第01讲 两条直线相交（2个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（人教版2024）

第01讲 两条直线相交 课程标准 学习目标 ①邻补角及其性质 ②对顶角及其性质 1. 掌握掌握邻补角与对顶角的定义，能够准确的判断邻补角与对顶角。 2. 掌握邻补角与对顶角的性质，能够熟练的运用性质进行计算。 知识点01 邻补角及其性质 1. 邻补角的概念： 如图：像∠AOC与∠AOD这样，有一条 ，另一边 互为 ，具有这样关系的两个角是 。 2. 邻角的性质： 互为邻补角的两个角之和等于 ，即 。 【即学即练1】 1．下列图形中，∠1与∠2是邻补角的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝140°，则∠AOC的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 知识点02 对顶角及其性质 1. 1．对顶角的概念： 如图：像∠AOC与∠BOD这样，有 ，且一个角的 两边两边均与另一个角的两边互为 ，具有这样关系的 两个角是 。 2. 对顶角的性质： 互为对顶角的两个角 。即 。 【即学即练1】 3．如图，∠1和∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 4．如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝75°，∠1＝25°，则∠2的度数是 　 　°． 题型01 邻补角的认识 【典例1】下面四个图形中，∠1与∠2是邻补角的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列选项中，∠1与∠2互为邻补角的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】图中∠1与∠2互为邻补角的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠1的邻补角是（　　） A．∠BOC B．∠BOC和∠AOF C．∠AOF D．∠BOE和∠AOF 题型02 对顶角的认识 【典例1】下列各图中，∠1，∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列选项中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列图形中∠1与∠2互为对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】直线L1，L2被L3所截所得如图所示的5个角，其中是对顶角的一组是（　　） A．∠3和∠5 B．∠3和∠4 C．∠1和∠5 D．∠1和∠4 题型03 利用邻补角进行计算 【典例1】如图，∠α的度数等于（　　） A．60° B．80° C．100° D．120° 【变式1】如图．已知O是直线AB上一点，∠1＝50°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是（　　） A．25° B．50° C．65° D．70° 【变式2】如图，直线AB、CD相交于点O．∠AOC：∠AOD＝2：3．则∠BOD＝　 　°． 【变式3】如图，直线AB，CD相交于点O，∠2﹣∠1＝15°，∠3＝130°．则∠2的度数是（　　） A．37.5° B．75° C．50° D．65° 题型04 利用对顶角进行计算 【典例1】如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD＝140°，则∠BOC的大小为（　　） A．20° B．40° C．70° D．140° 【变式1】如图，当剪刀口∠AOB增大30°时，则∠COD（　　） A．减少30° B．增加30° C．不变 D．增加60° 【变式2】如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．若∠1＝42°，∠2＝28°，则光的传播方向改变了　 　度． 【变式3】如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC＝70°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE：∠EOD＝3：2，则∠EOD＝　 　． 题型05 邻补角与对顶角的综合计算 【典例1】如图，已知∠1+∠2＝80°，则∠3＝　 　． 【变式1】直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝70°，E为平面上一点，若∠EOD＝30°，则∠BOE＝　 　． 