07离散型随机变量及其分布列-2025年高二数学寒假自学讲义（选择性必修第三册课程）（人教2019A版专用）

07离散型随机变量及其分布列（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 3 考点一：简单离散型随机变量分布列 3 考点二：离散型随机变量分布列的性质 4 考点三：由随机变量的分布列求概率 5 【自学检测】 6 自学概念 1. 离散型随机变量 (1)定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. (2)可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. (3)随机变量和函数的关系：随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集. 2. 离散型随机变量的分布列 (1)离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，3，…，n为X的概率分布列，简称分布列. 离散型随机变量的分布列可以用表格表示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0，i＝1，2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝1. 3. 两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示 X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布. 自学考点 考点一：简单离散型随机变量分布列 一、解答题 1．（2025高三·全国·专题练习）北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求： (1)甲测试合格的概率； (2)甲答对的试题数X的分布列. 2．（2025高三·全国·专题练习）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为，答对每道冬奥知识题的概率为，每题答对与否不影响后续答题. (1)学生甲恰好答对两题的概率是多少？ (2)求学生甲答对的题数X的分布列. 3．（23-24高二下·河南·期中）在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球，其中一个球的标号为1，另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球，其中两个球的标号为2，3. (1)若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率; (2)若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其中浅色球的个数为X，求X的分布列. 4．（23-24高二下·北京大兴·期末）某同学参加闯关游戏，需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得分．已知这位同学回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功． (1)求至少回答正确一个问题的概率； (2)求这位同学回答这三个问题的总得分的分布列． 5．（23-24高二下·北京·期中）甲、乙两队要举行一场排球比赛，双方约定采用“五局三胜”制．已知甲队每局获胜的概率为，乙队每局获胜的概率为． (1)求乙队以的比分获胜的概率； (2)设确定比赛结果需要比赛局，求的分布列． 6．（23-24高二下·重庆渝北·期中）已知袋中有个不同的小球，红球、黄球、蓝球各个（除颜色外完全相同），现从中任取个球 (1)求取出的球中红球数多于黄球数的概率； (2)设表示取出的个球中红色球的个数，求的分布列． 考点二：离散型随机变量分布列的性质 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）若随机变量X的分布列如下： 1 2 3 4 0.1 0.4 0.3 则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 2．（22-23高二下·浙江·期中）随机变量的分布列如下表，其中，，成等差数列 2 4 6 则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河北石家庄·期末）设离散型随机变量X的分布列如表所示，则（    ） X 1 2 P A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高二下·浙江·期中）随机变量X的分布列如下： X 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，则可以为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二下·河南周口·期中）已知离散型随机变量的分布列为 1 2 4 6 0.2 0.1 则下列选项正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 三、填空题 6．（24-25高二下·全国·课后作业）已知某个离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.3 0.1 则的最小值为 . 7．（23-24高二下·江苏泰州·期末）设随机变量的分布列为（），则实数的值为 . 考点三：由随机变量的分布列求概率 一、单选题 1．（23-24高二下·河北邢台·期末）随机变量的分布列如下：其中，则等于（    ） 0 1 A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足，则（    ） X 0 1 2 3 P a 5a A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）已知随机变量的分布列，若，则实数的值可以是（    ） 0 1 2 3 A．5 B．7 C．9 D．