专题02 特殊三角形（11个知识回顾+15种重点题型归纳+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（浙教版）

专题02 特殊三角形 （11个知识回顾+15种重点题型归纳+过关检测） 题型聚焦：核心考点+中考题型，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 图形的轴对称及性质】 【题型2 折叠问题】 【题型3 等腰三角形的判定】 【题型4 等腰三角形的性质】 【题型5 等边三角形的判定】 【题型6 等边三角形的性质】 【题型7 等腰三角形的存在性】 【题型8 逆命题和逆定理】 【题型9 直角三角形的性质】 【题型10 含30度角的直角三角形】 【题型11 直角三角形斜边中线定理】 【题型12 勾股定理】 【题型13 勾股定理的逆定理】 【题型14 勾股定理的应用】 【题型15 直角三角形全等的判定】 知识点01 轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这 条线段的垂直平分线. 知识点02 轴对称性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 知识点03 画轴对称图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形. 知识点04轴对称之最短路径问题 基本图模 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 知识点05 等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 知识点06 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 知识点07 命题、定理、证明 知识点08 直角三角形的性质与判定 性质 1. 两锐角之和等于90° 2. 斜边上的中线等于斜边的一半 3. 30°角所对的直角边等于斜边的一半 4. 若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°（应用时需先证明） 判定 1. 有一个角为90°的三角形时直角三角形 2. 有两个角的和时90°的三角形是直角三角形 3. 一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形 面积公式 ，其中a是底边常，hs是底边上的高 知识点09 角的平分线的性质 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 知识点 10 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上。 重要拓展： 1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。 2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。 ∵AD是∠BAC的角平分线； ∴DF=DE； ∵；； ∴ = ； 知识点11线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 线段的垂直平分线的判定 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 题型归纳 【题型1 图形的轴对称及性质】 1．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，，点B关于的对称点E恰好落在上．若，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，与关于直线l对称，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，的面积为，平分，点，分别为，上动点，连结，，则的最小值为 ． 4．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，，，点，分别在，上，且与关于对称，则的周长为 ． 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上． (1)作关于直线对称的图形； (2)若网格中最小正方形的边长为，求的面积； (3)在直线上找一点，则的最小值为______． 【题型2 折叠问题】 1．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，将沿直线折叠后，点B与点A重合，已知，的周长为，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·浙江温州·开学考试）如图所示，在四边纸片中，，，将纸片沿折叠，点点，处，且经过点B，交于点G，连接，若平分，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在三角形纸片中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，若的周长为，则的周长为，则为 ． 4．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，已知在中，，为边上一点，连接，将沿向上折叠，若，则 ． 5．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在长方形纸片中，点在边上，将长方形纸片沿折叠后，点的对应点为点，交于点． (1)判断和的大小关系，并说明理由； (2)连结，若平分，，求的度数． 【题型3 等腰三角形的判定】 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图钢架中，，焊上等长的钢条，，…，来加固钢架．若，问这样的钢条至多需要的根数为（     ） A．2根 B．3根 C．4根 D．5根 3．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，，点B的对应点点D落在边上，若，则的度数是 ． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，垂直平分，，则的度数是 ． 5．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，点D，E在的边BC上，．    (1)求证：； (2)若，求证：． 【题型4 等腰三角形的性质】 1．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，，分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在中，．在，上分别截取，，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．若，则的长为（    ） A．12 B．3 C．8 D．10 3．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，于点D，点E，F分别在上，且，则 ． 4．（23-24八年级上·重庆忠县·期末）如图，在中，，，平分，交的延长线于点，若，则 ． 5．（23-24八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【题型5 等边三角形的判定】 1．（23-24八年级上·广西玉林·期末）在下列命题中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确的命题有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（2024八年级下·全国·专题练习）下列三角形：①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（　　） A．①②③④ B．①②④ C．①③ D．②③④ 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在中，，，的对边分别是a，b，c，且满足，则是 三角形． 4．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，，，分别是，的中垂线，，则 ． 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． (1)如图1，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； (2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 【题型6 等边三角形的性质】 1．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（    ） A．4.5 B．5.5 C．6 D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，点P是内部一点，点关于，的对称点分别是，，直线交，于点，，若的周长是15，且，则的长为（    ） A． B． C． D．5 3．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ． 4．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，已知，P是内一点，，M、N分别是、上的动点，则的周长的最小值是 ． 5．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，求的长． 【题型7 等腰三角形的存在性】 1．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 4．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条．    5．（2024八年级下·全国·专题练习）如图1，已知等边中，D、E分别是上的点，连接． (1)若，求证：是等边三角形； (2)如图2，若D、E分别为中点，连接，与相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（与除外） 【题型8 逆命题和逆定理】 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）下列命题：①同位角相等；②三条边相等的三角形是等边三角形；③若，则；其中逆命题是真命题的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（23-24七年级下·山东泰安·期末）已知下列命题：①若，则；②若，则；③三个内角相等的三角形是等边三角形；④底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 ． 4．（24-25八年级上·浙江温州·期中）命题“如果，那么．”的逆命题为 ． 5．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【题型9 直角三角形的性质】 1．