第02讲 两条直线垂直（4个知识点+3类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（人教版2024）

第02讲 两条直线垂直 课程标准 学习目标 ①垂直的概念 ②垂线的画法与性质 ③垂线段及其性质 ④点到直线的距离 1. 掌握垂线的定义及其表示，并能够熟练运用垂直进行计算。 2. 掌握垂线的画法并能够利用三角板或量角器画垂线。 3. 掌握垂线段的性质、点到直线的距离并且能够运用性质进行相关的计算。 知识点01 垂直的概念 1. 垂直的概念： 两条直线相交形成的四个角中，有一个角是 时，就说这两条直线 ，其中一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 。若直线a与直线b垂直，表示为 。 由90°得到垂直是判定，由垂直得到90°是性质。 由邻补角与对顶角的性质可知，若相交线形成的角中有一个角是直角，则四个角均是 。 【即学即练1】 1．如图，三条直线相交于点O．CO⊥AB，∠1＝54°，则∠2等于（　　） A．34° B．36° C．54° D．56° 【即学即练2】 2．如图，已知直线AB和CD相交于O点，EO⊥CO，OF平分∠AOE，∠COF＝28°，则∠BOD的大小为（　　） A．27° B．34° C．45° D．62° 知识点02 垂线的画法及其性质 1. 经过一点作已知直线的垂线的画法： （1） 用三角尺画垂线的步骤： ①三直角三角板的一半与已知直线 。 ②沿已知直线平移直角三角形边，使另一边经过 。 ③沿与已知直线不重合的边画 ，这条直线即为已知直线的垂线。 （2） 用量角器画垂线： ①将量角器的0°刻度线与已知直线 。 ②移动量角器使90°刻度线经过 ，并在90°刻度线上标记另一点。 ③用量角器的底边作过已知点与标记点的直线。 2. 垂线的性质： 在同一平面内，过一点 条直线与已知直线垂直。 【即学即练1】 4．过点P向线段AB所在直线引垂线，正确的画法是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 3．如图，在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则直线OA和直线OB重合的理由是（　　） A．两点确定一条直线 B．已知直线的垂线只有一条 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 知识点03 垂线段及其性质 1. 垂线段的概念： 过 一点作已知直线的 ，点到 之间的部分叫做垂线段。 2. 垂线段的性质： 直线外一点连接直线上所有点的连线中， 最短。 【即学即练1】 5．小峰同学家在点P处，他在行走速度相同的情况下，想尽快到达公路边，他选择沿线段PC去公路边，这一选择用到的数学知识是（　　） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 知识点04 点到直线的距离 1. 点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的 长度 是直线外一点到该直线的距离。 【即学即练1】 6．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点A到CD的距离是（　　） A．线段AC的长度 B．线段BC的长度 C．线段CD的长度 D．线段AD的长度 【即学即练2】 7．如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，MC⊥l，若MA＝5cm，MB＝4cm，MC＝2cm，MD＝3cm，则点M到直线l的距离是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 题型01 与垂直有关的计算 【典例1】如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1＝26°，则∠2的度数是（　　） A．26° B．64° C．54° D．74° 【变式1】如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1＝137°，则∠3的度数为（　　） A．37° B．43° C．47° D．53° 【变式2】如图，O是直线AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC，OE⊥OC，则∠DOE的度数为 　 　． 【变式3】如图，直线AB、CD相交于点O，OF⊥CD，垂足为O，且OF平分∠AOE．若∠BOD＝25°，求∠EOF的度数． 【变式4】如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O． （1）若∠AOC＝36°，则∠BOE＝　 　； （2）若∠BOD：∠BOC＝1：5，分别求出∠BOD与∠AOE的度数． 