第02讲 直角三角形的性质和判定（II）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（湘教版）

第02讲 直角三角形的性质和判定（II） 课程标准 学习目标 勾股定理及其逆定理 1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理 2 运用勾股定理及其逆定理解决简单的几何问题。 知识点01 勾股定理及其验证 勾股定理:直角三角形两直角边a,b的平方和,等于斜边c的平方,即 方法技巧：勾股定理的证明方法很多，可通过对图形的割补、拼接等方法,利用图形面积之间的关系进行证明，也可把直角三角形放在方格中,通过数格子、计算或用求面积的方法证明. 【即学即练1】 下列条件中，不能判断为直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的判定，掌握勾股定理的逆定理，三角形内角和定理是解题的关键．利用勾股定理的逆定理，三角形内角和，直角三角形两个锐角互余，逐项分析即可． 【详解】解：A．， ， 故该选项能判断为直角三角形，不符合题意； B． ， 设， 则， ， 故该选项能判断为直角三角形，不符合题意； C． ，， ， 故该选项能判断为直角三角形，不符合题意； D． ， 设， ， 解得 故该选项不能判断为直角三角形，符合题意； 故选：D． 【即学即练2】 如图，在中，，D为边上的点，将沿折叠，得到，恰好，连接，． (1)设，，求的长； (2)若，，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)直角三角形，见解析 【分析】本题考查了翻折变换，三角形的面积，勾股定理及逆定理等知识． （1）由翻折性质可得，根据勾股定理得，然后根据，得，再整体代入计算即可解决问题； （2）根据勾股定理逆定理即可判断是直角三角形． 【详解】（1）解：由翻折可知：， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由翻折可知：， ， ，， ， ， 是直角三角形． 知识点02 勾股定理的应用 运用勾股定理求解线段长度问题的“三步法” (1)找直角:找出图中的直角三角形,或作辅助线构造直角三角形. (2)定关系:找出所求线段与直角三角形三边的关系. (3)求值:根据勾股定理计算相关线段的长度. 【即学即练1】 一架云梯长，按如图所示的方式斜靠在一面墙上，云梯底端离墙的距离为． (1)求此架云梯的顶端到地面的距离； (2)如果云梯的顶端A下滑了到达E处，求它的底部B在水平方向移动的距离的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求解即可． （2）如果云梯的顶端A下滑了到达E处，则，再利用勾股定理求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：， 则此架云梯的顶端到地面的距离为. （2）解：如果云梯的顶端A下滑了到达E处， 则， 则， ∴ 知识点03 勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长a,b.c满足关系,那么这个三角形是直角三角形, 【即学即练1】 如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c． (1)如图1请你用它验证勾股定理． (2)如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键. （1）通过图中小正方形面积证明勾股定理； （2）根据均为直角三角形，根据勾股定理得出 即可求出的值. 【详解】（1）解：， 另一方面， 即， ； （2）解：由题意可得， 均为直角三角形， 由勾股定理可得， ①，②，③，④ 可得； 可得； 即：， ， 解得（负值舍去）， 故答案为：． 题型01 用勾股定理解三角形 【典例1】如图，将两把同样大小的含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一把三角尺的锐角顶点与另一把三角尺的直角顶点重合于点，且另三个锐角顶点，，在同一条直线上．若，则等于（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的三线合一等知识，熟练掌握勾股定理是解题关键．过点作于点，先利用勾股定理可得，再根据直角三角形斜边上的中线和等腰三角形的三线合一可得，然后利用勾股定理可得，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意可知，，， ∴， 又∵在中，，， ∴， ∴在中，， ∴， 故选：B． 【变式1】在中，，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定的应用，根据勾股定理得到，再由即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】中，．若边上的高，则底边 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形，勾股定理，二次根式的混合运算，分为锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：分两种情况： ①如图1，当是锐角三角形时， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 在中，由勾股定理得： ； ②如图2，当是钝角三角形时， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 在中，由勾股定理得： ； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【变式3】如图，在中，，，，点P，D分别为、边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，作点关于的对称点，过点作于点交于点，点即为所求作的点，连接，根据对称点可知：，即的最小值为的长，本题求出的长度即可得解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，， 根据对称点可知：，， ∴， ∴当于点，交于点，点即为所求作的点，此时有最小值，连接， 在中，，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型02 勾股定理与网格问题 【典例1】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1，则在网格上的中，边长为有理数的有（   ）    A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理以及有理数的分类，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理进行计算求出边长，进行分类即可． 【详解】解：，为有理数， ，不是有理数， ，不是有理数， 故有一条边长为有理数， 故选B． 【变式1】如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．以及勾股定理的逆定理，根据勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可． 【详解】解：A、∵，本选项结论正确，不符合题意； B、∵，本选项结论正确，不符合题意； C、∵，本选项结论错误，符合题意； D、∵ ∴， ∴是直角三角形，且，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】如图在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，二次根式的性质，以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 根据小正方形的边长为1，利用勾股定理求出，由正方形面积减去三个直角三角形面积求出三角形面积，利用面积法求出边上的高即可． 