专题01 二次根式的运算的四种类型-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（人教版）

专题01 二次根式的运算的四种类型 类型一：利用基础法则进行计算 类型二：运用乘法公式进行计算 类型三：运用等式规律进行计算 类型四：与二次根式有关的化简求值运算 类型一：利用基础法则进行计算 1．计算： （1）； （2）； （3）． （4）； （5）． （6）； （7）； （8）． （9）（2）． （10）； 类型二：运用乘法公式进行计算 2．计算： （1）； （2）； （3）． （4）． （5）． （6）． （7）； （8）． 类型三：运用等式规律进行计算 3．阅读下列材料，然后解答下列问题： ； ； ； 以上这种化简的方法叫分母有理化． （1）＝ 　 ． （2）（n为正整数）＝ 　 　． （3）化简：＝ 　 ． （4）化简下列式子的值：． 4．【阅读材料】 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 （1）仿照上面的解题过程，化简：＝　 　． （2）计算：． （3）已知，求a2+b2的值． 5．材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：； ．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： （1）比较大小： 　 　（填“＞”，“＜”或“＝”）； （2）计算：； （3）若，求5a2﹣10a+15的值． 6．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且，将变成m2+n2±2mn，即变成（m±n）2，从而使得以化简． （1）例如，∵， ∴＝　 　，请完成填空． （2）仿照上面的例子，请化简； （3）利用上面的方法，设，，求A+B的值． 7．小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值． 他是这样分析与解的：∵ ∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3 ∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）＝　 　，＝　 　． （2）化简：． （3）若，请按照小明的方法求出4a2﹣8a+1的值． 8．阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子，分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：；． 解答下列问题： （1）根据以上概念直接在横线上写出的一个有理化因式　 　； （2）若，求a3﹣3a+1的值； （3）请在以下问题①和②任选一个题作答： ①设实数x，y满足，求x+y+2024的值； ②化简：． 类型四：与二次根式有关的化简求值运算 9．计算：已知，，，求x2+y2﹣xy的值． 10．已知：，y＝．计算： （1）xy； （2）x2+y2﹣xy． 11．若，，求代数式x2+3xy+y2的值． 12．已知，，求下列各式的值： （1）x2+xy+y2； （2）． 13．我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4．例如：，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决下列问题： 已知． （1）化简a，b； （2）求代数式2a2+ab+2b2的值． 14．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：（a＞b） 例如：化简 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12 即， ∴＝＝ （1）填空：＝　 ，＝　 　 （2）化简：． 16．已知． （1）化简x，y； （2）求代数式x2﹣5xy+y2的值； （3）若x的小数部分为a，求的值． 17．先化简，后求值：，其中a＝，b＝2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式的运算的四种类型 类型一：利用基础法则进行计算 类型二：运用乘法公式进行计算 类型三：运用等式规律进行计算 类型四：与二次根式有关的化简求值运算 类型一：利用基础法则进行计算 1．计算： （1）； （2）； （3）． （4）； （5）． （6）； （7）； （8）． （9）（2）． （10）； 【分析】（1）先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先根据算术平方根、立方根、零指数幂、绝对值的运算法则计算，再合并即可； （3）先算括号里面的，再算二次根式的除法即可． （4）先分母有理化，再根据二次根式的性质计算，然后合并即可； （5）先根据二次根式的乘法法则运算，再把各二次根式化为最简二次根式，接着把括号内合并，然后进行二次根式的除法运算，最后合并同类二次根式即可． （6）先根据二次根式的性质化简，然后进行有理数的加减运算； （7）先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简二次根式后合并即可； （8）先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可． （9）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式后进行二次根式的除法运算． （10）先进行二次根式的除法运算，然后化简二次根式后合并即可； 【解答】解：（1） ＝ ＝ ＝； （2） ＝ ＝； （3） ＝ ＝； （4） ＝ ＝ ＝2． （4）原式＝﹣+（﹣2） ＝﹣+﹣2 ＝﹣+﹣2 ＝2﹣﹣+﹣2 ＝﹣； （5）原式＝（4﹣）÷+2﹣ ＝3÷+2﹣3 ＝3+2﹣3 ＝3﹣． （6）原式＝6﹣5+3 ＝4； （7）原式＝﹣ ＝﹣ ＝20﹣3 ＝17； （8）原式＝+﹣﹣ ＝2+3﹣2﹣3 ＝5﹣5． （9）原式＝（4﹣+3）÷2 ＝÷2 ＝． （10）原式＝3﹣2﹣ ＝3﹣2﹣2 ＝﹣； 类型二：运用乘法公式进行计算 2．