第02讲 二次根式的性质（3个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（人教版）

第02讲 二次根式的性质 课程标准 学习目标 ①二次根式的性质 ② ③二次根式的性质 1. 掌握二次根式的非负性，并能够结合绝对值，偶次方等的非负性灵活运用。 2. 掌握二次根式的其他性质，并能够在解决问题时熟练的应用。 知识点01 二次根式的性质 1. 二次根式的性质： 二次根式具有双重非负性，二次根式本身 大于等于 0，被开方数 大于等于 0。 即 ≥ 0， ≥ 0。 考点：几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于0 初中的三大非负数类型：、、 【即学即练1】 1．已知+＝0，则（a﹣b）2的平方根是　±4　． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即 【解答】解：根据题意得a﹣1＝0，且b﹣5＝0， 解得：a＝1，b＝5， 则（a﹣b）2＝16，则平方根是：±4． 故答案为：±4． 【即学即练2】 2．若|a﹣3|+（5+b）2+＝0，求代数式的值． 【分析】首先利用绝对值、平方和二次根式的非负性和已知条件即可得到关于a、b、c的方程组，解方程组即可求得a、b、c的值，然后代入所求代数式中计算即可． 【解答】解：∵|a﹣3|≥0，（5+b）2≥0，≥0， 且|a﹣3|+（5+b）2+＝0， ∴a﹣3＝0，5+b＝0，c+1＝0 ∴a＝3，b＝﹣5，c＝﹣1 ∴＝﹣． 知识点02 的性质 1. 的性质： 一个非负数的算术平方根的平方等于 它本身 。即 a 。 【即学即练1】 3．计算：（1）＝　5　；（2）＝　13　． 【分析】两式利用平方根定义化简即可得到结果． 【解答】解：（1）（）2＝5； （2）（﹣）2＝13． 故答案为：（1）5；（2）13 知识点03 的性质 1. 的性质： 一个数的平方的算术平方根等于 这个数的绝对值 。即 |a| 。再根据a的正负去绝对值符号。 【即学即练1】 4．化简的结果为 　2﹣　． 【分析】根据＝|a|进行化简求值即可． 【解答】解：＝|﹣2|＝2﹣， 故答案为：2﹣． 【即学即练2】 5．若＝1﹣a，则a的取值范围为 　a≤1　． 【分析】根据二次根式的性质可知，开方结果≥0，于是1﹣a≥0，解即可． 【解答】解：∵＝1﹣a， ∴1﹣a≥0， ∴a≤1， 故答案是a≤1． 【即学即练3】 6．已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简＝ 　﹣1　． 【分析】由数轴可得﹣2＜a＜0＜b＜2，|a|＞|b|，即可得a+2＞0，b﹣3＜0，a+b＜0，再根据二次根式的性质化简即可求解． 【解答】解：由题意得﹣2＜a＜0＜b＜2，|a|＞|b|， 则a+2＞0，b﹣3＜0，a+b＜0， ∴原式＝a+2﹣[﹣（b﹣3）]+[﹣（a+b）] ＝a+2+（b﹣3）﹣（a+b） ＝a+2+b﹣3﹣a﹣b ＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【即学即练4】 7．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 　6　． 【分析】先求出54＝32×6n，再根据已知条件得出答案即可． 【解答】解：∵＝， 又∵n是正整数，是整数， ∴n的最小值是6． 故答案为：6． 题型01 二次根式的性质 【典例1】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的性质、立方根的定义进行解题即可． 【解答】解：A、＝2，故该项不正确，不符合题意； B、（﹣）2＝2，故该项不正确，不符合题意； C、＝﹣2．故该项正确，符合题意； D、＝2，故该项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据进行求解即可． 【解答】解；A、计算结果是3，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、计算结果是﹣3，原式计算错误，不符合题意； D、计算结果是3，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2】若2＜a＜3，则＝　2a﹣5　． 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：∵， 又∵2＜a＜3， ∴a﹣2＞0，a﹣3＜0 ∴原式＝|a﹣2|﹣|a﹣3| ＝a﹣2﹣（3﹣a） ＝a﹣2﹣3+a ＝2a﹣5， 故答案为：2a﹣5． 【变式3】若，则＝　　． 