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是斜边上的高线，，则（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，为直角三角形，，是斜边上的高，，则的度数是 ． 4．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若中有两个角相等，则 ． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，平分，，，求： (1)的度数； (2)的度数． 【题型10 含30度角的直角三角形】 1．（23-24八年级上·四川泸州·期中）如图，，平分，点是射线上一点，，于点，点是射线上的一个动点，则的长度的最小值是（　　　） A．5 B．6 C．7 D．4 2．（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交于点E，交于点D，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 3．（23-24八年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，在中，，点D在线段上，且，，，则的长度为 ． 4．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交和于点D，E．若，则线段的长度等于 ． 5．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）某综合实践小组设计了一个简易发射器，其示意图如图1所示，发射杆始终平分同一平面内两条固定轴所成的，且，，发射中心D能沿着发射杆滑动，、为橡皮筋． (1)证明：； (2)当由图2中的等边变成直角的过程中，发射中心D向下滑动的距离是多少? 【题型11 直角三角形斜边中线定理】 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，是斜边上的中线，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·浙江金华·期中）如图，△中，，点，分别在，上，是的中点．若，，则的长是（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，已知和，，点是的中点，连接，，，设．则当 时，为等边三角形．（用含的代数式表示）    4．（23-24八年级下·云南德宏·期末）如图，在中，于点D，，E是的中点，则等于 ． 5．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）在中，是边上的高，、分别为、边上的中点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【题型12 勾股定理】 1．（23-24八年级上·浙江丽水·期中）如图，在等腰直角三角形纸片中，，D是的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，三条直线互相平行，的三个顶点分别在三条平行线上．已知，，且之间的距离为2，之间的距离为3，则的面积为（    ） A．6 B． C．10 D．13 3．（23-24八年级下·河南信阳·期中）如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直角边长为，较长的直角边长为，大正方形的边长是，那么 ．    4．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，，则的值是 ． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，． (1)用尺规作图：作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，于，若，，求的长度． 【题型13 勾股定理的逆定理】 1．（23-24八年级下·广西南宁·期中）在中，已知，，，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，分别以各边为边在外作正方形，，，分别表示这三个正方形的面积，已知，，，则是 三角形． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，能构成 个直角三角形． 5．（23-24八年级下·贵州铜仁·期末）在一次“探究性学习”中，老师设计了如下数表： 2 3 4 5 6 … … 4 6 8 10 12 … … （1）观察上表，用含（且为整数）的代数式表示，，，则 ， ， ． （2）在（1）的条件下判断：以，，为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论． 【题型14 勾股定理的应用】 1．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，要为一段高为5米， 长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯的长度至少为（    ）    A．18米 B．17 米 C．13米 D．12米 2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（    ）．    A．4 B．5 C．6 D． 3．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，一条路的两边有两棵树，一棵树高为11米，另一棵树高为6米，两树的距离为12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米． 4．（23-24七年级下·全国·假期作业）《九章算术》是古代数学著作，书中记载：“今有开门去阃（读kǔn，门槛）一尺，不合二寸，问：门广几何？”题目大意是如图①、图②（图②为图①的俯视示意图），今推开双门，门框上点和点到门槛的距离为1尺（1尺寸），双门间的缝隙为2寸，则门宽的长是 寸． 5．（23-24八年级上·浙江温州·期中）为了测量学校旗杆的高度，八（1）班的两个数学研究小组设计了不同的方案，请结合下面表格的信息，完成任务问题． 测量旗杆的高度 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图     设计方案及测量数据 在地面确定点C，并测得旗杆顶端A的仰角，即． 如图1，绳子垂直挂下来时，相比旗杆，测量多出的绳子长度为2米． 如图2，绳子斜拉直后至末端点P位置，测量点P到地面的距离为1米，以及点P到旗杆的距离为9米． 任务一 判断分析 第一小组要测旗杆的高度，只需要测量的长度为线段______，并说明理由． 任务二 推理计算 利用第二小组获得的数据，求旗杆的高度． 【题型15 直角三角形全等的判定】 1．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知于点，交于点，于点，且．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，，边的垂直平分线交的外角的平分线于点D，垂足为E，于点F，于点G，连接．则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2024·北京东城·一模）在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 4．（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）如图，在中，，，，线段，P，Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟，当运动时间为 秒时，和全等． 5．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，△中，，，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 过关检测 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列条件中，使两个等腰三角形不一定全等的是（   ） A．两腰对应相等 B．顶角和底边对应相等 C．一腰和底边对应相等 D．一腰和底角对应相等 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，点，分别在的边上，且，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，D为内一点，平分，垂足为D，交于点E，则的长为（  ） A．3 B． C． D．2 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，中，，，，现将沿进行翻折，使点刚好落在上，则的长为（   ） A．5 B． C．4 D．3 5．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，中，的平分线与边的垂直平分线相交于点D，交的延长线于点E，于点F，下列结论： ①；②；③平分；④．正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 6．（2024·北京东城·一模）在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 7．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如果一个等腰三角形的一个内角为，那么它的一个底角为 度． 8．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，是与的斜边，，，位于的异侧，是的中点，连接，，，若，，则的大小是 ．    9．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于F，，若，则 ． 10．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，以的各边为斜边分别向外作等腰直角三角形，已知点在线段上，，，记面积为，面积为，则的值为 ． 11．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时底端到墙角的距离为米． (1)此时，这架梯子的顶端距离地面有多高？ (2)如果梯子的底端向内移动米，则顶端沿墙向上移动多少米？ 12．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 13．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． (1)若a，b，c满足，试判断的形状，请说明理由； (2)若，，且c是奇数，求的周长． 14．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，． (1)如图1，当，为的角平分线时，求证：； (2)如图2，当，为的角平分线时，线段，，的数量关系为________； (3)如图3，当为的外角平分线时，线段，，的数量关系为________； 15．