专题02 二次根式中的易错题集专训-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（人教版）

专题02 二次根式的易错题集专训 一．二次根式的定义（共4小题） 1．在下列式子中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．是一个正整数，则m的最小正整数值是 　 　． 3．如果是一个正整数，那么x可以取到的最小正整数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二．二次根式有意义的条件（共8小题） 5．若y＝++4，则＝ 　 　． 6．设x、y为实数，且，则|x+y|的值是（　　） A．2 B．14 C．19 D．22 7．，则x的值可以是（　　） A．3 B．﹣2 C．2 D．﹣3 8．若，则xy＝（　　） A．﹣15 B．﹣9 C．9 D．15 9．已知a，b，c满足，则a+b﹣c的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 10．如果有意义，那么代数式的值为（　　） A．±8 B．8 C．﹣8 D．无法确定 11．已知实数a满足，那么a﹣20242的值是（　　） A．2023 B．﹣2023 C．2024 D．﹣2024 12．已知，则的值为（　　） A． B． C．5 D．6 三．二次根式的性质与化简（共10小题） 13．已知1＜x＜2，则化简的结果是（　　） A．﹣1 B．1 C．2x﹣3 D．3﹣2x 14．已知xy＜0，则化简二次根式的结果是（　　） A． B． C．﹣ D． 15．若，则实数a的取值范围是（　　） A．a＜6 B．a≤6 C．a＞6 D．a≥6 16．二次根式化成最简结果为（　　） A． B． C． D． 17．若化简﹣|1﹣x|的结果为5﹣2x，则x的取值范围是（　　） A．为任意实数 B．1≤x≤4 C．x≥1 D．x≤4 18．点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第一象限或y轴的正半轴 D．第一象限或第二象限 19．x＝591×2021﹣591×2020，y＝20202﹣2021×2019，z＝，则x、y、z的大小关系是（　　） A．y＜x＜z B．x＜z＜y C．y＜z＜x D．z＜y＜x 20．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（　　） A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定 21．化简二次根式，结果是（　　） A． B． C． D． 22．把化简后，正确结果（　　） A． B． C． D． 四．最简二次根式（共2小题） 23．在，，，，中，最简二次根式的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．在根式①②③④中，最简二次根式是（　　） A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 五．二次根式的乘除法（共7小题） 25．已知1＜p＜2，化简+（）2＝（　　） A．1 B．3 C．3﹣2p D．1﹣2p 26．若成立，则x的值可以是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．3 27．若则（　　） A．x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x为一切实数 28．已知＝a，＝b，则用a、b表示为（　　） A． B． C． D． 29．若，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 30．下列四个式子中与相等的是（　　） A． B． C． D． 31．已知＝a，＝b，则＝（　　） A． B． C． D． 六．分母有理化（共3小题） 32．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（　　） A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2 33．已知，，且19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数n的值为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 34．分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：，观察此算式规律回答问题， 已知，则m2﹣2m﹣2024的值是 　 　． 七．同类二次根式（共3小题） 35．下列二次根式中，是同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 36．如果最简二次根式和是同类二次根式，那么a，b的值为（　　） A．a＝1，b＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝1 C．a＝2，b＝0 D．a＝0，b＝2 37．已知a＞0，b＞0，下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 八．二次根式的混合运算（共3小题） 38．＝　 　． 39．计算：的结果是 　 　． 40．计算（）2023×（）2024＝　 　． 九．二次根式的化简求值（共5小题） 41．已知实数a，b，c满足，则a+b+c＝ 　． 42．设等式+＝﹣在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，求的值． 43．