10 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知随机变量ξ的分布列为： ξ －2 －1 0 1 2 3 P 若，则实数的值可以是（    ） A．5 B．7 C．9 D．10 三、填空题 5．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期中）设随机变量X的概率分布为（，），则 . 6．（2024高三·全国·专题练习）已知离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 m 则 ． 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量的分布列如下表： 0 1 P a b c 其中成等差数列，则的值与公差d的取值范围分别是（    ） A．； B．； C．； D．； 2．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）随机变量的分布列如下（为常数）： 0 1 2 0.3 则（   ） A．0.6 B．0.7 C．0.9 D．1.2 3．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知随机变量的分布列如表： 0 2 其中成等差数列，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·甘肃天水·阶段练习）已知随机变量满足，，其中为常数，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）设随机变量的概率分布列是，，其中C为常数，则＝（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·江苏泰州·期中）已知离散型随机变量和满足关系式，且随机变量的概率分布表如下： 0 1 3 若，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024高三·全国·专题练习）设随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P p 则p为（    ）． A． B． C． D． 8．（2024高三·全国·专题练习）设某种疫苗试验的失败率是成功率的5倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则等于（    ） A．0 B． C． D．1 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二上·全国·课后作业）已知随机变量X的分布列为（），其中是常数，则（    ） A． B． C． D．以上均不正确 10．（22-23高三上·山西太原·阶段练习）已知随机变量的分布列为： 若，则实数的值可能是（    ） A． B． C． D． 11．（21-22高二·全国·课后作业）设离散型随机变量的概率分布列为 0 1 2 3 则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二上·吉林·期末）随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.1 0.3 则 . 13．（2023高三上·全国·专题练习）离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则 . 14．（22-23高二下·江苏·课后作业）若随机变量X的概率分布列为，k＝1，2，3，则 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二下·全国·课后作业）随着全球环境问题的加剧，环境安全已逐渐成为国家和地区安全的重要组成部分，其中环境空气质量尤为重要．我国空气质量分为六级，在大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物称为可入肺颗粒物（记为PM2.5），对人体健康和环境质量的影响很大，其中PM2.5与空气质量的关系如下： PM2.5日均值为及以下时，空气质量等级为“一级：优”； PM2.5日均值为时，空气质量等级为“二级：良好”； PM2.5日均值为时，空气质量等级为“三级：轻度污染”． 某市环保局从冬季每天的PM2.5监测数据中随机抽取10天数据作为样本，其数据分别为：38，32，45，49，53，77，66，86，76，91．空气质量低于二级视为PM2.5数据超标． (1)从这10天的PM2.5监测数据中，随机抽出三天数据，求至少有一天空气质量为二级的概率； (2)从这10天的PM2.5监测数据中，随机抽出三天，求这三天PM2.5监测数据超标的天数的分布列． 16. (15分) （23-24高二下·北京顺义·期中）从一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台．如果从中随机挑选台， (1)求台电脑中恰好有一台品牌的概率； (2)求这台电脑中品牌台数的分布列． 17. (15分) （23-24高二下·湖南·期中）将4个形状､大小､颜色均相同的排球随机放入4个编号为的排球筐内，每个排球筐最多可容纳5个排球，记编号为2的排球筐内最终的排球个数为. (1)求编号为2的排球筐内有球的概率； (2)求的分布列. 18. (17分) （2021·河南南阳·模拟预测）某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分A，B，C三大类，其中A类有3个项目，每项需花费2小时，B类有3个项目，每项需花费3小时，C类有2个项目，每项需花费1小时．要求每位员工从中随机选择3个项目，每个项目的选择机会均等． (1)求小张在三类中各选1个项目的概率； (2)设小张所选3个项目花费的总时间为X小时，求X的分布列． 19. (17分) （2024高三·全国·专题练习）某县教育局从县直学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人． (1)求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率； (2)设X表示选出的3人中数学教师的人数，求X的分布列． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 07离散型随机变量及其分布列（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 3 考点一：简单离散型随机变量分布列 3 考点二：离散型随机变量分布列的性质 8 考点三：由随机变量的分布列求概率 12 【自学检测】 15 自学概念 1. 离散型随机变量 (1)定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. (2)可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. (3)随机变量和函数的关系：随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集. 2. 离散型随机变量的分布列 (1)离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，3，…，n为X的概率分布列，简称分布列. 离散型随机变量的分布列可以用表格表示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0，i＝1，2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝1. 3. 两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示 X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布. 自学考点 考点一：简单离散型随机变量分布列 一、解答题 1．（2025高三·全国·专题练习）北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求： (1)甲测试合格的概率； (2)甲答对的试题数X的分布列. 2．（2025高三·全国·专题练习）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为，答对每道冬奥知识题的概率为，每题答对与否不影响后续答题. (1)学生甲恰好答对两题的概率是多少？ (2)求学生甲答对的题数X的分布列. 3．（23-24高二下·河南·期中）在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球，其中一个球的标号为1，另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球，其中两个球的标号为2，3. (1)若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率; (2)若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其中浅色球的个数为X，求X的分布列. 4．（23-24高二下·北京大兴·期末）某同学参加闯关游戏，需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得分．已知这位同学回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功． (1)求至少回答正确一个问题的概率； (2)求这位同学回答这三个问题的总得分的分布列． 5．（23-24高二下·北京·期中）甲、乙两队要举行一场排球比赛，双方约定采用“五局三胜”制．已知甲队每局获胜的概率为，乙队每局获胜的概率为． (1)求乙队以的比分获胜的概率； (2)设确定比赛结果需要比赛局，求的分布列． 6．（23-24高二下·重庆渝北·期中）已知袋中有个不同的小球，红球、黄球、蓝球各个（除颜色外完全相同），现从中任取个球 (1)求取出的球中红球数多于黄球数的概率； (2)设表示取出的个球中红色球的个数，求的分布列． 参考答案： 1．(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）根据题意，由古典概型概率公式代入计算，即可得到结果； （2）由题意可得，X可以为0，1，2，3，然后分别求得其对应概率，即可得到分布列. 【详解】（1）设甲测试合格为事件A，则. （2）甲答对的试题数X可以为0，1，2，3， ，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 2．(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可分两类求解. （2）根据随机变量的取值以及对应事件的概率，即可按步骤求解分布列. 【详解】（1）学生甲恰好答对两题的概率. （2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3. 且， ， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 3 3．(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）先利用分步乘法计数原理计算总抽取方法，再求出抽到至少两个有标号的球的方法计算概率即可； （2）利用离散型随机变量的分布列公式计算即可. 【详解】（1）由题意可得共有（种）不同的抽法， 抽取的四个球中，标号为1，2，或1，3的种数有， 标号为2，3的种数有，抽到1,2,3的种数有， 合计（种）不同的抽法， 所以抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率为. （2）由题意知，的可能取值为0，1，2，3，4. ， ， ， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 4．(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得； （2）依题意随机变量的所有可能取值为，，，，，，求出对应概率，即可得分布列. 【详解】（1）设至少回答正确一个问题为事件，则； （2）这位同学回答这三个问题的总得分的所有可能取值为，，，，，， 所以，， ，， ，， 随机变量的分布列是 0 10 20 30 40 5．