【详解】解：如图，为边上的高， ， ，， ， 解得：． 故选：B． 【变式3】利用数形结合的思想，可以比较实数的大小．若在方格纸中构造如图所示的图形（方格纸中每个小方格的边长为1），结合图形可得 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，比较实数的大小关系，三角形的三边关系，解题的关键是掌握以上知识点． 根据勾股定理得出三角形的三边长，再利用三角形的三边关系即可得出结果； 【详解】解：根据图象得，画出的三角形的三边长分别为：， 根据三角形的三边关系可得：， 故答案为：． 题型03 勾股定理与折叠问题 【典例1】如图，在中，，，点D在边上．将沿折叠，使点C落在点处，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角不等关系是解题的关键． 由折叠性质可知，然后根据三角不等关系可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴当、、B三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为； 故答案为：． 【变式1】如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，现将折叠，使点与点重合，得到折痕，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠的性质．由折叠可得：，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由折叠可得：， ， 设，则， ，， 在中，，即， 解得：， 即， ， 故答案为：． 【变式2】如图，折叠，使直角边落在斜边上，点落到点处，已知，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】此题重点考查翻折变换的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，由，，，求得，由折叠得，，则，由，求得答案． 【详解】解：∵的斜边为， ∴， ∵，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∵，且， ∴， 解得， 故答案为： 【变式3】在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是． (1)如图①，如果点和顶点重合，求的长； (2)如图②，如果点落在的中点处，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ， 解得：， ； （2）解：∵点落在的中点， ∴； 设，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ， 解得：， 即的长为：． 题型04 勾股定理的证明方法 【典例1】2002年国际数学家大会在北京召开，如图①是大会会标，会标中央图案是经过艺术处理的，它标志着中国古代数学的成就．如图②是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（  ） A．三角形内角和定理 B．三角形全等 C．勾股定理 D．轴对称图形 【答案】C 【分析】本题考查了“弦图”与勾股定理的证明；知道利用“弦图”可以证明勾股定理这一历史事实是关键．根据这事实即可求解． 【详解】解：∵“弦图”是利用面积关系证明勾股定理的， ∴“弦图”解决的数学问题是：勾股定理． 故选：C． 【变式1】如图，对任意符合条件的，绕其锐角顶点逆时针旋转得到，连接，延长、，交于点，易知四边形是一个正方形，它的面积和四边形的面积相等，四边形的面积等于和的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明方法，准确识别图形，熟练掌握相关图形积的求解方法是解题的关键．首先根据正方形的面积公式列出表示正方形的面积的代数式，根据三角形的面积公式列出表示四边形的面积的代数式，根据两个四边形的面积相等可得等式，整理可得：． 【详解】解：根据题意可知， ， 由题意得：， ， 整理得：． 【变式2】现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为、，斜边长为，将它们拼合为如图的形状．    (1)添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾定理，请你将下面的证明过程补充完整： 整个组合图形面积表示，方法一：以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；   方法二：以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ，根据面积相等，直接得等式__________从而证明勾股定理． (2)当，时，求空白部分的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，代数式求值，正确识图是解题的关键． （1）根据题意和图形即可求解； （2）根据空白部分的面积等于以c为边的正方形的面积减去2个直角三角形的面积可得空白部分的面积为，再把，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：方法一：以c为边的正方形的面积两个直角三角形的面积为： ， 即最后化简为； 方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为； 根据面积相等，得：即； 故答案为：，，，； （2）解：根据题意得：空白部分的面积为 ， 当，时，原式． 【变式3】材料学习：在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． 灵活运用：如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作直线m于点E，直线m于点 M， (1)材料中的方法体现的数学思想是（   ） A．函数思想    B．分类讨论思想    C．数形结合思想    D．整体思想 (2)试说明 ； (3)若设三边分别为a、b、c．参照以前的学习经验，利用此图证明勾股定理． 【答案】(1)C； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解本题的关键是判断两三角形全等． （1）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想； （2）通过证得，根据全等三角形的对应边相等证得结论； （3）利用等面积法证得勾股定理． 【详解】（1）解：根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C （2）解：由题意得： ∵直线m ，直线m ∴ （3）解：由（2）可知： 又 题型05 勾股定理的实际应用 【典例1】如图，将一根长为的筷子斜置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确求出杯子内筷子的长度是解题关键．利用勾股定理求出杯子内筷子的长度，再利用筷子的总长度减去杯子内筷子的长度即可得． 【详解】解：由题意得：杯子内筷子的长度为， 则筷子露在杯子外面的长度为， 故选：A． 【变式1】如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 ． 【答案】2.6米 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解决问题的关键．