第2章 特殊三角形 单元测试-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

第2章 特殊三角形 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第二章（特殊三角形）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．地铁是城市轨道交通线路制式的一种，世界上最早的（也是第一条）地铁是英国伦敦的大都会地铁，始建于1860年．深圳第一条地铁是深圳地铁1号线，于2004年12月28日开通运营．下列是我国各地的地铁图标，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各组数中，能构成直角三角形的三边长的是（    ） A．1，，1 B．4，5，6 C．15，12，8 D．2，40，41 3．阅读：勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．用数学语言表达为：，根据阅读资料，完成以下题目：在中，，，，则（    ） A．5 B．12 C．17 D．13 4．如图，在中，，点D为的中点，，则边为（     ） A． B．9 C．8 D．6 5．如图，在中，，，，将沿着射线的方向平移得到，连接，若，则的周长为（    ） A．20 B．24 C．36 D． 6．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（    ） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 7．在四边形中，，，分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线交于点F，，，则的长为（    ） A．8 B．6 C． D． 8．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则的值是（    ） A．7 B．14 C．21 D．28 9．如图，长方形纸片，，现将其沿对折，使得点C与点A重合，则的面积为（    ） A． B．18 C． D． 10．如图，在中，，，，平分交于点，点，分别是和边上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11．如图，，，点D为斜边的中点，，则 ． 12．等腰三角形两边长为和，则三角形周长为 ． 13．若一个直角三角形的三边长分别为 3 ，5 ，，则的值是 ． 14．如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，连接，则的度数为 ． 15．如图，是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点A爬到点C，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 m． 16．如图，，点在上．以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；再以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；再以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；…… 请按照上面的要求继续操作并探究 ① ； ②按照上面的要求一直画下去，得到点，若之后就不能再画出符合要求点了，则 ． 三、解答题：本题共7小题，共66分． 17．下图是由5张全等的正方形组成的，请你补上一个正方形，使它变成轴对称图形．（用四种不同的方法） 18．如图，在中，，过点作，平分交AD于点D，交于点．试说明：． 19．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)画出关于直线的对称图形（不写画法）； (2)在直线上画出点Q，使的值最小，并直接写出此时的最小值的平方． 20．如图，在中，． (1)用尺规作的平分线，交于点D．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求证：． 21．如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面， 并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图； ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 22．定义：若两个三角形，有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为友谊三角形． (1)若两个三角形全等，它们__________（填是或否）友谊三角形； (2)如图1，在四边形中，平分，，与是友谊三角形，请探究与之间的关系； (3)如图2，在四边形中，，，，求证：与是友谊三角形． 23．如图，为等边三角形，边长为6，P，Q分别为边上的动点，点P，点Q同时从点A出发，若P以个单位每秒的速度从点A向点B运动，点Q以2个单位每秒的速度从点A向点C运动，设运动时间为t．    (1)如图1，①当________时，P是线段的中点，此时线段与的数量关系是________． ②在点P、Q运动过程中，是否能构成等腰三角形？________； A．有可能    B．不可能    C．无法确定 (2)如图2，连接交于点M，请问当t为何值时，； (3)如图3，D为边上的中点，P，Q在运动过程中，D，P，Q三点是否能构成使的等腰三角形？若能，试求运动时间t． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 特殊三角形 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第二章（特殊三角形）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．地铁是城市轨道交通线路制式的一种，世界上最早的（也是第一条）地铁是英国伦敦的大都会地铁，始建于1860年．深圳第一条地铁是深圳地铁1号线，于2004年12月28日开通运营．下列是我国各地的地铁图标，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键；根据轴对称图形的定义逐项判断即可； 【详解】 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2．下列各组数中，能构成直角三角形的三边长的是（    ） A．1，，1 B．4，5，6 C．15，12，8 D．2，40，41 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理判定三角形的形状，根据勾股定理的逆定理分别计算较小两边的平方和，与较大边的平方相等时，该三角形是直角三角形，否则不是，据此解答 【详解】解：A、，故能构成直角三角形，符合题意； B、，故不能构成直角三角形，不符合题意； C、，故不能构成直角三角形，不符合题意； D、，故不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：A 3．阅读：勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．用数学语言表达为：，根据阅读资料，完成以下题目：在中，，，，则（    ） A．5 B．12 C．17 D．13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得，即可求解；掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ； 故选：D． 4．如图，在中，，点D为的中点，，则边为（     ） A． B．