【变式2】两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是（2x﹣10）°和（100﹣x）°，则x＝ 　 　． 【变式3】如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠BOC＝75°，ON将∠AOD分成两个角，且∠AON：∠NOD＝2：3． （1）求∠AON的度数． （2）若OM平分∠BON，则OB是∠COM的平分线吗？判断并说明理由． 【变式4】如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：∠EOC＝3：5，OF平分∠BOE． （1）若∠BOD＝72°，求∠BOE． （2）若∠BOF＝2∠AOE+15°，求∠COF． 1．在如图中，∠1，∠2为对顶角的是（　　） A． B． C． D． 2．下列语句中，正确的是（　　） A．相等的角一定为对顶角 B．不是对顶角的角一定不相等 C．不相等的角一定不是对顶角 D．有公共顶点且和为180°的两个角一定为邻补角 3．如图，直线a，b相交，∠1＝40°，则∠2﹣∠3等于（　　） A．40° B．80° C．100° D．120° 4．如图，直线AB、CD相交于点O，且∠AOC：∠AOD＝1：3，则∠BOD的度数是（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 5．如图，直线DE与BC相交于点O，∠COE与∠AOE互余，∠BOD＝35°，则∠AOE的度数是（　　） A．55° B．45° C．35° D．65° 6．如图，直线AB，CD相交于点O．若∠1＝40°，∠2＝120°，则∠COM的度数为（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 7．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，若∠BOD＝70°，则∠AOE的大小为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 8．如图，当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，AB⊥液面MN于点D，一束光线沿CD射入液面，在点D处发生折射，折射光线为DE，点F为CD的延长线上一点，若入射角∠1＝43°，折射角∠2＝29°，则∠EDF的度数为（　　） A．14° B．16° C．43° D．47° 9．如图所示，是古城墙的一角，要测量墙角∠AOB的度数，但人站在墙外，无法直接测量；甲、乙两名同学提供了间接测量方案： 方案I：①延长AO到C； ②测得∠COB的度数； ③再利用180°﹣∠COB的度数可得∠AOB的度数． 方案II：①延长AO到C、BO到D， ②测得∠COD的度数， ③根据∠AOB＝∠COD即可得到∠AOB的度数． 对于方案I、II，说法正确的是（　　） A．I、II都可行 B．I、II都不可行 C．I可行、II不可行 D．I不可行、II可行 10．如图，直线AB交CD于点O，由点O引射线OG、OE、OF，使∠1＝∠2，∠AOG＝∠FOE，∠BOD＝56°，则∠FOC是（　　） A．28° B．60° C．65° D．56° 11．近年来，新中式风格的装修越来越受到年轻人的喜爱，它不仅具有传统中式装修的古典、雅韵，也自然流露出现代元素的气息，如图是某款式角花的局部示意图，若∠1＝90°，则∠2＝∠1＝90°的依据是　 　． 12．如图所示，如果∠1+∠2＝260°，则∠3的度数为　 　． 13．若∠1和∠2是对顶角，∠2和∠3是邻补角，∠3＝45°，则∠1＝　 　． 14．如图，直线AB与CD相交于点O，∠DOE＝∠BOF＝80°，射线OE平分∠BOF，则∠BOC的度数为 　 　． 15．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC＝74°，∠DOF＝90°，∠BOE＝　 　°，∠EOF＝　 　°． 16．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝40°，OE平分∠AOD，求∠EOD的度数． 请将以下解答过程补充完整： 解：∵O是直线CD上一点 ∴∠COD＝　 　°． ∵∠AOC＝40° ∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝　 　° ∵OE平分∠AOD ∴ 　 　＝　 °． 17．如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE、OF分别是∠BOD、∠AOD的平分线． （1）∠DOE的补角是 　 ； （2）若∠BOD＝62°，求∠AOE和∠DOF的度数． 