第01讲 幂的乘除（5个知识点+5大考点举一反三+过关测试）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（北师大版2024）

第01讲 幂的乘除 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握正整数幂的乘除法运算性质，能用文字和符号语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算； 2．运用同底数幂的乘除法法则解决一下实际问题； 3．掌握用科学计数法表示较小的数。 知识点1：幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 知识点2：幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数) 知识点3：积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 知识点4：幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)；a0=1 (a≠0) 知识点5：科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 考点一：同底数幂的乘法运算 例1.计算 (1) (2) (3) (4) (5) 【变式1-1】计算的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】计算，则 等于 ． 【变式1-3】计算： (1)； (2)． 考点二：幂的乘方与积的乘方运算 例2.计算： (1)； (2)． 【变式2-1】计算： ． 【变式2-2】计算： (1)； (2)． 【变式2-3】计算： 考点三：同底数幂的除法运算 例3.计算的结果是（   ） A． B． C． D．1 【变式3-1】计算： ． 【变式3-2】计算： ． 【变式3-3】计算（结果用幂的形式表示）： ． 考点四：幂的逆运算 例4.已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系． 【变式4-1】已知，，，计算下列代数式： (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【变式4-2】已知：，， (1)求的值； (2)求的值． 【变式4-3】已知， (1)求的值． (2)求的值． 考点五：零指数的有关运算 例5.计算：． 【变式5-1】如果 ，那么m 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】计算： 【变式5-3】计算：． 考点六：用科学记数法表示绝对值小于1的数 例6.在科幻小说《三体》中，有一种高强度的纳米材料“飞刃”．根据描述，纳米材料“飞刃”的直径约为，则数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】2020年突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的坚强领导下，取得了抗击疫情的巨大成就.科学研究表明，某种新型冠状病毒颗粒的直径约为125纳米，1纳米米，若用科学记数法表示125纳米，则正确的结果是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式6-2】是指大气中直径小于或等于的细颗粒物，也称为可入肺细颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量浓度越高，则表示空气污染越严重，这些颗粒物的直径用科学记数法表示为（　　） A． B． C．400 D． 【变式6-3】芯片是手机、电脑等高科技产品的核心部件，目前我国芯片已可采用14纳米工艺．已知14纳米为米，数据用科学记数法表示为 米． 一、单选题 1．（22-23七年级下·四川达州·期中），则的值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）长度单位 ，新冠病毒的直径约为60--140，其中140用科学记数法表示是   （    ） A． B． C． D． 3．22-23八年级上·福建漳州·期末）若，则的值为（   ） A． B．2 C．4 D．15 4．（23-24八年级上·重庆万州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算 的结果为(    ) A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）已知，，则 ． 8．（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则 ． 9．（23-24七年级下·全国·期末）计算： ． 10．（23-24七年级下·山东聊城·期末）比较大小 （填﹥、<、=）． 11．（23-24七年级下·广东深圳·期中）已知，则 ． 三、解答题 12．（2024七年级下·江苏·专题练习）计算 (1)． (2)． 13．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）已知，求的值． 14．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）若，，求的值． 15．（23-24七年级下·江苏南京·期中）（1）若，求的值； （2）若，，，求证． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 幂的乘除 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握正整数幂的乘除法运算性质，能用文字和符号语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算； 2．运用同底数幂的乘除法法则解决一下实际问题； 3．掌握用科学计数法表示较小的数。 知识点1：幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 知识点2：幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数) 知识点3：积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 知识点4：幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)；a0=1 (a≠0) 知识点5：科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 考点一：同底数幂的乘法运算 例1.计算 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即计算即可； （2）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （3）将，变形，再根据同底数幂的乘法法则计算即可； （4）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （5）根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 【变式1-1】计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加, 根据同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式1-2】计算，则 等于 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算、解一元一次方程等知识，理解并掌握同底数幂的乘法运算法则是解题关键．根据同底数幂的乘法运算法则可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴，解得． 故答案为：13． 【变式1-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法运算进行计算； （2）根据同底数幂的乘法运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点二：幂的乘方与积的乘方运算 例2.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）根据同底数幂的乘法和积的乘方法则进行计算即可； （2）根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则进行计算即可。 【详解】（1）解：原式． （2）原式． 【变式2-1】计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了积的乘方运算，根据积的乘方运算和幂的乘方运算法则计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘算，解题的关键是掌握相应的运算法则； （1）利用同底数幂的乘法及积的乘方即可计算； （2）利用同底数幂的乘法及幂的乘方即可计算求解． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【变式2-3】计算： 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方运算；先定符号再计算． 【详解】解： 考点三：同底数幂的除法运算 例3.计算的结果是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂除法计算，熟知同底数幂除法计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 【变式3-1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，直接运算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3-2】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要查了同底数幂相除．根据同底数幂除法法则计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【变式3-3】计算（结果用幂的形式表示）： ． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，将变形为，再根据“同底数幂相除，底数不变，指数相减”进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 考点四：幂的逆运算 例4.已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）根据，结合代入计算即可； （3）根据，结合变形即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， 又， ∴， ∴． 【变式4-1】已知，，，计算下列代数式： (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)15 (2) (3)400 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． （1）根据幂的乘方运算法则可得，再根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）由，根据同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可； （3）根据积的乘方运算法则可得，再根据幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：，，． ． （2）解：． （3）解：． 【变式4-2】已知：，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)9 (2)3 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算，同底数幂相除，掌握幂的乘方运算和同底数幂相除法则的逆用是解题关键． （1）先逆用幂的乘方法则变形，然后再把代入计算即可； （2）先逆用同底数幂相除和幂的乘方运算法则变形，然后再把，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴． 【变式4-3】已知， (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用同底数幂的乘法的逆运算、幂的乘方的逆运算对代数式进行转化即可求解； （）利用同底数幂的除法的逆运算、幂的乘方的逆运算对代数式进行转化即可求解； 本题考查了幂的有关运算性质，掌握同底数幂的乘除法的逆运算和幂的乘方的逆运算是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解：． 考点五：零指数的有关运算 例5.计算：． 【答案】 【分析】本题考查了零次幂，有理数的混合运算．先化简零次幂，计算括号内的减法以及运算乘方和乘除，然后进行加法运算，即可作答． 【详解】解： ． 【变式5-1】如果 ，那么m 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了零指数幂，直接利用零指数幂：，即可得出答案． 【详解】解：由任何非零数的零次幂为1，得 ，即 ． 故选：D． 【变式5-2】计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的运算．理解乘方、零指数幂的运算法则是关键． 先算乘方、零指数幂，再算加减． 【详解】解： ． 【变式5-3】计算：． 【答案】 【分析】此题考查了乘方、零指数幂、绝对值的化简等知识，利用乘方、零指数幂、绝对值的化简计算后，进行加减运算即可． 【详解】解： 考点六：用科学记数法表示绝对值小于1的数 例6.在科幻小说《三体》中，有一种高强度的纳米材料“飞刃”．根据描述，纳米材料“飞刃”的直径约为，则数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【变式6-1】2020年突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的坚强领导下，取得了抗击疫情的巨大成就.科学研究表明，某种新型冠状病毒颗粒的直径约为125纳米，1纳米米，若用科学记数法表示125纳米，则正确的结果是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 根据科学记数法进行表示即可． 【详解】解：125纳米米米， 故选：C． 【变式6-2】是指大气中直径小于或等于的细颗粒物，也称为可入肺细颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量浓度越高，则表示空气污染越严重，这些颗粒物的直径用科学记数法表示为（　　） A． B． C．400 D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 【变式6-3】芯片是手机、电脑等高科技产品的核心部件，目前我国芯片已可采用14纳米工艺．已知14纳米为米，数据用科学记数法表示为 米． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数．熟练掌握科学记数法的表示方法：（，n为整数）是解题的关键．根据科学记数法的表示方法，进行表示即可． 【详解】解：； 故答案为：． 一、单选题 1．（22-23七年级下·四川达州·期中），则的值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算，同底数幂乘法计算，根据同底数幂乘法计算法则得到原式，再由同底数幂除法的逆运算法则得到原式，再由即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）长度单位 ，新冠病毒的直径约为60--140，其中140用科学记数法表示是   （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，解题的关键是要正确确定a的值以及n的值． 先将140转化为，再按照科学记数法的表示方法表示即可． 【详解】解： 故选： A． 3．22-23八年级上·福建漳州·期末）若，则的值为（   ） A． B．2 C．4 D．15 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算，利用同底数幂除法的逆运算将原式变形后代入数值计算即可，将原式进行正确的变形是解题的关键. 【详解】∵， ∴ ， 故选：A. 4．（23-24八年级上·重庆万州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，据此相关性质内容进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A 5．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据积的乘方和幂的乘方法则计算，即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算 的结果为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查积的乘方的逆用，灵活利用积的乘方的逆用是关键．利用积的乘方的逆用将灵活运用即可． 【详解】解： 故选：B． 二、填空题 7．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，解题关键是熟练掌握积的乘方运算法则．先根据积的乘方运算法则将所求式子变形，然后把已知条件代入求值即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则 ． 【答案】19 【分析】本题主要考查了幂的有关运算，幂的乘方以及同底数幂的除法法则．将变形为，即可得到，据此求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 故答案为：19． 9．（23-24七年级下·全国·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】， 故答案为： 10．（23-24七年级下·山东聊城·期末）比较大小 （填﹥、<、=）． 【答案】＞ 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，有理数大小的比较． 根据幂的乘方的逆运算可得，，由即可解答． 【详解】解：∵，， 又， ∴， ∴． 故答案为：＞ 11．（23-24七年级下·广东深圳·期中）已知，则 ． 【答案】 【详解】本题考查同底数幂乘法的逆用，根据求解即可． 【分析】解： 故答案为：6． 三、解答题 12．（2024七年级下·江苏·专题练习）计算 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、幂的乘方法则和积的乘方法则． （1）利用同底数幂相乘法则：底数不变，指数相加，进行计算； （2）利用积的乘方法则，让各个因式分别乘方，再把所得结果相乘即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算、同底数幂的乘法除法，解本题的关键在熟练掌握相关的运算法则．根据幂的乘方逆运算法则和同底数幂乘法除法法则，结合题意，得出，再根据指数相等列式求解即可． 【详解】解：∵ ， 又∵， ∴， ∴， 解得：． 14．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）若，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方等知识点，掌握同底数幂的乘法，幂的乘方等知识点是解答本题的关键． 利用同底数幂的乘法，幂的乘方等知识点计算即可解答． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ． 15．（23-24七年级下·江苏南京·期中）（1）若，求的值； （2）若，，，求证． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题主要考查幂的乘方和积的乘方及同底数幂的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先变换，即，再计算，最后找到关于的方程式即可得出答案； （2）利用同底数幂的乘法运算法则即可得证． 【详解】（1）解： ， ， ， ． （2）证明：， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$