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动． (1)当点运动到点时，点运动到什么位置?请通过计算说明． (2)点、运动几秒时，可得到等边？ (3)点、运动几秒时，可得到?请直接写出结果． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 特殊三角形 （11个知识回顾+15种重点题型归纳+过关检测） 题型聚焦：核心考点+中考题型，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 图形的轴对称及性质】 【题型2 折叠问题】 【题型3 等腰三角形的判定】 【题型4 等腰三角形的性质】 【题型5 等边三角形的判定】 【题型6 等边三角形的性质】 【题型7 等腰三角形的存在性】 【题型8 逆命题和逆定理】 【题型9 直角三角形的性质】 【题型10 含30度角的直角三角形】 【题型11 直角三角形斜边中线定理】 【题型12 勾股定理】 【题型13 勾股定理的逆定理】 【题型14 勾股定理的应用】 【题型15 直角三角形全等的判定】 知识点01 轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这 条线段的垂直平分线. 知识点02 轴对称性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 知识点03 画轴对称图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形. 知识点04轴对称之最短路径问题 基本图模 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 知识点05 等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 知识点06 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 知识点07 命题、定理、证明 知识点08 直角三角形的性质与判定 性质 1. 两锐角之和等于90° 2. 斜边上的中线等于斜边的一半 3. 30°角所对的直角边等于斜边的一半 4. 若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°（应用时需先证明） 判定 1. 有一个角为90°的三角形时直角三角形 2. 有两个角的和时90°的三角形是直角三角形 3. 一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形 面积公式 ，其中a是底边常，hs是底边上的高 知识点09 角的平分线的性质 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 知识点 10 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上。 重要拓展： 1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。 2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。 ∵AD是∠BAC的角平分线； ∴DF=DE； ∵；； ∴ = ； 知识点11线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 线段的垂直平分线的判定 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 题型归纳 【题型1 图形的轴对称及性质】 1．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，，点B关于的对称点E恰好落在上．若，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和的运用，解决问题的关键是作出正确辅助线． 连接，过A作于F，依据，，即可得出，再根据三角形内角和，即可得到． 【详解】解：如图，连接，过点A作于点， ∵点B关于的对称点E恰好落在上， ∴垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴中，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，与关于直线l对称，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，根据成轴对称的个图形对应角相等的性质，即可进行解答． 【详解】解：∵与关于直线l对称，， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，的面积为，平分，点，分别为，上动点，连结，，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的性质，轴对称的性质，垂线段最短等知识．明确线段和最小的情况是解题的关键． 如图，作关于的对称点，连接，作于，由平分，可知在上，由，可知当三点共线，且时，的值最小为，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，作于， ∵平分， ∴在上， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小为， ∴， 解得， 故答案为：4． 4．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，，，点，分别在，上，且与关于对称，则的周长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了轴对称图形的特征．根据“关于某直线对称的图形对应边相等”即可求得结果． 【详解】解：∵与关于对称， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：7． 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上． (1)作关于直线对称的图形； (2)若网格中最小正方形的边长为，求的面积； (3)在直线上找一点，则的最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路径问题，三角形的面积，勾股定理等知识点，解决本题的关键是掌握轴对称的性质准确作出点P． （1）根据轴对称的性质即可作出； （2）根据网格即可求的面积； （3）连接交直线于点P，此时的值最小． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：的面积为． （3）解：连接，交直线于点，连接， 此时，为最小值． 由勾股定理得，， 的最小值为． 故答案为：． 【题型2 折叠问题】 1．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，将沿直线折叠后，点B与点A重合，已知，的周长为，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，折叠后对应线段相等、对应角相等；由折叠知，由的周长即可求得结果． 【详解】解：由折叠知； ∵的周长为， ∴， 即， ∴； 故选：B． 2．（23-24八年级上·浙江温州·开学考试）如图所示，在四边纸片中，，，将纸片沿折叠，点点，处，且经过点B，交于点G，连接，若平分，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了折叠的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，连接，由平角的定义求出，由折叠可得，，进一步求出，，由三角形内角和定理得到，由折叠可得. 【详解】如图所示，连接， ∵， ∴， 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴中，， 由折叠可得， 故选：C． 3．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在三角形纸片中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，若的周长为，则的周长为，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，等式的性质，熟练掌握折叠的不变性是解题的关键． 由折叠知，设，，分别表示两个三角形的周长，利用等式的性质作差即可求解． 【详解】解：由翻折得， 设，， 则， ， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，已知在中，，为边上一点，连接，将沿向上折叠，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、邻补角的性质、对顶角相等等知识点、一元一次方程的应用等知识点，理清各角之间的关系成为解题的关键． 由折叠的性质可得，进而得到，如图：连接并延长至，可得，再结合对顶角相等列方程求得，最后根据即可解答． 【详解】解：∵将沿向上折叠， ∴，即， ∵， ∴， 如图：连接并延长至， ∴， ∵（对顶角相等）， ∴，解得：， ∴． 故答案为：120． 5．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在长方形纸片中，点在边上，将长方形纸片沿折叠后，点的对应点为点，交于点． (1)判断和的大小关系，并说明理由； (2)连结，若平分，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了长方形与折叠性质，平行线的性质等，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）由折叠性质可得，再由两直线平行内错角相等即可得出结论； （2）根据角平分线定义以及平行线性质可得，结合即可求出结果． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵长方形纸片沿折叠， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵平分， ∴． ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【题型3 等腰三角形的判定】 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，同理，则，最后由角度和差计算即可，熟练应用三角形内角和与等腰三角形的性质求解角的度数，利用垂直平分线证边相等是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图钢架中，，焊上等长的钢条，，…，来加固钢架．若，问这样的钢条至多需要的根数为（     ） A．2根 B．3根 C．4根 D．5根 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和是180度、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，找到规律是解题的关键． 