【分析】根据超几何分布求解分布列，即可根据期望公式求解. 【详解】随机变量可取， ，，，， ， 故选：C 3．B 【分析】分析可知的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可求得的值. 【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 且，，， 因此，. 故选：B. 4．BCD 【分析】根据超几何分布的概率公式计算得分布列，即可结合选项逐一求解. 【详解】由题意可知的分布列为： 0 1 2 对于A, 服从超几何分布，而不是二项分布，故A错误， 对于B，,故B正确， 对于C，，C正确， 对于D，由于为1时的概率最大，所以最有可能.D正确 故选：BCD 5．ACD 【分析】利用超几何分布的性质，及超几何分布的期望求解公式逐项验证. 【详解】由题意知X，Y均服从于超几何分布，且，， 故； 从而，故选项A正确； ，，，故选项B错误，C正确； ，故选项D正确； 故选：ACD. 6．ACD 【分析】根据已知条件，结合超几何分布的概率公式，以及期望公式，即可求解． 【详解】由题设描述知：随机变量服从超几何分布，故A正确，B错误， ，故C正确， ，故D正确. 故选：ACD． 7．24 【分析】依题意可知的所有可能取值为190，150，110，根据超几何分布的概率公式求出所对应的概率，从而求出数学期望与标准差； 【详解】解：由题意，可得的所有可能取值为190，150，110，且，，，则，标准差． 故答案为： 8． 0，1； . 【分析】根据题意服从超几何分布，应用古典概型概率公式求出相应概率，再由期望公式即可得. 【详解】X的取值可能为0，1． 依题意可知服从超几何分布， 则，， 所以． 故答案为：0，1；. 9． 【分析】根据超几何分布的概率求解分布列，进而根据方差的计算公式可得，由方差性质即可求解. 【详解】由题意，X满足超几何分布，且X的取值为0，1，2， 则，，， ，， 所以． 故答案为： 考点三：正态分布 一、单选题 1．（22-23高二下·陕西宝鸡·期末）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．（2023·浙江宁波·二模）设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东·模拟预测）已知随机变量服从正态分布服从二项分布，则（    ） A． B． C．， D． 二、多选题 4．（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）是随机变量，（     ） A．若，则， B．若，则 C．若，则， D．若，则 5．（2023·河北·模拟预测）某市两万名高中生数学期末统考成绩（满分100分）服从正态分布，其正态密度函数，则（    ） 附：若随机变量X服从正态分布，则，，． A．试卷平均得分与试卷总分比值为该试卷难度，则该份试卷难度为0.5 B．任取该市一名学生，该生成绩低于67分的概率约为0.023 C．若按成绩靠前的16%比例划定为优秀，则优秀分数线约为83分 D．该次数学成绩高于99分的学生约有27人 6．（2024·四川德阳·一模）下列结论正确的是（   ） A．随机变量X服从二项分布，则 B．数据的平均数为2，则的平均数为6 C．数据2，4，6，8，10，12，14的第60百分位数是10 D．随机变量X服从正态分布，且，则 三、填空题 7．（24-25高三上·广东清远·阶段练习）㷊市高三年级1万名男生的身高（单位：cm）近似服从正态分布，则身高超过180cm的男生约有 人.（参考数据：，，） 8．（2024·辽宁·一模）小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常选择自驾、公交或地铁这三种方式.若小明选择自驾，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布若小明选择地铁，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布；若小明选择公交，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布.若小明上午8：12从家里出发，则选择 上班迟到的可能性最小.(填“自驾”“公交”或“地铁”) 参考数据：若则，， 9．（23-24高二下·重庆·期中）已知随机变量X服从正态分布，即：，若，，则实数 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C D ABC CD AC 1．B 【分析】结合正态分布密度函数中参数表示其均值大小，表示离散程度，利用图象形状即可判断出结论. 【详解】根据正态分布密度函数中参数的意义， 结合图象可知，对称轴位置相同，所以可得； 且都在的右侧，即， 比较和图像可得，其形状相同，即， 又的离散程度比和大，所以可得； 故选：B 2．C 【分析】根据题意和正态曲线即可求得，又根据正态曲线可得，进而即可求得． 【详解】根据题意，且，则， 由正态曲线得，所以． 故选：C． 3．D 【分析】根据正态分布以及二项分布的期望和方差公式即可求解AB，根据二项分布的概率公式即可求解C，根据正态分布的对称性质即可求解D. 【详解】，故AB错误； ，故C错误； 根据正态分布的对称性可得，故D正确. 