题型02 垂线段及其性质的应用 【典例1】如图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，体育杜老师在测量小明同学的体育成绩时，选取测量线段CD的长度，其依据是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式1】如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（　　） A．两点之间线段最短 B．点到直线的距离 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【变式2】如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是PB，理由　 　． 题型03 点到直线的距离的认识 【典例1】如图，若已知AD⊥BC，则下列说法正确的是（　　） A．点B到AC的垂线段是线段AB B．点C到AB的垂线段是线段AC C．线段AD是点D到BC的垂线段 D．线段BD是点B到AD的垂线段 【变式1】如图，已知AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线的距离的线段有（　　） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 【变式2】直线l上有A、B、C三点，直线l外有一点P，若PA＝2cm，PB＝4cm，PC＝3cm，那么P点到直线l的距离是（　　） A．等于2cm B．小于2cm C．不大于2cm D．大于2cm且小于3cm 【变式3】如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则点C到直线AB的距离等于（　　） A． B． C． D． 1．如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，下列条件中不能说明AB⊥CD的是（　　） A．∠AOC＝90° B．∠AOC＝∠BOC C．∠AOC＝∠BOD D．∠AOC+∠BOD＝180° 2．如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段PN，理由是（　　） A．经过两点有且只有一条直线 B．两点之间的所有连线中线段最短 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3．如图，在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是（　　） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．已知直线的垂线只有一条 4．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠DOB＝43°，∠COE的度数是（　　） A．43° B．137° C．57° D．47° 5．如图CD⊥AB，∠C＝90°，线段AC、BC、CD中最短的是（　　） A．AC B．BC C．CD D．不能确定 6．如图，点P是直线a外的一点，点A，B，C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC．下列关于距离的语句： ①线段PB的长是点P到直线a的距离； ②PA，PB，PC三条线段中，PB最短； ③线段AC的长是点A到直线PC的距离； ④线段PC是点C到直线PA的距离． 其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，点P处安装了一个路灯，能照射范围的水平距离为线段AB，测得PA＝10m，PB＝8m，则点P到直线AB的距离可能为（　　） A．10m B．9m C．8m D．7m 8．若P为直线l外一定点，A为直线l上一点，且PA＝3，d为点P到直线l的距离，则d的取值范围为（　　） A．0＜d＜3 B．0≤d＜3 C．0＜d≤3 D．0≤d≤3 9．如图，点O在直线AB上，OC⊥AB，OE⊥OF，若∠AOE＝45.2°，则∠COF＝（　　） A．45°12′ B．45°20′ C．44°48′ D．44°80′ 10．如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，则下列说法正确的是（　　） A．点C到AB的距离等于4 B．点B到AC的距离等于3 C．点A到直线l2的距离等于4 D．点C到直线l2的距离等于4 11．如图，直线m，n相交于点A，点P是直线m上一点，则点P到直线n的距离是线段 　 　的长度． 12．如图是地球截面图，其中AB，CD分别表示赤道和南回归线，冬至正午时，太阳光直射南回归线（太阳光线MD的延长线经过地心O），此时，太阳光线与地面水平线EF垂直，已知∠MDN＝23°26′，则∠EDN的度数是 　． 13．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝20°时，∠BOD的度数是　 　． 14．