第05讲 二次根式的加减（3个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（人教版）

第05讲 二次根式的加减 课程标准 学习目标 ①能合并的二次根式 ②二次根式的加减 ③二次根式的混合运算 1. 掌握能合并的二次根式的概念，并能够熟练的进行二次根式的合并。 2. 掌握二次更是的加减法运算，并能够熟练对二次根式进行加减运算。 3. 掌握二次根式的混合运算法则并能够熟练进行混合运算。 知识点01 能合并的二次根式（同类二次根式） 1. 同类二次根式的概念： 一般地，把几个二次根式化为 后，如果它们的被开方数 ，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法： 只合并 的因式，即 相加减， 和 不变。 即 。 【即学即练1】 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是（　　） A．﹣2 B．5 C．﹣2或5 D．2或﹣5 知识点02 二次根式的加减 1. 二次根式的加减运算法则： 二次根式相加减，先把各个二次根式化成 ，再把 相同的二次根式进行合并。 2. 具体步骤： ①若式子有括号，按照去括号的方法去括号。 ②对二次根式进行化简。 ③合并同类二次根式。 【即学即练1】 3．计算： （1）2﹣6+3； （2）（+）+（﹣）． 知识点03 二次根式的混合运算 1. 二次根式的混合运算法则： 同有理数的混合运算法则相同，先去 乘方 ，再算 乘除 ，最后算 加减 。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 若能用乘法公式计算的用乘法公式计算。 【即学即练1】 4．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【即学即练2】 5．已知，，求下列代数式的值： （1）x2﹣xy+y2； （2）． 【即学即练3】 6．已知等腰三角形的两边长分别为和，求这个等腰三角形的周长． 题型01 判断同类二次根式 【典例1】下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．3与 D．与3 【变式2】实数①，②，③，④中，与是同类二次根式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 根据同类二次根式求值 【典例1】若2+可以合并为一项，则n可以是（　　） A．9 B．18 C．27 D．54 【变式1】如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是　 　 【变式2】如果最简二次根式和是可以合并的二次根式，则a+b＝　 　． 【变式3】已知最简二次根式与可以合并，则a+b的值为　 　． 题型03 二次根式的加减运算 【典例1】计算： （1）； （2）． 【变式1】计算下列各题： （1）； （2）（+3）﹣（）． 【变式2】计算：（1）； （2）． 【变式3】（1） （2） 题型04 二次根式的混合运算 【典例1】（1）÷×； （2）（﹣）+． 【变式1】计算： （1）2﹣+； （2）（+）（﹣）﹣（﹣1）2． 【变式2】计算： （1）﹣×； （2）（3×﹣2）﹣（﹣）2． 【变式3】计算题 （1）﹣3×； （2）（）2+（3﹣π）0﹣|2﹣|； （3）+6﹣3a． 题型05 二次根式的化简求值 【典例1】已知xy＝3（x＞0，y＞0），则x+y的值为（　　） A．3 B．2 C． D．6 【变式1】二次根式：已知a＝3+2，b＝3﹣2，求a2b﹣ab2＝　 　． 【变式2】已知a＝+2，b＝﹣2，求下列代数式的值： （1）a2﹣2ab+b2； （2）a2﹣b2． 【变式3】已知a＝，b＝ （1）化简a，b； （2）求a2﹣4ab+b2的值． 【变式4】小芳在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的： a＝＝2﹣，∴a＝2﹣， ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： （1）计算：． （2）若a＝． ①化简a，求4a2﹣8a﹣1的值； ②求a3﹣3a2+a+1的值． 题型06 二次根式的应用 【典例1】已知等腰三角形的两边长为2和5，则此等腰三角形的周长为（　　） A．4+5 B．2+10 C．4+10 D．4+5或2+10 【变式1】若一个三角形的周长为12cm，一边长为3cm，其他两边之差为cm，则这个三角形的形状是　 　． 【变式2】高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足（不考虑风速的影响）． （1）从200m高空抛物到落地所需时间t是多少？ （2）从高空抛物经过3s落地，该物体下落的高度是多少？ 【变式3】如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该如何计算它的面积呢？ 