16.1 二次根式的计算 讲义 2023-2024学年人教版数学八年下册

第11讲 二次根式的计算 知识点一：二次根式的乘法法则 与积的算术平方根可互相转化： 例1．计算的值为　　． 【解答】解：原式．故答案为：． 【变式1】计算的结果是　　 A． B． C． D． 【解答】解：．故选：． 【变式2】下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：、，故此选项错误；、，故此选项错误； 、，正确；、，故此选项错误；故选：． 例2．已知，其中，则满足的条件是　　 A． B． C．必须等于零 D．不能确定 【解答】解：要使和有意义，，，，，故选：． 【变式3】下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：、，故此选项错误；、，无法化简，故此选项错误； 、，故此选项错误；、，正确．故选：． 【变式4】若等式成立，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：等式成立，，解得：．故选：． 【变式5】　10　． 【解答】解：方法一：． 方法二：．故答案为10． 知识点二：二次根式的除法法则 与商的算术平方根可互相转化： 例3．计算：的结果是　6　． 【解答】解：．故答案为：6． 【变式6】计算：　　． 【解答】解：原式，故答案为：． 【变式7】计算： 【解答】解：原式， 【变式8】计算的结果是　　． 【解答】解：．故答案为：． 【变式9】等式成立的条件是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知：，解得：，故选：． 【变式10】若，则的取值范围是　　． 【解答】解：， ，解得，故答案为：． 知识点三：最简二次根式 ①被开方数不含分母 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 例4．把化成最简二次根式的结果是　　． 【解答】解：．故答案为：． 【变式11】下列二次根式中，是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：、，所以不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 、不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 、是最简二次根式，故本选项符合题意； 、，所以不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：． 【变式12】分母有理化：　　． 【解答】解：，故答案为：． 【变式13】把下列各式化简成最简二次根式． （1）　　； （2）　 　； （3）　 　； （4）　 　． 【解答】解：（1）原式；（2）原式； （3）原式；（4）原式； 故答案为，；；． 知识点四：同类二次根式 被开方数相同的两个最简二次根式． 例5．与最简二次根式是同类二次根式，则　3　． 【解答】解：， 与最简二次根式是同类二次根式， ，解得：，故答案为：3． 【变式14】若与最简二次根式是同类二次根式，则实数的值是　　． 【解答】解： 由题意得，，解得：，故答案为． 【变式15】若最简二次根式与可以合并，则　4　． 【解答】解：由题意得：，解得：，故答案为：4． 【变式16】若最简二次根式与能合并，则　4　． 【解答】解：由题意得：，解得：，故答案为：4． 【变式17】下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？ （1），； （2），，； （3），； （4），，； （5），，． 【解答】解：（1），，所以、是同类二次根式； （2），，，所以、、是同类二次根式； （3），，所以、不是同类二次根式； （4），，，所以、、是同类二次根式； （5），，，所以、、是同类二次根式． 知识点五：二次根式的加减法 先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式． 例6．计算：． 【解答】解：原式． 【变式18】计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式； （2）原式． 【变式19】解答下列各题： （1）计算：； （2）． 【解答】解：（1）； （2）． 知识点六：二次根式的混合运算 有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用． 例7．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式． （2）原式． 【变式20】计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式； （2）原式． 例8．先化简，再求值：已知，，求的值． 【解答】解：， 当，时，原式． 【变式21】已知：，求代数式的值． 【解答】解：， ，，，， 原式． 【基础巩固】 1．下列计算正确　　 A． B． C． D． 【解答】解：、，故本选项正确；、，故本选项错误； 、，故本选项错误；、，故本选项错误； 故选：． 2．在根式、、、、中，最简二次根式有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：根式、、、、中，最简二次根式有、、，共3个， 故选：． 3．已知长方形的面积为12，其中一边长为，则另一边长为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意得：， 故选：． 4．对于二次根式的性质中，关于、的取值正确的说法是　　 A．， B．， C．， D．， 【解答】解：对于二次根式的性质中，关于、的取值正确的说法是，， 故选：． 5．化简，小燕、小娟的解法如下： 小燕：；小娟：． 对于两位同学的解法，正确的判断是　　 A．小燕、小娟的解法都正确 B．小燕的解法正确，小娟的解法不正确 C．小燕、小娟的解法都不正确 D．小娟的解法正确，小燕的解法不正确 【解答】解：小燕是先用商的二次根式法则计算，再有理化分母，小娟是用分数的性质把分母化成一个完全平方数，再运用商的二次根式法则计算的，两个计算都正确， 故选：． 6．计算的结果是　　． 【解答】解：原式．故答案为：． 7．计算：　2　，　　，　　，　　，　　，　　，　　，　　． 【解答】解：，，，，， ，，， 故答案为：2；3；12；；；；； 8．计算： 【解答】解：原式； 【能力提升】 9．若，，则、两数的关系是　　 A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数 【解答】解：化简得：，， 则与互为相反数， 故选：． 10．下列结论中正确的是　　 A．是的有理化因式 B．不是最简二次根式 C．的绝对值是 D．的倒数是 【解答】解：、是的有理化因式，故此选项错误； 、，是最简二次根式，故此选项错误； 、的绝对值是，故此选项错误； 、的倒数是，故此选项正确； 故选：． 11．当　且　时，在实数范围内有意义． 【解答】解：当且，即且时，在实数范围内有意义，故答案为：且． 12．计算：． 【解答】解：原式． 【拓展探究】 13．阅读下面计算过程： ；； ． 求：（1）的值． （2）为正整数）的值． （3）的值． 【解答】解：（1）； （2）； （3）． 学科网（北京）股份有限公司 $$