(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）依题意可知前四局比赛中甲、乙队双方各胜两局，且第五局乙队胜，根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2依题意的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列. 【详解】（1）乙队以的比分获胜，这表明在前四局比赛中甲、乙队双方各胜两局，且第五局乙队胜， 故乙队以的比分获胜的概率． （2）由题意，的可能取值为、、， 所以； ； ． 所以的分布列为 6．(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）记取出的球中红球数多于黄球数为事件，利用古典概型的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列. 【详解】（1）记取出的球中红球数多于黄球数为事件， 若取出一个红球则只需另取出两个篮球，有种取法； 若取出两个红球则从剩下的四个球中再取出一个球即可，故有种取法； 所以. （2）依题意的可能取值为、、， 所以，，， 所以的分布列为： 考点二：离散型随机变量分布列的性质 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）若随机变量X的分布列如下： 1 2 3 4 0.1 0.4 0.3 则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 2．（22-23高二下·浙江·期中）随机变量的分布列如下表，其中，，成等差数列 2 4 6 则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河北石家庄·期末）设离散型随机变量X的分布列如表所示，则（    ） X 1 2 P A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高二下·浙江·期中）随机变量X的分布列如下： X 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，则可以为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二下·河南周口·期中）已知离散型随机变量的分布列为 1 2 4 6 0.2 0.1 则下列选项正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 三、填空题 6．（24-25高二下·全国·课后作业）已知某个离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.3 0.1 则的最小值为 . 7．（23-24高二下·江苏泰州·期末）设随机变量的分布列为（），则实数的值为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 B D B ABC ABD 1．B 【分析】根据题意，由分布列的性质可得的值，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】由题可得，解得． 由，可得或4， 则（或）． 故选：B 2．D 【分析】由等差数列得到等差中项，由分布列知概率之和为，从而解出的值，得到. 【详解】因为，，成等差数列，所以， 由分布列知，所以，解得， 所以， 故选：D. 3．B 【分析】由分布列的性质可得，求解即可. 【详解】由分布列的性质可得,即， 解得. 又，解得，故. 故选:B. 4．ABC 【分析】由随机变量X的分布列的性质得，且a，b，由a，b，c成等差数列，得，可以求出c的取值范围，从而能求出的可以取的值． 【详解】解：随机变量X的分布列如下： X 0 1 P a b c ，且a，b，① ，b，c成等差数列， ，② 联立①②，得，， 所以， ， 可以为 ，， ， 故选：ABC 5．ABD 【分析】根据分布列的性质，以及概率的定义与互斥事件概率的加法公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由分布列的性质，可得，解得，所以A正确； 对于B中，若，可得，则，故B正确； 对于C中，由概率的定义知，所以C不正确； 对于D中，由，，则，所以D正确． 故选：ABD. 6．15 【分析】根据题意，由分布列的性质可得，再由基本不等式代入计算，即可求解. 【详解】由分布列性质可知，，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为15. 故答案为： 7．15 【分析】根据分布列概率和为1即可得到方程，解出即可. 【详解】由概率的基本性质知：，解得. 故答案为：15. 考点三：由随机变量的分布列求概率 一、单选题 1．（23-24高二下·河北邢台·期末）随机变量的分布列如下：其中，则等于（    ） 0 1 A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足，则（    ） X 0 1 2 3 P a 5a A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）已知随机变量的分布列，若，则实数的值可以是（    ） 0 1 2 3 A．5 B．7 C．9 D．10 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知随机变量ξ的分布列为： ξ －2 －1 0 1 2 3 P 若，则实数的值可以是（    ） A．5 B．7 C．9 D．10 三、填空题 5．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期中）设随机变量X的概率分布为（，），则 . 6．（2024高三·全国·专题练习）已知离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 m 则 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 D A ABC ABC 1．D 【分析】根据分布列性质结合已知条件求得，再求解概率； 【详解】根据分布列可得，解得， 则. 