第03讲 乘法公式（4个知识点+5大考点举一反三+过关测试）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（北师大版2024）

第03讲 乘法公式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握平方差和完全平方公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2．学会运用平方差和完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算； 3.能用平方差和完全平方公式的逆运算解决问题。 知识点1：平方差公式 平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 知识点2：平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 知识点3：完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 知识点4：拓展、补充公式 ；； ；. 考点一：平方差公式运算 例1.利用乘法公式计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）利用平方差公式进行计算即可得解； （2）利用平方差公式进行计算即可得解； （3）二次利用平方差公式进行计算即可得解； （4）先把第一项和第三项利用平方差公式计算，然后再次利用平方差公式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式1-1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式．根据平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【变式1-2】计算（   ） A． B．2019 C． D．2017 【答案】D 【分析】此题主要考查利用平方差公式简便运算．根据，两次利用平方差公式即可简便运算． 【详解】解： ． 故选：D． 【变式1-3】运用平方差公式计算． (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4)3599.96 (5) 【分析】本题考查了利用平方差公式进行计算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用平方差公式进行计算即可得解； （2）利用平方差公式进行计算即可得解； （3）把原式进行变形，然后利用平方差公式进行计算即可得解； （4）把原式进行变形，然后利用平方差公式进行计算即可得解； （5）利用平方差公式进行计算即可得解，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 考点二：平方差公式下的几何背景 例2.从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______________． A． B． C． (2)应用所得的公式计算：； (3)应用所得的公式计算：． 【答案】(1)B (2)1 (3) 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握是解答本题的关键． （1）先分别用代数式表示出两图中的阴影面积，再判断即可． （2）把原式先变形为，再利用（1）的结论求解即可； （2）根据把所求式子先裂项，再计算求解即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即， 拼成的图2为长为，宽为的长方形，因此面积为， ∴， 故选：B； （2）解： ； （3）解：原式 ． 【变式2-1】【探究】（1）如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：． 【拓展】（3）计算：． 【答案】（1）；（2）①4；②；（3） 【分析】本题考查平方差公式的应用． （1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可； （2）①利用平方差公式得出，代入求值即可； ②可将写成，再利用平方差公式求值； （3）利用平方差公式将写成，以此类推，然后化简求值． 【详解】解：（1）图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积， 所以，得到乘法公式， 故答案为：； （2）①由得，， ∵，， ∴； 故答案为：4； ② ； （3） ． 【变式2-2】实践操作：从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个） A． B． C． D． 启发应用：请结合（1）选出的等式，利用其结论完成下列各题： （2）计算： （3）计算 【答案】（1）C；（2）；（3）8 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解题关键． （1）分别表示出两个图形中阴影部分的面积，即可列出等式； （2）利用（1）得出的等式化简各个括号内的式子，再计算有理数的加减法与乘法即可得到答案； （3）首先将式子转化成，然后利用平方差公式求解即可． 【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积为：；图2中阴影部分的面积为：， ∴上述操作能验证的等式是 故选：C； （2） ； （3） ． 【变式2-3】如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的长方形． (1)设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．请直接用含a，b的代数式表示__________，__________；写出上述过程所揭示的乘法公式__________． (2)应用公式计算： ①已知，，求的值． ②． 【答案】(1)；； (2)①，② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据各个部分面积之间的关系进行解答即可； （2）①先变形，再求解即可； （3）利用平方差公式进行解答即可． 【详解】（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即， 拼成图2是长为，宽为的长方形，因此阴影部分的面积为， 所揭示的乘法公式为：， 故答案为： ，，； （2）①由， 得． ② ． 考点三：完全平方公式的有关运算 例3.计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】此题考查了完全平方公式和单项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）利用完全平方公式展开即可得到结果； （2）利用完全平方公式展开即可得到结果； （3）利用完全平方公式展开即可得到结果； （4）利用完全平方公式展开即可得到结果； （5）利用完全平方公式和单项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可得到结果； （6）利用完全平方公式展开，再合并同类项即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【变式3-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）运用完全平方公式进行计算即可； （2）运用完全平方公式进行计算即可； （3）运用完全平方公式进行计算即可； （4）运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3-2】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式及整式的加减，熟记公式是解答本题的关键．先利用完全平方公式展开，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 【变式3-3】已知，，求与的值． 【答案】， 【分析】此题考查了完全平方公式．已知等式利用完全平方公式化简，两式加减即可求解． 【详解】解：由，得①， 由，得②， 得， ∴， 得， ∴． 考点四：通过对完全平方公式变形求值 例4.已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)26 (2)36 【分析】（1）把变形为，再把，代入计算； （2）把变形为，再把，代入计算． 本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ． 【变式4-1】已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1)13 (2)97 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形求值，即可求解． （2）根据完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解： ，， ， ； （2）解： ，， ，， ； 【变式4-2】已知，； (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用完全平方公式得到，代入，求解即可； （2）利用完全平方公式得到，代入，求解即可． 