故选:D. 4．ABC 【分析】根据随机变量的数字特征进行判断. 【详解】因为，则,故A正确; 因为,则,故B正确； 因为,则,故C正确； 因为, 则,故D错误. 故选：ABC 5．CD 【分析】根据正态分布的对称性以及原则，即可结合选项逐一求解. 【详解】由正态密度函数得,故可知试卷的平均分为75，试卷总分为100分，故难度为0.75，故A错误, 由于，所以，故B错误， 由于，所以C正确， 由于，故高于99分的学生约人，所以D正确， 故选：CD 6．AC 【分析】对选项A，根据二项分布得到，再根据方差的性质即可判断A正确，对选项B，根据平均数的性质即可判断B正确，对选项C，根据百分数位概念即可判断C正确，对选项D，根据正态分布性质即可判断D错误. 【详解】对选项A，，. 故A正确. 对选项B，因为，的平均数为， 故B错误. 对选项C，，所以第60百分位数是第五个数10，故C正确. 对选项D，X服从正态分布，， 所以，故D错误. 故选：AC 7．230 【分析】由正态分布的对称性及特殊区间的概率求解即可. 【详解】，则， ， 身高超过180cm的男生的人数约为. 故答案为：230. 8．公交 【分析】由题意可知从家里到达公司所用的时间不超过48分钟，小明就不会迟到，由此计算三种方式下的值，比较大小，即可得结论. 【详解】由题意可知从家里到达公司所用的时间不超过48分钟，小明就不会迟到； 若选择自驾，则； 若选择地铁，则； 若选择公交，则， 而， 故选择公交上班迟到的可能性最小， 故答案为：公交 9． 【分析】根据正态分布的对称性列式计算即可. 【详解】因为， 所以，根据对称性可得， 又， 所以. 故答案为：. 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高二下·天津西青·期末）某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二下·山东淄博·期末）若，则取得最大值时，（    ） A．4或5 B．5或6 C．10 D．5 3．（2024高三·全国·专题练习）已知小明射箭命中靶心的概率为，且每次射击互不影响，则小明在射击4次后，恰好命中两次的概率是（　　） A． B． C． D． 4．（22-23高二下·江苏南京·期中）口袋中有6个球（除颜色外其他属性都相同），其中3个黑球，2个红球，1个白球，表示有放回的摸球3次，每次摸一个，取出红球的数目，表示不放回的摸球3次，每次摸一个，取出黑球的数目，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D．无法判断 5．（22-23高二下·山西太原·阶段练习）在含4件次品的6件产品中随机抽取3件产品，其中含有的次品数为则（    ） A． B．1 C． D．2 6．（22-23高二下·江苏·课后作业）函数(其中)的图象可能为（   ） A．   B．   C．    D．   7．（23-24高二上·广西北海·期末）已知随机变量，且，则（    ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 8．（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩近似服从正态分布，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·浙江·期中）下列说法正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．残差平方和越大，模型的拟合效果越好 C．若随机变量，则当减小时，保持不变 D．一组数据的极差不小于该组数据的标准差 10．（22-23高二下·广东深圳·期中）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．随机变量服从超几何分布 D．随机变量服从二项分布 11．（2024·浙江台州·一模）下列选项正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，则 C．若随机变量服从分布，且，则 D．若随机变量满足，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·湖北·期中）某流水线上生产的一批零件，其规格指标X可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05，现从这批零件中随机抽取500个，用Y表示这500个零件的规格指标X位于区间的个数，则随机变量Y的方差是 . 13．（2024高三·全国·专题练习）高三（1）班有50名学生，其中30名男生，现从中任选3名学生参加体育抽测，用X表示男生被选中的人数，则 ； ． 14．（22-23高三下·山东济宁·开学考试）某校在一次“二项分布的性质”为主题的探究活动中，该校数学第一小组的学生同学表现优异，探究数学的奥秘.设随机变量，记，在探究的最大值时，小组同学发现：当为正整数，则，，此时这两项概率均为最大值；当为非整数，取的整数部分，是唯一的最大值.以此为理论依据，有同学重复投掷一枚大小均匀的骰子实时记录点数6出现的次数.当投掷第20次时，记录到此时点数6出现5次，再进行80次投掷实验，当投掷到100次时，点数6总共出现的次数为 的概率最大. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高三·全国·专题练习）中学生经常参加户外体育锻炼有利于新陈代谢，提高身体的免疫力，增强体质和抵抗力，某学校实践活动小组经过调查所在学校学生参加体育锻炼的时间与综合体测成绩等信息，统计有效的数据信息后发现：该学校有的学生每天平均坚持户外体育锻炼的时间超过30分钟，在这些学生中，综合体测成绩达到“优秀”等级的概率为；而每天平均坚持户外体育锻炼的时间不超过30分钟的学生的综合体测成绩达到“优秀”等级的概率为． (1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“优秀”等级的概率； (2)若______，记为这4名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级概率的人数，求的分布列和数学期望． 给出以下两个条件：①已知6名学生中，有2名综合体测成绩达到“优秀”等级，从这6名学生中任意抽取4名学生；②从该学校任意抽取4名学生． 请从这两个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并完成作答，若选择多个条件分别作答，以第一个作答计分． 16. (15分) （2025高三·全国·专题练习）写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？ (1)表示次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数. (2)有一批产品共有件，其中次品有件（，采用有放回抽取方法抽取次，抽出的次品件数为. (3)有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法抽件，出现次品的件数为. 17. (15分) （22-23高二下·北京延庆·期中）袋中有6个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为． (1)求的分布列； (2)求； (3)若摸出一个黑球得10分，摸出一个白球得5分，总分为分，求的值． 18. (17分) （24-25高三上·河北邢台·阶段练习）贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量（单位：克）为，这10个贵妃杏的平均质量恰等于克． (1)求． (2)求． (3)甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为，求的分布列与数学期望． 19. (17分) （24-25高三上·浙江·开学考试）中国数学奥林匹克（）竞赛由中国数学会主办，是全国中学生级别最高､规模最大､最具影响力的数学竞赛.某中学为了选拔参赛队员，组织了校内选拔赛.比赛分为预赛和决赛，预赛成绩合格者可进入决赛. (1)根据预赛成绩统计，学生预赛的成绩，成绩超过85分的学生可进入决赛.若共有600名学生参加了预赛，试估计进入决赛的人数（结果取整数）； (2)决赛试题共设置了10个题目，其中单选题6题，每题10分，每题有1个正确选项，答对的10分，答错得0分；多选题4题，每题15分，每题有多个正确选项，全部选对得15分，部分选对得5分，有选错得0分.假设甲同学进入了决赛，且在决赛中，每个单选题答对的概率均为；每个多选题得15分､5分､0分的概率均分别为.求甲同学决赛成绩的数学期望. 附：若，则， 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D A D A B B ACD BC 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】利用二项分布计算公式可求得结果为. 【详解】记“至少有两次击中目标”为事件，连续射击三次击中目标的次数为， 由每次射击击中目标的概率均为，则未击中目标的概率均为； 则. 故选：D 2．D 【分析】根据二项分布的概率公式得到，再根据组合数的性质判断即可； 【详解】解：因为，所以， 由组合数的性质可知当时取得最大值，即取得最大值，所以； 故选：D 3．D 【分析】利用二项分布的概率即可得解． 【详解】由已知命中的概率为，不命中的概率为，射击4次，命中两次， 故概率. 故选：D. 4．A 【分析】 分别求得与的值，进而得到二者间的关系. 【详解】表示有放回的摸球3次，每次摸一个，取出红球的数目， 的可能取值为0，1，2 ，则，则； 表示不放回的摸球3次，每次摸一个，取出黑球的数目， 的可能取值为0，1，2 ，3，满足超几何分布， 则，则 故选：A 5．D 【分析】由题知，可取1，2，3，求得的分布列，进而可求 【详解】由题知，可取1，2，3， 则，，， . 故选：D 6．A 【分析】函数图象的对称轴为直线，由判断各选项.. 【详解】函数图象的对称轴为直线，因为，所以排除B，D； 又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确. 故选：A. 7．B 【分析】根据正态分布曲线的特点，利用函数曲线的对称性，即可求出答案。 【详解】由随机变量，所以函数曲线关于直线对称， 又，且，所以. 故选：B 8．B 【分析】解法一，求出，根据正态分布的对称性，即可求得答案；解法二，求出数学成绩在80分至95分的人数，由对称性，再求出数学成绩在95分至110分的人数，即可求得答案. 