第02讲 整式的乘法（3个知识点+4大考点举一反三+过关测试）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（北师大版2024）

第02讲 整式的乘法 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握单项式乘单项式，多项式乘单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算； 2．掌握整式乘法中在实际的应用； 知识点1：单项式乘单项式 单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 知识点2：单项式乘多项式 单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加 知识点3：多项式乘多项式 多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加 考点一：单项式乘单项式 例1.计算： (1) ； (2)； (3) 【变式1-1】计算 (1) (2) 【变式1-2】计算 (1) (2) (3) (4) 【变式1-3】计算 (1) (2) 考点二：单项式乘多项式 例2.计算： (1)； (2)； (3)； (4)， 【变式2-1】计算：． 【变式2-2】计算：． 【变式2-3】计算：． 考点三：多项式乘多项式 例3计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式3-1】计算： (1) ； (2)； (3)． 【变式3-2】计算： (1)； (2)． 【变式3-3】计算下列各式： (1) ； (2)； (3)； (4)． 考点四：整式乘法的实际应用 例4.如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块长为米、宽为米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化． (1)求长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示） (2)求修建雕像的小长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示） (3)当时，求绿化部分的面积． 【变式4-1】为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如下图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a、b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； （请将结果化为最简） (2)若，，求出此时种植区的总面积． 【变式4-2】已知有若干张正方形卡片和长方形卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形， (1)若要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要，，各型号卡片各多少张？ (2)用一张型卡片，一张型卡片，一张型卡片紧密拼接成如下图所示的图形，若阴影部分的面积为，型卡片的面积为，求，的值． 【变式4-3】在高铁站广场前有一块长为米，宽为米的长方形空地（如图）计划在中间留两个长方形喷泉（图中阴影部分），两喷泉间及周边留有宽度为b米的人行通道．    (1)请用代数式表示两个长方形喷泉（图中阴影部分）的面积并化简． (2)请用代数式表示广场上人行通道的面积并化简． 1．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）若，则m的值为（    ） A． B． C．1 D．5 3．（23-24八年级下·广东江门·开学考试）通过计算，比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的算式是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·广西桂林·期中）计算的结果正确地是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·江苏南京·期中）若多项式与乘积的结果中不含的一次项，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·广西崇左·期中）设，，则M与N的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 7．（23-24七年级下·福建三明·期中）计算： ． 8．（23-24七年级下·江苏南京·期中）计算的结果为 ． 9．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知，，则的值为 ． 10．（23-24七年级下·广西贵港·期中）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学的杰出研究成果之一，比法国数学家帕斯卡发现这一规律要早约400年．观察下列各式及其展开式，请猜想展开式中含项的系数是 ． 11．（23-24七年级下·陕西渭南·期中）如图，有正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片 张． 12．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 13．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）计算： (1)； (2)． 14．（23-24七年级下·广东河源·期中）综合与实践 如图，某校内有一块长为、宽为的长方形空地，该校计划将其规划为劳动基地，为此举行了“劳动基地”方案征集活动，其中阳光小组的设计方案是4块边长均为的正方形空地用于栽种梅、兰、竹、菊，剩余部分将铺设草坪． (1)用含，的代数式表示铺设的草坪的面积；（结果化为最简形式） (2)若，，预计每平方米铺设草坪的费用为30元，请预计铺设草坪所需要的费用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 整式的乘法 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握单项式乘单项式，多项式乘单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算； 2．掌握整式乘法中在实际的应用； 知识点1：单项式乘单项式 单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 知识点2：单项式乘多项式 单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加 知识点3：多项式乘多项式 多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加 考点一：单项式乘单项式 例1.计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了单项式乘法综合．