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10．点P为边BC上一动点，连接AP，则AP的最小值是 　 　． 15．如果∠1的两条边所在直线与∠2的两条边互相垂直，且∠1是∠2的2倍少30度，则∠1的度数为　 　°． 16．如图，C是河岸AB外一点． （1）过点C修一条与河岸AB平行的绿化带（绿化带用直线l表示），请画图表示； （2）现用水管从河岸AB将水引到C处，问：从河岸AB上的何处开口，才使所用的水管最短？画图表示，并说明设计的理由． 17．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC． （1）若∠AOF＝64°，求∠COE的度数； （2）若∠AOF：∠COE＝3：2，求∠EOF的度数． 18．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O． （1）若∠1＝∠2，求证：ON⊥CD； （2）若∠BOC＝4∠1，求∠AOC，∠MOD的度数． 19．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm． （1）点B到AC的距离是 　 　cm；点A到BC的距离是 　 　cm； （2）画出表示点C到AB的垂线段CD，并求出CD的长； （3）AC 　 　CD（填“＞”“＜”或“＝”），理由是 　 　． 20．定义：从∠α（90°＜α＜180°）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠α分得的两个角中有一个角与∠α互为补角，则称该射线为∠α的“好线”． 如图，点O在直线AB上，OC、OD在直线AB上方，且OC⊥OD，射线OE是∠AOD的“好线”． （1）若∠BOD＝26°，且OE在∠COD内部，则∠COE＝　64　°； （2）若OE恰好平分∠AOC，请求出∠BOD的度数； （3）若OF是∠AOE的平分线，OG是∠BOC的平分线，请画出图形，探究∠EOF与∠DOG的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 两条直线垂直 课程标准 学习目标 ①垂直的概念 ②垂线的画法与性质 ③垂线段及其性质 ④点到直线的距离 1. 掌握垂线的定义及其表示，并能够熟练运用垂直进行计算。 2. 掌握垂线的画法并能够利用三角板或量角器画垂线。 3. 掌握垂线段的性质、点到直线的距离并且能够运用性质进行相关的计算。 知识点01 垂直的概念 1. 垂直的概念： 两条直线相交形成的四个角中，有一个角是 直角 时，就说这两条直线 互相垂直 ，其中一条直线叫做另一条直线的 垂线 ，它们的交点叫做 垂足 。若直线a与直线b垂直，表示为 。 由90°得到垂直是判定，由垂直得到90°是性质。 由邻补角与对顶角的性质可知，若相交线形成的角中有一个角是直角，则四个角均是 直角 。 【即学即练1】 1．如图，三条直线相交于点O．CO⊥AB，∠1＝54°，则∠2等于（　　） A．34° B．36° C．54° D．56° 【分析】根据垂线的定义求出∠3，然后利用对顶角相等解答． 【解答】解：如图所示： ∵CO⊥AB，∠1＝54°， ∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣54°＝36°， ∴∠2＝∠3＝36°． 故选：B． 【即学即练2】 2．如图，已知直线AB和CD相交于O点，EO⊥CO，OF平分∠AOE，∠COF＝28°，则∠BOD的大小为（　　） A．27° B．34° C．45° D．62° 【分析】先根据∠COE是直角，∠COF＝28°，求出∠EOF的度数，再根据OF平分∠AOE求出∠AOF的度数，进而求出∠AOC的度数，根据对顶角相等即可得出结论． 【解答】解：∵∠COE是直角，∠COF＝28°， ∴∠EOF＝90°﹣28°＝62°， ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOF＝∠EOF＝62°， ∴∠AOC＝62°﹣28°＝34°， ∴∠BOD＝∠AOC＝34°． 故选：B． 知识点02 垂线的画法及其性质 1. 经过一点作已知直线的垂线的画法： （1） 用三角尺画垂线的步骤： ①三直角三角板的一半与已知直线 重合 。 ②沿已知直线平移直角三角形边，使另一边经过 已知点 。 ③沿与已知直线不重合的边画 直线 ，这条直线即为已知直线的垂线。 （2） 用量角器画垂线： ①将量角器的0°刻度线与已知直线 重合 。 ②移动量角器使90°刻度线经过 已知点 ，并在90°刻度线上标记另一点。 ③用量角器的底边作过已知点与标记点的直线。 2. 垂线的性质： 在同一平面内，过一点 有且只有1 条直线与已知直线垂直。 【即学即练1】 4．过点P向线段AB所在直线引垂线，正确的画法是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法判断即可． 