我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：S＝（秦九韶公式）； 古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式：S＝（海伦公式），其中． 秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边长直接求三角形面积的问题，它们虽然形式不同，但完全等价，请使用这两个公式解决下面的问题： （1）如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为 　 　； （2）如图，在△ABC中，已知AB＝13，BC＝14，AC＝15． ①△ABC的面积为 　 　； ②作AD⊥BC于点D，求CD的长． 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（　　） A．m＝2 B．m＝3 C．m＝5 D．m＝6 4．估计的值应在（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 5．化简时，甲的解法是：原式＝＝；乙的解法是：原式＝＝，以下判断正确的是（　　） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 6．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 7．如果，，那么a、b的关系是（　　） A．ab＝﹣1 B．a＝b C．a+b＝0 D．ab＝1 8．已知x＝，y＝，则x2+xy+y2的值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．7 9．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从50m高空抛物到落地所需时间为t1．从100m高空抛物到落地所需时间为t2，则t2：t1的值是（　　） A． B． C． D．2 10．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知△ABC的三边长分别为，，，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 11．数学课上，嘉嘉做了几道计算题：①，②，③，④，⑤；请你当小老师检查一下，嘉嘉做对的题号是 　 　（填序号）． 12．如果两个最简二次根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是 　 　． 13．已知，则代数式m2﹣2m+2的值是 　 　． 14．已知，，则代数式x2﹣xy+y2的值为 　 　． 15．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为S1＝18，S2＝12，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为 　 　． 16．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17．已知，，求下列各式的值： （1）x2+xy+y2； （2）． 18．如图，某小区有一块矩形空地ABCD，矩形空地的长BC为，宽AB为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为． （1）求矩形空地ABCD的周长；（结果化为最简二次根式） （2）除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 19．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答： （1）的整数部分是 　 　，小数部分是 　 　； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （3）已知：，其中x是整数部分，y是小数部分，求xy的值． 20．阅读材料，回答下列问题． 【材料一】两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：，我们称和互为有理化因式，+1和﹣1互为有理化因式． （1）的有理化因式是 　 　，2﹣的有理化因式是 　 　；（写出一个即可） 【材料二】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：； 【材料三】与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．例如：． （3）用分子有理化直接比较和（n≥2）的大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 二次根式的加减 课程标准 学习目标 ①能合并的二次根式 ②二次根式的加减 ③二次根式的混合运算 1. 掌握能合并的二次根式的概念，并能够熟练的进行二次根式的合并。 2. 掌握二次更是的加减法运算，并能够熟练对二次根式进行加减运算。 3. 掌握二次根式的混合运算法则并能够熟练进行混合运算。 知识点01 能合并的二次根式（同类二次根式） 1. 同类二次根式的概念： 一般地，把几个二次根式化为 最简二次根式 后，如果它们的被开方数 相同 ，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法： 只合并 根号外 的因式，即 系数 相加减， 被开方数 和 根指数 不变。 