第01讲 二次根式的概念（2个知识点+3类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（人教版）

第01讲 二次根式的概念 课程标准 学习目标 ①二次根式的定义 ②二次根式有、无意义的条件 1. 掌握二次根式的定义，能够熟练的判断二次根式。 2. 掌握二次根式有无意义的条件，并能够根据二次根式有无意义的条件熟练的求字母的范围。 知识点01 二次根式的定义 1. 二次根式的定义： 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式。其中叫做 ，叫做 。被开方数可以是数，也可以是式子。但必须是非负数。 判断一个式子是不是二次根式需判断是不是含有二次根号以及被开方数是否大于等于0。两者必须同时满足。 【即学即练1】 1．在式子、、（a＜﹣3）、（y＞0）、（x＜0）中，是二次根式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点02 二次根式有无意义的条件 1．二次根式有无意义的条件： 二次根式有意义必须满足二次根式的被开方数 0。即中， 。 二次根式无意义的条件是被开方数 0，及中， 。 注意：当二次根式存在在分母的位置时，被开方数只能大于零。 【即学即练1】 2．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2 【即学即练2】 3．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x≥2 且x≠3 C．x＜2 且x≠3 D．x≤2 【即学即练3】 4．已知，则xy＝　 　． 题型01 判断二次根式 【典例1】下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列各式是二次根式的有（　　） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2】下列各式中，一定是二次根式的个数为（　　） ，，，，，（a≥0），（a＜） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式3】在式子中，二次根式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型02 根据二次根式有无意义的条件求范围 【典例1】若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞ B．x C．x＞2 D．x≥2 【变式1】若二次根式有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】式子有意义的条件是 　x＞2　． 【变式3】若有意义，则x的取值范围是　x≥0且x≠3　． 【变式4】如果是二次根式，则x的取值范围是（　　） A．x≠﹣5 B．x＞﹣5 C．x＜﹣5 D．x≤﹣5 题型03 根据二次根式有无意义的条件求值 【典例1】若式子是二次根式，则a的值不可以是（　　） A．0 B．﹣2 C．2 D．4 【变式1】若y＝+4，则x2+y2的算术平方根是 　 　． 【变式2】已知a，b为实数，且满足+＝b﹣2，则的值为 　 　 【变式3】已知y＝+﹣3，则2xy的值为 　 　． 【变式4】实数a，b满足（2a+b）2+＝0，那么a＝　 　，b＝　 　． 【变式5】已知有意义，则在平面直角坐标系中，点P（m，n）位于第 　 　象限． 1．下列各式中，二次根式是（　　） A． B． C． D． 2．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞5 D．x≥﹣2且x≠5 3．在式子，，，，中，是二次根式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．若代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥﹣6 B．x＞﹣6 C．x≤﹣6 D．x≤6 5．当a＝﹣6时，二次根式的值为（　　） A． B．3 C．± D．±3 6．设x、y为实数，且，则|x+y|的值是（　　） A．2 B．14 C．19 D．22 7．，则x的值可以是（　　） A．3 B．﹣2 C．2 D．﹣3 8．已知实数a满足，那么a﹣20242的值是（　　） A．2023 B．﹣2023 C．2024 D．﹣2024 9．如果有意义，那么代数式的值为（　　） A．±8 B．8 C．﹣8 D．无法确定 10．已知a，b，c满足，则a+b﹣c的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 11．式子有意义，x的取值范围是 　 　． 12．