计算： （1）； （2）； （3）． （4）． （5）． （6）． （7）； （8）． 【分析】（1）先根据完全平方公式、二次根式的性质与化简、平方差公式计算，再合并即可； （2） 先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可； （3） 先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可． （4） 根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再进行加减运算即可得到答案． （5）根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后计算加减法即可． （6）利用平方差公式及完全平方公式进行运算较简便． （7）利用完全平方公式和平方差公式展开，再算加减即可； （8）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后计算加减法即可． 【解答】解：（1） ＝ ＝； （2）原式＝4+4+3﹣（9﹣8） ＝4+4+3﹣1 ＝6+4； （3）原式＝5﹣2﹣（5﹣2+1） ＝5﹣2﹣6+2 ＝2﹣3． （4） ＝ ＝ ＝． （5） ＝20﹣49﹣（5﹣6+9） ＝20﹣49﹣5+6﹣9 ＝﹣43+6． （6） ＝12﹣1﹣（1﹣4+12） ＝12﹣1﹣1+4﹣12 ＝4﹣2． （7） ＝20﹣12+27﹣16+18 ＝； （8） ＝3+2+2﹣7+2 ＝2． 类型三：运用等式规律进行计算 3．阅读下列材料，然后解答下列问题： ； ； ； 以上这种化简的方法叫分母有理化． （1）＝ 　﹣　． （2）（n为正整数）＝ 　﹣　． （3）化简：＝ 　9　． （4）化简下列式子的值：． 【分析】（1）利用分母有理化进行计算即可； （2）利用分母有理化，进行计算即可； （3）先进行分母有理化，再进行计算即可； （4）先进行分母有理化，再进行计算即可． 【解答】解：（1） （2） （3）原式＝ ＝ ＝10﹣1 ＝9； （4）原式＝ ＝ ＝ ＝． 4．【阅读材料】 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 （1）仿照上面的解题过程，化简：＝　+　． （2）计算：． （3）已知，求a2+b2的值． 【分析】（1）分子分母分别乘即可； （2）每一个分母都乘以它的有理化因式化简后合并，再利用平方差公式计算即可．； （3）由条件可得：，，可得：，再利用平方差公式计算即可． 【解答】解：（1）， （2）原式＝ ＝ ＝ ＝2025﹣1 ＝2024． （3）∵， ， ∴， ∴． 5．材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：； ．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ．根据上述知识，请你完成下列问题： （1）比较大小： 　＜　（填“＞”，“＜”或“＝”）； （2）计算：； （3）若，求5a2﹣10a+15的值． 【分析】（1）先分母有理化得到＝，＝，然后比较大小即可； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式； （3）先利用分母有理化得到a＝+1，则移项得到a﹣1＝，再两边平方可得到a2﹣2a＝2，然后把5a2﹣10a+15变形位5（a2﹣2a）+15，最后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：（1）＝＝，＝＝， ∵＜， ∴＜； 故答案为：＜； （2）原式＝﹣1+﹣+﹣+...+﹣ ＝﹣1 ＝45﹣1 ＝44； （3）∵a＝＝＝+1， ∴a﹣1＝， ∴（a﹣1）2＝3， ∴a2﹣2a+1＝3， ∴a2﹣2a＝2， ∴5a2﹣10a+15＝5（a2﹣2a）+15＝5×2+15＝25． 6．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且，将变成m2+n2±2mn，即变成（m±n）2，从而使得以化简． （1）例如，∵， ∴＝　　，请完成填空． （2）仿照上面的例子，请化简； （3）利用上面的方法，设，，求A+B的值． 【分析】（1）根据二次根式的性质：，即可得出相应结果． （2）根据（1）中“”，将代数式转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质化简求值，即可得出结果． （3）根据题意，首先把A式和B式分别转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质把A式和B式的结果分别算出，最后把A式和B式再代入A+B中，求出A+B的值． 【解答】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴把A式和B式的值代入A+B中，得：． 7．小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值． 他是这样分析与解的：∵ ∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3 ∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）＝　　，＝　（﹣）　． （2）化简：． （3）若，请按照小明的方法求出4a2﹣8a+1的值． 