过点作于点，可得，，，再根据勾股定理求解即可 【详解】解：如图，过点作于点， 则米，米， 米， （米． 所以此时牵狗绳的长为2.6米． 故答案为：2.6米． 【变式2】如图所示，是一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 【答案】7 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．利用平移的性质知，当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：∵是直角三角形，米，米， ∴米， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米． 故答案为：7． 【变式3】如图，一个长为15m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为， (1)如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底端也向后滑动吗？请通过计算解答． (2)梯子的顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等吗？若有可能，请求出这个距离，没有可能请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)有可能，当梯子的顶端从处沿墙下滑时，点向外移动 【分析】本题是勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出、的长，即可求解； （2）设梯子顶端从处沿墙下滑的距离为，则，， 在，根据勾股定理列出方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底端不是向后滑动，理由如下： 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底端不是向后滑动； （2）解：梯子的顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等，理由如下： 由（1）可知，， 设梯子顶端从处沿墙下滑的距离为， 则，， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：，（不符合题意，舍去）， 所以，当梯子的顶端从处沿墙下滑的距离是时，与点向外移动的距离有可能相等． 【变式4】学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题． 报告 测量风筝的垂直高度． 成员 组长：组员：，， 工具 皮尺等 示意图 方案 先测量水平距离，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长，最后测量放风筝的同学的身高． 数据 米，米，米，． (1)求此时风筝的垂直高度； (2)若站在点A不动，想把风筝沿方向从点F的位置上升18米至点C的位置（即米，点C、点F、点D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内），则还需放出风筝线多少米？ 【答案】(1)13.7米 (2)还需放出风筝线14米 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）在中，利用勾股定理求出的长度，由即可求解； （2）由题意得米，根据米，得到米，在中，利用勾股定理求出的长度，由即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：米， 在中，由勾股定理得（米）， 所以（米）． （2）解：由题意得米， 因为米， 故米， 在中，（米）， 所以（米）， 故还需放出风筝线14米． 【变式5】2024年第13号台风“贝碧嘉”于9月16日17时前后经过常州，给当地造成了巨大损失．如图，一棵垂直于地面并且高9米的银杏树被台风折断，树顶A落在离树底部C的6米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 【答案】这棵树在离地面米高处被折断 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据图示知大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，标注相应点后，则有，，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设离地面高度x米处折断，则，， ∵ ∴， ∴    ． ∴ 答：这棵树在离地面2.5米高处被折断． 【变式6】如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示，    ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为5，长为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是13． 【变式7】2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从市向西北方向移动到市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，之间相距，A，之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风影响该农场持续时间为，则台风中心的移动速度是多少？ 【答案】(1)农场A会受到台风的影响，理由见解析 (2)台风中心的移动速度是 【分析】此题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，面积法求三角形的高，等腰三角形性质，路程速度时间的关系，是解题的关键． （1）作，在中，根据勾股定理，求出长，由面积关系求得的长，即可求解； （2）以点A为圆心以为半径画弧交于点E，F，，可知台风在段移动时A受到影响，根据勾股定理求出的长，即可计算台风中心的移动速度． 【详解】（1）解：作于点D， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴农场A会受到台风的影响； （2）解：以点A为圆心以为半径画弧交于点E，F， 则， ∴台风在段上移动时A受到影响， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴台风中心的移动速度． 故台风中心的移动速度是． 【变式8】铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于点A，于点B，已知，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，请画出E点位置（要求尺规作图，保留作图痕迹）并求出E站应建在离A站多少千米处？ 【答案】作图见解析，站应建在离站处 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，尺规作图，勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． 先作出的垂直平分线，与交点即为点E，根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可． 【详解】解：如图，点E即为所求： 由题意得，使得C，D两村到E站的距离相等，则直线l是的垂直平分线， ∴， ∵于，于， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则． ∵， ∴， 解得：， ∴． 答：站应建在离点处． 题型06 利用勾股定理的逆定理求解 【典例1】下列各组数据，能作为直角三角形三边长的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形，掌握勾股数的定义及勾股定理的逆定理是解答本题的关键． 