已知，则2x+3y的算术平方根是 　 　． 13．若式子有意义，则x的取值范围是　 　． 14．已知点P的坐标是（，m），则点P关于x轴对称的点在第 　 　象限． 15．无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围为 　 　． 16．已知实数a满足等式． （1）a的取值范围是　 　； （2）小明求出a﹣20242的值为2024，他的答案正确吗？为什么？ 17．先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题， 若和在实数范围内都有意义，求x的值． 解：∵和在实数范围内都有意义， ∴x﹣1≥0且1﹣x≥0． 由1﹣x≥0得：x﹣1≤0 ∴x﹣1＝0， ∴x＝1． 问题，若实数x，y满足，求的值． 18．先阅读，后回答问题：x为何值时，有意义？ 解：要使该二次根式有意义，需x（x﹣3）≥0，由乘法法则得或． 解得x≥3或x≤0． ∴当x≥3或x≤0，有意义． 体会解题思想后，请你解答：x为何值时，有意义？ 19．已知x，y为实数，且． （1）确定x、y的值； （2）求代数式（2x﹣y）（x+y）﹣（x+y）（x﹣y）的值． 20．【课本再现】 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为；0的算术平方根是0，即．所以被开方数a为非负数． 【探究新知】 （1）若，则a的取值范围是 　 　． 【知识应用】 （2）若，求（a+b）2024的值． 【拓展应用】 （3）若，求a﹣20232的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二次根式的概念 课程标准 学习目标 ①二次根式的定义 ②二次根式有、无意义的条件 1. 掌握二次根式的定义，能够熟练的判断二次根式。 2. 掌握二次根式有无意义的条件，并能够根据二次根式有无意义的条件熟练的求字母的范围。 知识点01 二次根式的定义 1. 二次根式的定义： 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式。其中叫做 二次根号 ，叫做 被开方数 。被开方数可以是数，也可以是式子。但必须是非负数。 判断一个式子是不是二次根式需判断是不是含有二次根号以及被开方数是否大于等于0。两者必须同时满足。 【即学即练1】 1．在式子、、（a＜﹣3）、（y＞0）、（x＜0）中，是二次根式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式可得答案． 【解答】解：、、（y＞0）、（x＜0）都是二次根式； 当a＜﹣3时，a+1＜0，则无意义． 故选：C． 知识点02 二次根式有无意义的条件 1．二次根式有无意义的条件： 二次根式有意义必须满足二次根式的被开方数 大于等于 0。即中， 。 二次根式无意义的条件是被开方数 小于 0，及中， 。 注意：当二次根式存在在分母的位置时，被开方数只能大于零。 【即学即练1】 2．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2 【分析】直接根据二次根式有意义的条件作答即可． 【解答】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴2x﹣4≥0． 解得x≥2． 故选：C． 【即学即练2】 3．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x≥2 且x≠3 C．x＜2 且x≠3 D．x≤2 【分析】根据被开方数是非负数，分母不能为零，可得答案． 【解答】解：由题意得 x﹣2≥0，且x﹣3≠0， 解得x≥2且x≠3， 故选：B． 【即学即练3】 4．已知，则xy＝　6　． 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而得出y的值，再求出xy的值即可． 【解答】解：∵式子与在实数范围内有意义， ∴，解得x＝2， ∴y＝3， ∴xy＝2×3＝6． 故答案为：6． 题型01 判断二次根式 【典例1】下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用二次根式的定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式进行判断即可． 【解答】解：∵x2≥0， ∴x2+2≥2， ∴一定是二次根式， 而、和中的被开方数均不能保证大于等于0，故不一定是二次根式， 故选：C． 【变式1】下列各式是二次根式的有（　　） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据形如（a≥0）的式子是二次根式，可得答案． 