【详解】解法一：依题意，得， 故； 解法二：数学成绩在80分至95分的有人， 由对称性，数学成绩在95分至110分的也有2500人， 故. 故选：B. 9．ACD 【分析】由二项分布的方差公式计算方差判断A，由残差的定义判断B，根据正态分布的性质判断C，由极差与标准差的概念判断D． 【详解】由于，所以A正确； 残差平方和越小，模型的拟合效果越好，所以B错误； 根据正态分布的概率分布特点知为定值，C正确； 由于， 标准差，故D正确. 故选：ACD. 10．BC 【分析】根据超几何分布的定义以及概率公式，可得答案. 【详解】由题意知随机变量服从超几何分布； 的取值分别为0，1，2，3，4， 则，， ，，， 故选：BC． 11．ABD 【分析】A.由随机变量服从二项分布求解；B.由随机变量服从正态分布求解；C.由随机变量服从分布求解；D.由随机变量服从超几何分布求解； 【详解】A.若随机变量，则，故正确； B.若随机变量，则，故正确； C.若随机变量服从分布，且，则，故错误； D.由随机变量满足，则， 所以，故正确； 故选：ABD 12． 【分析】由题可得质量指标在区间的概率，后由二项分布的方差可得答案. 【详解】由正态分布的性质得质量指标在区间的概率为， 即1件产品的质量指标位于区间的概率为，∴， 故. 故答案为： 13． 【分析】根据超几何分布概率的计算公式得到，又由事件与事件互为对立事件得，再根据超几何分布的期望公式得到. 【详解】因为事件与事件互为对立事件， 而，所以. 所以. 故答案为：；. 14．18 【分析】直接根据服从二项分布，结合取整数部分可得后面80次出现点数6的次数为13概率最大，从而得解. 【详解】继续再进行80次投掷试验，出现点数为6次数服从二项分布， 由，结合题中结论可知，时概率最大， 即后面80次中出现13次点数6的概率最大， 加上前面20次中的5次，所以出现18次的概率最大. 故答案为：18. 15．(1)． (2)答案见解析 【分析】（1）根据全概率公式进行求解即可； （2）选择①：根据古典概型公式，结合数学期望公式进行求解即可； 选择②：根据二项分布的性质进行求解即可. 【详解】（1）依题意，设“每天平均坚持户外体育锻炼的时间超过30分钟”为事件， 则，， 设“学生的综合体测成绩达到‘优秀’等级”为事件， 则，， 根据全概率公式可得， 所以从该学校任意抽取一名学生，综合体测成绩达到“优秀”等级的概率为． （2）选择①，则所有可能的取值为， 所以；； ， 所以的分布列为： 0 1 2 ． 选择②，则所有可能的取值为，且， 所以； ； ； ； ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 ． 16．(1)分布列见解析， (2)分布列见解析， (3)分布列见解析，服从超几何分布 【分析】（1）判断，写出二项分布列即可； （2）判断，写出二项分布列即可； （3）判断服从超几何分布，写出分布列即可. 【详解】（1）的分布列为 0 1 2 .. .. 服从二项分布，即. （2）的分布列为 0 1 2 .. .. 服从二项分布，即. （3）的分布列为 0 1 .. .. .. .. 服从超几何分布. 17．(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）由的可能取值为0，1，2，结合超几何分布即可求解； （2）由超几何分布期望公式求解即可； （3）由数学期望的性质即可求解． 【详解】（1）由题意得，的可能取值为0，1，2，且， ， ， ， 所以的分布列如下． 0 1 2 （2）因为，所以． （3）由已知得， 因为， 所以，所以． 18．(1)100 (2)0.3 (3)分布列见解析，1.4 【分析】（1）由平均数的求法，直接求出的值； （2）由正态分布的对称性即可算出结果. （3）由数据得出个人获赠个数对应的概率，在得到两个人总共获赠可能个数及其对应的概率，从而得出分布列和数学期望. 【详解】（1）； （2）因为，所以， 所以． （3）设1人获赠贵妃杏的个数为，则． 依题意可得的可能取值为， ， ， ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 4 0.25 0.3 0.29 0.12 0.04 所以. 19．(1)95 (2)60 【分析】（1）根据正态分布的对称性求解概率，即可求解人数， （2）分别求解单选题和多选题每一道题目得分的期望，即可求解成绩的期望. 【详解】（1）由于，故， 故， 所以， 故进入决赛的人数为. （2）甲同学每个单选题得分的数学期望分， 甲同学每个多选题得分的数学期望分， 因此甲同学的成绩的数学期望为分 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9二项分布与超几何分布及正态分布（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 3 考点一：二项分布 3 考点二：超几何分布 5 考点三：正态分布 6 【自学检测】 8 自学概念 1. n重伯努利试验 (1)只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. (2)n重伯努利试验具有如下共同特征： ①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果相互独立. 2. 