即 。 【即学即练1】 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据同类二次根式的定义逐项进行判断即可． 【解答】解：A．与的被开方数不相同，故不是同类二次根式； B．＝3与不是同类二次根式； C．＝2，与被开方数相同，故是同类二次根式； D．与被开方数不同，故不是同类二次根式． 故选：C． 【即学即练2】 2．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是（　　） A．﹣2 B．5 C．﹣2或5 D．2或﹣5 【分析】最简二次根式的被开方数相同的二次根式是同类二次根式，根据被开方数相等列式解方程即可． 【解答】解：根据题意得，x2﹣4x＝10﹣x， 整理得，x2﹣3x﹣10＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝5， 当x＝﹣2时，10﹣x＝10﹣（﹣2）＝12，二次根式不是最简二次根式，不符合题意，舍去； 当x＝5时，10﹣x＝10﹣5＝5，二次根式是最简二次根式，符合题意； ∴x＝5． 故选：B． 知识点02 二次根式的加减 1. 二次根式的加减运算法则： 二次根式相加减，先把各个二次根式化成 最简二次根式 ，再把 被开方数 相同的二次根式进行合并。 2. 具体步骤： ①若式子有括号，按照去括号的方法去括号。 ②对二次根式进行化简。 ③合并同类二次根式。 【即学即练1】 3．计算： （1）2﹣6+3； （2）（+）+（﹣）． 【分析】（1）直接化简二次根式，再合并得出答案； （2）直接化简二次根式，再合并得出答案． 【解答】解：（1）原式＝2×2﹣6×+3×4 ＝4﹣2+12 ＝14； （2）原式＝2+2+﹣ ＝3+． 知识点03 二次根式的混合运算 1. 二次根式的混合运算法则： 同有理数的混合运算法则相同，先去 乘方 ，再算 乘除 ，最后算 加减 。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 若能用乘法公式计算的用乘法公式计算。 【即学即练1】 4．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先算除法，再算减法即可； （3）先算括号里面的，再算乘法，最后算加减即可； （4）先根据完全平方公式和平方差公式计算出各数，再算加减即可． 【解答】解：（1） ＝2+4﹣3 ＝3； （2） ＝﹣﹣2 ＝﹣﹣2 ＝﹣﹣2 ＝2﹣﹣2 ＝﹣； （3） ＝（3+）×﹣ ＝3×+×﹣3 ＝9+1﹣3 ＝10﹣3； （4） ＝7+4+4﹣（7﹣9） ＝11+4﹣（﹣2） ＝11+4+2 ＝13+4． 【即学即练2】 5．已知，，求下列代数式的值： （1）x2﹣xy+y2； （2）． 【分析】（1）根据题意可得，，进而可得，xy＝1，然后将原式整理为（x﹣y）2+xy，然后代入求值即可； （2）将原式整理为，然后代入求值即可． 【解答】解：（1）∵，， ∴，， ∴x2﹣xy+y2 ＝（x﹣y）2+xy ＝ ＝12+1 ＝13； （2） ＝ ＝ ＝ ＝12+2 ＝14． 【即学即练3】 6．已知等腰三角形的两边长分别为和，求这个等腰三角形的周长． 【分析】利用三角形的三边关系和等腰三角形的性质确定等腰三角形的第三边的长，再求三角形的周长． 【解答】解：根据三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）可知， 三角形的三边可以是：2、2、3， 此时三角形的周长为：2+2+3＝7； 三角形的三边可以是：2、3、3， 此时三角形的周长为：2+3+3＝8； 答：等腰三角形的周长为：7或8． 题型01 判断同类二次根式 【典例1】下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据同类二次根式的定义即可求解． 【解答】解：A．＝3，与不是同类二次根式，选项A不符合题意； B．＝2，与是同类二次根式，选项B符合题意； C．与不是同类二次根式，选项C不符合题意； D．与不是同类二次根式，选项D不符合题意； 故选：B． 【变式1】下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．3与 D．与3 【分析】根据同类二次根式的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．＝2，＝，因为化成最简二次根式以后被开方数不相同，所以不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B．＝＝，＝，因为化成最简二次根式以后被开方数相同，所以是同类二次根式，故本选项符合题意； C．因为3和的被开方数不相同，所以不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D．＝，因为化成最简二次根式以后被开方数不相同，所以不是同类二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】实数①，②，③，④中，与是同类二次根式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据同类二次根式的定义即可求出答案． 