【分析】根据被开方数大于等于0可以求出a≥2007，然后去掉绝对值号整理，再两边平方整理即可得解． 【解答】解：根据题意得，a﹣2007≥0， 解得a≥2007， ∴原式可化为：a﹣2006+＝a， 即＝2006， 两边平方得，a﹣2007＝20062， ∴＝． .故答案为：． 题型02 二次根式的非负性 【典例1】如果，则＝　2　． 【分析】根据两个非负数的和是0，即可得到这两个数都等于0，从而得到关于a，b的方程求得a，b的值，进而求得代数式的值． 【解答】解：根据题意得：a﹣2＝0，4﹣b＝0， 解得：a＝2，b＝4， 则＝＝2． 故答案为：2． 【变式1】已知有理数x，y，z满足，那么（x﹣yz）2的平方根为 　±2　． 【分析】根据算术平方根的非负性分别求出x、y、z，根据平方根的概念解答即可． 【解答】解：∵， ∴＝0，＝0，＝0， 解得，x＝0，y＝1，z＝2， 则（x﹣yz）2＝4， ∵4的平方根为±2， ∴（x﹣yz）2的平方根为±2， 故答案为：±2． 【变式2】若，则（b﹣a）2023的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．52023 D．﹣52023 【分析】根据非负数和为0模型，组成方程组解出a、b值，代入所求代数式算出即可． 【解答】解：∵+|2a﹣b+1|＝0， ∴， ∴， ∴（b﹣a）2023＝﹣1． 故选：A． 【变式3】如果a、b为实数，满足+b2﹣12b+36＝0，那么ab的值是　﹣8　． 【分析】由于原式化为：+（b﹣6）2＝0，根据两个非负数的和是0，可以得到两个非负数都是0即可求出a、b的值． 【解答】解：原式化为：+（b﹣6）2＝0． ∴＝0，b﹣6＝0． ∴a＝，b＝6 ∴ab＝×6＝﹣8 【变式4】已知a、b、c是一个三角形的三边长，如果满足，则这个三角形的周长是 　12　． 【分析】根据绝对值、完全平方数和算术平方根的非负性，可求解出a、b、c的值，然后求和即可． 【解答】解：由非负性得：a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0， 解得：a＝3，b＝4，c＝5， ∴三角形的周长为：3+4+5＝12． 故答案为：12． 题型03 利用二次根式的性质化简 【典例1】已知1＜x＜2，则化简的结果是（　　） A．﹣1 B．1 C．2x﹣3 D．3﹣2x 【分析】根据1＜x＜2判定x﹣1＞0，x﹣2＜0是解答本题的关键．先根据1＜x＜2判定x﹣1＞0，x﹣2＜0，然后再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，最后合并同类项即可． 【解答】解：∵1＜x＜2， ∴x﹣1＞0，x﹣2＜0， ∴原式＝x﹣1+x﹣2 ＝2x﹣3． 故选：C． 【变式1】若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．﹣1 B．1 C．3﹣2a D．2a﹣3 【分析】根据二次根式的基本性质，先把二次根式写成绝对值的形式，再用绝对值的性质化简，最后计算． 【解答】解：由图知：1＜a＜2， ∴a﹣2＜0，a﹣1＞0， ∴原式＝2﹣a﹣（a﹣1） ＝2﹣a﹣a+1 ＝3﹣2a． 故选：C． 【变式2】有理数a，b，c在数轴上的位置如图：化简：＝（　　） A．a﹣b﹣2c B．﹣a﹣b C．a+c D．a﹣b 【分析】根据有理数a，b，c在数轴上的位置可得c＜a＜0＜b，且|c|＞|b|＞|a|，进而可得a+c＜0，b﹣c＞0，再根据绝对值、二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：由有理数a，b，c在数轴上的位置可知，c＜a＜0＜b，且|c|＞|b|＞|a|， 所以a+c＜0，b﹣c＞0， 所以原式＝﹣a﹣c﹣b+c＝﹣a﹣b． 故选：B． 【变式3】实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　） A．0 B．﹣2 C．﹣2a D．2b 【分析】根据实数a和b在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案． 【解答】解：由数轴可知﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2， ∴a+1＜0，b+1＞0，a﹣b＜0， ∴ ＝|a+1|+|b+1|﹣|a﹣b| ＝﹣（a+1）+（b+1）﹣（b﹣a） ＝﹣a﹣1+b+1﹣b+a ＝0， 故选：A． 【变式4】若化简﹣|1﹣x|的结果为5﹣2x，则x的取值范围是（　　） A．为任意实数 B．1≤x≤4 C．x≥1 D．