故选：D. 2．A 【分析】由概率分布列的性质求出，然后得到离散型随机变量Y的概率分布列，求即可. 【详解】由题意可知：， 所以解得，所以离散型随机变量Y的概率分布列为： Y -1 1 3 5 P 所以. 故选：A. 3．ABC 【分析】根据随机变量的分布列，求出随机变量的分布列，再找出满足的即可. 【详解】由随机变量的分布列，知： 的可能取值为， 且， ， ， ， 则，. 若，则实数的取值范围是. 故选：ABC. 4．ABC 【分析】根据随机变量ξ的分布列，求出随机变量的分布列，再找出满足的即可. 【详解】由随机变量的分布列，知： 的可能取值为， 且， ， ， ， 则，. 若，则实数的取值范围是. 故选：ABC. 5．0.7/ 【分析】根据概率和为1求，再求概率. 【详解】由题意可知，，则， 所以， 所以. 故答案为： 6．/ 【分析】根据题意知，求出，然后可求解. 【详解】由离散型随机变量的分布列的性质，可得，解得， 所以. 故答案为:. 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量的分布列如下表： 0 1 P a b c 其中成等差数列，则的值与公差d的取值范围分别是（    ） A．； B．； C．； D．； 2．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）随机变量的分布列如下（为常数）： 0 1 2 0.3 则（   ） A．0.6 B．0.7 C．0.9 D．1.2 3．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知随机变量的分布列如表： 0 2 其中成等差数列，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·甘肃天水·阶段练习）已知随机变量满足，，其中为常数，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）设随机变量的概率分布列是，，其中C为常数，则＝（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·江苏泰州·期中）已知离散型随机变量和满足关系式，且随机变量的概率分布表如下： 0 1 3 若，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024高三·全国·专题练习）设随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P p 则p为（    ）． A． B． C． D． 8．（2024高三·全国·专题练习）设某种疫苗试验的失败率是成功率的5倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则等于（    ） A．0 B． C． D．1 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二上·全国·课后作业）已知随机变量X的分布列为（），其中是常数，则（    ） A． B． C． D．以上均不正确 10．（22-23高三上·山西太原·阶段练习）已知随机变量的分布列为： 若，则实数的值可能是（    ） A． B． C． D． 11．（21-22高二·全国·课后作业）设离散型随机变量的概率分布列为 0 1 2 3 则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二上·吉林·期末）随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.1 0.3 则 . 13．（2023高三上·全国·专题练习）离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则 . 14．（22-23高二下·江苏·课后作业）若随机变量X的概率分布列为，k＝1，2，3，则 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二下·全国·课后作业）随着全球环境问题的加剧，环境安全已逐渐成为国家和地区安全的重要组成部分，其中环境空气质量尤为重要．我国空气质量分为六级，在大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物称为可入肺颗粒物（记为PM2.5），对人体健康和环境质量的影响很大，其中PM2.5与空气质量的关系如下： PM2.5日均值为及以下时，空气质量等级为“一级：优”； PM2.5日均值为时，空气质量等级为“二级：良好”； PM2.5日均值为时，空气质量等级为“三级：轻度污染”． 某市环保局从冬季每天的PM2.5监测数据中随机抽取10天数据作为样本，其数据分别为：38，32，45，49，53，77，66，86，76，91．空气质量低于二级视为PM2.5数据超标． (1)从这10天的PM2.5监测数据中，随机抽出三天数据，求至少有一天空气质量为二级的概率； (2)从这10天的PM2.5监测数据中，随机抽出三天，求这三天PM2.5监测数据超标的天数的分布列． 16. (15分) （23-24高二下·北京顺义·期中）从一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台．如果从中随机挑选台， (1)求台电脑中恰好有一台品牌的概率； (2)求这台电脑中品牌台数的分布列． 17. (15分) （23-24高二下·湖南·期中）将4个形状､大小､颜色均相同的排球随机放入4个编号为的排球筐内，每个排球筐最多可容纳5个排球，记编号为2的排球筐内最终的排球个数为. (1)求编号为2的排球筐内有球的概率； (2)求的分布列. 18. (17分) （2021·河南南阳·模拟预测）某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分A，B，C三大类，其中A类有3个项目，每项需花费2小时，B类有3个项目，每项需花费3小时，C类有2个项目，每项需花费1小时．要求每位员工从中随机选择3个项目，每个项目的选择机会均等． (1)求小张在三类中各选1个项目的概率； (2)设小张所选3个项目花费的总时间为X小时，求X的分布列． 