请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式x2﹣4x﹣7的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 由得，则（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，∴x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体，得：x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6． 请回答下列问题： （1）已知，求代数式x2+6x+8的值． 由得x+3＝ 　 　，则（x+3）2＝x2+6x+9＝ 　 　，∴x2+6x＝ 　 　，∴x2+6x+8＝ 　 　． （2）已知，求代数式的值． 44．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： （1）的整数部分是 　 　，小数部分是 　 　； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （3）已知：，其中x是整数，且2＜y＜3，求x﹣y的相反数． 45．阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如： 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较 和的大小可以先将它们分子有理化如下： ，， 因为所以． 再例如：求的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： （1）由材料可知，　 ＝； （2）比较和的大小； （3）式子的最小值是 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次根式的易错题集专训 一．二次根式的定义（共4小题） 1．在下列式子中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的定义，逐项判断即可求解． 【解答】解：A．是三次根式，不符合题意； B．当a＜0时，﹣（﹣a）＜0，此时不是二次根式，不符合题意； C．∵a2≥0，∴一定是二次根式，符合题意； D．当a3＜﹣3时，不是二次根式，不符合题意． 故选：C． 2．是一个正整数，则m的最小正整数值是 　2　． 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定m的取值范围，再根据是一个正整数得出6﹣m＝1或6﹣m＝4，即可确定m的最小正整数值． 【解答】解：根据二次根式有意义得：6﹣m≥0， 解得m≤6， ∵是一个正整数， ∴6﹣m＝1或6﹣m＝4， ∴m＝5或m＝2， ∴m的最小正整数值是2， 故答案为：2． 3．如果是一个正整数，那么x可以取到的最小正整数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】首先化简，再确定x的最小正整数的值． 【解答】解：由题意可得， ∵是一个正整数， ∴x可取的最小正整数的值为3， 故选：B． 4．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【解答】解：＝2， ∵是整数， ∴n的最小值是5， 故选：D． 二．二次根式有意义的条件（共8小题） 5．若y＝++4，则＝ 　1　． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式组，解不等式组求出x，进而求出y，再根据算术平方根计算即可． 【解答】解：由题意得：x﹣5≥0，5﹣x≥0， 解得：x＝5， 则y＝4， ∴＝＝1， 故答案为：1． 6．设x、y为实数，且，则|x+y|的值是（　　） A．2 B．14 C．19 D．22 【分析】根据算术平方根的非负性求出x的值，进而求出y的值，然后代值计算即可． 【解答】解：根据题意得：， 解得x＝8， 把x＝8代入， 解得y＝6， ∴|x+y|＝|8+6|＝14． 故选：B． 7．，则x的值可以是（　　） A．3 B．﹣2 C．2 D．﹣3 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列不等式组，求解得到x的取值范围，进而完成解答． 【解答】解：由题意可得： ， 解得2＜x≤4， 则选项A符合题意． 故选：A． 8．若，则xy＝（　　） A．﹣15 B．﹣9 C．9 D．15 【分析】根据二次根式的被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， ， 解得x＝5， 把x＝5代入得y＝3， 则xy＝15． 故选：D． 9．已知a，b，c满足，则a+b﹣c的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】先将已知等式利用完全平方公式变形为，再根据偶次方的非负性、绝对值的非负性，算术平方根的性质可求出a、b、c的值，代入计算即可得． 【解答】解：∵， ∴， ∴8﹣a≥0，a﹣8≥0， ∴a＝8， ∴|c﹣17|+（b﹣15）2＝0， ∴c﹣17＝0，b﹣15＝0， ∴c＝17，b＝15， ∴a+b﹣c＝8+15﹣17＝6， 故选：C． 10．如果有意义，那么代数式的值为（　　） A．±8 B．8 C．﹣8 D．无法确定 【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣1≥0，9﹣x≥0，再根据绝对值的意义和二次根式的性质，进行化简即可． 【解答】解：∵有意义， ∴x﹣1≥0，9﹣x≥0， ∴； 故选：B． 11．已知实数a满足，那么a﹣20242的值是（　　） A．2023 B．﹣2023 C．2024 D．﹣2024 【分析】根据被开方数大于等于0列式求出a的取值范围，再去掉绝对值号，然后两边平方整理即可得解． 