二项分布 (1)二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p). 3. 超几何分布 (1)一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. (2)设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p＝，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，则E(X)＝n·＝np. 4. 正态分布 (1)f(x)＝e－，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数.显然，对任意的x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线. (2)若随机变量X的概率密度函数为f(x)＝e－，x∈R，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2).特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布. (3)正态曲线的特点： ①正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ②曲线在x＝μ处达到峰值； ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. (4)若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. (5)服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在三个特殊区间内取值的概率： P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 在实际应用中，通常认为X只取区间[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 自学考点 考点一：二项分布 一、单选题 1．（23-24高二下·河南安阳·期中）若随机变量服从二项分布，且，则（    ） A．39 B．50 C．63 D．68 2．（23-24高二下·浙江湖州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．随机变量，则 B．某人在7次射击中，击中目标的次数为且，则当时概率最大 C．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 D．从个红球和个白球颜色外完全相同中，一次摸出个球，则摸到红球的个数服从超几何分布 3．（23-24高二下·山东青岛·期中）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知随机变量满足：，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·四川达州·期中）设随机变量，随机变量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的期望 D．的期望 6．（23-24高二下·云南昆明·期中）下列命题中，正确的命题是（   ） A．已知随机变量服从两点分布，且．设，那么 B．已知某随机变量的分布列如图表，则随机变量的方差 0 20 40 C．已知，，，则 D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，，当时概率最大 三、填空题 7．（22-23高二下·广东潮州·期末）在3重伯努利试验中事件出现的概率相同，若事件A至少出现1次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为 ． 8．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知随机变量服从二项分布，若，，则 . 9．（2023·浙江金华·模拟预测）一次掷两枚骰子，若两枚骰子点数之和为4或5或6，则称这是一次成功试验．现进行四次试验，则恰出现一次成功试验的概率为 ． 考点二：超几何分布 一、单选题 1．（24-25高三上·上海·单元测试）设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的期望为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·宁夏石嘴山·期末）在10件工艺品中，有3件二等品，7件一等品，现从中抽取5件，则抽得二等品件数X的数学期望为（    ）． A．2 B．4 C． D． 3．（22-23高二下·天津·期末）某学校要从名男生和名女生中选出人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 （    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（22-23高二下·山东聊城·期末）一箱儿童玩具中有3件正品，2件次品，现从中不放回地任取2件进行检测．记随机变量为检测到的正品的件数，则（    ） A．服从二项分布 B． C． D．最有可能取得的为1 5．