【解答】解：＝2，＝3，＝4，＝5， ∴①③④与是同类二次根式， 故选：C． 题型02 根据同类二次根式求值 【典例1】若2+可以合并为一项，则n可以是（　　） A．9 B．18 C．27 D．54 【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后被开方数相同的，即为同类二次根式，即可解答． 【解答】解：A、＝3，2与不能合并，故A不符合题意； B、＝3，2与不能合并，故B不符合题意； C、＝3，2与可以合并为一项，故C符合题意； D、＝3，2与不能合并，故D不符合题意； 故选：C． 【变式1】如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是　2　 【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方程求解． 【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴3a﹣3＝7﹣2a，解得：a＝2． 【变式2】如果最简二次根式和是可以合并的二次根式，则a+b＝　2　． 【分析】根据题意可得最简二次根式和是同类二次根式，根据被开方数相同即可得出答案． 【解答】解：∵最简二次根式和是可以合并的二次根式， ∴3b＝2b﹣a+2， ∴a+b＝2． 故答案为：2． 【变式3】已知最简二次根式与可以合并，则a+b的值为　2　． 【分析】根据同类二次根式的概念列出方程组，解方程组求出a、b，计算即可． 【解答】解：由题意得，， 解得，， 则a+b＝1+1＝2， 故答案为：2． 题型03 二次根式的加减运算 【典例1】计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先化简二次根式在合并同类二次根式； （2）先化简二次根式在合并同类二次根式． 【解答】解：（1）原式＝10+2﹣3＝7+2； （2）原式＝﹣+＝﹣+． 【变式1】计算下列各题： （1）； （2）（+3）﹣（）． 【分析】（1）直接化简二次根式进而合并得出答案； （2）直接化简二次根式进而合并得出答案． 【解答】解：（1）原式＝ ＝； （2）原式＝ ＝． 【变式2】计算：（1）； （2）． 【分析】先根据二次根式的性质化简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1） ＝4 ＝6； （2） ＝ ＝2 ＝4． 【变式3】（1） （2） 【分析】（1）先进行二次根式、三次根式的化简，然后进行加减合并． （2）先去绝对值符号，然后化简二次根式，最后进行合并运算． 【解答】解：（1）原式＝9﹣3+＝； （2）原式＝﹣+﹣1﹣3+＝2﹣4． 题型04 二次根式的混合运算 【典例1】（1）÷×； （2）（﹣）+． 【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． （2）根据二次根式的乘法运算法则以及加减运算法则即可求出答案． 【解答】解：（1）原式＝÷× ＝×× ＝． （2）原式＝2﹣+ ＝2． 【变式1】计算： （1）2﹣+； （2）（+）（﹣）﹣（﹣1）2． 【分析】（1）先化为最简二次根式，然后根据二次根式的运算法则即可求出答案． （2）根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案． 【解答】解：（1）原式＝6﹣5+2 ＝3． （2）原式＝5﹣6﹣（5﹣2+1） ＝﹣1﹣（6﹣2） ＝﹣1﹣6+2 ＝﹣7+2． 【变式2】计算： （1）﹣×； （2）（3×﹣2）﹣（﹣）2． 【分析】（1）根据二次根式的乘除法和加减法可以解答本题； （2）根据二次根式的乘法和加减法可以解答本题． 【解答】解：（1）﹣× ＝﹣+2 ＝4﹣+2 ＝4+； （2）（3×﹣2）﹣（﹣）2 ＝3+6﹣2﹣3+2﹣2 ＝3+8﹣2﹣5． 【变式3】计算题 （1）﹣3×； （2）（）2+（3﹣π）0﹣|2﹣|； （3）+6﹣3a． 【分析】（1）先进行二次根式的乘法运算，然后化简后合并即可； （2）根据二次根式的性质、零指数幂的意义和绝对值的意义计算； （3）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【解答】解：（1）原式＝2﹣6 ＝﹣4； （2）原式＝3+1﹣（2﹣） ＝4﹣2+ ＝2+； （3）原式＝6+2﹣3 ＝5． 题型05 二次根式的化简求值 【典例1】已知xy＝3（x＞0，y＞0），则x+y的值为（　　） A．3 B．2 C． D．6 【分析】先化简二次根式，再整体代入求解． 【解答】解：原式＝x+y ＝x•+y• ＝， 当x＞0，y＞0时， 原式＝（+）＝2＝2． 故选：B． 【变式1】二次根式：已知a＝3+2，b＝3﹣2，求a2b﹣ab2＝　4　． 【分析】根据a＝3+2，b＝3﹣2，可以得到ab和a﹣b的值，然后代入所求式子计算即可． 【解答】解：∵a＝3+2，b＝3﹣2， ∴ab＝（3+2）×（3﹣2）＝9﹣8＝1， a﹣b＝（3+2）﹣（3﹣2）＝3+2﹣3+2＝4， ∴a2b﹣ab2 ＝ab（a﹣b） ＝1×4 ＝4， 故答案为：4． 