19. (17分) （2024高三·全国·专题练习）某县教育局从县直学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人． (1)求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率； (2)设X表示选出的3人中数学教师的人数，求X的分布列． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A A B C B C ABC BCD 题号 11 答案 AC 1．A 【分析】由题意可知，进而可求，所以，，由分布列性质即可求出公差d的取值范围. 【详解】由题意，因为成等差数列，所以， 又由，解得， 则，，， 根据分布列的性质，得，， 所以. 故选：A 2．C 【分析】根据给定分布列求出，再利用互斥事件的概率公式计算即得. 【详解】依题意，，解得， 所以. 故选：C 3．A 【分析】利用成等差数列、随机变量分布列的性质可得答案. 【详解】因为成等差数列，所以， 根据随机变量分布列的性质：， 所以， 所以. 故选：A. 4．A 【分析】利用分布列的性质求出，再利用概率加法公式计算即得. 【详解】依题意，，解得，则， 所以. 故选：A 5．B 【分析】由分布列中各个变量的概率之和等于1，求出C的值，由，代入求值即可． 【详解】随机变量的概率分布列是，＝1，2，3，4，5，6， ，解得， ∴． 故选：B． 6．C 【分析】先根据分布列的性质和期望公式求出，再根据即可得解. 【详解】由题意可得，解得， 所以. 故选：C. 7．B 【分析】根据分布列的性质，即可求解. 【详解】由分布列的性质可知，，得. 故选：B 8．C 【分析】先列出变量X的分布列，从而得出答案. 【详解】解：根据题意得，“”表示试验失败， “”表示试验成功，成功率为p，失败率为5p， 故X的分布列为： X 0 1 P 5p p 所以，得， 所以失败率为，即． 故选：C. 9．ABC 【分析】根据分布列的性质，列出方程求得，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】根据题意，随机变量的分布列为， 则，解得， 则. 故选：ABC. 10．BCD 【分析】求出的分布列，对各选项依次判断即可. 【详解】由随机变量的分布列可知，随机变量的可能取值为，，，， 的分布列为： ， ， ， ， 用表格表示为 ∴对于A，时，，故选项A错误； 对于B，时，，故选项B正确； 对于C，时，，故选项C正确； 对于D，时，，故选项D正确. 故选：BCD. 11．AC 【分析】由分布列中的概率逐一判断即可. 【详解】由概率分布列可得，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D错误． 故选：AC 12．0.7/ 【分析】利用分布列的性质求出的值，然后由概率的分布列求解概率即可． 【详解】由分布列的性质可得，，可得， 所以． 故答案为：0.7 13． 【分析】利用概率和为可构造方程求得的值，由可求得结果. 【详解】，，解得：， . 故答案为：. 14．/0.5 【分析】求出变量等于和时的概率，结合互斥事件的概率公式可得结果. 【详解】由题意知，， 所以. 故答案为：. 15．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，由对立事件的概率公式，代入计算，即可求解； （2）根据题意，由条件可得三天PM2.5监测数据超标的天数的可能取值为0，1，2，3，然后分别计算其对应概率，即可得到结果. 【详解】（1）由题可得，空气质量为一级的有1天，为二级的有5天，为三级的有4天， 则所求概率． （2）设“这三天PM2.5监测数据超标的天数”为，则的可能取值为0，1，2，3． 所以； ． 即的分布列如下： 0 1 2 3 16．(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）先求随机挑选两台的取法共有种，再求2台电脑种恰有一台品牌电脑的取法有种即可； （2）由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列. 【详解】（1）随机挑选两台的取法共有种， 2台电脑种恰有一台品牌电脑的取法有种 2台电脑种恰有一台品牌电脑的概率是. （2）2台电脑种品牌的台数为可能取值为． ， ， 所以的分布列为： 17．(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）设事件“编号为的排球筐内有球”为事件，则，根据古典概型的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，，，，，求出所对应的概率，即可得到分布列. 【详解】（1）设事件“编号为的排球筐内有球”为事件， 则； （2）由题意，的可能取值为，，，，， 所以，， ，，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 18．(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）在三类项目中各选一个有种选法，总的选法数有种，由古典概型公式即可求得所求概率； （2）先分析X的可能取值，对于每一个的取值求得对应概率，由此可得的分布列. 【详解】（1）记事件M为“在三类中各选1个项目”，则， 所以小张在三类中各选1个项目的概率为． （2）由题知X的所有可能取值为4，5，6，7，8，9， 则，， ，， ，． 所以X的分布列为 X 4 5 6 7 8 9 P 19．(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）首先计算出所有基本事件数，再求出“选出的数学老师人数多于语文老师的人数”的基本事件数，利用古典概型计算公式可求得结果. （2）根据题意，列出的所有可能的取值，求出对应的概率，即可列出分布列. 【详解】（1）从6名老师中选3人的方法种数有：. 数学老师多于语文老师的选法有： ①1名数学，2名英语的选法：种； ②2名数学的选法有：种. 所以数学老师多于语文老师的选法有：种. 故数学老师多于语文老师的概率为：. （2）由题意，的可能取值为：0，1，2. ，，. 所以的分布列为： 0 1 2 0.2 0.6 0.2 学科网（北京）股份有限公司 $$