根据勾股数是正整数以及勾股定理的逆定理逐项判断即可解答． 【详解】解：A、， 不能组成三角形，故A选项错误； B、， 不能作为直角三角形三边长，故B选项错误； C、， 能作为直角三角形三边长，故C选项正确； D、， 不能作为直角三角形三边长，故D选项错误． 故选：C． 【变式1】已知：在中，分别是的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理及勾股定理的逆定理的应用，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键． 利用三角形内角和定理和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵，，∴，，，∴不是直角三角形，故此选项符合题意； C、∵，，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，∴可设，∵，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选B． 【变式2】如图所示，已知，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，延长至点E，使，则，由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再由勾股定理得，然后证明，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长至点E，使， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．    【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出，再由勾股定理逆定理判断形状，即可求出答案． 【详解】解： ∵，， 为直角三角形， ． 题型07 勾股定理逆定理的实际应用 【典例1】．如图是一块地，已知，，，，且，求这块地的面积． 【答案】24 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 连接，利用勾股定理及勾股定理的逆定理可以得出和是直角三角形，的面积减去的面积就是所求的面积． 【详解】解：连接， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 答：这块地的面积是． 【变式1】如图，一块四边形草地，测得，，，，．求该四边形草地的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积等知识，熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出是解题的关键．由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，，然后由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形且， 该四边形草地的面积． 【变式2】如图，一块四边形草地，测得，，，，．求该四边形草地的面积． 【答案】四边形草地的面积为 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． 连接，由，利用勾股定理可求得，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形且，最后根据四边形草地的面积为以及直角三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图：连接， ∵，，， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形且， ∴四边形草地的面积为． 答：四边形草地的面积为． 【变式3】为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学校园里现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，．根据你所学过的知识，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用， 先连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形，然后根据面积公式求出答案即可． 【详解】如图所示，连接， 根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴（）． 题型08 勾股定理逆定理的拓展问题 【典例1】定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 【变式1】定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用． （1）根据完美勾股数的定义可得答案； （3）利用完全平方公式证明即可； （3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入，根据多项式有一个因式，求解即可． 【详解】（1）解：， 数10是“完美勾股数”， 故答案为：是； （2）证明： ， ， 是“完美勾股数”； （3）解：由题意得：， ， ， ， ， ， 又， ，即， ， 有一个因式为， ， ∴另一个因式为． 【变式2】在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 【变式3】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上． (1)直接写出线段AC、CD、AD的长； (2)求∠ACD的度数； (3)求四边形ABCD的面积． 【答案】(1)AC=，CD=，AD=5 (2)∠ACD=90° (3)13 【分析】（1）根据勾股定理可求； （2）根据勾股定理逆定理可判断； （3）由S四边形ABCD=可求． 【详解】（1）解：根据题意，得： AC=， CD=， AD==5． （2）解：∵AC+CD=+=25=5=AD． ∴∠ACD=90°． （3）解：．S四边形ABCD==8+5=13． 【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握勾股定理与逆定理是解题的关键． 一、单选题 1．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（  ） A．1米 B．米 C．2米 D．3米 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，添加辅助线构建直角三角形是解题的关键． 作，根据勾股定理求得的长，即可解答； 【详解】解：作， 根据题意得米， 由勾股定理可得， ∴米， ∴米， ∴此时木马上升的高度为1米， 故选：A． 2．下面各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（  ） A．，2， B．1，， C．6，12，13 D．7，24，25 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，∴不能够成直角三角形，故本选项符合题意； D、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．下列各组数是勾股数的是（    ） A．8，15，17 B． C． D．2，12，14 【答案】A 【分析】此题考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数．利用勾股数的定义进行分析即可． 【详解】解：A、，是勾股数，符合题意； B、、、不是正整数，不是勾股数，不符合题意； C、不是正整数，不是勾股数，不符合题意； D、，不是勾股数，不符合题意； 故选：A． 