【解答】解：A选项，没有垂直，故该选项不符合题意； B选项，没有过点P，故该选项不符合题意； C选项，过点P作AB的垂线，垂线是直线，故该选项符合题意； D选项，PO为垂线段，不是直线，故该选项不符合题意； 故选：C． 【即学即练2】 3．如图，在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则直线OA和直线OB重合的理由是（　　） A．两点确定一条直线 B．已知直线的垂线只有一条 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案． 【解答】解：在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 故选：D． 知识点03 垂线段及其性质 1. 垂线段的概念： 过 直线外 一点作已知直线的 垂线 ，点到 垂足 之间的部分叫做垂线段。 2. 垂线段的性质： 直线外一点连接直线上所有点的连线中， 垂线段 最短。 【即学即练1】 5．小峰同学家在点P处，他在行走速度相同的情况下，想尽快到达公路边，他选择沿线段PC去公路边，这一选择用到的数学知识是（　　） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 【分析】由垂线段最短，即可得到答案． 【解答】解：小峰选择沿线段PC去公路边，这一选择用到的数学知识是垂线段最短． 故选：B． 知识点04 点到直线的距离 1. 点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的 长度 是直线外一点到该直线的距离。 【即学即练1】 6．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点A到CD的距离是（　　） A．线段AC的长度 B．线段BC的长度 C．线段CD的长度 D．线段AD的长度 【分析】根据点到直线的距离的定义即可得． 【解答】解：∵CD⊥AB，即AD⊥CD， ∴点A到CD的距离是线段AD的长度， 故选：D． 【即学即练2】 7．如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，MC⊥l，若MA＝5cm，MB＝4cm，MC＝2cm，MD＝3cm，则点M到直线l的距离是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【分析】根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合条件进行解答即可． 【解答】解：如图所示： ∵直线外一点到这条直线的垂线段最短，MC⊥l， ∴点M到直线l的距离是垂线段MC的长度，为2cm， 故选：A． 题型01 与垂直有关的计算 【典例1】如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1＝26°，则∠2的度数是（　　） A．26° B．64° C．54° D．74° 【分析】已知∠1，且∠DOF与∠1是对顶角，可求∠DOF，再利用∠DOF与∠2互余求∠2即可． 【解答】解：∵∠1＝26°，∠DOF与∠1是对顶角， ∴∠DOF＝∠1＝26°， 又∵∠DOF与∠2互余， ∴∠2＝90°﹣∠DOF ＝90°﹣26°＝64°． 故选：B． 【变式1】如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1＝137°，则∠3的度数为（　　） A．37° B．43° C．47° D．53° 【分析】根据邻补角的定义可得∠2＝180°﹣∠1，由垂直的定义可得，∠COD＝90°，再由∠3＝∠COD﹣∠2，计算即可得出答案． 【解答】解：∵∠1＝137°， ∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣137°＝43°， ∵CO⊥DO， ∴∠COD＝90°， ∴∠3＝∠COD﹣∠2＝90°﹣43°＝47°． 故选：C． 【变式2】如图，O是直线AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC，OE⊥OC，则∠DOE的度数为 　20°　． 【分析】先根据∠BOC＝40°，求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义，求出∠DOC的度数，即可得到∠DOE． 【解答】解：∵∠BOC＝40°， ∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°， ∵OD平分∠AOC， ∴∠DOC＝∠AOC＝70°， ∵OE⊥OC， ∴∠DOE＝90°﹣70°＝20°． 故答案为：20°． 【变式3】如图，直线AB、CD相交于点O，OF⊥CD，垂足为O，且OF平分∠AOE．若∠BOD＝25°，求∠EOF的度数． 【分析】根据对顶角相等求出∠AOC的度数，根据垂直求出∠FOA的度数，根据角平分线定义即可求出答案． 