18．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF＝90°． （1）若∠BOE＝65°，求∠AOF的度数； （2）若∠BOD：∠BOE＝1：2，求∠AOF的度数 19．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC． （1）若∠BOE＝145°，求∠AOC的度数； （2）在图中画OE的反向延长线OF，OF是∠BOD的平分线吗？说明理由； （3）在（2）画得的图形中，与∠BOE互补的角有 　 　个． 20．如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC． （1）图中∠BOD的邻补角为　 　，∠AOE的邻补角为 ； （2）如果∠COD＝25°，那么∠BOE＝　 　， 如果∠COD＝60°，那么∠BOE＝ 　； （3）试猜想∠COD与∠BOE具有怎样的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 两条直线相交 课程标准 学习目标 ①邻补角及其性质 ②对顶角及其性质 1. 掌握掌握邻补角与对顶角的定义，能够准确的判断邻补角与对顶角。 2. 掌握邻补角与对顶角的性质，能够熟练的运用性质进行计算。 知识点01 邻补角及其性质 1. 邻补角的概念： 如图：像∠AOC与∠AOD这样，有一条 公共边 ，另一边 互为 反向延长线 ，具有这样关系的两个角是 邻补角 。 2. 邻角的性质： 互为邻补角的两个角之和等于 180° ，即 邻补角互补 。 【即学即练1】 1．下列图形中，∠1与∠2是邻补角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据邻补角的概念进行判定即可得出答案． 【解答】解：A．因为∠1与∠2是互余的两个角，故A选项不符合题意； B．因为∠1与∠2有公共顶点且两边互为延长线，所以B选项∠1与∠2是对顶角，故B选项不符合题意； C．因为∠1与∠2的和显然是180°，所以∠1与∠2是邻补角，故C选项符合题意； D．因为∠1与∠2不相邻、互补，所以∠1与∠2不是邻补角，故D选项不符合题意； 故选：C． 【即学即练2】 2．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝140°，则∠AOC的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【分析】由邻补角的性质：邻补角互补，即可求解． 【解答】解：∵∠AOD+∠AOC＝180°，∠AOD＝140°， ∴∠AOC＝180°﹣∠AOD＝40°． 故选：A． 知识点02 对顶角及其性质 1. 1．对顶角的概念： 如图：像∠AOC与∠BOD这样，有 公共顶点 ，且一个角的 两边两边均与另一个角的两边互为 反向延长线 ，具有这样关系的 两个角是 对顶角 。 2. 对顶角的性质： 互为对顶角的两个角 相等 。即 对顶角相等 。 【即学即练1】 3．如图，∠1和∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据对顶角的定义可逐项判断求解．对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． 【解答】解：A、∠1和∠2不是对顶角， 故A不符合题意； B、∠1和∠2是邻补角， 故B不符合题意； C、∠1和∠2是对顶角， 故C符合题意； D、∠1和∠2不是对顶角， 故D不符合题意； 故选：C． 【即学即练2】 4．如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝75°，∠1＝25°，则∠2的度数是 　50　°． 【分析】根据对顶角相等可得∠BOD＝∠AOC＝75°，再根据角的和差关系求解． 【解答】解：∵∠AOC＝75°， ∴∠BOD＝∠AOC＝75°， ∵∠1＝25°， ∴∠2＝∠BOD﹣∠1＝75°﹣25°＝50°， 故答案为：50． 题型01 邻补角的认识 【典例1】下面四个图形中，∠1与∠2是邻补角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据邻补角的定义作答即可． 【解答】解：由题意知，C中∠1与∠2是邻补角， 故选：C． 【变式1】下列选项中，∠1与∠2互为邻补角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此即可判断． 【解答】解：∵只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角， ∴只有选项D中的∠1与∠2互为邻补角． 