【解答】解：∵， ∴a﹣2024≥0， ∴a≥2024， 则， ∴， ∴a﹣2024＝20232， ∴a﹣20242 ＝20232﹣20242+2024 ＝（2023+2024）×（2023﹣2024）+2024 ＝﹣4047+2024 ＝﹣2023， 故选：B． 12．已知，则的值为（　　） A． B． C．5 D．6 【分析】先根据二次根式有意义的条件得，由此可求出x＝3，进而得y＝5，据此可得的值． 【解答】解：根据二次根式的意义得，， 由x﹣3≥0，解得：x≥3， 由6﹣2x≥0，解得：x≤3， ∴x＝3， 当x＝3时，x﹣3＝0，6﹣2x＝0， ∴y＝5， ∴， 故选：A． 三．二次根式的性质与化简（共10小题） 13．已知1＜x＜2，则化简的结果是（　　） A．﹣1 B．1 C．2x﹣3 D．3﹣2x 【分析】根据1＜x＜2判定x﹣1＞0，x﹣2＜0是解答本题的关键．先根据1＜x＜2判定x﹣1＞0，x﹣2＜0，然后再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，最后合并同类项即可． 【解答】解：∵1＜x＜2， ∴x﹣1＞0，x﹣2＜0， ∴原式＝x﹣1+x﹣2 ＝2x﹣3． 故选：C． 14．已知xy＜0，则化简二次根式的结果是（　　） A． B． C．﹣ D． 【分析】根据二次根式有意义，可知y≥0，从而x＜0，再由二次根式的性质解答． 【解答】解：∵xy＜0，≥0， ∴y≥0，x＜0， ∴原式＝＝﹣． 故选：C． 15．若，则实数a的取值范围是（　　） A．a＜6 B．a≤6 C．a＞6 D．a≥6 【分析】根据二次根式的性质得一次不等式，求解即可． 【解答】解：∵＝|a﹣6|，， ∴6﹣a≥0． ∴a≤6． 故选：B． 16．二次根式化成最简结果为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式有意义的条件可得x＜0，进而可得结果． 【解答】解：根据二次根式有意义的条件可知： x＜0， ∴原式＝﹣＝﹣． 故选：B． 17．若化简﹣|1﹣x|的结果为5﹣2x，则x的取值范围是（　　） A．为任意实数 B．1≤x≤4 C．x≥1 D．x≤4 【分析】根据完全平方公式和＝|a|，把多项式化简为|x﹣4|﹣|1﹣x|，然后根据x的取值范围分别讨论，求出符合题意的x的值即可． 【解答】解：原式＝﹣|1﹣x|＝|x﹣4|﹣|1﹣x|， 当x＜1时， 此时1﹣x＞0，x﹣4＜0， ∴（4﹣x）﹣（1﹣x）＝4﹣x﹣1+x＝3，不符合题意， 当1≤x≤4时， 此时1﹣x≤0，x﹣4≤0， ∴（4﹣x）﹣（x﹣1）＝5﹣2x，符合题意， 当x＞4时， 此时x﹣4＞0，1﹣x＜0， ∴（x﹣4）﹣（x﹣1）＝﹣3，不符合题意， ∴x的取值范围为：1≤x≤4， 故选B． 18．点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第一象限或y轴的正半轴 D．第一象限或第二象限 【分析】根据a2≥0判断出的符号即可得到答案． 【解答】解：由条件可知：a2+1≥1， ∴点第一象限， 故选：A． 19．x＝591×2021﹣591×2020，y＝20202﹣2021×2019，z＝，则x、y、z的大小关系是（　　） A．y＜x＜z B．x＜z＜y C．y＜z＜x D．z＜y＜x 【分析】提取公因数求出x，将2021×2019写成（2020+1）×（2020﹣1），再利用平方差公式进行计算，根据完全平方公式求出z，然后比较大小即可． 【解答】解：x＝591×2021﹣591×2020， ＝591×（2021﹣2020）， ＝591， y＝20202﹣2021×2019， ＝20202﹣（2020+1）×（2020﹣1）， ＝20202﹣20202+1， ＝1， z＝ ＝， ＝590， ∵1＜590＜591， ∴y＜z＜x． 故选：C． 20．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（　　） A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定 【分析】先根据点a在数轴上的位置判断出a﹣4及a﹣11的符号，再把原式进行化简即可． 【解答】解：∵由图可知：4＜a＜10， ∴a﹣4＞0，a﹣11＜0， ∴原式＝+ ＝a﹣4+11﹣a＝7． 故选：A． 21．化简二次根式，结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简，由二次根式的性质可得：﹣（a+1）≥0，从而有a+1≤0，即a≤﹣1，再化简得出结果． 【解答】解：∵a2＞0，， ∴﹣（a+1）≥0， ∴a≤﹣1， ∴原式＝ ＝． 故选：C． 22．把化简后，正确结果（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式有意义的条件得出a﹣b＞0，然后根据二次根式的除法法则以及分母有理化化简即可． 【解答】解：根据题意，得a﹣b＞0， ∴ ＝ ＝， 故选：B． 四．最简二次根式（共2小题） 23．在，，，，中，最简二次根式的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【解答】解：＝2，被开方数中含有分母，＝＝|a﹣1|， 在，，，，中， 最简二次根式有，，共有2个， 故选：B． 24．在根式①②③④中，最简二次根式是（　　） A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【解答】解：①是最简二次根式； ②＝，被开方数含分母，不是最简二次根式； ③是最简二次根式； ④＝3，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． ①③是最简二次根式，故选C． 五．二次根式的乘除法（共7小题） 25．已知1＜p＜2，化简+（）2＝（　　） A．1 B．3 C．3﹣2p D．1﹣2p 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：∵1＜p＜2， ∴1﹣p＜0，2﹣p＞0， ∴原式＝|1﹣p|+2﹣p ＝p﹣1+2﹣p ＝1． 