根据等边对等角得出，则可得出的度数，以及的度数，根据平角为180度和三角形内角和，结合等腰三角形底角度数小于90度即可求出最多能焊上的钢条数． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， 此时就不能再往上焊接了，综上所述，可焊上等长的钢条，，总共可焊上3条． 故选：B． 3．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，，点B的对应点点D落在边上，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质；根据全等三角形的性质得出，，进而得到，由即可求解． 【详解】解：，， ，， ， ， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，垂直平分，，则的度数是 ． 【答案】/18度 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键．利用线段垂直平分线得，即可求出，利用，即可求出，最后利用角度和差即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，点D，E在的边BC上，．    (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形等边对等角的性质可以得到，然后证明和全等，根据全等三角形对应边相等有，再根据等边对等角的性质即可证明． （2）利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理，求得， ，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 在和中， ， ， ， ． （2）证明：∵， ∴， ∴， 由(1)知∶ ， ∴， ∴， ∴． 【题型4 等腰三角形的性质】 1．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，，分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，．再利用角平分线定义即可得出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】是的中线，，， ， 是的角平分线， ， ∴． 故选：C． 2．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在中，．在，上分别截取，，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．若，则的长为（    ） A．12 B．3 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图和等腰三角形的性质，根据作图过程可得，平分，根据等腰三角形三线合一的性质求解即可.解题的关键在于能够准确判断出平分． 【详解】解：根据作图过程可得，平分， 又∵， ∴, 故选：A． 3．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，于点D，点E，F分别在上，且，则 ． 【答案】/6厘米 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质．利用等腰直角三角形的性质和已知条件证明即可得到． 【详解】解：∵，点D是的中点， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴， 在和中，， ∵，，， ∴ ， ∵， ∴． 故答案为： 4．（23-24八年级上·重庆忠县·期末）如图，在中，，，平分，交的延长线于点，若，则 ． 【答案】 【分析】根据CD平分∠ACB，BD⊥CD，CD=CD，先证△BCD≌△FCD，得到△BCF为等腰三角形，BF=2BD，再证△BAF≌△CAE，即可得答案． 【详解】解：如下图：延长BD与CA的延长线交于F点， ∵CD平分∠ACB，BD⊥CD， ∴∠BCD=∠FCD，∠BDC=∠CDF=90°， 又∵CD=CD， ∴△BCD≌△FCD， ∴BC=CF， ∴△BCF为等腰三角形， ∴BF=2BD， ∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，∠DEB=∠AEC， ∴∠FBA=∠ECF， 在△BAF和△CAE中， ∴△BAF≌△CAE， ∵BF=CE， ∵BF=2BD， ∴CE=2BD， ∵BD=， ∴CE=2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是延长BD与CA的延长线交于F点，构造△BAF≌△CAE． 5．（23-24八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)110度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形“三线合一”，“等边对等角”，角平分线上的点到两端距离相等，以及三角形的内角和是180度，是解题的关键． （1）连接，根据“三线合一”得出平分，再根据角平分线的性质定理，即可求证； （2）先根据直角三角形两个锐角互余得出，再根据“等边对等角”得出，最后根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ，D是的中点， 平分， ，， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ． 【题型5 等边三角形的判定】 1．（23-24八年级上·广西玉林·期末）在下列命题中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确的命题有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】此题主要考查了命题与定理，关键是掌握等边三角形的判定方法．根据有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，三个角相等的三角形是等边三角形进行分析即可． 【详解】解：①有一个外角是等腰三角形，即有一个内角是，故此三角形是一个内角为的等腰三角形，是等边三角形，故正确； ②有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，命题错误； ③有一边上的高也是这边上的中线的三角形不一定是等边三角形，命题错误； ④三个外角都相等的三角形是等边三角形，命题正确， 正确的命题有2个， 故选：C． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）下列三角形：①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（　　） A．①②③④ B．①②④ C．①③ D．②③④ 【答案】A 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定是解决问题的关键． 根据等边三角形的判定定理，对题目中给出的四个三角形逐一进行甄别即可得出答案． 【详解】解：根据等边三角形的判定可知：有两个角等于的三角形是等边三角形，故①可以判定为等边三角形； 根据等边三角形的判定可知：有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，故②可以判定为等边三角形； ∵三角形的外角和等于， 又∵三角形的三个外角都相等， ∴这个三角形的三个外角都等于， ∴这个三角形的三个内角都等于， ∴这个三角形是等边三角形， ∴三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形是等边三角形，故③可以判定为等边三角形； ∵一腰上的中线也是这条腰上的高， ∴这条线是腰的垂直平分线， ∴腰与底相等， 又∵腰与底相等的等腰三角形是等边三角形， ∴一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形是等边三角形，故④可以判定为等边三角形． 综上所述：①②③④都能判定为等边三角形，共有4个． 故选：A． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在中，，，的对边分别是a，b，c，且满足，则是 三角形． 【答案】等边 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，绝对值和完全平方式的非负性， 根据绝对值和完全平方公式的非负性求出a，b，c的关系，可得答案． 【详解】解：， ，且， ， 是等边三角形， 故答案为：等边． 4．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，，，分别是，的中垂线，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线的性质和等边三角形的证明，熟练掌握垂直平分线的性质和等边三角形的判定是解题的关键，连接，，易证得为等边三角形，即可得到，进而得到答案． 【详解】解：连接，，如图所示， ∵，， ∴， ∵，分别是，的中垂线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． (1)如图1，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； (2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 【答案】(1)①；②为等边三角形，见解析 (2)的度数为或． 【分析】（1）①根据，得，则，进而得，再根据，得，进而得，然后根据，得，由此可得的度数； ②根据平分，设，则，根据得，根据得，则，，再根据三角形内角和定理得，则，进而得，，，由此可判定的形状； （2）分两种情况讨论如下：①当直线与线段交于点时，设，则，，再根据得，再根据三角形内角和定理得，则，②当直线与的延长线交于点时，设，则，再求出，得，根据得，再根据三角形内角和定理得，则，综上所述即可得出的度数． 【详解】（1）解：①在中，，， ， ， 又， ， ，， ， 在中，，， ； ②为等边三角形，理由如下： 如图1所示： 平分， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， 在中，，， ， ，， 在中，， ， ，，， 为等边三角形； （2）解：的度数为或，理由如下： 直线与直线相交于点，且是以为腰的等腰三角形， 有以下两种情况： ①当直线与线段交于点时，如图2①所示： 设， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 即， ②当直线与的延长线交于点时，如图2②所示： 设， ， ， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 综上所述：的度数为或． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 【题型6 等边三角形的性质】 1．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（    ） A．