【变式2】已知a＝+2，b＝﹣2，求下列代数式的值： （1）a2﹣2ab+b2； （2）a2﹣b2． 【分析】（1）直接利用已知得出a+b，a﹣b的值，进而结合完全平方公式计算得出答案； （2）结合平方差公式计算得出答案． 【解答】解：∵a＝+2，b＝﹣2， ∴a+b＝+2+﹣2＝2， a﹣b＝（+2）﹣（﹣2）＝4， （1）a2﹣2ab+b2 ＝（a﹣b）2 ＝42 ＝16； （2）a2﹣b2 ＝（a+b）（a﹣b） ＝2×4 ＝8． 【变式3】已知a＝，b＝ （1）化简a，b； （2）求a2﹣4ab+b2的值． 【分析】（1）利用分母有理化求解可得； （2）将化简后的a、b的值代入原式＝（a﹣b）2﹣2ab计算可得． 【解答】解：（1）a＝＝＝＝﹣2， b＝＝＝＝+2； （2）原式＝（a﹣b）2﹣2ab ＝（﹣﹣2）2﹣2×（﹣2）（+2） ＝（﹣4）2﹣2×（5﹣4） ＝16﹣2 ＝14． 【变式4】小芳在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的： a＝＝2﹣，∴a＝2﹣， ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： （1）计算：． （2）若a＝． ①化简a，求4a2﹣8a﹣1的值； ②求a3﹣3a2+a+1的值． 【分析】（1）根据平方差公式可以求出所求式子的值； （2）①根据平方差公式可以化简a，然后即将a变形，即可得到a2﹣2a的值，再整体代入化简后的式子计算即可； ②根据①中a2﹣2a的值，将所求式子变形，再整体代入计算即可． 【解答】解：（1） ＝﹣1+++…+ ＝﹣1+ ＝﹣1+10 ＝9； （2）①a＝＝＝＝+1， ∴a＝+1， ∴（a﹣1）2＝（）2＝2， ∴a2﹣2a+1＝2， ∴a2﹣2a＝1， ∴4a2﹣8a﹣1 ＝4（a2﹣2a）﹣1 ＝4×1﹣1 ＝4﹣1 ＝3； ②由①知a2﹣2a＝1， ∴a3﹣3a2+a+1 ＝a（a2﹣2a）﹣（a2﹣2a）﹣a+1 ＝a×1﹣1﹣a+1 ＝a﹣1﹣a+1 ＝0． 题型06 二次根式的应用 【典例1】已知等腰三角形的两边长为2和5，则此等腰三角形的周长为（　　） A．4+5 B．2+10 C．4+10 D．4+5或2+10 【分析】先由三角形的三边关系确定出第三边的长，再求周长． 【解答】解：∵2×2＜5 ∴只能是腰长为5 ∴等腰三角形的周长＝2×5+2＝10+2． 故选：B． 【变式1】若一个三角形的周长为12cm，一边长为3cm，其他两边之差为cm，则这个三角形的形状是　直角三角形　． 【分析】根据已知分别求出三角形的各边长，再利用勾股定理逆定理求出即可． 【解答】解：设其中一边长为xcm，则另一边长为（x+）cm， 根据题意得出：12＝3+x+x+， 解得：x＝4， 故另一边长为：5， ∵（3）2+（4）2＝75，（5）2＝75， ∴（3）2+（4）2＝（5）2， ∴这个三角形的形状是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【变式2】高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足（不考虑风速的影响）． （1）从200m高空抛物到落地所需时间t是多少？ （2）从高空抛物经过3s落地，该物体下落的高度是多少？ 【分析】（1）把h＝200代入公式求解，可得结论； （2）把t＝3代入公式求解，可得结论． 【解答】解：（1）当h＝200时，t＝＝2（秒）． 答：从200m高空抛物到落地所需时间t是2秒； （2）当t＝3秒时，3＝， ∴h＝45， 答：从高空抛物经过3s落地，该物体下落的高度是45m． 【变式3】如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该如何计算它的面积呢？ 我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：S＝（秦九韶公式）； 古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式：S＝（海伦公式），其中． 秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边长直接求三角形面积的问题，它们虽然形式不同，但完全等价，请使用这两个公式解决下面的问题： （1）如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为 　　； （2）如图，在△ABC中，已知AB＝13，BC＝14，AC＝15． ①△ABC的面积为 　84　； ②作AD⊥BC于点D，求CD的长． 【分析】（1）将a＝，b＝，c＝代入公式求解即可； （2）①利用公式求解，即可得解；②根据面积法先求出AD，再由题意根据勾股定理即可得解． 【解答】解：（1）∵三角形的三边长依次为，，， ∴a＝，b＝，c＝． ∴秦九韶公式求解S＝ ＝ ＝ ＝． 