故选：D． 【变式2】图中∠1与∠2互为邻补角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用邻补角定义进行解答即可． 【解答】解：A、∠1与∠2对顶角，故此选项不合题意； B、∠1与∠2是邻补角，故此选项符合题意； C、∠1与∠2不是邻补角，故此选项不合题意； D、∠1与∠2是内错角，故此选项不合题意； 故选：B． 【变式3】如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠1的邻补角是（　　） A．∠BOC B．∠BOC和∠AOF C．∠AOF D．∠BOE和∠AOF 【分析】判断邻补角的关键是互补且相邻．图中因为构成∠1的两边与直线AB和EF有关，故∠1的邻补角有2个． 【解答】解：因为构成∠1的两边与直线AB和EF有关； 从直线AB来看，∠1的邻补角是∠EOB， 从直线EF来看，∠1的邻补角是∠AOF， ∴∠1的邻补角有∠EOB，∠AOF， 故选：D． 题型02 对顶角的认识 【典例1】下列各图中，∠1，∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用对顶角的定义判断即可． 【解答】解：利用对顶角的定义可知，只有图C中∠1与∠2是对顶角， 故选：C． 【变式1】下列选项中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据对顶角的定义进行判断． 【解答】解：由对顶角的定义可知：选项A、B、D中的∠1、∠2都不是两条直线相交形成的角，选项C中的∠1、∠2是两条直线相交形成的角， ∴选项A、B、D不正确， 故选：C． 【变式2】下列图形中∠1与∠2互为对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据对顶角的定义进行判断． 【解答】解：A、B、D中∠1与∠2不是对顶角，C中∠1与∠2互为对顶角． 故选：C． 【变式3】直线L1，L2被L3所截所得如图所示的5个角，其中是对顶角的一组是（　　） A．∠3和∠5 B．∠3和∠4 C．∠1和∠5 D．∠1和∠4 【分析】根据对顶角的定义进行判断即可． 【解答】解：A、∠3与∠5属于是对顶角，故A符合题意； B、∠3与∠4属于是邻补角，故B不符合题意； C、∠1与∠5不是对顶角，故C不符合题意； D、∠1与∠4不属于对顶角，故D不符合题意． 故选：A． 题型03 利用邻补角进行计算 【典例1】如图，∠α的度数等于（　　） A．60° B．80° C．100° D．120° 【分析】根据邻补角之和为180°计算即可． 【解答】解：∠α＝180°﹣120°＝60°， 故选：A． 【变式1】如图．已知O是直线AB上一点，∠1＝50°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是（　　） A．25° B．50° C．65° D．70° 【分析】根据邻补角的性质，可得∠BOC，根据角平分线的性质，可得答案． 【解答】解：由邻补角互补，得∠BOC＝180°﹣∠1＝180°﹣50°＝130°， 由OD平分∠BOC得 ∠2＝∠BOC＝×130°＝65°， 故选：C． 【变式2】如图，直线AB、CD相交于点O．∠AOC：∠AOD＝2：3．则∠BOD＝　72　°． 【分析】设∠AOC＝2x°，∠AOD＝3x°，利用邻补角互补可得2x+3x＝180，解出x可得答案． 【解答】解：设∠AOC＝2x°，∠AOD＝3x°， 2x+3x＝180， 解得：x＝36， ∴∠AOC＝2×36°＝72°， ∵∠BOD与∠AOC互为对顶角， ∴∠BOD＝∠AOC＝72°， 故答案为：72． 【变式3】如图，直线AB，CD相交于点O，∠2﹣∠1＝15°，∠3＝130°．则∠2的度数是（　　） A．37.5° B．75° C．50° D．65° 【分析】根据邻补角互补可得∠1的度数，再根据∠1和∠2的关系可得答案． 【解答】解：∵∠3＝130°， ∴∠1＝180°﹣130°＝50°， ∵∠2﹣∠1＝15°， ∴∠2＝50°+15°＝65°， 故选：D． 题型04 利用对顶角进行计算 【典例1】如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD＝140°，则∠BOC的大小为（　　） A．20° B．40° C．70° D．140° 【分析】根据对顶角相等解答即可． 【解答】解：∵∠AOD＝140°，AB，CD相交于点O， ∴∠BOC＝∠AOD＝140°， 故选：D． 【变式1】如图，当剪刀口∠AOB增大30°时，则∠COD（　　） A．减少30° B．增加30° C．不变 D．