（2022·湖北武汉·模拟预测）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）在一个袋中装有大小相同的4黑球，6个白球，现从中任取3个小球，设取出的3个小球中白球的个数为，则下列结论正确的是（    ） A．随机变量服从超几何分布 B．随机变量服从二项分布 C． D． 三、填空题 7．（24-25高二·全国·课后作业）某公司有日生产件数为95件的“生产能手”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X的标准差为 ． 8．（23-24高二下·北京海淀·期末）某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为 ，数学期望 ． 9．（23-24高二下·安徽滁州·期中）一个袋子中共有6个大小相同的球，其中3个红球，3个白球，从中随机摸出2个球，设取到白球的个数为X，则的方差为 ． 考点三：正态分布 一、单选题 1．（22-23高二下·陕西宝鸡·期末）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．（2023·浙江宁波·二模）设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东·模拟预测）已知随机变量服从正态分布服从二项分布，则（    ） A． B． C．， D． 二、多选题 4．（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）是随机变量，（     ） A．若，则， B．若，则 C．若，则， D．若，则 5．（2023·河北·模拟预测）某市两万名高中生数学期末统考成绩（满分100分）服从正态分布，其正态密度函数，则（    ） 附：若随机变量X服从正态分布，则，，． A．试卷平均得分与试卷总分比值为该试卷难度，则该份试卷难度为0.5 B．任取该市一名学生，该生成绩低于67分的概率约为0.023 C．若按成绩靠前的16%比例划定为优秀，则优秀分数线约为83分 D．该次数学成绩高于99分的学生约有27人 6．（2024·四川德阳·一模）下列结论正确的是（   ） A．随机变量X服从二项分布，则 B．数据的平均数为2，则的平均数为6 C．数据2，4，6，8，10，12，14的第60百分位数是10 D．随机变量X服从正态分布，且，则 三、填空题 7．（24-25高三上·广东清远·阶段练习）㷊市高三年级1万名男生的身高（单位：cm）近似服从正态分布，则身高超过180cm的男生约有 人.（参考数据：，，） 8．（2024·辽宁·一模）小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常选择自驾、公交或地铁这三种方式.若小明选择自驾，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布若小明选择地铁，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布；若小明选择公交，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布.若小明上午8：12从家里出发，则选择 上班迟到的可能性最小.(填“自驾”“公交”或“地铁”) 参考数据：若则，， 9．（23-24高二下·重庆·期中）已知随机变量X服从正态分布，即：，若，，则实数 ． 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高二下·天津西青·期末）某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二下·山东淄博·期末）若，则取得最大值时，（    ） A．4或5 B．5或6 C．10 D．5 3．（2024高三·全国·专题练习）已知小明射箭命中靶心的概率为，且每次射击互不影响，则小明在射击4次后，恰好命中两次的概率是（　　） A． B． C． D． 4．（22-23高二下·江苏南京·期中）口袋中有6个球（除颜色外其他属性都相同），其中3个黑球，2个红球，1个白球，表示有放回的摸球3次，每次摸一个，取出红球的数目，表示不放回的摸球3次，每次摸一个，取出黑球的数目，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D．无法判断 5．（22-23高二下·山西太原·阶段练习）在含4件次品的6件产品中随机抽取3件产品，其中含有的次品数为则（    ） A． B．1 C． D．2 6．（22-23高二下·江苏·课后作业）函数(其中)的图象可能为（   ） A．   B．   C．    D．   7．（23-24高二上·广西北海·期末）已知随机变量，且，则（    ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 8．（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知某地区高考二检数学共有8000名考生参与，且二检的数学成绩近似服从正态分布，若成绩在80分以下的有1500人，则可以估计（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·浙江·期中）下列说法正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．