【详解】（1）解：当，时                                                                        （2） 【变式4-3】已知，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解答本题的关键． （1）原式提取变形后，利用完全平方公式化简，将已知等式代入计算即可求出值； （2）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 考点五：完全平方公式下的几何背景 例5.用图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)根据图2中阴影部分的面积关系，直接写出代数式，，之间的数量关系：______． (2)根据完全平方公式的变形，解决下列问题． ①已知，，求的值． ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】本题考查的是完全平方公式的变形，掌握公式变形是解本题的关键； （1）由等面积法可得公式变形； （2）①由，再代入计算即可；②由，结合，再利用公式可得答案． 【详解】（1）解：由等面积法可得：， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴． ②∵，， ∴ ， 即， 解得． 【变式5-1】拓广探索： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解问题： (1)若x满足，求的值． (2)已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，解题的关键是理解题意，掌握完全平方公式与平方差公式之间的转换． （1）设，，根据题意进行计算即可得； （2）根据题意可得，，，设，，长方形的面积，，即可得出，则 即可得出答案． 【详解】（1）解：设，， 则，， ∴； （2）∵正方形的边长为 ，， ∴，， 设，， 则，， ∴， ∴， ∴ ， ∴阴影部分的面积为． 【变式5-2】根据下列条件，解决下列问题： (1)若，，则 ； (2)若，，求的值； (3)如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)20； (2)； (3)7． 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的定义是关键． （1）根据化简求解即可得到答案； （2）根据化简求解即可得到答案； （3）根据化简求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ； 故答案为：20； （2）解：， ， ， ， 解得：； （3）解：， ， ， 四边形，是正方形，， ，， ， 即：， ． 【变式5-3】两个边长分别为和的正方形如图放置（图），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)若，，求的值； (2)当时，求出图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景的应用完全，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算． （1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含、的代数式分别表示、，利用，，求出，根据，整体代入进行计算即可； （2）根据，，即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由图可得，； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由图可得，， ∵， ∴． 1.（23-24七年级下·贵州贵阳·期中）下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构是解题的关键：． 【详解】解：A、，不能用平方差公式计算，不符合题意； B、，不能用平方差公式计算，不符合题意； C、，不能用平方差公式计算，不符合题意； D、，可以用平方差公式计算，符合题意； 故选：D． 2.（23-24七年级下·河北保定·期中）若是完全平方式，则的值是（   ） A． B． C．10 D．5 【答案】A 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点，进行求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴； 故选A． 3.（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图①所示，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成一个②所示的矩形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，根据题意分别表示出两个图形中阴影部分的面积即可． 【详解】解：图1中阴影部分的面积表示为：，图2中阴影部分的面积表示为：， ， 故选：A． 4.（23-24七年级下·浙江杭州·期中）一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的应用，利用平方差公式计算即可． 【详解】解：长方形的面积为， 故选：B． 5.（23-24七年级下·湖南株洲·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果． 【详解】解： ， 故答案为：D． 6.（23-24七年级下·广东深圳·期末）下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（     ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查完全平方公式在几何图形中的应用，根据面积公式分别表示出和各自的几何意义即可． 【详解】解：根据几何意义表示为边长为x截去1个单位长正方形的面积， 由可知边长为x正方形的面积，减去2个边长为x和1的长方形，加一个边长为1的正方形，即可知A满足题意． 故选：A． 7.（23-24七年级下·江苏南京·期中）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（    ） A．15 B．17 C．20 D．22 【答案】B 【分析】此题考查了完全平方公式的几何意义，适当的变形是解决问题的关键．用含a，b的代数式表示出阴影部分面积，再整体代入求值即可． 【详解】解：由题意可得：阴影部分面积 ； ∵，， ∴， ∴阴影部分面积． 故选：B． 8.（23-24七年级下·广东茂名·期中）是完全平方式．则 ． 【答案】9 【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可得到的值．熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 故答案为：9． 9.（23-24七年级下·江苏镇江·期中）若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的变形计算，代入求值的运用，根据题意分别求出的值，代入计算即可． 【详解】解：根据题意可得，， 已知, ∴， ∴原式， 故答案为： ． 10.（23-24七年级下·陕西西安·期末）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查的是利用平方差公式进行简便运算，把原式化为，再进一步计算即可． 【详解】解： ， 故答案为： 11.（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）若，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式的变形进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：6． 12.（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，点C是线段上的一点，分别以、为边向两侧作正方形．设，两个正方形的面积和，则图中的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提． 设，，可得，，根据完全平方公式求出即可． 【详解】解：设，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由完全平方公式可得，， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案是：4． 13.（23-24七年级下·湖南怀化·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用平方差公式进行计算，然后合并同类项即可； （2）利用平方差公式计算即可． 本题考查了整式的运算，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14.