增加60° 【分析】根据对顶角相等可得：∠AOB＝∠COD，进而得到∠AOB增大30°时，则∠COD增加30°． 【解答】解：∵∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB增大30°时，则∠COD增加30°． 故选：B． 【变式2】如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．若∠1＝42°，∠2＝28°，则光的传播方向改变了　14　度． 【分析】根据对顶角相等这一性质可解出此题． 【解答】解：设所改变的角为x， 则∠2+x所得的角与∠1互为对顶角， 即∠2+x＝∠1， ∴x＝14°． 故填14°． 【变式3】如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC＝70°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE：∠EOD＝3：2，则∠EOD＝　28°　． 【分析】根据对顶角相等得到∠BOD＝∠AOC＝70°，根据∠BOE：∠EOD＝3：2，设∠BOE＝3x°，∠EOD＝2x°，列方程即可得出答案． 【解答】解：∵直线AB、CD相交于点O， ∴∠BOD＝∠AOC＝70°， ∵∠BOE：∠EOD＝3：2， ∴设∠BOE＝3x°，∠EOD＝2x°， ∴3x+2x＝70， ∴x＝14， ∴∠EOD＝2x＝28°， 故答案为：28°． 题型05 邻补角与对顶角的综合计算 【典例1】如图，已知∠1+∠2＝80°，则∠3＝　140°　． 【分析】根据∠1，∠2互为对顶角，且∠1+∠2＝80°，可求得∠1，∠2的度数，继而根据邻补角的定义求出∠3的度数． 【解答】解：∵∠1，∠2互为对顶角，∠1+∠2＝80°， ∴∠1＝∠2＝40°， ∴∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣40°＝140°． 故答案为：140°． 【变式1】直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝70°，E为平面上一点，若∠EOD＝30°，则∠BOE＝　40°或100°　． 【分析】分两种情况讨论，当OE在OD上方时，根据对顶角相等得出∠BOD的度数，再根据∠BOE＝∠BOD+∠EOD进行计算即可；当OE在OD下方时，根据∠BOE＝∠BOD﹣∠EOD进行计算即可． 【解答】解：如图1，当OE在OD上方时， ∵∠AOC＝70°， ∴∠BOD＝∠AOC＝70°， ∵∠EOD＝30°， ∴∠BOE＝∠BOD+∠EOD＝70°+30°＝100°； 如图2，当OE在OD下方时， ∵∠AOC＝70°， ∴∠BOD＝∠AOC＝70°， ∵∠EOD＝30°， ∴∠BOE＝∠BOD﹣∠EOD＝70°﹣30°＝40°； 综上，∠BOE的度数为40°或100°， 故答案为：40°或100°． 【变式2】两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是（2x﹣10）°和（100﹣x）°，则x＝ 　或90　． 【分析】两条直线相交，形成四个角，其中两个角的关系可为对顶角，也可为补角分情况解答即可． 【解答】解：两条直线相交所成的四个角中，对顶角相等，邻补角互补， 根据题意可得：（2x﹣10）°＝（100﹣x）°或（2x﹣10）°+（100﹣x）°＝180°， 解得：x＝或x＝90， 故答案为：或90． 【变式3】如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠BOC＝75°，ON将∠AOD分成两个角，且∠AON：∠NOD＝2：3． （1）求∠AON的度数． （2）若OM平分∠BON，则OB是∠COM的平分线吗？判断并说明理由． 【分析】（1）设∠AON＝2x，∠NOD＝3x，根据角的倍数关系可得答案； （2）先计算∠BOM的度数，判断∠BOM、∠BOC是否相等，即可说明理由． 【解答】解：（1）∵∠AON：∠NOD＝2：3， 设∠AON＝2x，∠NOD＝3x， ∴∠AOD＝5x， ∵∠BOC＝75°， ∴∠AOD＝5x＝75°， ∴x＝15°， ∴∠AON＝30°； （2）OB是∠COM的平分线，理由如下： ∵∠AON＝30°， ∴∠BON＝180°﹣∠AON＝150°， ∵OM平分∠BON， ∴∠BOM＝75°， ∴∠BOM＝∠BOC， ∴OB是∠COM的角平分线． 【变式4】如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：∠EOC＝3：5，OF平分∠BOE． （1）若∠BOD＝72°，求∠BOE． （2）若∠BOF＝2∠AOE+15°，求∠COF． 