4.5 B．5.5 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，中垂线的判定和性质，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．连接交于点O，由题意可证垂直平分，，是等边三角形，是等腰三角形，作差计算即可． 【详解】解：连接交于点O， ∵ ∴垂直平分，是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，是等腰三角形， ∴，， ∴． 故选C． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，点P是内部一点，点关于，的对称点分别是，，直线交，于点，，若的周长是15，且，则的长为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握基础知识，并能数形结合是关键．由轴对称的性质知：，，，，证明是等边三角形，求解即可． 【详解】解：连接， 由轴对称的性质知：，，，， ，即， ，， 是等边三角形， 的周长是15， 的长为， 故选：D． 3．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．先证明，进而可依据判定，则，证明是等边三角形，进而证明是等边三角形，则，再求出，即可得出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，已知，P是内一点，，M、N分别是、上的动点，则的周长的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明是等边三角形是关键． 分别作点P关于，的对称点，，连接交于M，交于N，的周长，然后证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：分别作点P关于，的对称点，，连接交于M，交于N，连，则，，，，，则的周长的最小值， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 的周长， ∴． ∴的周长的最小值是3． 5．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和，等腰三角形的判定与性质，比较基础，难度不大． （1）根据是等边三角形和平行线的性质，可证，再根据三角形内角和为，即可求得． （2）根据题意易证，从而可得到，故此可证为等腰三角形． （3）根据等边三角形的性质可得，再根据，可得，然后由进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （3）解：由（1）可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【题型7 等腰三角形的存在性】 1．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键； 在火车自左向右运动的过程中，车长可以是腰，也可以是底边，分别判断即可． 【详解】解：当车长为底时， ， 是等腰三角形是； 当车长为腰时， ，，，， ，，，是等腰三角形， 故得到的等腰三角形共有5个． 故选：D． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴为等腰三角形，， ∵ ∴， ∴，为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴，为等腰三角形， ， ∴，为等腰三角形， ∵，， ∴ ∴，为等腰三角形． 综上所述：共有5个等腰三角形． 故选C． 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 【答案】3 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答． 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点， ， ， ∴都是等腰三角形； 故答案为：3． 4．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条．    【答案】4 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识， 根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】如图所示，当时，都能得到符合题意的等腰三角形．    ∴这样的直线最多可画4条． 故答案为：4． 5．（2024八年级下·全国·专题练习）如图1，已知等边中，D、E分别是上的点，连接． (1)若，求证：是等边三角形； (2)如图2，若D、E分别为中点，连接，与相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（与除外） 【答案】(1)见解析 (2)为等腰三角形 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定是解题的关键． （1）由是等边三角形，可得，由，可得，即，进而结论得证； （2）由等边，可得，，由D、E分别为中点，可得，，，，则，是等边三角形，，，可得，是等腰三角形；，则，，，；进而可得，是等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵等边， ∴，， ∵D、E分别为中点， ∴，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，是等腰三角形；， ∴，， ∴，； ∴，是等腰三角形； 综上所述，是等腰三角形． 【题型8 逆命题和逆定理】 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）下列命题：①同位角相等；②三条边相等的三角形是等边三角形；③若，则；其中逆命题是真命题的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题和逆命题，同位角定义，等边三角形的性质，乘方运算，先根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，再根据同位角定义、等边三角形的性质、实数的乘方判断即可． 【详解】解：①同位角相等，逆命题是相等的角是同位角，是假命题； ②三条边相等的三角形是等边三角形，逆命题是等边三角形三条边相等，是真命题； ③若，则，逆命题是若，则，是真命题； 综上分析可知：逆命题是真命题的有②③． 故选：C． 2．（23-24七年级下·山东泰安·期末）已知下列命题：①若，则；②若，则；③三个内角相等的三角形是等边三角形；④底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查了判断命题的真假和逆命题，熟练掌握等边三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、全等三角形的性质是解题的关键． 根据不等式的性质、有理数的加法、等边三角形的判定及性质、全等三角形的性质逐一判断即可得出答案． 【详解】解：①若，则，为假命题； 逆命题为：若，则，为假命题； 故不符合题意； ②若，则，为真命题； 逆命题为：若，则，为假命题； 故不符合题意； ③三个内角相等的三角形是等边三角形，为真命题 逆命题为：等边三角形的三个内角相等，为真命题 故符合题意； ④底角相等的两个等腰三角形全等，为假命题 逆命题为：如果两个等腰三角形全等，那么他们的底角相等，为真命题 故不符合题意； 故选D． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了逆命题，掌握命题的基本知识是解题的关键．把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】解：命题“两直线平行，同位角相等．”的题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”． 所以它的逆命题是“同位角相等，两直线平行．” 故答案为：同位角相等，两直线平行． 4．（24-25八年级上·浙江温州·期中）命题“如果，那么．”的逆命题为 ． 【答案】如果，那么 【分析】此题考查了逆命题．把原命题的题设和结论互换位置即可得到逆命题． 【详解】解：“如果，那么．”的逆命题为：如果，那么． 故答案为：如果，那么． 5．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【答案】①②③；④，证明见解析 【分析】本题考查了命题，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义； 选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到，则根据平行线的性质得到，，再有②得到，所以，接着由③得到，然后根据平行线的性质得到，然后利用等量代换得到． 【详解】解：选择的条件：①②③，结论：④． 证明如下：， ， ，， 平分， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：①②③；④． 【题型9 直角三角形的性质】 1．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是斜边上的高线，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题主要考查了直角三角形的性质．在熟记知识点的基础上应用是关键． 利用等角的余角相等进行计算． 【详解】解：∵是斜边上的高线， ∴， ∴． ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键；利用等角的余角相等证明即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； 故选：D． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，为直角三角形，，是斜边上的高，，则的度数是 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键；先根据三角形高的定义得出 ，进而根据直角三角形的两个锐角互余得． ，然后再根据 即可得出答案． 【详解】解：∵是 斜边的高， ， ， ， ， 故答案为： 4．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若中有两个角相等，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，三角形的内角和定理，根据分三种情况列方程是解题的关键．由三角形的内角和定理可求解，设，则，，由折叠可知：，，可分三种情况：当时；当时；当时，根据列方程，解方程可求解x值，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由折叠可知：， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得(不存在)； 当时， ∴， 解得， 即； 当时， ∵， ∴， ∴， 解得， 即， 综上，或， 故答案为：或． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，平分，，，求： (1)的度数； (2)的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余． （）利用三角形内角和定理先求得的度数，再根据角平分线的定义即可求解； （）根据，得出，由直角三角形的两锐角互余，求得的度数，再由角度和差即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型10 含30度角的直角三角形】 1．（23-24八年级上·四川泸州·期中）如图，，平分，点是射线上一点，，于点，点是射线上的一个动点，则的长度的最小值是（　　　） A．5 B．6 C．7 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短和角平分线性质，含30度直角三角形性质；根据垂线段最短得出当时，的值最小，求出，再求出的值即可． 【详解】当时，的值最小，根据垂线段最短， ∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴的最小值是5， 故选：A． 2．（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交于点E，交于点D，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质．根据直角三角形的性质，可得，再由线段垂直平分线的性质，可得，，，根据等腰三角形的性质可得，从而得到，然后根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B 3．（23-24八年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，在中，，点D在线段上，且，，，则的长度为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，含角直角三角形的性质，等腰三角形的判定，根据三角形外角的性质可得，从而得到，再求出，然后根据直角三角形的性质可得，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 4．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交和于点D，E．若，则线段的长度等于 ． 【答案】6 【详解】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，含有角的直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 连接，先求出，根据线段垂直平分线性质得，则，进而得，由此得，据此可求出的长． 【解答】解：连接，如下图所示： 在中，，， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 在中，，， ， ． 故答案为：6． 5．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）某综合实践小组设计了一个简易发射器，其示意图如图1所示，发射杆始终平分同一平面内两条固定轴所成的，且，，发射中心D能沿着发射杆滑动，、为橡皮筋． (1)证明：； (2)当由图2中的等边变成直角的过程中，发射中心D向下滑动的距离是多少? 【答案】(1)见解析 (2)发射中心D向下滑动的距离是． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质． （1）连接，由等腰三角形的性质得到是线段的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质即可证明； （2）分别求得和的长即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵，平分， ∴是线段的垂直平分线， ∵点D在上， ∴； （2）解：∵，是等边三角形， ∴， ∵是直角三角形，且，， ∴， ∴， ∴． 答：发射中心D向下滑动的距离是． 【题型11 直角三角形斜边中线定理】 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，是斜边上的中线，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了直角三角的性质及三角形的外角性质，等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质是解题的关键 ． 根据直角三角形的性质得，由等腰三角形性质结合三角形外角性质可得答案． 【详解】解：在中，，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级上·浙江金华·期中）如图，△中，，点，分别在，上，是的中点．若，，则的长是（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质．根据已知想到等腰三角形的三线合一，所以连接，可得，再利用等角的余角相等，证明，从而得，即可解答． 【详解】解：连接， ，是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 3．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，已知和，，点是的中点，连接，，，设．则当 时，为等边三角形．（用含的代数式表示）    【答案】/ 【分析】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内角和性质，等边三角形的性质，先由斜边上的中线等于斜边的一半，得出，再结合等边三角形的性质，则，，运用三角形的内角和性质列式计算化简，即可作答． 【详解】解：如图所示：      ∵，点是的中点， ∴分别是的中线， ∴， 即， ∴， ∵为等边三角形， ∴， 即，， ∵，且， ∴， 则， 即， 则， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·云南德宏·期末）如图，在中，于点D，，E是的中点，则等于 ． 【答案】/度 【分析】先由得出，再根据直角三角形两锐角互余求出的度数，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，算出，最后结合三角形的外角性质作答即可．本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形外角性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线的性质． 【详解】解：∵， ∴， ， 在中，， ∵E是的中点， ∴ ∴ 故答案为： 5．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）在中，是边上的高，、分别为、边上的中点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线 （1）连接，根据垂直定义可得，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答； （2）先利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用平角定义可得，再利用等腰三角形的三线合一性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 是的中线， ， ， ， 点是的中点， ； （2）解：，， ， ， ， ， ，点是的中点， ， 的度数为． 【题型12 勾股定理】 1．（23-24八年级上·浙江丽水·期中）如图，在等腰直角三角形纸片中，，D是的中点，将折叠，使点A与点D重合，为折痕．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查翻折的性质，等腰直角三角形的性质及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 根据题意得出，再由等腰直角三角形确定，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是翻折而成， ∴， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∵D是的中点， ∴， 设，则， ∴在中， 由勾股定理得，，即， 解得：， 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，三条直线互相平行，的三个顶点分别在三条平行线上．已知，，且之间的距离为2，之间的距离为3，则的面积为（    ） A．6 B． C．10 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理．过A作于D，交直线c于点E，证明，得出，根据勾股定理得出，根据三角形面积公式求出． 【详解】解：过A作于D，交直线c于点E，如图所示： ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴． 故选：B． 3．（23-24八年级下·河南信阳·期中）如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直角边长为，较长的直角边长为，大正方形的边长是，那么 ．    【答案】20 【分析】由题意可知:大正方形的边长为，，根据勾股定理和正方形的面积以及题目给出的已知数据即可求的长度． 【详解】解：由题意可知：大正方形的边长为：， 直角三角形边长分别为， 根据勾股定理可得：， 又， 可得：，， ． 故答案为：20 【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用几何直观和图形面积，本题属于基础题形． 4．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，由全等三角形的性质得，，，，由勾股定理求出，得出，然后再由勾股定理即可求出的值． 【详解】解：∵四个全等的直角三角形拼接成一个正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，． (1)用尺规作图：作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，于，若，，求的长度． 【答案】(1)见详解 (2)的长度为 【分析】本题考查尺规作图——角平分线，勾股定理等，熟练掌握尺规作图、勾股定理、角平分线的性质是解决问题的关键．（1）根据角平分线的尺规作图方法直接作图即可得到答案；（2）根据角平分线的性质可得，设，则，再根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2） 是的角平分线， ， 又，， ， 在中，，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴的长度为． 【题型13 勾股定理的逆定理】 1．