又p＝， ∴p﹣a＝﹣＝， p﹣b＝，p﹣c＝． ∴S2＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c） ＝××× ＝[（+）2﹣（）2][（）2﹣（﹣）2] ＝（2+8）（2﹣8） ＝（168﹣64） ＝． ∴S＝． （2）①∵AB＝13，BC＝14，AC＝15， ∴＝＝21， ∴海伦公式求解S＝＝＝84； 秦九韶公式求解S＝ ＝ ＝ ＝ ＝84． ②∵AD⊥BC，BC＝14， ∴×14×AD＝84． ∴AD＝12． 又∵AC＝15，∠ADC＝90°， ∴CD＝＝＝9． 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先把每一个二次根式化为最简二次根式，然后被开方数相同的二次根式为同类二次根式，据此判断即可． 【解答】解：＝2， A、＝2，与2不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B、＝3与2不是同类二次根式，故此选项不符合题意； C、＝3与2是同类二次根式，故此选项符合题意； D、＝5与2不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据算术平方根和二次根式的运算法则去判断即可． 【解答】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（　　） A．m＝2 B．m＝3 C．m＝5 D．m＝6 【分析】根据同类二次根式的概念列出方程，解方程即可． 【解答】解：∵和最简二次根式是同类二次根式， ∴7﹣2m＝3， 解得m＝2． 故选：A． 4．估计的值应在（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【分析】先根据二次根式混合运算的法则进行计算，再估算出结果的取值范围即可． 【解答】解： ＝2﹣2 ＝﹣2， ∵36＜48＜49， ∴6＜＜7， ∴4＜﹣2＜5， 故选：C． 5．化简时，甲的解法是：原式＝＝；乙的解法是：原式＝＝，以下判断正确的是（　　） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 【分析】分析可发现，甲是根据分式性质进行分母有理化，然后进行约分得出结果，乙是先将分子进行因式分解，再进行约分得出结果． 【解答】解：甲根据分式的基本性质，给分子分母同乘以+，进行约分得出结果． 乙是先将分子进行因式分解，再与分母进行约分得出结果． 综上可知甲、乙都正确． 故选：C． 6．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】先把原式变形为，进一步变形得到，据此计算求解即可． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝， 故选：A． 7．如果，，那么a、b的关系是（　　） A．ab＝﹣1 B．a＝b C．a+b＝0 D．ab＝1 【分析】根据分母有理化的法则将b进行化简，进而得出结论． 【解答】解：∵＝＝2+，a＝2+， ∴a＝b． 故选：B． 8．已知x＝，y＝，则x2+xy+y2的值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．7 【分析】先把x、y的值代入原式，再根据二次根式的性质把原式进行化简即可． 【解答】解：原式＝（x+y）2﹣xy ＝（+）2﹣× ＝（）2﹣ ＝5﹣1 ＝4． 故选：B． 9．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从50m高空抛物到落地所需时间为t1．从100m高空抛物到落地所需时间为t2，则t2：t1的值是（　　） A． B． C． D．2 【分析】将h＝50代入进行计算即可；将h＝100代入进行计算，再计算t2与t1的比值即可得出结论． 【解答】解：当h＝50时，（秒）； 当h＝100时，（秒）； ， 故选：C． 10．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知△ABC的三边长分别为，，，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC的三边长分别为，，的面积，从而可以解答本题． 【解答】解：∵，且，，， ∴a2＝5，b2＝6，c2＝7， ∴ ＝ ＝ ＝， 故选：C． 11．数学课上，嘉嘉做了几道计算题：①，②，③，④，⑤；请你当小老师检查一下，嘉嘉做对的题号是 　③⑤　（填序号）． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式混合运算的法则进行计算即可，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 【解答】解：①，原计算错误，不符合题意； ②与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意； ③，正确，符合题意； ④，原计算错误，不符合题意； ⑤，正确，符合题意， ∴正确的有2个，分别是③⑤， 故答案为：③⑤． 12．如果两个最简二次根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是 　　． 【分析】先根据同类二次根式的定义得出3a﹣4＝16﹣a，即可求出a的值，再根据二次根式有意义的条件得出25﹣2x≥0，即可求出x的取值范围． 