【解答】解：∵∠BOD＝25°， ∴∠AOC＝∠BOD＝25°， ∵OF⊥CD， ∴∠COF＝90°， ∴∠AOC+∠AOF＝90°， ∴∠AOF＝90°﹣25°＝65°， ∵OF平分∠AOE， ∴∠EOF＝∠AOF＝65°． 【变式4】如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O． （1）若∠AOC＝36°，则∠BOE＝　54°　； （2）若∠BOD：∠BOC＝1：5，则∠BOD＝　30°　，∠AOE＝　120°　． 【分析】（1）根据垂直定义可得∠COE＝90°，然后再利用平角定义进行计算即可解答； （2）根据已知和平角定义可得∠BOD＝30°，再利用对顶角相等可得∠AOC＝30°，然后再利用（1）的结论∠COE＝90°，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵EO⊥CD， ∴∠COE＝90°． ∵∠AOC＝36°， ∴∠BOE＝180°﹣∠COE﹣∠AOC＝54°． 故答案为：54°； （2）∵∠BOD：∠BOC＝1：5，∠BOD+∠BOC＝180°， ∴． ∴∠AOC＝∠BOD＝30°， ∵∠COE＝90°， ∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝30°+90°＝120°． 故答案为：30°；120°． 题型02 垂线段及其性质的应用 【典例1】如图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，体育杜老师在测量小明同学的体育成绩时，选取测量线段CD的长度，其依据是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】根据垂线段最短解答即可． 【解答】解：由图可知，线段CD的长度是小明的跳远成绩． 故选：A． 【变式1】如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（　　） A．两点之间线段最短 B．点到直线的距离 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答． 【解答】解：要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是：垂线段最短， 故选：D． 【变式2】如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是PB，理由　垂线段最短　． 【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答． 【解答】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短， ∵PB⊥AD， ∴PB最短． 故答案为：垂线段最短． 题型03 点到直线的距离的认识 【典例1】如图，若已知AD⊥BC，则下列说法正确的是（　　） A．点B到AC的垂线段是线段AB B．点C到AB的垂线段是线段AC C．线段AD是点D到BC的垂线段 D．线段BD是点B到AD的垂线段 【分析】根据AB与AC不垂直可对选项A进行判断；根据AC与AB不垂直可对选项B进行判断；根据线段AD是点A到BC的垂线段可对选项C进行判断；根据AD⊥BC可对选项D进行判断，综上所述可得出答案． 【解答】解：∵AB与AC不垂直， ∴点B到AC的垂线段不是线段AB， 故选项A不正确，不符合题意； ∵AC与AB不垂直， ∴点C到AB的垂线段不是线段AC， 故选项B不正确，不符合题意； ∵线段AD是点A到BC的垂线段， ∴选项C不正确，不符合题意； ∵AD⊥BC， ∴线段BD是点B到AD的垂线段， 故选项D正确，符合题意． 故选：D． 【变式1】如图，已知AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线的距离的线段有（　　） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 【分析】点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可判断． 【解答】解：∵AB⊥AC，AD⊥BC， ∴线段AB长是点B到直线AC的距离，线段AC长是点C到直线AB的距离，线段AD长是点A到直线BC的距离，线段BD长是点B到直线AD的距离，线段CD长是点C到直线AD的距离， ∴图中能表示点到直线的距离的线段有5条． 故选：A． 【变式2】直线l上有A、B、C三点，直线l外有一点P，若PA＝2cm，PB＝4cm，PC＝3cm，那么P点到直线l的距离是（　　） A．等于2cm B．小于2cm C．不大于2cm D．大于2cm且小于3cm 【分析】根据点到直线的距离的定义和垂线段最短的性质解答． 【解答】解：∵PA＝2cm，PB＝4cm，PC＝3cm， ∴P点到直线l的距离不大于2cm． 故选：C． 【变式3】如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则点C到直线AB的距离等于（　　） A． B． C． D． 