9 C．8 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理是解题的关键． 由，点D为的中点，，可得，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵，点D为的中点，， ∴， 由勾股定理得，， 故选：D． 5．如图，在中，，，，将沿着射线的方向平移得到，连接，若，则的周长为（    ） A．20 B．24 C．36 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平移的性质．根据平移性质，判定为等边三角形，然后求解． 【详解】解：由题意，得， ． 由平移性质，可知，， ，且， 为等边三角形， 的周长． 故选：B． 6．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（    ） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵米，米，米， ∴（米）． 在中，由勾股定理得到：（米）, 故选：B． 7．在四边形中，，，分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线交于点F，，，则的长为（    ） A．8 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，掌握相关的知识是解题的关键． 连接，根据等腰三角形的三线合一，垂直平分线的性质得到，根据勾股定理求解即可． 【详解】连接，如图所示， 由作图可得，平分， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 在中，， ∴． 故选：C． 8．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则的值是（    ） A．7 B．14 C．21 D．28 【答案】C 【分析】此题考查了完全平方公式与几何图形．熟练掌握正方形性质，勾股定理，完全平方公式，平方差公式 ，是解题的关键． 根据几何图形得到，，，利用完全平方公式变形求出，再求出，根据，求出，的值，根据即可得到答案． 【详解】解：∵大正方形的面积是29，小正方形的面积是9， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，∴， ∴． 故选：C． 9．如图，长方形纸片，，现将其沿对折，使得点C与点A重合，则的面积为（    ） A． B．18 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的翻折．熟练掌握矩形性质，折叠性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积公式求三角形面积，是解题关键． 由矩形性质和对折性质得到 ，设，则，在中，由勾股定理求得，结合运用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵矩形纸片中，， ∴， 由对折知， ， 设，则， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故选：A． 10．如图，在中，，，，平分交于点，点，分别是和边上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，，勾股定理，作点M关于对称的点，使得，连接，可得点在上，，则当三点共线，且时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求出，再由等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，作点M关于对称的点，使得，连接， ∵平分， ∴点在上，， ∴， ∴当三点共线，且时，有最小值，即有最小值，最小值为的长， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即的最小值是， 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11．如图，，，点D为斜边的中点，，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可求解． 【详解】解：∵，D为斜边中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2． 12．等腰三角形两边长为和，则三角形周长为 ． 【答案】18或21 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．此类题不要漏掉一种情况，同时注意看是否符合三角形的三边关系． 分情况考虑：当5是腰时或当8是腰时，然后分别求出两种情况下的周长． 【详解】解：当5是腰时，能组成三角形，周长为 ； 当8是腰时，能组成三角形，则三角形的周长是 ． 故答案为：21或18． 13．若一个直角三角形的三边长分别为 3 ，5 ，，则的值是 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边长的平方．解题的关键是要注意分类讨论，有两种情况不要漏解． 由于直角三角形的斜边不能确定，故应分为：为斜边与5为斜边两种情况，再根据勾股定理求解． 【详解】解：当为斜边时，， 解得，，（舍去）， 当5为斜边时，， 解得，，（舍去）， 综上所述，的值是4或． 故答案为：4或． 14．如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，连接，则的度数为 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解直角三角形斜边上的中线性质是解答关键．根据同角的余角相等得到，，根据互余和求得，进而得到，再利用直角三角形斜边上的中线性质来求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵E是斜边的中点，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．如图，是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点A爬到点C，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 m． 【答案】15 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题、勾股定理等知识点，根据题意画出平面展开图是解答题的关键． 如图：连接，利用勾股定理求出的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可． 【详解】解：如图所示： 将图展开，图形长度增加， 原图长度增加2米，则， 如图：连接， ∵四边形是长方形，，宽， ∴， ∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走的路程． 故答案为15． 16．如图，，点在上．以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；再以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；再以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；…… 请按照上面的要求继续操作并探究 ① ； ②按照上面的要求一直画下去，得到点，若之后就不能再画出符合要求点了，则 ． 【答案】 /40度 8 【分析】本题主要考查规律探索和等腰三角形的性质，知道三角形的外角度数等于其它两个内角和的度数以及等腰三角形的底角小于是解题的关键． 