【解答】解：由题意得，3a﹣4＝16﹣a， 解得a＝5， 所以为， 若其有意义， 则25﹣2x≥0， 解得x≤， 故答案为：． 13．已知，则代数式m2﹣2m+2的值是 　4　． 【分析】先把所求的代数式变形为（m﹣1）2+1，然后把m的值代入计算即可． 【解答】解：∵m＝+1， ∴m2﹣2m+2＝（m﹣1）2+1＝（+1﹣1）2+1＝3+1＝4． 14．已知，，则代数式x2﹣xy+y2的值为 　13　． 【分析】先化简x、y的值，然后把x2﹣xy+y2变形为（x+y）2﹣3xy，再把x、y的值代入计算即可． 【解答】解：由条件可知：，， ∴原式＝（x+y）2﹣3xy ＝42﹣3×1 ＝13， 故答案为：13． 15．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为S1＝18，S2＝12，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为 　　． 【分析】先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【解答】解：∵三个小正方形的面积分别为18、12、2， ∴三个小正方形的边长分别为、、， 由题图知：大正方形的边长为：， ∴ ＝ ＝． 故答案为：． 16．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先根据算术平方根、立方根、零指数幂、绝对值的运算法则计算，再合并即可； （3）先根据完全平方公式、二次根式的性质与化简、平方差公式计算，再合并即可； （4）先算括号里面的，再算二次根式的除法即可． 【解答】解：（1） ＝ ＝ ＝； （2） ＝ ＝； （3） ＝ ＝； （4） ＝ ＝ ＝2． 17．已知，，求下列各式的值： （1）x2+xy+y2； （2）． 【分析】（1）先利用分母有理化法则求出，进而得到，xy＝1，再根据完全平方公式的变形求解即可； （2）根据进行求解即可． 【解答】解：（1）∵，， ∴，， ∴，， ∴x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy＝12﹣1＝11； （2） ＝ ＝ ＝ ＝10． 18．如图，某小区有一块矩形空地ABCD，矩形空地的长BC为，宽AB为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为． （1）求矩形空地ABCD的周长；（结果化为最简二次根式） （2）除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【分析】（1）根据长方形的周长公式进行计算即可求解； （2）先求得长方形的面积，根据面积乘以6即可求解． 【解答】解：（1） ＝ ＝ ＝（米）． 答：长方形ABCD的周长为米． （2） ＝ ＝48﹣9 ＝39（平方米）． 6×39＝234（元）． 答：购买地砖需要花费234元． 19．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答： （1）的整数部分是 　4　，小数部分是 　﹣4　； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （3）已知：，其中x是整数部分，y是小数部分，求xy的值． 【分析】（1）先用夹逼法估算，即可解答； （2）先用夹逼法估算和，得出a和b的值，即可解答； （3）先得出的取值范围，再得出的取值范围，进而得出x和y的值，即可解答． 【解答】解：（1）∵16＜17＜25， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是； 故答案为：； （2）∵4＜5＜9，9＜13＜16， ∴， ∵的小数部分为的整数部分为b， ∴， ∴． （3）∵1＜3＜4， ∴，即， ∴， ∵x是整数部分，y是小数部分， ∴， ∴． 20．阅读材料，回答下列问题． 【材料一】两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：，我们称和互为有理化因式，+1和﹣1互为有理化因式． （1）的有理化因式是 　　，2﹣的有理化因式是 　2+　；（写出一个即可） 【材料二】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：； 【材料三】与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．例如：． （3）用分子有理化直接比较和（n≥2）的大小． 【分析】（1）根据有理化因式的定义求解； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式； （3）先分子有理化得到﹣＝，﹣＝，然后比较＜， 【解答】解：（1）的有理化因式是，2﹣的有理化因式是2+； 故答案为：，2+；（答案不唯一） （2）原式＝﹣1+﹣+﹣+...+﹣ ＝﹣1 ＝45﹣1 ＝44； （3）﹣＝＝＝， ﹣＝＝＝， ∵＞， ∴＜， ∴﹣＜﹣． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$