【解答】解：二次根式有（1），（3）， 故选：C． 【变式2】下列各式中，一定是二次根式的个数为（　　） ，，，，，（a≥0），（a＜） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据二次根式的定义即可作出判断． 【解答】解：一定是二次根式； 当m＜0时，不是二次根式； 对于任意的数x，x2+1＞0，则一定是二次根式； 是三次方根，不是二次根式； ﹣m2﹣1＜0，则不是二次根式； 是二次根式； 当a＜时，2a+1可能小于0，不是二次根式． 故选：A． 【变式3】在式子中，二次根式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据二次根式的定义对各数分析判断即可得解． 【解答】解：根据二次根式的定义，y＝﹣2时，y+1＝﹣2+1＝﹣1＜0，无意义，故不符合题意；是三次根式，不符合题意；x+y是整式，不符合题意； 所以二次根式有（x＞0），，（x＜0），，共4个． 故选：C． 题型02 根据二次根式有无意义的条件求范围 【典例1】若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞ B．x C．x＞2 D．x≥2 【分析】二次根式的基本性质：有意义，则a≥0． 【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴2x﹣1≥0， 解得x． 故选：B． 【变式1】若二次根式有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出x的取值范围，判断即可． 【解答】解：由题意得：x﹣1≥0， 解得：x≥1， 则x的取值范围在数轴上表示正确的是选项C， 故选：C． 【变式2】式子有意义的条件是 　x＞2　． 【分析】根据二次根式（a≥0），以及分母不能为0，可得x﹣5＞0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得，x﹣2＞0， 解得x＞2， 故答案为：x＞2． 【变式3】若有意义，则x的取值范围是　x≥0且x≠3　． 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，x≥0且x﹣3≠0， 解得x≥0且x≠3． 故答案为：x≥0且x≠3． 【变式4】如果是二次根式，则x的取值范围是（　　） A．x≠﹣5 B．x＞﹣5 C．x＜﹣5 D．x≤﹣5 【分析】根据二次根式的性质，被开方数≥0可知． 【解答】解：是二次根式，则根据二次根式的意义必有≥0且x+5≠0，解得x＜﹣5． 故选：C． 题型03 根据二次根式有无意义的条件求值 【典例1】若式子是二次根式，则a的值不可以是（　　） A．0 B．﹣2 C．2 D．4 【分析】根据二次根式的定义得出a≥0，再得出选项即可． 【解答】解：∵式子是二次根式， ∴a≥0， 即只有选项B符合，选项A、选项C、选项D都不符合， 故选：B． 【变式1】若y＝+4，则x2+y2的算术平方根是 　5　． 【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y，然后代入代数式求值，再根据算术平方根的定义解答． 【解答】解：根据题意得，3﹣x≥0且x﹣3≥0， 解得x≤3且x≥3， 所以，x＝3， y＝4， 所以，x2+y2＝32+42＝25， ∵25的算术平方根是5， ∴x2+y2的算术平方根是5． 故答案为：5． 【变式2】已知a，b为实数，且满足+＝b﹣2，则的值为 　4　 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a，b的值，进而得出答案． 【解答】解：∵a，b为实数，且满足+＝b﹣2， ∴a＝8，b＝2， 则＝＝4． 故答案为：4． 【变式3】已知y＝+﹣3，则2xy的值为 　﹣15　． 【分析】根据非负数的性质列式求出x的值，再求出y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，2x﹣5≥0且5﹣2x≥0， 解得x≥且x≤， 所以，x＝， y＝﹣3， 所以，2xy＝2××（﹣3）＝﹣15． 故答案为：﹣15． 【变式4】实数a，b满足（2a+b）2+＝0，那么a＝　﹣4　，b＝　8　． 【分析】由于平方、绝对值及二次根式都具有非负性，根据非负数的性质，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0，得出关于a、b的方程组，再根据二次根式的性质和分式的意义，确定a的取值范围，从而求出a、b的值． 【解答】解：由题意，得， 解得． 故a＝﹣4，b＝8． 【变式5】已知有意义，则在平面直角坐标系中，点P（m，n）位于第 　三　象限． 