x≤4 【分析】根据完全平方公式和＝|a|，把多项式化简为|x﹣4|﹣|1﹣x|，然后根据x的取值范围分别讨论，求出符合题意的x的值即可． 【解答】解：原式＝﹣|1﹣x|＝|x﹣4|﹣|1﹣x|， 当x＜1时， 此时1﹣x＞0，x﹣4＜0， ∴（4﹣x）﹣（1﹣x）＝4﹣x﹣1+x＝3，不符合题意， 当1≤x≤4时， 此时1﹣x≤0，x﹣4≤0， ∴（4﹣x）﹣（x﹣1）＝5﹣2x，符合题意， 当x＞4时， 此时x﹣4＞0，1﹣x＜0， ∴（x﹣4）﹣（x﹣1）＝﹣3，不符合题意， ∴x的取值范围为：1≤x≤4， 故选B． 题型04 利用二次根式的性质求取值范围 【典例1】若，则x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3 【分析】根据题意可知x﹣3≥0，直接解答即可． 【解答】解：∵， 即x﹣3≥0， 解得x≥3， 故选：B． 【变式1】若，则实数a的取值范围是（　　） A．a＜6 B．a≤6 C．a＞6 D．a≥6 【分析】根据二次根式的性质得一次不等式，求解即可． 【解答】解：∵＝|a﹣6|，， ∴6﹣a≥0． ∴a≤6． 故选：B． 【变式2】若，则a的取值范围是 　a≥5　． 【分析】先变形为，再根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴a﹣5≥0， ∴a≥5， 故答案为：a≥5． 【变式3】如果，则a的取值范围是（　　） A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3 【分析】根据二次根式的被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， 3a﹣9≤0， 解得a≤3． 故选：D． 【变式4】若＝3﹣a，则a的取值范围是（　　） A．a≥3 B．a≤3 C．a≤0 D．a＜3 【分析】结合完全平方公式对被开方式子进行变形，然后利用二次根式的性质进行化简，从而结合绝对值的意义作出分析判断． 【解答】解：， ∴a﹣3≤0， ∴a≤3， 故选：B． 题型05 根据二次根式是整数求值 【典例1】如果是一个正整数，那么x可以取到的最小正整数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】首先化简，再确定x的最小正整数的值． 【解答】解：由题意可得， ∵是一个正整数， ∴x可取的最小正整数的值为3， 故选：B． 【变式1】已知是整数，则正整数n的最小值是（　　） A．6 B．5 C．4 D．2 【分析】对进行化简，再根据是整数解决此题． 【解答】解：∵， ∴若是整数，则正整数n的最小值是6． 故选：A． 【变式2】如果是一个正整数，则整数a的最小值是（　　） A．10 B．2 C．﹣4 D．﹣2 【分析】根据是一个正整数，得出，根据a为整数，得出a的最小值为﹣2，最后代入a＝﹣2验证是一个正整数符合题意，得出答案即可． 【解答】解：∵是一个正整数， ∴5+2a≥0， ∴， ∵a为整数， ∴a的最小值为﹣2， 且a＝﹣2时，，故D正确，符合题意． 故选：D． 【变式3】已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 　3　． 【分析】根据n是正整数，是整数，得出13+n是一个完全平方数，最小的完全平方数是16，由此求得n的值． 【解答】解：∵n是正整数，是整数，且n取最小值， ∴13+n＝16． ∴n＝3． 故答案为：3． 1．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用算二次根式的性质与化简、立方根的含义分别判断即可． 【解答】解：（）2＝3，故A不符合题意； ＝7，故B不符合题意； ﹣（）2＝﹣5，故C不符合题意； ＝﹣0.1，故D符合题意． 故选：D． 2．若是整数，则正整数n的最小值是（　　） A．3 B．7 C．9 D．63 【分析】因为是整数，且＝3，则7n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为7． 【解答】解：∵＝3，且是整数； ∴3是整数，即7n是完全平方数； ∴n的最小正整数值为7． 故选：B． 3．点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第一象限或y轴的正半轴 D．第一象限或第二象限 【分析】根据a2≥0判断出的符号即可得到答案． 【解答】解：由条件可知：a2+1≥1， ∴点第一象限， 故选：A． 4．当|a|＝﹣a时，＝（　　） A．a B．﹣a C．3a D．﹣3a 【分析】根据|a|＝﹣a确定a的取值范围，再根据二次根式的性质化简，最后根据绝对值的性质化简即可． 