先观察题目，可知画出的三角形为等腰三角形，可依次算出第一个第二个第三个等腰三角形的底角的度数，发现规律：第n个等腰三角形的底角度数为，再根据等腰三角形的底角度数小于，即可算出答案． 【详解】解：由题意可知：，，，…， 则，，，…， ∵， ∴，，，，…， ∴， 解得． 由于n为整数，故． 故答案为：，8． 三、解答题：本题共7小题，共66分． 17．下图是由5张全等的正方形组成的，请你补上一个正方形，使它变成轴对称图形．（用四种不同的方法） 【答案】见解析 【分析】根据轴对称图形的定义进行作图即可，本题考查作图—利用轴对称设计图案．理解“轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线折叠，能够与另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形”是解题关键． 【详解】解：如图所示： ． 18．如图，在中，，过点作，平分交AD于点D，交于点．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了同角或等角的余角相等、直角三角形两锐角互余． 根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，，再利用角平分线的定义可得，从而可得，最后利用对顶角相等可得，从而利用等量代换即可解答． 【详解】证明：， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ； 19．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)画出关于直线的对称图形（不写画法）； (2)在直线上画出点Q，使的值最小，并直接写出此时的最小值的平方． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析， 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称最短路径问题，勾股定理： （1）根据轴对称图形的特点，找到A、B、C对应点的位置，然后连线即可； （2）连接交于点Q，此时的值最小，最小值即为线段的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，连接交于点Q，此时的值最小，最小值即为线段的长， 由网格的特点和勾股定理可得． 20．如图，在中，． (1)用尺规作的平分线，交于点D．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查基本作图，等腰三角形的判定，角平分的定义，掌握角平分线的尺规作图基本步骤及角平分线的定义性质是解决的关键； （1）根据角平分线的尺规作图步骤，以为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画圆弧使其交于点，连接并延长与交于点，则即为所求； （2）根据角平分线的定义可以得到，即可证明； 【详解】（1）解：作图如图所示， 则为所求作的角平分线 （2）证明：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴． 21．如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面， 并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图； ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 【答案】(1)旗杆的高度为米 (2)绳结离地面米高 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键． （1）由旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，然后根据勾股定理求解即可； （2）首先得到米，米，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解∶如图，由旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得∶， 解得∶， 故旗杆的高度为米； （2）解：由题可知，米，米． 在中，由勾股定理得∶， 解得∶， ∴米， ∴米． 故绳结离地面米高． 22．定义：若两个三角形，有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为友谊三角形． (1)若两个三角形全等，它们__________（填是或否）友谊三角形； (2)如图1，在四边形中，平分，，与是友谊三角形，请探究与之间的关系； (3)如图2，在四边形中，，，，求证：与是友谊三角形． 【答案】(1)是 (2)，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题是四边形综合题，考查了新定义，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，理解新定义是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可解决问题； （2）在上取一点，使得，利用全等三角形的判定和性质即可解决问题． （3）根据三角形的内角和可得，由为公共边，，即可得出结论． 【详解】（1）解：全等三角形的对应边相等，对应角相等， 两个三角形全等，必有有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等， 若两个三角形全等，它们是友谊三角形， 故答案为：是； （2）解：平分， ， ，，与是友谊三角形， ， 如图中，在上取一点，使得， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）证明：如图，设与交于点， ，， ， 为公共边，， 与是友谊三角形． 23．如图，为等边三角形，边长为6，P，Q分别为边上的动点，点P，点Q同时从点A出发，若P以个单位每秒的速度从点A向点B运动，点Q以2个单位每秒的速度从点A向点C运动，设运动时间为t．    (1)如图1，①当________时，P是线段的中点，此时线段与的数量关系是________． ②在点P、Q运动过程中，是否能构成等腰三角形？________； A．有可能    B．不可能    C．无法确定 (2)如图2，连接交于点M，请问当t为何值时，； (3)如图3，D为边上的中点，P，Q在运动过程中，D，P，Q三点是否能构成使的等腰三角形？若能，试求运动时间t． 【答案】(1)①2，；②B (2) (3)能， 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质： （1）①先求出，再求出，则，据此可得答案；②由等边三角形的性质得到，则当是等腰三角形时，一定是等边三角形，则此时一定有，再由即可得到答案； （2）先证明，再证明，得到，据此列出方程求解即可； （3）过点D作，垂足分别为F、E，连接，由等边三角形的性质得到，证明，得到，则，再证明，得到，求出，得到，则，接着证明，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①当P是线段的中点时，， ∴, ∴此时， ∵， ∴； ②∵是等边三角形， ∴， ∴当是等腰三角形时，一定是等边三角形， ∴此时一定有， ∵点P与点Q的运动速度不相同， ∴， ∴不是等腰三角形， 故选：B； （2）解：∵为等边三角形且边长为6， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； （3）解：如图，过点D作，垂足分别为F、E，连接， ∵是等边三角形，D是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，D，P，Q三点是能构成使的等腰三角形．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$