【分析】（1）根据对顶角相等，可得∠AOC的度数，根据∠AOE：∠EOC＝3：5，可得∠AOE，根据邻补角，可得答案； （2）根据角平分线的定义，可得∠BOE＝2∠BOF＝4∠AOE+30°，根据邻补角的关系，可得关于∠AOE的方程，求出∠AOE的度数，可得答案． 【解答】解：（1）由对顶角相等，得∠AOC＝∠BOD＝72°， 由OE把∠AOC分成两部分且∠AOE：∠EOC＝3：5，得∠AOE＝∠AOC×＝27°， 由邻补角，得∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣27°＝153°； （2）由OF平分∠BOE，得∠BOE＝2∠BOF＝4∠AOE+30°． 由邻补角，得∠BOE+∠AOE＝180°，即4∠AOE+30°+∠AOE＝180°， 解得∠AOE＝30°． ∴∠EOC＝50°，∠EOF＝∠BOF＝75°， ∴∠COF＝75°﹣50°＝25°． 1．在如图中，∠1，∠2为对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，依次判定即可得出答案． 【解答】解：根据对顶角的定义，只有B选项正确， 故选：B． 2．下列语句中，正确的是（　　） A．相等的角一定为对顶角 B．不是对顶角的角一定不相等 C．不相等的角一定不是对顶角 D．有公共顶点且和为180°的两个角一定为邻补角 【分析】根据对顶角、邻补角的定义及性质逐项判断即可． 【解答】解：A、相等的角不一定为对顶角，原说法错误，故此选项不符合题意； B、不是对顶角的角有可能相等，原说法错误，故此选项不符合题意； C、不相等的角一定不是对顶角，正确，故此选项符合题意； D、有公共顶点且和为180°的两个角不一定为邻补角，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．如图，直线a，b相交，∠1＝40°，则∠2﹣∠3等于（　　） A．40° B．80° C．100° D．120° 【分析】根据题意可得∠1＝∠3＝40°，∠1+∠2＝180°，由此即可求解． 【解答】解：∵∠1＝∠3＝40°，∠1+∠2＝180°， ∴∠2＝180°﹣40°＝140°， ∴∠2﹣∠3＝100°， 故选：C． 4．如图，直线AB、CD相交于点O，且∠AOC：∠AOD＝1：3，则∠BOD的度数是（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 【分析】利用邻补角的性质结合∠AOC：∠AOD＝1：3，求出∠AOC，再利用对顶角相等即可求解． 【解答】解：∵直线AB、CD相交于点O， ∴∠AOC+∠AOD＝180°， ∵∠AOC：∠AOD＝1：3， ∴∠AOD＝3∠AOC， ∴∠AOC+3∠AOC＝180°， ∴∠AOC＝45°， ∴∠BOD＝45°， 故选：A． 5．如图，直线DE与BC相交于点O，∠COE与∠AOE互余，∠BOD＝35°，则∠AOE的度数是（　　） A．55° B．45° C．35° D．65° 【分析】根据对顶角的定义，得∠BOD＝∠COE＝35°．根据互余的定义，得∠AOE＝90°﹣∠COE＝55°． 【解答】解：∵∠BOD和∠COE是对顶角， ∴∠BOD＝∠COE＝35°． ∵∠COE+∠AOE＝90°， ∴∠AOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣35°＝55°． 故选：A． 6．如图，直线AB，CD相交于点O．若∠1＝40°，∠2＝120°，则∠COM的度数为（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 【分析】根据对顶角相等以及图形中角的和差关系进行计算即可． 【解答】解：∵∠2＝∠BOC＝120°，∠1+∠COM＝∠BOC，∠1＝40°， ∴∠COM＝120°﹣40°＝80°． 故选：B． 7．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，若∠BOD＝70°，则∠AOE的大小为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【分析】首先根据对顶角相等得到∠AOC＝∠BOD＝70°，然后由OE平分∠AOC求解即可． 【解答】解：∵∠BOD＝70° ∴∠AOC＝∠BOD＝70° ∵OE平分∠AOC， ∴． 故选：B． 8．如图，当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，AB⊥液面MN于点D，一束光线沿CD射入液面，在点D处发生折射，折射光线为DE，点F为CD的延长线上一点，若入射角∠1＝43°，折射角∠2＝29°，则∠EDF的度数为（　　） A．14° B．