【解答】解：∵|a|＝﹣a， ∴a≤0， ∴ ＝|2a﹣（﹣a）| ＝|2a+a| ＝|3a| ＝﹣3a， 故选：D． 5．若7＜m＜9，则化简的结果是（　　） A．15﹣2m B．2m﹣15 C．5 D．﹣5 【分析】根据7＜m＜9判断出5﹣m＜0，m﹣10＜0，再根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：∵7＜m＜9， ∴5﹣m＜0，m﹣10＜0， ∴ ＝m﹣5+10﹣m ＝5， 故选：C． 6．若，则a的值可以是（　　） A．2 B．3 C．﹣2 D．8 【分析】二次根式的性质有：，据此列不等式求解即可． 【解答】解：∵， ∴a﹣1≤0， ∴a≤1， ∴a的值可以是﹣2． 故选：C． 7．若，则x﹣y的平方根为（　　） A．1 B．±1 C．5 D． 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性得到，解出，即可x﹣y的平方根． 【解答】解：由题可知， ， 解得， ∴x﹣y＝3﹣2＝1， ∴其平方根为±1， 故选：B． 8．若a，b，c为实数，且，则（abc）2024＝（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．±1 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵， ∴a+1＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0， ∴a＝﹣1，b＝1，c＝1， ∴（abc）2024＝（﹣1×1×1）2024＝1． 故选：B． 9．如果一个三角形的三边长分别为3、a、7，则化简后为（　　） A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．15﹣2a 【分析】先根据三角形三边关系得到4＜a＜10，然后根据二次根式的性质化简合并解题即可． 【解答】解：一个三角形的三边长分别为3、a、7， ∴4＜a＜10， ∴a﹣4＞0，a﹣11＜0， ∴， 故选：C． 10．若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（　　） A．4x+2 B．﹣4x﹣2 C．﹣2 D．2 【分析】根据x的取值﹣4≤x≤3以及二次根式的性质，化简绝对值即可得到结果． 【解答】解：∵|x﹣3|+＝7， ∴|x﹣3|+|x+4|＝7， ∴﹣4≤x≤3， ∴2|x+4|﹣ ＝2（x+4）﹣|2x﹣6| ＝2（x+4）﹣（6﹣2x） ＝4x+2， 故选：A． 11．化简：＝　π﹣3　． 【分析】利用二次根式的性质化简即可． 【解答】解：∵3﹣π＜0， ∴原式＝|3﹣π| ＝π﹣3． 故答案为：π﹣3． 12．已知，则a的取值范围是 　a≤2　． 【分析】利用二次根式的性质可得出|2﹣a|＝2﹣a，然后利用绝对值的意义得出2﹣a≥0，即可求解． 【解答】解：∵， ∴， ∴a+|2﹣a|＝2， ∴|2﹣a|＝2﹣a， ∴2﹣a≥0， ∴a≤2， 故答案为：a≤2． 13．若0＜x＜1，化简＝　2x　． 【分析】由，，又0＜x＜1，则有﹣x＞0，通过变形化简原式即可得出最终结果． 【解答】解：原式＝﹣ ＝x+﹣（﹣x）＝2x． 14．若n为整数，且是自然数，则n＝　﹣14或﹣7或﹣2或5　． 【分析】设＝p，再把等式两边同时乘以4，利用平方差公式把等式左边化为两个因式积的形式，列出关于p、n的方程组，求出n的值即可． 【解答】解：∵设＝p（P为非负整数），则n2+9n+30＝p2， ∴4n2+36n+120＝4p2， ∴（2n+9）2+39＝4p2， ∴（2p+2n+9）（2p﹣2n﹣9）＝39， ∴或或或， 解得或或或， ∴n＝﹣14或﹣7或﹣2或5． 故答案为：﹣14或﹣7或﹣2或5． 15．实数a、b满足，则a2+b2的最大值为 　52　． 【分析】根据＝|a|化简变形得：|a﹣2|+|a﹣6|+|b+4|+|b﹣2|＝10，a到2和6的距离之和＝4，b到﹣4和2的距离之和是6，得到2≤a≤6，﹣4≤b≤2，根据|a|最大为6，|b|最大为4即可得出答案． 【解答】解：原式变形为++|b+4|+|b﹣2|＝10， ∴|a﹣2|+|a﹣6|+|b+4|+|b﹣2|＝10， ∴a到2和6的距离之和是4，b到﹣4和2的距离之和是6， ∴2≤a≤6，﹣4≤b≤2， ∴|a|最大为6，|b|最大为4， ∴a2+b2＝62+（﹣4）2＝36+16＝52． 故答案为：52． 16．是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． （1）化简：＝ 　4　，＝ 　π﹣3　． （2）已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简． 