（23-24七年级下·湖南益阳·期中）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)26 (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，代数式求值，平方根的求解，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用完全平方公式得到，代入求解即可； （2）利用完全平方公式得到，求出的值，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：，， ； （2），， ． 15.（23-24七年级下·江西抚州·期中）阅读下列材料3 若x满足，求的值 解：设，， 则，， ∴； 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)若x满足，求的值 (2)如图，正方形的边长为x，E，F分别是边，上的点，，，长方形的面积为48，分别以，为边作正方形和正方形． ① ， ；（用含x的式子表示）； ②求阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)①，；②28 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形，完全平方公式的变形运算； （1）设，，仿照已知求出、的值，将化为 ，即可求解； （2）①由图即可求解；②设，，仿照已知求出、的值， ，即可求解； 掌握、、、之间的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设，， 则， ， ∴ ； （2）解：①由图得： ， 故答案：，； ②由题意得 ， 阴影部分的面积： 设，， 则， ， ∴ ， ∴， 又∵ ∴， ∴阴影部分面积 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 乘法公式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握平方差和完全平方公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2．学会运用平方差和完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算； 3.能用平方差和完全平方公式的逆运算解决问题。 知识点1：平方差公式 平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 知识点2：平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 知识点3：完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 知识点4：拓展、补充公式 ；； ；. 考点一：平方差公式运算 例1.利用乘法公式计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】计算（   ） A． B．2019 C． D．2017 【变式1-3】运用平方差公式计算． (1) (2) (2) (4) (5) 考点二：平方差公式下的几何背景 例2.从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______________． A． B． C． (2)应用所得的公式计算：； (3)应用所得的公式计算：． 【变式2-1】【探究】（1）如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：． 【拓展】（3）计算：． 【变式2-2】实践操作：从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个） A． B． C． D． 启发应用：请结合（1）选出的等式，利用其结论完成下列各题： （2）计算： （3）计算 【变式2-3】如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的长方形． (1)设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．请直接用含a，b的代数式表示__________，__________；写出上述过程所揭示的乘法公式__________． (2)应用公式计算： ①已知，，求的值． ②． 考点三：完全平方公式的有关运算 例3.计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式3-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3-2】计算：． 【变式3-3】已知，，求与的值． 考点四：通过对完全平方公式变形求值 例4.已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【变式4-1】已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 【变式4-2】已知，； (1)求的值； (2)求的值． 【变式4-3】已知，求： (1)的值； (2)的值． 考点五：完全平方公式下的几何背景 例5.用图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． (1)根据图2中阴影部分的面积关系，直接写出代数式，，之间的数量关系：______． (2)根据完全平方公式的变形，解决下列问题． ①已知，，求的值． ②已知，求的值． 、 【变式5-1】拓广探索： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解问题： (1)若x满足，求的值． (2)已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 【变式5-2】根据下列条件，解决下列问题： (1)若，，则 ； (2)若，，求的值； (3)如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【变式5-3】两个边长分别为和的正方形如图放置（图），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)若，，求的值； (2)当时，求出图中阴影部分的面积． 1.（23-24七年级下·贵州贵阳·期中）下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24七年级下·河北保定·期中）若是完全平方式，则的值是（   ） A． B． C．10 D．5 3.（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图①所示，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成一个②所示的矩形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（   ） A． B． C． D． 4.（23-24七年级下·浙江杭州·期中）一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 5.（23-24七年级下·湖南株洲·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 6.（23-24七年级下·广东深圳·期末）下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（     ） A．B．C． D． 7.（23-24七年级下·江苏南京·期中）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（    ） A．15 B．17 C．20 D．22 8.（23-24七年级下·广东茂名·期中）是完全平方式．则 ． 9.（23-24七年级下·江苏镇江·期中）若，且，则 ． 10.（23-24七年级下·陕西西安·期末）计算： ． 11.（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）若，则的值为 ． 12.（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，点C是线段上的一点，分别以、为边向两侧作正方形．设，两个正方形的面积和，则图中的面积为 ． 13.（23-24七年级下·湖南怀化·期中）计算： (1)； (2)． 14.（23-24七年级下·湖南益阳·期中）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 15.（23-24七年级下·江西抚州·期中）阅读下列材料3 若x满足，求的值 解：设，， 则，， ∴； 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)若x满足，求的值 (2)如图，正方形的边长为x，E，F分别是边，上的点，，，长方形的面积为48，分别以，为边作正方形和正方形． ① ， ；（用含x的式子表示）； ②求阴影部分的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$