16° C．43° D．47° 【分析】根据对顶角相等得出∠BDF＝∠1，进而解答即可． 【解答】解：由对顶角相等得∠BDF＝∠1＝43°， ∵∠2＝29°， ∴∠EDF＝∠BDF﹣∠2＝43°﹣29°＝14°， 故选：A． 9．如图所示，是古城墙的一角，要测量墙角∠AOB的度数，但人站在墙外，无法直接测量；甲、乙两名同学提供了间接测量方案： 方案I：①延长AO到C； ②测得∠COB的度数； ③再利用180°﹣∠COB的度数可得∠AOB的度数． 方案II：①延长AO到C、BO到D， ②测得∠COD的度数， ③根据∠AOB＝∠COD即可得到∠AOB的度数． 对于方案I、II，说法正确的是（　　） A．I、II都可行 B．I、II都不可行 C．I可行、II不可行 D．I不可行、II可行 【分析】由于∠AOC是平角，则∠COB+∠AOB＝180°，可知方案Ⅰ正确； 由于∠AOB与∠COD是对顶角，可得∠AOB＝∠COD，可知方案Ⅱ正确． 【解答】解：∵∠AOC＝180°， ∴∠COB+∠AOB＝180°， ∴∠AOB＝180°﹣∠COB． ∴方案Ⅰ可行； ∵∠AOB与∠COD是对顶角， ∴∠AOB＝∠COD， ∴方案Ⅱ可行． 故选：A． 10．如图，直线AB交CD于点O，由点O引射线OG、OE、OF，使∠1＝∠2，∠AOG＝∠FOE，∠BOD＝56°，则∠FOC是（　　） A．28° B．60° C．65° D．56° 【分析】求出∠FOC＝∠AOC，再根据对顶角相等解答即可． 【解答】解：∵∠1＝∠2，∠AOG＝∠FOE， ∴∠1+∠FOE＝∠2+∠AOG， ∴∠FOC＝∠AOC， ∵∠AOC＝∠BOD，∠BOD＝56°， ∴∠FOC＝56°． 故选：D． 11．近年来，新中式风格的装修越来越受到年轻人的喜爱，它不仅具有传统中式装修的古典、雅韵，也自然流露出现代元素的气息，如图是某款式角花的局部示意图，若∠1＝90°，则∠2＝∠1＝90°的依据是　对顶角相等　． 【分析】根据对顶角的性质回答即可． 【解答】解：由∠1＝90°，则∠2＝∠1＝90°的依据是对顶角相等， 故答案为：对顶角相等． 12．如图所示，如果∠1+∠2＝260°，则∠3的度数为　50°　． 【分析】先根据对顶角线段得到∠1＝∠2＝130°，再由邻补角互补即可得到答案． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠2＝130°， ∴∠3＝180°﹣∠1＝50°， 故答案为：50°． 13．若∠1和∠2是对顶角，∠2和∠3是邻补角，∠3＝45°，则∠1＝　135°　． 【分析】根据互为邻补角的两个角和为180°，用∠2＝180°﹣∠3，又根据对顶角相等可知∠1度数． 【解答】解：根据题意可知，∠2＝∠1＝180°﹣∠3＝180°﹣45°＝135°． 故答案为：135°． 14．如图，直线AB与CD相交于点O，∠DOE＝∠BOF＝80°，射线OE平分∠BOF，则∠BOC的度数为 　60°　． 【分析】因为∠DOE＝∠BOF＝80°，所以先根据角平分线得定义得出∠BOE＝40°，∠BOD＝120°，再根据邻补角即可得出∠BOC． 【解答】解：∵∠DOE＝∠BOF＝80°，OE平分∠BOF， ∴∠BOE＝40°， ∴∠BOD＝120°， ∴∠BOC＝180°﹣∠BOD＝180°﹣120°＝60°． 故答案为：60°． 15．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC＝74°，∠DOF＝90°，∠BOE＝　37　°，∠EOF＝　53　°． 【分析】根据对顶角相等求出∠BOD，根据角平分线的定义求出∠BOE，再根据余角的定义求出∠EOF． 【解答】解：∵∠AOC＝74°， ∴∠BOD＝∠AOC＝74°， ∵OE平分∠BOD， ∴∠BOE＝∠DOE＝∠BOD＝×74°＝37°， ∵∠DOF＝90°， ∴∠EOF＝90°﹣37°＝53°， 故答案为：37；53． 16．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝40°，OE平分∠AOD，求∠EOD的度数． 请将以下解答过程补充完整： 解：∵O是直线CD上一点 ∴∠COD＝　180　°． ∵∠AOC＝40° ∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝　140　° ∵OE平分∠AOD ∴ 　AOD　＝　70　°． 【分析】根据平角的定义，角平分线的定义进行计算即可． 【解答】解：∵O是直线CD上一点， ∴∠COD＝180°， ∵∠AOC＝40°， ∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝140°， ∵OE平分∠AOD ∴AOD＝70°． 