【分析】（1）根据，，再去掉绝对值即可； （2）先根据数轴的位置判断a＜0＜1＜b，则1﹣a＞0，1﹣b＜0，再根据二次根式的性质化简，并去掉绝对值即可． 【解答】解：（1）根据题意可知；． 故答案为：4；π﹣3． （2）由数轴可知a＜0＜1＜b，则1﹣a＞0，1﹣b＜0， ∴|a|＝﹣a，|1﹣a|＝1﹣a，|1﹣b|＝﹣（1﹣b）． 原式＝|a|﹣|1﹣a|+|1﹣b| ＝﹣a﹣（1﹣a）﹣（1﹣b） ＝﹣a﹣1+a﹣1+b ＝b﹣2． 17．已知a满足． （1）求a，b的值； （2）如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，请化简． 【分析】（1）根据完全平方式和绝对值的非负性质求出a、b的值即可； （2）利用三角形的三边关系化简即可． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴b＝5，a＝1； （2）∵a、b、c为三角形的三边长， ∴4＜c＜6， ∴5﹣2c＜0，c﹣7＜0， ＝ ＝2c﹣5﹣|c﹣7| ＝2c﹣5+c﹣7 ＝3c﹣12． 18．阅读下面的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a2且，则可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简． 例如：∵， ∴． 请你仿照上例化简下面问题： （1）； （2）． 【分析】（1）仿照阅读材料中的方法求解即可； （2）仿照阅读材料中的方法求解即可． 【解答】解：（1）∵ ＝ ＝， ∴ ＝ ＝； （2）∵ ＝ ＝ ＝， ∴ ＝ ＝． 19．阅读下列材料并解决问题． 当a＞0时，比如a＝3，则|a|＝|3|＝3，此时a的绝对值是它本身； 当a＝0时，|a|＝|0|＝0，此时a的绝对值是零； 当a＜0时，比如a＝﹣3，则|a|＝|﹣3|＝﹣（﹣3）＝3，此时a的绝对值是它的相反数．由此可知：一个数的绝对值要分三种情况讨论，即： ， 在此分析的过程中，主要渗透了数学分类讨论思想． 问题解决： （1）请仿照上述分类讨论的方法，分析二次根式的各种可能； （2）猜想：与|a|的大小关系； （3）当x满足什么条件时，． 【分析】（1）讨论：当a＞0时，直接利用二次根式的性质得到＝a；当a＝0时，利用零的算术平方根的定义得到＝0，当a＜0时，先把变形为，再根据二次根式性质化简； （2）由题中结论和（1）中的结论可得＝|a|； （3）先根据二次根式有意义的条件得1﹣3x≥0，所以＝3x﹣1，则＝1﹣3x，所以只要满足1﹣23x≥0即可． 【解答】解：（1）当a＞0时，＝a； 当a＝0时，＝＝0， 当a＜0时，＝＝﹣a， 即＝； （2）＝|a|； （3）∵有意义， ∴1﹣3x≥0， ∴， ∵， ∴， ∴1﹣3x≥0，解得． 即当x满足时，． 20．阅读下列解题过程 例：若代数式 的值是2，求a的取值范围． 解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3| 当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得 a＝1（舍去）； 当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件； 当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得 a＝3（舍去） 所以，a的取值范围是1≤a≤3 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题 （1）当2≤a≤3时，化简，＝ 　3　． （2）若等式 成立，则a的取值范围是 　3≤a≤7　． （3）若 ，求a的取值． 【分析】（1）根据二次根式的性质即可求出答案； （2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案； （3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案； 【解答】解：（1）∵2≤a≤3， ∴a﹣2≥0，a﹣5≤0， ∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5| ＝a﹣2﹣（a﹣5） ＝3， 故答案为：3； （2）由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4， 当a≤3时，∴3﹣a≥0，a﹣7＜0， ∴原方程化为：3﹣a﹣（a﹣7）＝4， ∴a＝3，符合题意； 当3＜a＜7时， ∴3﹣a＜0，a﹣7＜0， ∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4， ∴4＝4，故3＜a＜7符合题意； 当a≥7时， ∴3﹣a＜0，a﹣7≥0， ∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4， ∴a＝7，符合题意； 综上所述，3≤a≤7， 故答案为：3≤a≤7； （3）原方程可化为：|a+11+|a﹣5|＝8， 当a≤﹣1时，∴a+1≤0，a﹣5＜0， .