4．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形的面积为，由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积为， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… “生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025， 故选：C． 5．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，由勾股定理的逆定理可判断；由三角形的内角和定理可判断，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴， 即， ∴是直角三角形，该选项能判断是直角三角形； 、∵， ∴可设，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，该选项能判断是直角三角形； 、∵，， ∴， 即， ∴， ∴是直角三角形，该选项能判断是直角三角形； 、∵， ∴， ∴不是直角三角形，该选项不能判断是直角三角形； 故选：． 6．如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则的长为（　　） A．6 B． C．11 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出，则可得出答案． 【详解】解：由勾股定理得，， 则， 故选：D． 7．如图，在中，，是边上的高，若，，则的长是（   ） A．3 B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及直角三角形两锐角互余、高的定义、含的直角三角形性质等知识，先由直角三角形两锐角互余得到，在和中，由、含的直角三角形性质求出，数形结合表示出即可得到答案，熟练掌握直角三角形两锐角互余、含的直角三角形性质等知识是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，则， 是边上的高， ， ， ， 在中，，，，则， 在中，，，，则， ， 故选：A． 8．在中，，若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先利用勾股定理求解，再利用三角形的面积公式计算即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 即的面积是． 故选：A 9．如图，正方形的边长为2，面积标记为，以为底边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，面积标记为，按此规律继续作下去，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律,根据数值的变化找出变化规律是关键． 根据等腰直角三角形的性质可得出，写出部分的值，根据数的变化找出变化规律． 【详解】解：在图中标上字母，如图所示．   ∵正方形的边长为2，为等腰直角三角形， ∴，， ∴． 观察，发现规律：，，，，…， ∴． 故选：A． 10．如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】首先证明，过点C作于点H，连接，然后根据三角不等关系得出，即当点C、F、H三点共线时，取得最小值，进而可得当点与重合时，的值最小，最后问题可求解． 【详解】解：如图，∵是等边三角形， ，， ， ∴， ， 又， ， ， ， 过点C作于点H，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 由三角形不等关系可知：，即当点C、F、H三点共线时，取得最小值， 作平分交于N，连接，如图； 要使取得最小值，就要使取得最小值，当点F与点N重合时，即为最小，如图所示， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角不等关系等知识，解题的关键是学会添加辅助线解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 二、填空题 11．三角形的三边长分别为6，8，10，这个三角形的形状是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， 这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 12．如图， 已知，则数轴上点 M表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，是基础题，熟记定理并求出的长是解题的关键，先根据勾股定理列式求出的长，即为的长，再进一步解答即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵， ∴， ∵点A表示的数是， ∴点表示的数是． 故答案为：． 13．已知一个直角三角形的两条边长为5 和12，则第三边长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．由勾股定理求出直角三角形的斜边长，即第三边长即可．不过需要对斜边是否是进行分类讨论． 【详解】解：设第三边长度为， 当是斜边时，由勾股定理得：． 当为直角边时，由勾股定理得：． 综上所述，第三边长为或． 故答案为：或． 14．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，则线段的长度是 ． 【答案】 【分析】如图所示，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于点，可得，在中，根据含的直角三角形的性质，勾股定理定理可得，根据旋转的性质，等腰三角形的判定和性质可证，得到，是直角三角形，由勾股定了即可求解． 【详解】解：如图所示，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于点， ∴，， ∴ ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，掌握旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 15．如图，在中，，，，点，分别是，边上的动点，沿所在直线折叠，使点的对应点始终落在边上，若是直角三角形时，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，分情况讨论：①当时，根据含角的直角三角形的性质和折叠的性质可得出，根据勾股定理可求出，然后结合线段的和差求解即可；②当时，根据含角的直角三角形的性质和折叠的性质可得出，然后结合线段的和差求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴ ①当时， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； ②当时 ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 16．如图所示，已知在中，，，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则的值等于 ． 【答案】 【分析】此题考查勾股定理的应用，根据图形得到，，根据勾股定理推出 即可求解. 【详解】解：由题意，得，， 所以 ， 故答案为：. 17．如图是一块四边形绿地，其中，，，，．