【分析】根据等积法求出点C到直线AB的距离即可． 【解答】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB， ∴， ∴， 即点C到直线AB的距离为，故C正确． 故选：C． 1．如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，下列条件中不能说明AB⊥CD的是（　　） A．∠AOC＝90° B．∠AOC＝∠BOC C．∠AOC＝∠BOD D．∠AOC+∠BOD＝180° 【分析】根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可． 【解答】解：A、∠AOD＝90°可以判定两直线垂直，故此选项不符合题意； B、∠AOC和∠BOC是邻补角，邻补角的和是180°，所以可以得到∠COB＝90°，能判定垂直，故此选项不符合题意； C、∠AOC＝∠BOD是对顶角，对顶角相等，不能判定垂直，故此选项符合题意； D、∠AOC和∠BOD是对顶角，对顶角相等，和又是180°，所以可得到∠AOC＝90°，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段PN，理由是（　　） A．经过两点有且只有一条直线 B．两点之间的所有连线中线段最短 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】根据垂线段最短即可得出答案． 【解答】解：∵PN⊥QM， ∴要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段PN，理由是垂线段最短． 故选：C． 3．如图，在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是（　　） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．已知直线的垂线只有一条 【分析】直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案． 【解答】解：在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 故选：C． 4．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠DOB＝43°，∠COE的度数是（　　） A．43° B．137° C．57° D．47° 【分析】根据垂直定义可得：∠BOE＝90°，然后利用平角定义进行计算，即可解答． 【解答】解：∵OE⊥AB， ∴∠BOE＝90°， ∵∠DOB＝43°， ∴∠COE＝180°﹣∠BOE﹣∠DOB＝47°， 故选：D． 5．如图CD⊥AB，∠C＝90°，线段AC、BC、CD中最短的是（　　） A．AC B．BC C．CD D．不能确定 【分析】根据垂线段最短即可得出结论． 【解答】解：根据垂线段最短可得：CD＜AC，CD＜BC， ∴线段AC、BC、CD中最短的是CD， 故选：C． 6．如图，点P是直线a外的一点，点A，B，C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC．下列关于距离的语句： ①线段PB的长是点P到直线a的距离； ②PA，PB，PC三条线段中，PB最短； ③线段AC的长是点A到直线PC的距离； ④线段PC是点C到直线PA的距离． 其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据点到直线距离的定义及垂线段最短，对题目中给出语句逐一进行判断即可得出答案． 【解答】解：∵PB⊥a， ∴线段PB的长是点P到直线a的距离， 故①正确； 根据垂线段最短得：PA，PB，PC三条线段中，PB最短， 故②正确； ∵AC与PC不垂直， ∴线段AC的长不是点A到直线PC的距离， 故③不正确； ∵PA⊥PC， ∴线段PC的长是点C到直线PA的距离， 故④不正确． 综上所述：正确的是①②，共2个． 故选：B． 7．如图，点P处安装了一个路灯，能照射范围的水平距离为线段AB，测得PA＝10m，PB＝8m，则点P到直线AB的距离可能为（　　） A．10m B．9m C．8m D．7m 【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可得到答案． 【解答】解：∵垂线段最短， ∴点P到直线AB的距离小于8cm， ∴点P到直线AB的距离可能为7cm， 故选：D． 8．若P为直线l外一定点，A为直线l上一点，且PA＝3，d为点P到直线l的距离，则d的取值范围为（　　） A．0＜d＜3 B．0≤d＜3 C．0＜d≤3 D．0≤d≤3 【分析】根据垂线段最短即可求出答案． 【解答】解：由垂线段最短可知：0＜d≤3， 当d＝3时 此时PA⊥l 故选：C． 9．如图，点O在直线AB上，OC⊥AB，OE⊥OF，若∠AOE＝45.2°，则∠COF＝（　　） A．