原方程化为：﹣a﹣1﹣（a﹣5）＝8， ∴a＝﹣2，符合题意； 当﹣1＜a＜5 时， ∴a+1＞0，a﹣5＜0， ∴（a+1）﹣（a﹣5）＝8， .此方程无解，故﹣1＜a＜5 不符合题意； 当a≥5时， ∴a+1＞0，a﹣5≥0， ∴a+1+a﹣5＝8， ∴a＝6，符合题意； 综上所述，a＝﹣2 或a＝6． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次根式的性质 课程标准 学习目标 ①二次根式的性质 ② ③二次根式的性质 1. 掌握二次根式的非负性，并能够结合绝对值，偶次方等的非负性灵活运用。 2. 掌握二次根式的其他性质，并能够在解决问题时熟练的应用。 知识点01 二次根式的性质 1. 二次根式的性质： 二次根式具有双重非负性，二次根式本身 0，被开方数 0。 即 0， 0。 考点：几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于0 初中的三大非负数类型：、、 【即学即练1】 1．已知+＝0，则（a﹣b）2的平方根是 　． 【即学即练2】 2．若|a﹣3|+（5+b）2+＝0，求代数式的值． 知识点02 的性质 1. 的性质： 一个非负数的算术平方根的平方等于 。即 。 【即学即练1】 3．计算：（1）＝　 　；（2）＝　 　． 知识点03 的性质 1. 的性质： 一个数的平方的算术平方根等于 。即 。再根据a的正负去绝对值符号。 【即学即练1】 4．化简的结果为 　 　． 【即学即练2】 5．若＝1﹣a，则a的取值范围为 　 　． 【即学即练3】 6．已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简＝ 　 　． 【即学即练4】 7．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 　 　． 题型01 二次根式的性质 【典例1】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】若2＜a＜3，则＝　 　． 【变式3】若，则＝　 　． 题型02 二次根式的非负性 【典例1】如果，则＝　 　． 【变式1】已知有理数x，y，z满足，那么（x﹣yz）2的平方根为 　 　． 【变式2】若，则（b﹣a）2023的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．52023 D．﹣52023 【变式3】如果a、b为实数，满足+b2﹣12b+36＝0，那么ab的值是　 　． 【变式4】已知a、b、c是一个三角形的三边长，如果满足，则这个三角形的周长是 　 　． 题型03 利用二次根式的性质化简 【典例1】已知1＜x＜2，则化简的结果是（　　） A．﹣1 B．1 C．2x﹣3 D．3﹣2x 【变式1】若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．﹣1 B．1 C．3﹣2a D．2a﹣3 【变式2】有理数a，b，c在数轴上的位置如图：化简：＝（　　） A．a﹣b﹣2c B．﹣a﹣b C．a+c D．a﹣b 【变式3】实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　） A．0 B．﹣2 C．﹣2a D．2b 【变式4】若化简﹣|1﹣x|的结果为5﹣2x，则x的取值范围是（　　） A．为任意实数 B．1≤x≤4 C．x≥1 D．x≤4 题型04 利用二次根式的性质求取值范围 【典例1】若，则x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3 【变式1】若，则实数a的取值范围是（　　） A．a＜6 B．a≤6 C．a＞6 D．a≥6 【变式2】若，则a的取值范围是 　 　． 【变式3】如果，则a的取值范围是（　　） A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3 【变式4】若＝3﹣a，则a的取值范围是（　　） A．