这块绿地的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，连接，由勾股定理可得，进而由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，，再根据计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， 故答案为：． 18．如图，在中，D、分别是、的中点，已知，，．则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解二元二次方程组．设，，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方得出，，解方程组可求得、，再利用三角形面积公式结合三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：设，，， 在中，， 在中，， 即， 解得：， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：． 三、解答题 19．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向的B处有一台风中心，该台风中心现在正以的速度沿北偏东方向移动，若在距离台风中心范围内都要受到影响，（结果保留根号） (1)该城市是否会受到这次台风的影响？说明理由． (2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响，理由见解析 (2)小时 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，使问题解决． （1）求是否会受到台风的影响，其实就是求到的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过作于就是所求的线段．在直角三角形中，求出再比较即可． （2）受台风影响时，台风中心移动的距离，应该是为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆截得的上的线段的长即得长，可通过在直角三角形和中，根据勾股定理求得即可求解． 【详解】（1）解：该城市会受到这次台风的影响． 理由是：如图，过作于． 在直角中， ， ， ， ∴该城市会受到这次台风的影响； （2）解：如图以为圆心，为半径作交于、． 则． ∴台风影响该市持续的路程为：． ∴台风影响该市的持续时间小时， ∴台风影响该城市的持续时间有小时． 20．历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的梯形，其中点E是边AB上的点． (1)请用a，b，c分别表示的面积； (2)请你利用等面积法验证勾股定理． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）的面积， 的面积， 的面积， （2）∵四边形ABCD的面积 ， 或四边形的面积的面积的面积的面积 ， ， ∵两种方法求得面积相等 ∴． ∴ 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，三角形的面积的公式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 21．如图，已知中，，，点为上一点，且到，两点的距离相等． (1)用直尺和圆规，作出点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，，求的长度？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，中垂线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握中垂线的基本作图步骤． （1）根据题意，得到点在线段的中垂线上，尺规作出线段的中垂线即可； （2）设，则，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图， ∵点在线段的中垂线上， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， 即， 解得：， ∴． 22．小明在公园里荡秋千．如图，小明坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，在距地面高的处停止并回落，然后在处停止再回落．若、到的水平距离、分别为和，． (1)与全等吗？请说明理由． (2)秋千的起始位置处距地面是多高？ 【答案】(1)与全等，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理的应用以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，再由“”证明即可； （2），，再由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：与全等，理由如下： 由题意可知：，，， ， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）知，， ，， 在中，由勾股定理得：， 由题意可知，，距离地面的高度为， 秋千的起始位置处距地面的距离为：． 23．已知：如图，和都是等腰直角三角形，，点在边上． (1)求证：； (2)求证： 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键； （1）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定证明即可； （2）由（1）可知，则有，然后根据勾股定理可求证． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ， ， 即， 在与中， ， ； （2）证明：∵， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴在中，， ∴ 24．我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题： “问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何？ ”问题大意：如图，在中， 里，里，里， 求 的面积． 请你解决该问题． 【答案】平方里 【分析】本题考查了三角形面积，勾股定理，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点，主要利用了勾股定理进行解答．过点作于，设里，则里，利用勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：如图，过点作于， 设里，则里， 在中，，即， 在中，，即， ， 解得：， 在中，， （平方里）． 25．如图，在中，，，． (1)如图1，求的长； (2)如图2，，与交于点M，点D为边上一点，连接，E是右侧一点，且，，连接、，F是的中点．探究、和之间的数量关系并证明； (3)如图3，动点由点C出发以每秒1个单位的速度在射线上匀速运动，同时动点D也从C出发，在射线上以每秒1个单位的速度匀速运动，设运动时间为t秒（），当点B到直线的距离等于3时，求t的值． 【答案】(1)5； (2)；见解析； (3)或． 【分析】（1）过B作的垂线，垂足是G，在中，设，根据勾股定理得出，进而得出，在中，由勾股定理，即可求解； （2）先证明，进而证明，得出，同理，则，在，，根据勾股定理得出．．即可得出结论； （3）过B作于点D，作于点E，作，与交于点E，则．①当P点在线段上时，证明，根据，建立方程，解方程，即可求解，②当P点在的延长线上时，同理，即可求解． 