熟练掌握单项式乘以单项式法则，同底数幂乘法的运算法则，幂的乘方的运算法则，积的乘方的运算法则，是解决问题的关键． （1）根据单项式乘以单项式运算法则得出即可； （2）应把与分别看成一个整体，那么此题也属于单项式的乘法，可以根据单项式乘以单项式运算法则以及同底数幂的乘法运算法则得出即可； （3）先根据积的乘方的法则与幂的乘方的法则计算，再根据单项式乘以单项式运算法则和同底数幂的乘法运算法则运算得出即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【变式1-1】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘以单项式、积的乘方： （1）按单项式乘以单项式法则计算； （2）先算乘方，再算乘法，进而即可求解 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式1-2】计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直接利用单项式乘以单项式运算法则计算得出答案； （2）直接利用单项式乘以单项式运算法则计算得出答案； （3）直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘以单项式运算法则计算得出答案； （4）直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘以单项式运算法则计算得出答案； 【详解】（1）解： （2） （3） ． （4） ． 【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算以及积的乘方运算、同底数幂的乘法运算，单项式乘以单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【变式1-3】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可； （2）先计算积的乘方，然后根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，熟知相关计算法则是解题的关键． 考点二：单项式乘多项式 例2.计算： (1)； (2)； (3)； (4)， 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查单项式与多项式相乘的运算法则：熟练掌握“单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加”．单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式2-1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了多项式和单项式之间的乘除运算法则，掌握该法则是解答本题的关键． 原式利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式2-2】计算：． 【答案】 【解析】略 【变式2-3】计算：． 【答案】 【分析】根据单项式乘以多项式可进行求解． 【详解】解：原式． 【点睛】本题主要考查单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 考点三：多项式乘多项式 例3计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （1）（2）（3）（4）根据多项式与多项式的乘法法则计算即可． 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 【变式3-1】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用多项式乘多项式，进行计算求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； 【点睛】本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于正确的运算． 【变式3-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据多项式与多项式的乘法法则计算； （2）根据多项式与多项式的乘法法则计算． 【详解】（1） （2） 【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 【变式3-3】计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案． （2）直接利用多项式乘以多项式运算法则、单项式乘多项式运算法则计算得出答案． （3）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案． （4）直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题考查了整式的乘法，掌握其计算法则是解题的关键． 考点四：整式乘法的实际应用 例4.如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块长为米、宽为米的小长方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化． (1)求长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示） (2)求修建雕像的小长方形地块的面积；（用含a，b的代数式表示） (3)当时，求绿化部分的面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 (3)平方米． 【分析】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式与多项式相乘的法则，单项式与多项式相乘的运算法则． （1）利用长方形面积公式直接计算即可； （2）利用长方形面积公式直接计算即可； （3）先将阴影部分面积计算出来，再代值进行计算即可求解． 【详解】（1）∵平方米， ∴长方形地块的面积为平方米； （2）∵平方米， ∴修建雕像的小长方形地块的面积为平方米； （3）∵绿化部分的面积为平方米； ∴当时， （平方米）， ∴绿化部分的面积为平方米． 【变式4-1】为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如下图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a、b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； （请将结果化为最简） (2)若，，求出此时种植区的总面积． 【答案】(1)， ； (2)216． 【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，列出正确的运算式是解本题的关键； （1）先利用底乘以高计算小路的面积，用长方形的面积减去小路的面积可得种植区的总面积，然后化简求解即可； （2）将代入（1）中代数式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ； （2）解：当，时， ； 【变式4-2】已知有若干张正方形卡片和长方形卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形， (1)若要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要，，各型号卡片各多少张？ (2)用一张型卡片，一张型卡片，一张型卡片紧密拼接成如下图所示的图形，若阴影部分的面积为，型卡片的面积为，求，的值． 【答案】(1)需要型号卡片张，型号卡片张，型号卡片张 (2)， 【分析】本题考查了整式乘法的几何应用，三角形、正方形、长方形的面积公式，解题的关键是掌握整式乘法的运算法则． （1）计算出拼成的长方形面积即可求解； （2）由型卡片的面积为，可得，根据，求出，进而求出即可． 【详解】（1）解：拼成的长方形面积为：， 需要型号卡片张，型号卡片张，型号卡片张； （2） 型卡片的面积为， ， ， ， ， 又阴影部分的面积为， ， 解得：（负值已舍去）， 又， ， ，． 【变式4-3】在高铁站广场前有一块长为米，宽为米的长方形空地（如图）计划在中间留两个长方形喷泉（图中阴影部分），两喷泉间及周边留有宽度为b米的人行通道．    (1)请用代数式表示两个长方形喷泉（图中阴影部分）的面积并化简． (2)请用代数式表示广场上人行通道的面积并化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是多项式乘多项式，能根据图形列出代数式是解此题的关键． （1）分别用和表示出两个喷泉组成长方形的长与宽列出算式计算即可； （2）根据人行通道面积等于广场面积减去喷泉面积列出算式，再进行化简即可． 【详解】（1）两个长方形喷泉（图中阴影部分）的面积为： ； （2）广场上人行通道的面积： ． 1．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，利用幂的乘方、单项式乘以单项式法则计算即可． 【详解】解∶原式 ， 故选：B． 2．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）若，则m的值为（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式的法则：．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．先根据多项式乘以多项式的法则计算，再根据多项式相等的条件即可求出的值． 【详解】解：， ， ． 故选：A 3．（23-24八年级下·广东江门·开学考试）通过计算，比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式运算．要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解． 【详解】解：图1中，阴影部分长宽长方形面积， 阴影部分的面积， 图2中，阴影部分大长方形面积长宽长方形面积长宽长方形面积边长的正方形面积， 阴影部分的面积， ． 故选：B． 4．（23-24七年级下·广西桂林·期中）计算的结果正确地是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘多项式，根据法则计算即可． 【详解】解： 故选C． 5．（23-24七年级下·江苏南京·期中）若多项式与乘积的结果中不含的一次项，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘多项式法则，根据法则即可求出答案． 【详解】原式 由题意可知：， ， 故选：B 6．（23-24七年级下·广西崇左·期中）设，，则M与N的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，整式的加减，熟练掌握相关运算法则是解题关键．先根据多项式乘以多项式的法则将M和N展开，然后作差得到，即可得到答案． 【详解】解： ，， ，即， ， 故选：A． 7．（23-24七年级下·福建三明·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟知单项式乘以单项式的计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·江苏南京·期中）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式，根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，代数式求值，根据多项式乘以多项式先化简，再整体代入即可得出答案，熟练掌握运算法则，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·广西贵港·期中）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学的杰出研究成果之一，比法国数学家帕斯卡发现这一规律要早约400年．观察下列各式及其展开式，请猜想展开式中含项的系数是 ． 【答案】5 【分析】本题考查数字变化规律题．根据题意先计算的展开式，再令，即可得到本题答案． 【详解】解：∵ ， ∴， 令，， ∴， ∴展开式中含项的系数是5， 故答案为：5． 11．（23-24七年级下·陕西渭南·期中）如图，有正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片 张． 【答案】7 【分析】本题考查多项式乘以多项式与图形的面积，求出的值，即可得出结果． 【详解】解：∵，类卡片的面积为， ∴需要类卡片张； 故答案为：7． 12．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了零指数幂、负整数指数幂、整式的混合运算等知识： （1）利用零指数幂、乘方计算后，再进行加法运算即可； （2）利用积的乘方和单项式乘以多项式展开后合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2）解： 13．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可； （2）先根据多项式乘以多项式的运算法则展开，最后合并同类项即可 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（23-24七年级下·广东河源·期中）综合与实践 如图，某校内有一块长为、宽为的长方形空地，该校计划将其规划为劳动基地，为此举行了“劳动基地”方案征集活动，其中阳光小组的设计方案是4块边长均为的正方形空地用于栽种梅、兰、竹、菊，剩余部分将铺设草坪． (1)用含，的代数式表示铺设的草坪的面积；（结果化为最简形式） (2)若，，预计每平方米铺设草坪的费用为30元，请预计铺设草坪所需要的费用． 【答案】(1) (2)12750元 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，代数式求值： （1）用大长方形面积减去4个小正方形面积即可得到答案； （2）根据（1）所求，代值计算即可． 【详解】（1） ． 铺设的草坪的面积为 （2）解：当，时， ． 预计铺设草坪所需要的费用为（元）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$