a≥3 B．a≤3 C．a≤0 D．a＜3 题型05 根据二次根式是整数求值 【典例1】如果是一个正整数，那么x可以取到的最小正整数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】已知是整数，则正整数n的最小值是（　　） A．6 B．5 C．4 D．2 【变式2】如果是一个正整数，则整数a的最小值是（　　） A．10 B．2 C．﹣4 D．﹣2 【变式3】已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 　 　． 1．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．若是整数，则正整数n的最小值是（　　） A．3 B．7 C．9 D．63 3．点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第一象限或y轴的正半轴 D．第一象限或第二象限 4．当|a|＝﹣a时，＝（　　） A．a B．﹣a C．3a D．﹣3a 5．若7＜m＜9，则化简的结果是（　　） A．15﹣2m B．2m﹣15 C．5 D．﹣5 6．若，则a的值可以是（　　） A．2 B．3 C．﹣2 D．8 7．若，则x﹣y的平方根为（　　） A．1 B．±1 C．5 D． 8．若a，b，c为实数，且，则（abc）2024＝（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．±1 9．如果一个三角形的三边长分别为3、a、7，则化简后为（　　） A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．15﹣2a 10．若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（　　） A．4x+2 B．﹣4x﹣2 C．﹣2 D．2 11．化简：＝　 　． 12．已知，则a的取值范围是 　 　． 13．若0＜x＜1，化简＝　 　． 14．若n为整数，且是自然数，则n＝　 　． 15．实数a、b满足，则a2+b2的最大值为 　 　． 16．是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题． （1）化简：＝ 　 　，＝ 　 　． （2）已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简． 17．已知a满足． （1）求a，b的值； （2）如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，请化简． 18．阅读下面的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a2且，则可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简． 例如：∵， ∴． 请你仿照上例化简下面问题： （1）； （2）． 19．阅读下列材料并解决问题． 当a＞0时，比如a＝3，则|a|＝|3|＝3，此时a的绝对值是它本身； 当a＝0时，|a|＝|0|＝0，此时a的绝对值是零； 当a＜0时，比如a＝﹣3，则|a|＝|﹣3|＝﹣（﹣3）＝3，此时a的绝对值是它的相反数．由此可知：一个数的绝对值要分三种情况讨论，即： ， 在此分析的过程中，主要渗透了数学分类讨论思想． 问题解决： （1）请仿照上述分类讨论的方法，分析二次根式的各种可能； （2）猜想：与|a|的大小关系； （3）当x满足什么条件时，． 20．阅读下列解题过程 例：若代数式 的值是2，求a的取值范围． 解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3| 当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得 a＝1（舍去）； 当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件； 当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得 a＝3（舍去） 所以，a的取值范围是1≤a≤3 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题 （1）当2≤a≤3时，化简，＝ 　 　． （2）若等式 成立，则a的取值范围是 　 　． （3）若 ，求a的取值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$