【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数是非负数）、分式有意义的条件（分母不为零）求得m、n的符号，然后确定点P所在的位置． 【解答】解：根据题意，得 ， 解得，， 则点P（m，n）位于第三象限； 故答案为：三． 1．下列各式中，二次根式是（　　） A． B． C． D． 【分析】形如（a≥0）的式子叫做二次根式，由此判断即可． 【解答】解：A、被开方数为﹣2，没有意义，故此选项不符合题意； B、中根指数是3，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、中a2+1＞0，是二次根式，故此选项符合题意； D、中x﹣1不确定正负，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞5 D．x≥﹣2且x≠5 【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案． 【解答】解：由题意得：x+2≥0且x﹣5≠0， 解得：x≥﹣2且x≠5， 故选：D． 3．在式子，，，，中，是二次根式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，进而得出答案． 【解答】解：，，是二次根式，共3个． 故选：B． 4．若代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥﹣6 B．x＞﹣6 C．x≤﹣6 D．x≤6 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：6+x＞0， 解得：x＞﹣6， 故选：B． 5．当a＝﹣6时，二次根式的值为（　　） A． B．3 C．± D．±3 【分析】把a＝﹣6代入二次根式，即可解决问题． 【解答】解：当a＝﹣6时， 二次根式＝＝＝3． 故选：B． 6．设x、y为实数，且，则|x+y|的值是（　　） A．2 B．14 C．19 D．22 【分析】根据算术平方根的非负性求出x的值，进而求出y的值，然后代值计算即可． 【解答】解：根据题意得：， 解得x＝8， 把x＝8代入， 解得y＝6， ∴|x+y|＝|8+6|＝14． 故选：B． 7．，则x的值可以是（　　） A．3 B．﹣2 C．2 D．﹣3 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列不等式组，求解得到x的取值范围，进而完成解答． 【解答】解：由题意可得： ， 解得2＜x≤4， 则选项A符合题意． 故选：A． 8．已知实数a满足，那么a﹣20242的值是（　　） A．2023 B．﹣2023 C．2024 D．﹣2024 【分析】根据被开方数大于等于0列式求出a的取值范围，再去掉绝对值号，然后两边平方整理即可得解． 【解答】解：∵， ∴a﹣2024≥0， ∴a≥2024， 则， ∴， ∴a﹣2024＝20232， ∴a﹣20242 ＝20232﹣20242+2024 ＝（2023+2024）×（2023﹣2024）+2024 ＝﹣4047+2024 ＝﹣2023， 故选：B． 9．如果有意义，那么代数式的值为（　　） A．±8 B．8 C．﹣8 D．无法确定 【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣1≥0，9﹣x≥0，再根据绝对值的意义和二次根式的性质，进行化简即可． 【解答】解：∵有意义， ∴x﹣1≥0，9﹣x≥0， ∴； 故选：B． 10．已知a，b，c满足，则a+b﹣c的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】先将已知等式利用完全平方公式变形为，再根据偶次方的非负性、绝对值的非负性，算术平方根的性质可求出a、b、c的值，代入计算即可得． 【解答】解：∵， ∴， ∴8﹣a≥0，a﹣8≥0， ∴a＝8， ∴|c﹣17|+（b﹣15）2＝0， ∴c﹣17＝0，b﹣15＝0， ∴c＝17，b＝15， ∴a+b﹣c＝8+15﹣17＝6， 故选：C． 11．式子有意义，x的取值范围是 　x≥2　． 【分析】根据被开方数不小于零的条件且分母不为零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， ， 解得x≥2． 故答案为：x≥2． 12．已知，则2x+3y的算术平方根是 　　． 【分析】先根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于求出x的值，进而求出y的值，再根据算术平方公式的定义即可求出答案． 【解答】解：由已知得， ∴， ∴y＝3， ∴， ∴2x+3y的算术平方根是． 故答案为：． 13．若式子有意义，则x的取值范围是　且x≠4，x≠0　． 