残差平方和越大，模型的拟合效果越好 C．若随机变量，则当减小时，保持不变 D．一组数据的极差不小于该组数据的标准差 10．（22-23高二下·广东深圳·期中）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．随机变量服从超几何分布 D．随机变量服从二项分布 11．（2024·浙江台州·一模）下列选项正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，则 C．若随机变量服从分布，且，则 D．若随机变量满足，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·湖北·期中）某流水线上生产的一批零件，其规格指标X可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05，现从这批零件中随机抽取500个，用Y表示这500个零件的规格指标X位于区间的个数，则随机变量Y的方差是 . 13．（2024高三·全国·专题练习）高三（1）班有50名学生，其中30名男生，现从中任选3名学生参加体育抽测，用X表示男生被选中的人数，则 ； ． 14．（22-23高三下·山东济宁·开学考试）某校在一次“二项分布的性质”为主题的探究活动中，该校数学第一小组的学生同学表现优异，探究数学的奥秘.设随机变量，记，在探究的最大值时，小组同学发现：当为正整数，则，，此时这两项概率均为最大值；当为非整数，取的整数部分，是唯一的最大值.以此为理论依据，有同学重复投掷一枚大小均匀的骰子实时记录点数6出现的次数.当投掷第20次时，记录到此时点数6出现5次，再进行80次投掷实验，当投掷到100次时，点数6总共出现的次数为 的概率最大. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高三·全国·专题练习）中学生经常参加户外体育锻炼有利于新陈代谢，提高身体的免疫力，增强体质和抵抗力，某学校实践活动小组经过调查所在学校学生参加体育锻炼的时间与综合体测成绩等信息，统计有效的数据信息后发现：该学校有的学生每天平均坚持户外体育锻炼的时间超过30分钟，在这些学生中，综合体测成绩达到“优秀”等级的概率为；而每天平均坚持户外体育锻炼的时间不超过30分钟的学生的综合体测成绩达到“优秀”等级的概率为． (1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“优秀”等级的概率； (2)若______，记为这4名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级概率的人数，求的分布列和数学期望． 给出以下两个条件：①已知6名学生中，有2名综合体测成绩达到“优秀”等级，从这6名学生中任意抽取4名学生；②从该学校任意抽取4名学生． 请从这两个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并完成作答，若选择多个条件分别作答，以第一个作答计分． 16. (15分) （2025高三·全国·专题练习）写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？ (1)表示次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数. (2)有一批产品共有件，其中次品有件（，采用有放回抽取方法抽取次，抽出的次品件数为. (3)有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法抽件，出现次品的件数为. 17. (15分) （22-23高二下·北京延庆·期中）袋中有6个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为． (1)求的分布列； (2)求； (3)若摸出一个黑球得10分，摸出一个白球得5分，总分为分，求的值． 18. (17分) （24-25高三上·河北邢台·阶段练习）贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量（单位：克）为，这10个贵妃杏的平均质量恰等于克． (1)求． (2)求． (3)甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为，求的分布列与数学期望． 19. (17分) （24-25高三上·浙江·开学考试）中国数学奥林匹克（）竞赛由中国数学会主办，是全国中学生级别最高､规模最大､最具影响力的数学竞赛.某中学为了选拔参赛队员，组织了校内选拔赛.比赛分为预赛和决赛，预赛成绩合格者可进入决赛. (1)根据预赛成绩统计，学生预赛的成绩，成绩超过85分的学生可进入决赛.若共有600名学生参加了预赛，试估计进入决赛的人数（结果取整数）； (2)决赛试题共设置了10个题目，其中单选题6题，每题10分，每题有1个正确选项，答对的10分，答错得0分；多选题4题，每题15分，每题有多个正确选项，全部选对得15分，部分选对得5分，有选错得0分.假设甲同学进入了决赛，且在决赛中，每个单选题答对的概率均为；每个多选题得15分､5分､0分的概率均分别为.求甲同学决赛成绩的数学期望. 附：若，则， 学科网（北京）股份有限公司 $$