（23-24八年级下·广西南宁·期中）在中，已知，，，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟悉掌握此定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理判定出是直角三角形，再根据面积公式运算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理和三角形面积的应用，连接，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和． 【详解】解：连接，则在中，    ∵， ， 在中，，， ， ， ． 故答案为：A． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，分别以各边为边在外作正方形，，，分别表示这三个正方形的面积，已知，，，则是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查直角三角形的判定，正方形的面积边长边长，则，由所给数据可知，结合勾股定理逆定理的知识求解即可． 【详解】解：，，， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，能构成 个直角三角形． 【答案】 【分析】本题考查了在网格中判断直角三角形，根据方格的特点准确的数出直角三角形的个数是解题的关键． 根据如图所示的方格图，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，然后数一数直角三角形的个数即可得出答案． 【详解】解：在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，构成的直角三角形有： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·贵州铜仁·期末）在一次“探究性学习”中，老师设计了如下数表： 2 3 4 5 6 … … 4 6 8 10 12 … … （1）观察上表，用含（且为整数）的代数式表示，，，则 ， ， ． （2）在（1）的条件下判断：以，，为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论． 【答案】（1）；；  （2）是直角三角形；证明见解析 【分析】（1）根据题意找到规律即可写出； （2）由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：（1）用含（且为整数）的代数式表示，，，为a＝，b＝2n，c＝ 故答案为：；； （2）以a，b，c为边的三角形是直角三角形 证明：∵a＝ n2－1 ，b＝ 2n ，c＝ n2 ＋1     ． ∴a2＝（n2－1）2＝n4－2n2＋1     b2＝（2n）2＝4n2 c2＝（ n2 ＋1）2 ＝n4＋2n2＋1． 又∵ a2＋b2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1 ∴ a2＋b2＝c2 ∴ 以a，b，c为边的三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 【题型14 勾股定理的应用】 1．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，要为一段高为5米， 长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯的长度至少为（    ）    A．18米 B．17 米 C．13米 D．12米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，与实际生活相联系，熟练掌握勾股定理是解题关键． 当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度米， 地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是米． 故选B． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（    ）．    A．4 B．5 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是本题的关键． 根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得：在中，， 在中，， 由题意可知：， 所以：， 解得：． 所以，的长是． 所以，． 故选：C． 3．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，一条路的两边有两棵树，一棵树高为11米，另一棵树高为6米，两树的距离为12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理，过C作平行地面，连接，由题意得米，米，由勾股定理可得的长，即小鸟至少要飞行的距离． 【详解】解：过C作平行地面，连接， 由题意得，米，米，米， 由勾股定理得，米， 故答案为：13． 4．（23-24七年级下·全国·假期作业）《九章算术》是古代数学著作，书中记载：“今有开门去阃（读kǔn，门槛）一尺，不合二寸，问：门广几何？”题目大意是如图①、图②（图②为图①的俯视示意图），今推开双门，门框上点和点到门槛的距离为1尺（1尺寸），双门间的缝隙为2寸，则门宽的长是 寸． 【答案】101 5．（23-24八年级上·浙江温州·期中）为了测量学校旗杆的高度，八（1）班的两个数学研究小组设计了不同的方案，请结合下面表格的信息，完成任务问题． 测量旗杆的高度 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图     设计方案及测量数据 在地面确定点C，并测得旗杆顶端A的仰角，即． 如图1，绳子垂直挂下来时，相比旗杆，测量多出的绳子长度为2米． 如图2，绳子斜拉直后至末端点P位置，测量点P到地面的距离为1米，以及点P到旗杆的距离为9米． 任务一 判断分析 第一小组要测旗杆的高度，只需要测量的长度为线段______，并说明理由． 任务二 推理计算 利用第二小组获得的数据，求旗杆的高度． 【答案】任务一：，理由见解析；（2）任务二：13米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键， （1）根据等腰三角形判定即可解决； （2）设旗杆的长度为x米，在中，根据勾股定理列方程并解方程即可． 【详解】解：（1），理由如下： 在中， ， ， ， 故要测旗杆的高度，只需要测量的长度为线段即可； 故答案为：； （2）设旗杆的长度为x米，则绳子的长度为米， 在中，米，米，米， ∴ ，   解得 ，    ∴旗杆的高度为13米． 【题型15 直角三角形全等的判定】 1．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知于点，交于点，于点，且．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的内角和定理，先由、得到，然后结合，得证，进而得到，再利用求得的大小，最后求得的大小． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ，， ， ． 故选：B． 2．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，，边的垂直平分线交的外角的平分线于点D，垂足为E，于点F，于点G，连接．则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，添加适当的辅助线构造全等三角形是解此题的关键． 连接，证，得出，再证，得 ，然后证，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， 垂直平分， ， 平分，，， ， 在和中 ， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ，， ． 故选：A． 3．（2024·北京东城·一模）在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 【答案】35 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点，学会通过全等三角形证明角相等是解题的关键．由，，求得，然后证明，推导出，即可求解． 【详解】解：，， ， 于点E， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：35． 4．（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）如图，在中，，，，线段，P，Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟，当运动时间为 秒时，和全等． 【答案】4或8 【分析】当运动时间为秒或8秒时，根据定理推出和全等，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ①当时， 在和中， ， ∴， ∵点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟， ∴ 所以运动时间为秒； ②当时， 在和中， ， ∴， ∵点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟， ∴， 所以运动时间为秒； 综上：当运动时间为4秒或秒时，和全等． 故答案为：4或8 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有，，，，． 5．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，△中，，，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；准确找出图形中隐含的相等或全等关系是解题的关键． （1）运用直接证明，即可利用全等三角形的性质解决问题． （2）证明；求出，即可解决问题． 【详解】（1）证明：在与中， ， ， ， ， ． （2）解：，， ， ， ， ， ； ，， ， ． 过关检测 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列条件中，使两个等腰三角形不一定全等的是（   ） A．两腰对应相等 B．顶角和底边对应相等 C．一腰和底边对应相等 D．一腰和底角对应相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定是解题的关键．根据三角形全等的判定方法，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、两腰对应相等，但是两腰的夹角不一定相等，不能判定两个三角形全等，故本选项符合题意； B、由两个等腰三角形的顶角相等，可得等腰三角形的两个底角分别相等，再加上底边对应相等，可得两个三角形全等，故本选项不符合题意； C、一腰和底边对应相等，则两个三角形的另一腰也相等，可得两个三角形全等，故本选项不符合题意； D、一腰和底角对应相等，则另一个底角也相等，可得两个三角形全等，故本选项不符合题意； 故选：A 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，点，分别在的边上，且，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握等边对等角，三角形的内角和定理是解题的关键，由等边对等角得，结合三角形的外角性质得，进而构造方程，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，D为内一点，平分，垂足为D，交于点E，则的长为（  ） A．