故选：A． 26．若成立，则x的值可以是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．3 【分析】直接利用二次根式的性质得出x的取值范围进而得出答案． 【解答】解：∵若成立， ∴， 解得：﹣1≤x＜2， 故x的值可以是0． 故选：B． 27．若则（　　） A．x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x为一切实数 【分析】利用二次根式的乘法法则和二次根式有意义的条件得到x≥0且x﹣6≥0，然后求出两不等式的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得x≥0且x﹣6≥0， 所以x≥6． 故选：A． 28．已知＝a，＝b，则用a、b表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可得先将变形为，由此可得出答案． 【解答】解：由题意得：＝＝＝． 故选：D． 29．若，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 【分析】分别化简a，b，c，即可比较出答案． 【解答】解：∵a＝2024×（2024﹣2023）＝2024， b＝＝＝＝2023， c＝＝＜2023， ∴a，b，c的大小关系是c＜b＜a． 故选：D． 30．下列四个式子中与相等的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式有意义的条件可得出3﹣a＞0，可得a﹣3＜0，由此可将a﹣3变形得出答案． 【解答】解：由题意得：3﹣a＞0，可得a﹣3＜0， ∴＝﹣（3﹣a）＝﹣＝﹣． 故选：D． 31．已知＝a，＝b，则＝（　　） A． B． C． D． 【分析】把0.063写成分数的形式，化简后再利用积的算术平方根的性质，写成含ab的形式． 【解答】解：＝＝ ＝ ∵＝a，＝b， ∴原式＝． 故选：D． 六．分母有理化（共3小题） 32．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（　　） A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2 【分析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a﹣b、a2、b2，求出每个式子的值，即可得出选项． 【解答】解：分母有理化，可得a＝2+，b＝2﹣， ∴a﹣b＝（2+）﹣（2﹣）＝2，故A选项错误； a+b＝（2+）+（2﹣）＝4，故B选项错误； ab＝（2+）×（2﹣）＝4﹣3＝1，故C选项正确； ∵a2＝（2+）2＝4+4+3＝7+4，b2＝（2﹣）2＝4﹣4+3＝7﹣4， ∴a2≠b2，故D选项错误； 故选：C． 33．已知，，且19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数n的值为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【分析】先将x，y进行分母有理化，再分别求出xy，x+y的值，然后将已知等式变形为19（x+y）2+85xy＝1985，最后代入解一元二次方程即可得． 【解答】解：∵， ， ∴x+y＝4n+2， ∵， ∵19x2+123xy+19y2＝1985， ∴19（x+y）2+85xy＝1985， ∴19（4n+2）2+85＝1985，即n2+n﹣6＝0， 解得n＝2或n＝﹣3（与n为正整数不符，舍去）， 故选：D． 34．分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：，观察此算式规律回答问题， 已知，则m2﹣2m﹣2024的值是 　0　． 【分析】先将m进行化简，再将要求的式子变形为（m﹣1）2﹣2025，然后代入计算即可． 【解答】解：＝＝＝， ∴m2﹣2m﹣2024 ＝m2﹣2m+1﹣1﹣2024 ＝（m﹣1）2﹣2025 ＝ ＝ ＝2025﹣2025 ＝0， 故答案为：0． 七．同类二次根式（共3小题） 35．下列二次根式中，是同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【分析】把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此判断即可． 【解答】解：A、，，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B、，，所以与是同类二次根式，故此选项符合题意； C、，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D、，，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 36．如果最简二次根式和是同类二次根式，那么a，b的值为（　　） A．a＝1，b＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝1 C．a＝2，b＝0 D．a＝0，b＝2 【分析】根据同类二次根式的定义得到b﹣a＝2，3b＝2b﹣a+2，然后解两个方程组成的方程组即可． 【解答】解：根据题意得b﹣a＝2，3b＝2b﹣a+2， 解得a＝0，b＝2． 故选：D． 37．已知a＞0，b＞0，下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据同类二次根式的定义判断即可． 【解答】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、，与不是同类二次根式，不符合题意； C、，与是同类二次根式，符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：C． 