【分析】（1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解； （2）根据小明的分析过程，a﹣1＝得a2﹣2a＝1，可求出代数式的值． 【解答】解：（1）原式＝＝，原式＝＝（﹣）， 故答案为：，（﹣）， （2）原式＝（﹣+﹣+...+﹣） ＝（﹣3+11） ＝4； （2）a＝＝+1， ∴a﹣1＝， ∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2， ∴a2﹣2a＝1， ∴原式＝4（a2﹣2a）+1＝4×1+1＝5． 8．阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子，分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：；． 解答下列问题： （1）根据以上概念直接在横线上写出的一个有理化因式　　； （2）若，求a3﹣3a+1的值； （3）请在以下问题①和②任选一个题作答： ①设实数x，y满足，求x+y+2024的值； ②化简：． 【分析】（1）根据平方差公式的结构，由于是一个差结构，即可找到一个和结构作为有理化因式； （2）先将a有理化之后得2+，再把a的值代入a3﹣3a+1计算即可； （3）①在的两边分别除以左边的每一个因式，即可得到x+＝＝①和y+＝②，①+②得x+y＝0，从而可求解x+y+2024的值； ②将分子和分母分别用结合律重新整理之后，再有理化，接着运用完全平方公式和平方差公式计算即可； 【解答】解：（1）∵（）（）＝12﹣5＝7， 故答案为：． （2）∵＝＝， ∴a3﹣3a+1＝a（a2﹣3）+1 ＝（2+）[（2+）2﹣3]+1 ＝（2+）（4+）+1 ＝21+12． （3）若选①：∵， ∴x+＝＝，① 同理可得y+＝，② ①+②得：x+y＝0， 故x+y+2024＝2024． 若选②：∵＝ ＝ ＝ ＝ ＝． 类型四：与二次根式有关的化简求值运算 9．计算：已知，，，求x2+y2﹣xy的值． 【分析】利用完全平方公式、平方差公式进行计算，即可解答． 【解答】解：x2+y2﹣xy ＝x2﹣2xy+y2+xy ＝（x﹣y）2+xy ＝ ＝12+1 ＝13． 10．已知：，y＝．计算： （1）xy； （2）x2+y2﹣xy． 【分析】（1）利用平方差公式计算xy的值； （2）先计算出x+y的值，再利用完全平方公式得到x2+y2﹣xy＝（x+y）2﹣3xy，然后利用整体代入的方法计算， 【解答】解：（1）∵x＝+2，y＝﹣+2， ∴xy＝（2+）×（2﹣）＝4﹣3＝1； （2）∵x＝+2，y＝﹣+2， ∴x+y＝4， ∴x2+y2﹣xy＝（x+y）2﹣3xy＝42﹣3×1＝13． 11．若，，求代数式x2+3xy+y2的值． 【分析】先把，化简，再根据完全平方公式把x2+3xy+y2变形后代入计算即可． 【解答】解：将x、y分母有理化得： ， ， ∴原式＝（x+y）2+xy ＝ ＝17． 12．已知，，求下列各式的值： （1）x2+xy+y2； （2）． 【分析】（1）先利用分母有理化法则求出，进而得到，xy＝1，再根据完全平方公式的变形求解即可； （2）根据进行求解即可． 【解答】解：（1）∵，， ∴，， ∴，， ∴x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy＝12﹣1＝11； （2） ＝ ＝ ＝ ＝10． 13．我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4．例如：，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决下列问题： 已知． （1）化简a，b； （2）求代数式2a2+ab+2b2的值． 【分析】（1）根据题干中提供的分母有理化的方法进行化简即可； （2）根据化简后的a、b的值得出，，将2a2+ab+2b2变形为2（a+b）2﹣3ab，再代入计算即可． 【解答】解：（1） ＝ ＝ ＝； ＝ ＝ ＝； （2）∵，， ∴ ＝3﹣1 ＝2； ， ∴2a2+ab+2b2 ＝2（a2+2ab+b2）﹣3ab ＝2（a+b）2﹣3ab ＝ ＝24﹣6 ＝18． 14．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：（a＞b） 例如：化简 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12 即， ∴＝＝ （1）填空：＝　　，＝　　 （2）化简：． 【分析】由条件对式子进行变形，利用完全平方公式对的形式化简后就可以得出结论了． 【解答】解：（1）＝ ＝， ＝； ＝， ＝， ＝； 故答案为：， （2）原式＝ ＝， ＝﹣2 16．已知． （1）化简x，y； （2）求代数式x2﹣5xy+y2的值； （3）若x的小数部分为a，求的值． 【分析】（1）分母有理化即可； （2）x2﹣5xy+y2＝（x﹣y）2﹣3xy，整体代入求解； （3）a＝﹣1，代入式子化简即可． 【解答】解：（1）x＝＝2+，y＝＝2﹣； （2）x2﹣5xy+y2 ＝（x﹣y）2﹣3xy ＝（2）2﹣3 ＝12﹣3 ＝9； （3）由题意a＝﹣1， ∴＝＝2﹣． 17．先化简，后求值：，其中a＝，b＝2． 【分析】先分别将分子、分母进行因式分解，再约分、合并同类项得到最简结果，最后将a，b的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝ ＝+ ＝． 当a＝，b＝2时，原式＝＝＝． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$