45°12′ B．45°20′ C．44°48′ D．44°80′ 【分析】证明∠AOE＝∠COF即可解决问题． 【解答】解：∵OC⊥AB，OE⊥OF， ∴∠AOE+∠COE＝90°，∠COF+∠COE＝90°， ∴∠COF＝∠AOE＝45.2°＝45°12′， 故选：A． 10．如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，则下列说法正确的是（　　） A．点C到AB的距离等于4 B．点B到AC的距离等于3 C．点A到直线l2的距离等于4 D．点C到直线l2的距离等于4 【分析】根据点到直线的距离的定义逐项判断即可． 【解答】解：∵AB⊥l2于点B，AC⊥l1于点A，AB＝4，BC＝3， ∴点C到直线AB的距离等于3，选项A不符合题意； 点B到AC的距离不等于3，选项B不符合题意； 点A到直线l2的距离等于4，选项C符合题意； 点C到直线l2的距离等于0，选项D不符合题意； 故选：C． 11．如图，直线m，n相交于点A，点P是直线m上一点，则点P到直线n的距离是线段 　PC　的长度． 【分析】根据点到直线距离的定义解答即可． 【解答】解：点P到n的距离是点P到n的垂线， ∴线段PC的长度是点P到n的距离， 故答案为：PC． 12．如图是地球截面图，其中AB，CD分别表示赤道和南回归线，冬至正午时，太阳光直射南回归线（太阳光线MD的延长线经过地心O），此时，太阳光线与地面水平线EF垂直，已知∠MDN＝23°26′，则∠EDN的度数是 　66°34′　． 【分析】根据太阳光线与地面水平线EF垂直可得∠MDE＝90°，再由∠EDN＝90°﹣∠MDE，代入计算即可． 【解答】解：∵太阳光线与地面水平线EF垂直， ∴∠MDE＝90°， ∵∠MDN＝23°26′， ∴∠EDN＝90°﹣∠MDE＝90°﹣23°26′＝66°34， 即∠EDN的度数是66°34′． 故答案为：66°34′． 13．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝20°时，∠BOD的度数是　70°或110　． 【分析】根据题意，分OC、OD在AB同侧和异侧两种情况讨论，并画出图，然后根据OC⊥OD，∠AOC＝20°，计算∠BOD的度数即可． 【解答】解：在直线AB同侧时，如图： ∵OC⊥OD，∠AOC＝20°， ∴∠BOD＝180°﹣90°﹣20°＝70°； 在直线AB异侧时，如图： ∵OC⊥OD，∠AOC＝20°， ∴∠BOD＝180°﹣（90°﹣20°）＝110°， 故答案为：70°或110°． 14．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10．点P为边BC上一动点，连接AP，则AP的最小值是 　　． 【分析】依据垂线段最短，即可得到当AP⊥BC时，AP最短．根据面积法求得垂线段AP的长即可． 【解答】解：如图所示，当AP⊥BC时，AP最短， ∵， ∴， ∴AP的最小值是． 故答案为：． 15．如果∠1的两条边所在直线与∠2的两条边互相垂直，且∠1是∠2的2倍少30度，则∠1的度数为　110或30　°． 【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因∠1是∠2的2倍少30度，利用方程组即可解决问题． 【解答】解：如图1， 根据题意得，， 解得∠1＝∠2＝30°； 如图2， 根据题意得，， 解得， ∴∠1的度数为30°或110°， 故答案为：110或30． 16．如图，C是河岸AB外一点． （1）过点C修一条与河岸AB平行的绿化带（绿化带用直线l表示），请画图表示； （2）现用水管从河岸AB将水引到C处，问：从河岸AB上的何处开口，才使所用的水管最短？画图表示，并说明设计的理由． 【分析】（1）根据平行线的定义画出直线l即可； （2）根据垂线段最短解决问题即可． 【解答】解：（1）如图，过点C画一条平行于AB的直线l，则l为绿化带． （2）如图，过点C作CD⊥AB于点D，从河岸AB上的点D处开口，才能使所用的水管最短． 设计的理由是垂线段最短． 17．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC． （1）若∠AOF＝64°，求∠COE的度数； （2）若∠AOF：∠COE＝3：2，求∠EOF的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义，垂直的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可； （2）根据角平分线的定义，垂直的定义以及图形中角的比例关系进行计算即可． 【解答】解：（1）∵OF平分∠AOC，∠AOF＝64°， ∴∠AOC＝2∠AOF＝128°， ∵OE⊥AB， ∴∠AOE＝90°， ∴∠COE＝128°﹣90°＝38°； （2）由于∠AOF：∠COE＝3：2，可设∠AOF＝3x，∠COE＝2x， ∵OF平分∠AOC， ∴∠AOC＝2∠AOF＝6x， ∴∠EOF＝∠AOC﹣∠AOF﹣∠COE＝6x﹣3x﹣2x＝x， ∵OE⊥AB， ∴∠AOE＝90°＝∠AOF+∠EOF＝3x+x＝4x， ∴x＝22.5°＝∠EOF， 即∠EOF的度数为22.5°． 