八．二次根式的混合运算（共3小题） 38．＝　﹣﹣　． 【分析】利用幂的乘方与积的乘方计算法则进行计算，即可解答． 【解答】解： ＝（﹣）2005×（+）2005×（+） ＝[（﹣）×（+）]2005×（+） ＝（2﹣3）2005×（+） ＝（﹣1）2005×（+） ＝﹣1×（+） ＝﹣﹣， 故答案为：﹣﹣． 39．计算：的结果是 　﹣1　． 【分析】利用平方差公式进行计算，即可解答． 【解答】解： ＝（﹣1）2023（+1）2023（﹣1） ＝[（﹣1）（+1）]2023（﹣1） ＝（2﹣1）2023（﹣1） ＝﹣1， 故答案为：﹣1． 40．计算（）2023×（）2024＝　　． 【分析】利用平方差公式进行计算，即可解答． 【解答】解：（）2023×（）2024 ＝（）2023×（+）2023×（+） ＝[（）×（+）]2023×（+） ＝（3﹣2）2023×（+） ＝12023×（+） ＝1×（+） ＝+， 故答案为：+． 九．二次根式的化简求值（共5小题） 41．已知实数a，b，c满足，则a+b+c＝　8　． 【分析】本题给出三个未知数，只给了二个方程，所以就要根据二次根式的定义分析已知条件，求得a，b，c的值后，代入代数式求值． 【解答】解：， 把＝4﹣，代入上式得：， 4＝， ﹣＝， 根据开方的结果都为非负数，可得c＝0，a＝4，把a＝4代入得b＝4， 所以a+b+c＝8． 故本题答案为：8． 42．设等式+＝﹣在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，求的值． 【分析】已知等式右边成立，x﹣a≥0，a﹣y≥0，即y﹣a≤0；由等式左边成立可知，a＝0，已知等式可变为﹣＝0，移项、开平方得x＝﹣y，利用代入法求式子的值． 【解答】解：∵+＝﹣在实数范围内成立， ∴x﹣a≥0，a﹣y≥0，即y﹣a≤0， 又a（y﹣a）≥0．a（x﹣a）≥0， ∴a＝0， 原等式可变为﹣＝0，解得x＝﹣y， ∴＝＝． 43．请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式x2﹣4x﹣7的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 由得，则（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，∴x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体，得：x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6． 请回答下列问题： （1）已知，求代数式x2+6x+8的值． 由得x+3＝ 　　，则（x+3）2＝x2+6x+9＝ 　3　，∴x2+6x＝ 　﹣6　，∴x2+6x+8＝ 　2　． （2）已知，求代数式的值． 【分析】（1）按照例题的方法解答即可； （2）由x＝得2x+1＝，将其两边平方并利用完全平方公式展开，得到x2+x＝；x3+x2＝x（4x2+4x+x）＝x[4（x2+x）+x]并将x2+x＝代入，得到x（x+1），将它化为（x2+x）并将x2+x＝代入计算即可． 【解答】解：（1）由x＝﹣3得x+3＝， 则（x+3）2＝x2+6x+9＝3， ∴x2+6x＝﹣6， ∴x2+6x+8＝2． 故答案为：，3，﹣6，2． （2）由x＝得2x+1＝，则（2x+1）2＝4x2+4x+1＝2， ∴x2+x＝， ∴x3+x2 ＝x（4x2+4x+x） ＝x[4（x2+x）+x] ＝x（4×+x） ＝x（x+1） ＝（x2+x） ＝× ＝． 44．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： （1）的整数部分是 　4　，小数部分是 　　； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （3）已知：，其中x是整数，且2＜y＜3，求x﹣y的相反数． 【分析】（1）先估算出的范围，根据题意即可判断其整数部分和小数部分； （2）先估算出、的范围，求出a、b的值，再代入求出即可； （3）先估算出的范围，求出x、y的值，代入求出即可． 【解答】解：（1）由题意，∵， ∴． ∴的整数部分为4，小数部分为． 故答案为：4；． （2）由题意，∵， ∴， ∴的小数部分为， ∵， ∴， ∴的整数部分为b＝3， ∴； （3）∵， ∴， ∵，其中x是整数，且2＜y＜3， ∴， ∴， ∴x﹣y的相反数是． 45．阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如： 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较 和的大小可以先将它们分子有理化如下： ，， 因为所以． 再例如：求的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： （1）由材料可知，　﹣　＝； （2）比较和的大小； （3）式子的最小值是 　﹣1　． 【分析】（1）根据材料，从数字找规律即可解答； （2）利用材料中分子有理化例题的解题思路进行计算，即可解答； （3）先根据题意得：1﹣x≥0，1+x≥0，x≥0，从而可得：0≤x≤1，然后根据利用材料中求最大值例题的解题思路进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）﹣＝， 故答案为：﹣； （2） ＝ ＝， 2﹣ ＝ ＝， ∵3＝，2＝， ∴3+4＞2+， ∴＜， ∴3﹣4＜2﹣； （3）由题意得：1﹣x≥0，1+x≥0，x≥0， 解得：0≤x≤1， ＝+ ＝+， 当x＝1时，+有最大值，则有最小值，且最小值＝＝﹣1，此时有最小值为0， ∴y的最小值＝0+﹣1＝﹣1， 故答案为：﹣1． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$