【详解】（1）解：过作的垂线，垂足是， 在中，， ， ， ， 设， 在中，， ， ， ， ， 在中，； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 同理， ， 在中，， 在中，， ． （3）解：过作于点，作于点，作，与交于点，则， ①当点在线段上时，如图， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， ； ②当点在的延长线上时，如图，则， ， ， ， 综上，当点到直线的距离等于3时，或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解决此题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 直角三角形的性质和判定（II） 课程标准 学习目标 勾股定理及其逆定理 1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理 2 运用勾股定理及其逆定理解决简单的几何问题。 知识点01 勾股定理及其验证 勾股定理:直角三角形两直角边a,b的 ,等于斜边c的平方,即 方法技巧：勾股定理的证明方法很多，可通过对图形的割补、拼接等方法,利用图形面积之间的关系进行证明，也可把直角三角形放在方格中,通过数格子、计算或用求面积的方法证明. 【即学即练1】 下列条件中，不能判断为直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 【即学即练2】 如图，在中，，D为边上的点，将沿折叠，得到，恰好，连接，． (1)设，，求的长； (2)若，，试判断的形状，并说明理由． 知识点02 勾股定理的应用 运用勾股定理求解线段长度问题的“三步法” (1)找直角:找出图中的直角三角形,或作 构造直角三角形. (2)定关系:找出所求线段与直角三角形三边的 . (3)求值:根据勾股定理计算相关线段的 . 【即学即练1】 一架云梯长，按如图所示的方式斜靠在一面墙上，云梯底端离墙的距离为． (1)求此架云梯的顶端到地面的距离； (2)如果云梯的顶端A下滑了到达E处，求它的底部B在水平方向移动的距离的长． 知识点03 勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长a,b.c满足关系,那么这个三角形是直角三角形, 【即学即练1】 如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c． (1)如图1请你用它验证勾股定理． (2)如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ． 题型01 用勾股定理解三角形 【典例1】如图，将两把同样大小的含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一把三角尺的锐角顶点与另一把三角尺的直角顶点重合于点，且另三个锐角顶点，，在同一条直线上．若，则等于（   ） A． B． C．1 D． 【变式1】在中，，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】中，．若边上的高，则底边 ． 【变式3】如图，在中，，，，点P，D分别为、边上的动点，则的最小值为 ． 题型02 勾股定理与网格问题 【典例1】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1，则在网格上的中，边长为有理数的有（   ）    A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【变式1】如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 【变式2】如图在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为（　　） A． B． C． D． 【变式3】利用数形结合的思想，可以比较实数的大小．若在方格纸中构造如图所示的图形（方格纸中每个小方格的边长为1），结合图形可得 ．（填“”“”或“”） 题型03 勾股定理与折叠问题 【典例1】如图，在中，，，点D在边上．将沿折叠，使点C落在点处，连接，则的最小值为 ． 【变式1】如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，现将折叠，使点与点重合，得到折痕，则的面积为 ． 【变式2】如图，折叠，使直角边落在斜边上，点落到点处，已知，，则的长为 ． 【变式3】在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是． (1)如图①，如果点和顶点重合，求的长； (2)如图②，如果点落在的中点处，求的长． 题型04 勾股定理的证明方法 【典例1】2002年国际数学家大会在北京召开，如图①是大会会标，会标中央图案是经过艺术处理的，它标志着中国古代数学的成就．如图②是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（  ） A．三角形内角和定理 B．三角形全等 C．勾股定理 D．轴对称图形 【变式1】如图，对任意符合条件的，绕其锐角顶点逆时针旋转得到，连接，延长、，交于点，易知四边形是一个正方形，它的面积和四边形的面积相等，四边形的面积等于和的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法． 【变式2】现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为、，斜边长为，将它们拼合为如图的形状．    (1)添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾定理，请你将下面的证明过程补充完整： 整个组合图形面积表示，方法一：以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；   方法二：以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ，根据面积相等，直接得等式__________从而证明勾股定理． (2)当，时，求空白部分的面积． 【变式3】材料学习：在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． 灵活运用：如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作直线m于点E，直线m于点 M， (1)材料中的方法体现的数学思想是（   ） A．函数思想    B．分类讨论思想    C．数形结合思想    D．整体思想 (2)试说明 ； (3)若设三边分别为a、b、c．参照以前的学习经验，利用此图证明勾股定理． 题型05 勾股定理的实际应用 【典例1】如图，将一根长为的筷子斜置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 ． 【变式2】如图所示，是一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 【变式3】如图，一个长为15m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为， (1)如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底端也向后滑动吗？请通过计算解答． (2)梯子的顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等吗？若有可能，请求出这个距离，没有可能请说明理由． 【变式4】学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题． 报告 测量风筝的垂直高度． 成员 组长：组员：，， 工具 皮尺等 示意图 方案 先测量水平距离，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长，最后测量放风筝的同学的身高． 