故答案为：180，140，AOD，70． 17．如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE、OF分别是∠BOD、∠AOD的平分线． （1）∠DOE的补角是 　∠AOE或∠COE　； （2）若∠BOD＝62°，求∠AOE和∠DOF的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DOE＝∠BOE，再根据补角的定义结合图形找出即可； （2）根据角平分线的定义计算即可求出∠BOE，然后根据补角的和等于180°列式计算即可求出∠AOE，先求出∠AOD，再根据角平分线的定义解答． 【解答】解：（1）∵OE是∠BOD的平分线， 由角平分线的性质可得：∠DOE＝∠BOE， 又∵∠BOE+∠AOE＝180°，∠DOE+∠COE＝180°， ∴∠DOE+∠AOE＝180° ∴∠DOE的补角是∠AOE或∠COE； （2）由题意可得：， ∴∠AOE＝180°﹣31°＝149°， ∵∠BOD＝62°， ∴∠AOD＝180°﹣62°＝118°， ∵OF是∠AOD的平分线， ∴． 18．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF＝90°． （1）若∠BOE＝65°，求∠AOF的度数； （2）若∠BOD：∠BOE＝1：2，求∠AOF的度数 【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠BOC的度数，根据邻补角的性质求出∠AOC的度数，根据余角的概念计算即可； （2）根据角平分线的定义和邻补角的性质计算即可． 【解答】解：（1）∵OE平分∠BOC，∠BOE＝65°， ∴∠BOC＝2∠BOE＝130°， ∴∠AOC＝180°﹣130°＝50° 又∵∠COF＝90° ∴∠AOF＝90°﹣50°＝40°； （2）∵OE平分∠BOC， ∴∠BOD：∠BOE：∠EOC＝1：2：2， ∴∠BOD＝36°， ∴∠AOC＝36° 又∵∠COF＝90°，∴∠AOF＝90°﹣36°＝54°． 19．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC． （1）若∠BOE＝145°，求∠AOC的度数； （2）在图中画OE的反向延长线OF，OF是∠BOD的平分线吗？说明理由； （3）在（2）画得的图形中，与∠BOE互补的角有 　4　个． 【分析】（1）根据补角的定义，得到∠AOE＝35°，再根据角平分线的定义，即得答案； （2）延长EO，即得OE的反向延长线；根据对顶角相等，即可判断答案； （3）因为∠AOE是∠BOE的补角，而∠AOE＝∠COE＝∠BOF＝∠DOF，由此即得答案． 【解答】解：（1）∵∠BOE+∠AOE＝180°， ∴∠AOE＝180°﹣145°＝35°， ∵OE平分∠AOC， ∴∠AOC＝2∠AOE＝70°； （2）如图，OF就是OE的反向延长线； OF是∠BOD的平分线； 理由如下： 由（1）知∠COE＝∠AOE， ∵∠AOE＝∠BOF，∠COE＝∠DOF， ∴∠BOF＝∠DOF， 即OF是∠BOD的平分线； （3）∵∠BOE+∠AOE＝180°， ∴∠AOE是∠BOE的补角， 由（2）可知∠AOE＝∠COE＝∠BOF＝∠DOF， ∴∠AOE，∠COE，∠BOF，∠DOF都是∠BOE的补角， 即与∠BOE互补的角有4个． 故答案为：4． 20．如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC． （1）图中∠BOD的邻补角为　∠AOD　，∠AOE的邻补角为　∠BOE　； （2）如果∠COD＝25°，那么∠BOE＝　65°　， 如果∠COD＝60°，那么∠BOE＝　30°　； （3）试猜想∠COD与∠BOE具有怎样的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）直接利用邻补角的定义分析得出答案； （2）结合角平分线的定义利用已知分别得出各角度数即可； （3）利用角平分线的定义结合平角的定义分析得出答案． 【解答】解：（1）如图所示：∠BOD的邻补角为：∠AOD， ∠AOE的邻补角为：∠BOE； 故答案为：∠AOD，∠BOE； （2）∵∠COD＝25°，∴∠AOC＝2×25°＝50°， ∴∠BOC＝130°， ∴∠BOE＝×130°＝65°， ∵∠COD＝60°， ∴∠AOC＝120°， ∴∠BOC＝60°， ∴∠BOE＝∠BOC＝30°， 故答案为：65°，30°； （3）由题意可得： ∠COD+∠BOE ＝∠AOC+∠BOC ＝（∠AOC+∠BOC） ＝90°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$