18．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O． （1）若∠1＝∠2，求证：ON⊥CD； （2）若∠BOC＝4∠1，求∠AOC，∠MOD的度数． 【分析】（1）根据垂直定义可得，∠AOC+∠1＝90°，结合已知∠1＝∠2可得∠CON＝90°，再根据∠CON与∠NOD互补，即可解答； （2）根据∠AOM＝90°，可得∠AOC＝90°﹣∠1，再根据∠AOD+∠AOC＝180°，∠AOD＝4∠1，从而求出∠1的度数，即可求出∠AOC和∠MOD的度数． 【解答】（1）证明：∵OM⊥AB， ∴∠AOM＝90°， ∴∠AOC+∠1＝90°， ∵∠1＝∠2， ∴∠AOC+∠2＝90°，即∠NOC＝90°， ∴∠NOD＝180°﹣∠NOC＝90°． ∴∠NOD的度数为90°； ∴ON⊥CD （2）解：∵OM⊥AB， ∴∠BOM＝90°， ∵∠BOC＝4∠1， ∴∠BOM+∠1＝4∠1，即90°+∠1＝4∠1， 解得∠1＝30°， ∴∠AOC的度数为60°，∠MOD的度数为150°． 19．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm． （1）点B到AC的距离是 　4　cm；点A到BC的距离是 　3　cm； （2）画出表示点C到AB的垂线段CD，并求出CD的长； （3）AC 　＞　CD（填“＞”“＜”或“＝”），理由是 　垂线段最短　． 【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求解； （2）根据几何语言画出对应几何图形，并用面积法求出CD的长即可； （3）利用垂线段最短求解． 【解答】解：（1）由题意得：点B到AC的距离是4cm；点A到BC的距是3cm． 故答案为4，3； （2）如图，CD为所作； ∵， ∴BC⋅AC＝AB⋅CD， ∴4×3＝5CD， ∴； （3）AC＞CD． 理由是垂线段最短； 故答案为：＞，垂线段最短． 20．定义：从∠α（90°＜α＜180°）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠α分得的两个角中有一个角与∠α互为补角，则称该射线为∠α的“好线”． 如图，点O在直线AB上，OC、OD在直线AB上方，且OC⊥OD，射线OE是∠AOD的“好线”． （1）若∠BOD＝26°，且OE在∠COD内部，则∠COE＝　64　°； （2）若OE恰好平分∠AOC，请求出∠BOD的度数； （3）若OF是∠AOE的平分线，OG是∠BOC的平分线，请画出图形，探究∠EOF与∠DOG的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）画出相应的图形，由角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行解答即可； （2）根据平角的定义以及角平分线的定义进行计算即可； （3）分（1）中的两种情况进行解答，分别用∠BOD表示∠EOF，∠DOG，进而答案即可． 【解答】解：（1）如图1，由于射线OE是∠AOD的“好线”， 当∠DOE+∠AOD＝180°时， ∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴∠DOE＝∠BOD＝26°， ∵OC⊥OD， ∴∠COD＝90°， ∴∠COE＝90°﹣26°＝64°， 故答案为：64； （2）若OE恰好平分∠AOC， ∴∠AOE＝∠COE＝∠BOD， ∴∠BOD＝×（180°﹣90°）＝30°； （3）∠EOF＝2∠DOG或∠EOF+∠DOG＝45°，理由如下： 如图2﹣1，由于射线OE是∠AOD的“好线”， 当∠AOE+∠AOD＝180°时， ∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴∠AOE＝∠BOD， ∵OF是∠AOE的平分线， ∴∠EOF＝∠AOE＝∠BOD， ∴OG是∠BOC的平分线， ∴∠BOG＝∠BOC＝×（90°+∠BOD）＝45°+∠BOD， ∴∠DOG＝∠BOG﹣∠BOD＝45°﹣∠BOD， ∴∠EOF+∠DOG＝45°， 如图2﹣2，由于射线OE是∠AOD的“好线”， 当∠AOE+∠AOD＝180°时， ∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴∠DOE＝∠BOD， ∴∠DOG＝∠BOC﹣∠BOD ＝（90°+∠BOD）﹣∠BOD ＝45°﹣∠BOD， ∠EOF＝∠AOE＝×（180°﹣2∠BOD） ＝90°﹣∠BOD， ∴∠EOF＝2∠DOG， 综上所述∠EOF＝2∠DOG或∠EOF+∠DOG＝45°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$