数据 米，米，米，． (1)求此时风筝的垂直高度； (2)若站在点A不动，想把风筝沿方向从点F的位置上升18米至点C的位置（即米，点C、点F、点D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内），则还需放出风筝线多少米？ 【变式5】2024年第13号台风“贝碧嘉”于9月16日17时前后经过常州，给当地造成了巨大损失．如图，一棵垂直于地面并且高9米的银杏树被台风折断，树顶A落在离树底部C的6米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 【变式6】如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？ 【变式7】2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从市向西北方向移动到市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，之间相距，A，之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风影响该农场持续时间为，则台风中心的移动速度是多少？ 【变式8】铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于点A，于点B，已知，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，请画出E点位置（要求尺规作图，保留作图痕迹）并求出E站应建在离A站多少千米处？ 题型06 利用勾股定理的逆定理求解 【典例1】下列各组数据，能作为直角三角形三边长的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知：在中，分别是的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D． 【变式2】如图所示，已知，，，则的长为 ． 【变式3】如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．    题型07 勾股定理逆定理的实际应用 【典例1】．如图是一块地，已知，，，，且，求这块地的面积． 【变式1】如图，一块四边形草地，测得，，，，．求该四边形草地的面积． 【变式2】如图，一块四边形草地，测得，，，，．求该四边形草地的面积． 【变式3】为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学校园里现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，．根据你所学过的知识，求四边形的面积． 题型08 勾股定理逆定理的拓展问题 【典例1】定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【变式1】定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 【变式2】在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【变式3】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上． (1)直接写出线段AC、CD、AD的长； (2)求∠ACD的度数； (3)求四边形ABCD的面积． 一、单选题 1．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（  ） A．1米 B．米 C．2米 D．3米 2．下面各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（  ） A．，2， B．1，， C．6，12，13 D．7，24，25 3．下列各组数是勾股数的是（    ） A．8，15，17 B． C． D．2，12，14 4．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 5．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则的长为（　　） A．6 B． C．11 D． 7．如图，在中，，是边上的高，若，，则的长是（   ） A．3 B． C． D．4 8．在中，，若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 9．如图，正方形的边长为2，面积标记为，以为底边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，面积标记为，按此规律继续作下去，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C． D． 二、填空题 11．三角形的三边长分别为6，8，10，这个三角形的形状是 三角形． 12．如图， 已知，则数轴上点 M表示的数为 ． 13．已知一个直角三角形的两条边长为5 和12，则第三边长为 ． 14．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，则线段的长度是 ． 15．如图，在中，，，，点，分别是，边上的动点，沿所在直线折叠，使点的对应点始终落在边上，若是直角三角形时，则的长为 ． 16．如图所示，已知在中，，，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则的值等于 ． 17．如图是一块四边形绿地，其中，，，，．这块绿地的面积为 ． 18．如图，在中，D、分别是、的中点，已知，，．则的面积为 ． 三、解答题 19．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向的B处有一台风中心，该台风中心现在正以的速度沿北偏东方向移动，若在距离台风中心范围内都要受到影响，（结果保留根号） (1)该城市是否会受到这次台风的影响？说明理由． (2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 20．历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的梯形，其中点E是边AB上的点． (1)请用a，b，c分别表示的面积； (2)请你利用等面积法验证勾股定理． 21．如图，已知中，，，点为上一点，且到，两点的距离相等． (1)用直尺和圆规，作出点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，，求的长度？ 22．小明在公园里荡秋千．如图，小明坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，在距地面高的处停止并回落，然后在处停止再回落．若、到的水平距离、分别为和，． (1)与全等吗？请说明理由． (2)秋千的起始位置处距地面是多高？ 23．已知：如图，和都是等腰直角三角形，，点在边上． (1)求证：； (2)求证： 24．我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题： “问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何？ ”问题大意：如图，在中， 里，里，里， 求 的面积． 请你解决该问题． 25．如图，在中，，，． (1)如图1，求的长； (2)如图2，，与交于点M，点D为边上一点，连接，E是右侧一点，且，，连接、，F是的中点．探究、和之间的数量关系并证明； (3)如图3，动点由点C出发以每秒1个单位的速度在射线上匀速运动，同时动点D也从C出发，在射线上以每秒1个单位的速度匀速运动，设运动时间为t秒（），当点B到直线的距离等于3时，求t的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$