【分析】根据被开方数为非负数，分式的分母不能为0，零指数幂的底数不能为0解答即可． 【解答】解：根据题意，∵有意义， ∴2x+1≥0，x﹣4≠0，x≠0， ∴且x≠4，x≠0． 即x的取值范围是且x≠4，x≠0． 故答案为：且x≠4，x≠0． 14．已知点P的坐标是（，m），则点P关于x轴对称的点在第 　三　象限． 【分析】本题考查了关于x轴对称点的坐标的特征，二次根式有意义的条件；根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可． 【解答】解：∵点P， ∴点P关于x轴对称的点为， ∵有意义， ∴m﹣1≥0， ∴m≥1， ∴， ∴点P关于x轴对称的点在第三象限， 故答案为：三． 15．无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围为 　m≥16　． 【分析】根据二次根式有意义的条件可得：x2﹣8x+m≥0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：∵代数式都有意义， ∴x2﹣8x+m≥0， x2﹣8x+16﹣16+m≥0， （x﹣4）2≥16﹣m， ∴16﹣m≤0， 解得：m≥16， 故答案为：m≥16． 16．已知实数a满足等式． （1）a的取值范围是　a≥2025　； （2）小明求出a﹣20242的值为2024，他的答案正确吗？为什么？ 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件列出不等式，即可求解； （2）根据绝对值的非负性和二次根式的性质将化简即可求解． 【解答】解：（1）由题意可得：a﹣2025≥0， 解得：a≥2025， 故答案为：a≥2025； （2）小明的答案不正确，理由如下： ∵， ∴， ∴a﹣20242＝2025， ∴小明的答案不正确． 17．先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题， 若和在实数范围内都有意义，求x的值． 解：∵和在实数范围内都有意义， ∴x﹣1≥0且1﹣x≥0． 由1﹣x≥0得：x﹣1≤0 ∴x﹣1＝0， ∴x＝1． 问题，若实数x，y满足，求的值． 【分析】根据二次根式有意义得到2x﹣4＝0，解得x＝2，再求出，再代入进行解答即可． 【解答】解：由题意可得，和在实数范围内都有意义， ∴2x﹣4≥0且4﹣2x≥0， 由4﹣2x≥0得到2x﹣4≤0， ∴2x﹣4＝0， 解得x＝2， ∴， ∴． 18．先阅读，后回答问题：x为何值时，有意义？ 解：要使该二次根式有意义，需x（x﹣3）≥0，由乘法法则得或． 解得x≥3或x≤0． ∴当x≥3或x≤0，有意义． 体会解题思想后，请你解答：x为何值时，有意义？ 【分析】根据题目信息，列出不等式组求解即可得到x的取值范围． 【解答】解：要使该二次根式有意义，需≥0， 由乘法法则得或， 解得x≥1或x＜﹣2， 当x≥1或x＜﹣2时，有意义． 19．已知x，y为实数，且． （1）确定x、y的值； （2）求代数式（2x﹣y）（x+y）﹣（x+y）（x﹣y）的值． 【分析】（1）由，可得x﹣1≥0，1﹣x≥0，可求x＝1，进而可求y的值； （2）进行乘法，然后进行减法计算可得化简结果，最后代值求解即可． 【解答】解：（1）由题可知，x﹣1≥0，1﹣x≥0， 解得x＝1， 把x＝1代入， 解得y＝﹣2， ∴x＝1，y＝﹣2； （2）（2x﹣y）（x+y）﹣（x+y）（x﹣y） ＝2x2+2xy﹣xy﹣y2﹣x2+y2 ＝x2+xy， 将x＝1，y＝﹣2代入得，原式＝12+1×（﹣2）＝﹣1． 20．【课本再现】 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为；0的算术平方根是0，即．所以被开方数a为非负数． 【探究新知】 （1）若，则a的取值范围是 　a≥0　． 【知识应用】 （2）若，求（a+b）2024的值． 【拓展应用】 （3）若，求a﹣20232的值． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件即可解决问题． （2）根据绝对值及二次根式的非负性得出关于a，b的方程组，据此可解决问题． （3）根据绝对值及二次根式的非负性求出a的值，据此可解决问题． 【解答】解：（1）因为， 所以a≥0． 故答案为：a≥0． （2）由得， ， 解得， 所以（a+b）2024＝（﹣2+1）2024＝（﹣1）2024＝1． （3）因为， 所以a﹣2024≥0， 则a≥2024， 所以2023﹣a＜0， 则原方程可化为：a﹣2023+， 所以， 则a＝20232+2024， 所以a﹣20232＝2024． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$