3 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．先运用证明，再得为等腰三角形，则， 即可求解． 【详解】解：∵平分 ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 即为等腰三角形， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：D． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，中，，，，现将沿进行翻折，使点刚好落在上，则的长为（   ） A．5 B． C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理、翻折变换的性质等知识，由，，，求得，由翻折得，，，所以，由勾股定理得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将沿翻折，点A落在上， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：A． 5．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，中，的平分线与边的垂直平分线相交于点D，交的延长线于点E，于点F，下列结论： ①；②；③平分；④．正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】由角平分线的性质可知①正确；由题意可知，故此可知，，从而可证明②正确；若平分，则，与矛盾，可得③错误；连接、，然后证明，从而得到，，从而证明④． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∴①正确； ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， 同理：， ∴， ∴②正确； ∵， ∴若平分，则，与矛盾， ∴③错误； 如图所示：连接、， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵中，，中，， ∴， ∴， ∴④正确； 综上可知，正确的有①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，有一定难度，能够综合运用上述知识点是解题的关键． 6．（2024·北京东城·一模）在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 【答案】35 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点，学会通过全等三角形证明角相等是解题的关键．由，，求得，然后证明，推导出，即可求解． 【详解】解：，， ， 于点E， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：35． 7．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如果一个等腰三角形的一个内角为，那么它的一个底角为 度． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 根据题意，分类讨论：当顶角为时；当底角为时；由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：当顶角为时，两个底角相等， ∴它的一个底角为：； 当底角为时，另一个底角也是， ∴顶角为，符合题意； ∴底角的度数为：或， 故答案为：或 ． 8．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，是与的斜边，，，位于的异侧，是的中点，连接，，，若，，则的大小是 ．    【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质和三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据直角三角形的性质得到，所以，进而求出的度数，再根据等腰三角形的性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：点是的斜边的中点， ， ， ， 点是的斜边的中点，， ， ， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于F，，若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，掌握相关图形的性质是解题的关键．连接，先根据线段垂直平分线的性质得到的长，再判定是斜边边上的中线，得到的长，最后根据勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴． ∵是边上的高线， ∴是直角三角形，且． ∵是边上的中线， ∴是斜边边上的中线， ∴， ∴． ∴． 故答案为：6． 10．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，以的各边为斜边分别向外作等腰直角三角形，已知点在线段上，，，记面积为，面积为，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理等知识，根据等腰三角形的定义和勾股定理求出，，，再根据勾股定理求出，，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵是以为边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵是以为边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是以为边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：1． 11．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时底端到墙角的距离为米． (1)此时，这架梯子的顶端距离地面有多高？ (2)如果梯子的底端向内移动米，则顶端沿墙向上移动多少米？ 【答案】(1)这架梯子的顶端到地面的距离为； (2)梯子的顶端沿墙向上移动了． 【分析】（）根据勾股定理即可得到结论； （）先求出，根据勾股定理求出的长，然后即可求解； 本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，勾股定理在直角三角形中的正确运用，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， 即，所以， 即这架梯子的顶端到地面的距离为； （2）解：，， 在中，由勾股定理得， 即， ∴， ∴， 即梯子的顶端沿墙向上移动了． 12．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质和判定： （1）根据，，即可求得答案； （2）根据，可得，进而可求得． 【详解】（1）∵， ∴． ∴． ∴． （2）∵， ∴，． ∴． ∴． 13．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． (1)若a，b，c满足，试判断的形状，请说明理由； (2)若，，且c是奇数，求的周长． 【答案】(1)等边三角形，理由见解析 (2)12 【分析】（1）直接根据，得出，整理得，进行判断即可； （2）根据三角形的三边关系得出c的取值范围，再由c为奇数得出c的值，进而可得出结论． 本题考查的是等边三角形的判定与性质，三角形的三边关系，非负数的性质，熟知以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵的三边长分别为 ∴， 即 ∵c为奇数， ∴， ∴的周长． 14．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，． (1)如图1，当，为的角平分线时，求证：； (2)如图2，当，为的角平分线时，线段，，的数量关系为________； (3)如图3，当为的外角平分线时，线段，，的数量关系为________； 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 (3)，详见解析 【分析】(1)首先在上截取，连接，易证，则可得，又由，得，即，易证，则可求得； (2)由(1)得出即可； (3)首先在的延长线上截取，连接，易证，可得，，又由，易证，则可求得． 【详解】（1）证明：如图1，在上截取，连接， 为的角平分线时， , , ∴在与中 ， ， , , , ， ， ； （2）解：如图2，在上截取，连接， 为的角平分线时， , , ∴在与中 ， ， , , , ， ， ， 故答案为：； （3）解：在的延长线上截取,连接,如图3， 平分 ， 在与中， ， ， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 15．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动． (1)当点运动到点时，点运动到什么位置?请通过计算说明． (2)点、运动几秒时，可得到等边？ (3)点、运动几秒时，可得到?请直接写出结果． 【答案】(1)当点运动到点时，点运动到点处，理由见解析 (2)点、运动4秒时，可得到等边 (3)、运动的时间为3秒、秒、15秒或18秒 【分析】本题考查的是等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、一元一次方程的应用，掌握直角三角形的性质、等边三角形的性质是解题的关键． （1）求出点N运动的时间及路程即可得出答案； （2）根据等边三角形的性质得到，根据题意列方程，解方程即可； （3）分两种情况，根据直角三角形的性质列式计算即可． 【详解】（1）解：点N运动到点C， 理由：当点M运动到点C时，, ∵点N的速度为, ∴点N的运动路程为， ∵, ∴, ∴点N运动到点C． （2）解：由题意得，, ∵, ∴是等边三角形， ∴， ∴时，为等边三角形， ∴, 解得，， 则点M，N运动4秒后，可得到等边； （3）解：当时，， ∴， ∴，即, 解得，， 当时，， ∴， ∴，即, 解得，， 当秒时，点N是的中点，则为直角三角形， 当秒时，点M是的中点，则为直角三角形， 综上所述，M，N运动的时间为4.8秒或3秒或15秒或18秒时，为直角三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 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