专题03 一元一次不等式（8个知识回顾+12种重点题型归纳+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（浙教版）

专题03 一元一次不等式 （8个知识回顾+12种重点题型归纳+过关检测） 题型聚焦：核心考点+中考题型，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 不等式的定义】 【题型2 不等式的解集】 【题型3 不等式的性质】 【题型4 求一元一次不等式的解集】 【题型5 一元一次不等式的含参问题】 【题型6 在数轴上表示不等式的解集】 【题型7 一元一次不等式的实际问题】 【题型8 不等式组的解集】 【题型9 解特殊不等式组】 【题型10 一元一次不等式组的含参问题】 【题型11 不等式组和方程组结合的问题】 【题型12 一元一次不等式组的实际问题】 知识点01不等式的定义 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2）常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 知识点02不等式的基本性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 知识点03 不等式的解集 不等式的解集 ①概念：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。 ②用数轴表示不等式解集 解集x>−4在数轴上表示为 解集x≥−4在数轴上表示为 解集 x < 4 在数轴上表示为 解集 x ≤在数轴上表示为 知识点04 一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 注意：一元一次不等式满足的条件： ①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1 知识点05 解一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。 （1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。 （2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。 （3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。 （4）合并同类项。 （5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。 （6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 知识点06 一元一次不等式组的概念 由几个含有同一个 未知数的 一元一次不等式 组成的不等式组 知识点07 一元一次不等式组的解法 1．分别求出不等式组中各个不等式的解集； 2．利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集 3. 不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型（设a>b）（重难点） 不等式组 图示 解集 （同大取大） （同小取小） （大小交叉取中间） 无解（大小分离解为空） 知识点08 根据实际问题列出一元一次不等式； 积分、分配和行程问题 1. 积分问题 2. 分类问题 3. 行程问题，常用等量关系：路程=速度×时间 经济与方案问题 1.经济问题： 常见等量关系： 利润=售价-成本. 利润率=（售价-成本）/成本 X100%. 售价=成本X（1+利润率） 2.方案问题 题型归纳 【题型1 不等式的定义】 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）以下表达式：；；；；．其中不等式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的定义，根据不等式的定义进行判断即可，熟知用不等号连接的式子是不等式是解本题的关键． 【详解】解：是不等式； 是不等式； 是整式； 是等式； 是不等式； 综上：是不等式，共个， 故选：． 2．（23-24八年级下·山东济南·期中）下列各式：①，②，③，④，⑤，其中属于不等式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的定义，解题的关键是掌握用不等号连接的式子是不等式． 根据不等式的定义：用不等号连接的式子是不等式，逐个进行判断即可． 【详解】解：①，是不等式，符合题意； ②，是不等式，符合题意； ③，是等式，不符合题意； ④，是多项式，不符合题意； ⑤，是不等式，符合题意； 综上：是不等式的有①②⑤，共3个， 故选：C． 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了把文字语言转化为数学语言，理解好题意是解题关键． 根据x与5的差不小于x的3倍，可知x与5的差大于等于x的3倍，从而可以用相应的不等式表示出来. 【详解】解：“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为， 故答案为：. 4．（23-24七年级下·浙江台州·期末）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是路程、速度、时间之间关系及用不等式表示范围，先求出要在内通过时的速度，再根据按照当前时速行驶能通过下一路口求出此时速度，即可解决． 【详解】解：， 当距离下一路口时，以速度通过需要的时间为：， 要在内通过， 小车的速度至少为， 因为导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口， 则小车当前行驶速度的取值范围是． 5．（2023七年级下·江苏·专题练习）用适当的符号表示下列关系： (1)x的与x的2倍的和是非正数； (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米； (3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元； (4)明天下雨的可能性不小于； (5)小明的体重不比小刚轻． 【答案】(1) (2)设炮弹的杀伤半径为r，则应有 (3)设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有 (4)用P表示明天下雨的可能性，则有 (5)设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有 【分析】（1）非正数用“”表示； （2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”来表示； （3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示； （5）不比小刚轻，就是与小刚一样重或者比小刚重．用“≥”表示． 【详解】（1）； （2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有； （3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有； （4）用P表示明天下雨的可能性，则有； （5）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有． 【点睛】本题考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠． 【题型2 不等式的解集】 1．（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案． 【详解】解：解不等式， 可得． A.由于，故不是不等式的解，故选项错误； B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误； C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误； D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确； 故选D． 2．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【详解】解：A、中不包含，不符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中包含，符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：C． 3．（23-24七年级下·江苏徐州·阶段练习）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键． 根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即． 【详解】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是． 故答案为：． 4．（23-24七年级下·北京西城·阶段练习）写出一个解集为的一元一次不等式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意写出符合要求的不等式即可． 【详解】解：解集为的一元一次不等式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的定义及解集，解题的关键是理解一元一次不等式解集的定义． 5．（23-24七年级下·全国·假期作业）下列各式哪些是不等式2(2x+1)＞25的解？哪些不是？ (1)x=1． (2)x=3． (3)x=10． (4)x=12． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)是 (4)是 【分析】把未知数的值代入计算，比较后，判断即可 【详解】（1）把x=1代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×1+1)=6＜25，所以x=1不是不等式2(2x+1)＞25的解． （2）把x=3代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×3+1)=14＜25，所以x=3不是不等式2(2x+1)＞25的解． （3）把x=10代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×10+1)=42＞25，所以x=10是不等式2(2x+1)＞25的解． （4）把x=12代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×12+1)=50＞25，所以x=12是不等式2(2x+1)＞25的解． 【点睛】本题考查了不等式的解即使不等式左右两边成立的未知数的值，正确理解不等式的解是解题的关键． 【题型3 不等式的性质】 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如果，，那么下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质等知识点，根据不等式的基本性质逐一判定即可得解，熟练掌握不等式的性质是解决此题的关键． 【详解】解：A、由得到：,选项结论成立，故本选项不符合题意； 由得到：，选项结论成立，故本选项不符合题意； 由得到：，选项结论成立，故本选项不符合题意； 由得到：，选项结论不成立，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）若，下列不等式不成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的基本性质“不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”逐项判断即可解题． 【详解】解：A、由 两边同时加上8，可得 ，成立； B、由 两边同时乘以3，可得 ，成立； C、由 两边同时除以7，可得 ，成立； D、由 两边同时乘以再加上1，可得 ，原式不成立； 故选：D． 3．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）比较大小，用“”或“”填空：若，且，则a b． 【答案】 【分析】本题主要是考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解决此类题的关键．由不等式的性质可得，即可求解． 【详解】解：，且， ， ， 故答案为：． 4．（2024八年级上·浙江·专题练习）已知关于x的不等式的解集是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边同时除以同一个负数，不等式符号改变，即由的解集是，得出，则可得出答案． 【详解】解：∵ ∴， ∵的解集是， ∴不等号的方向已改变， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·浙江舟山·期中）仿例：已知，试比较与的大小． 方法一解：∵， ∴（不等式的基本性质3） 根据仿例，请解答：已知，试比较与的大小，两种方法解答． 【答案】，两种方法见解析 【分析】本题考查了不等式的基本性质，比较与的大小，可以利用不等式的基本性质比较即可． 【详解】解：法一∵，（已知）， ∴（不等式的基本性质3）； 法二：∵， ∴，即（不等式的基本性质1，不等式两边同时加）． 【题型4 求一元一次不等式的解集】 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）解下列不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）移项合并同类项进行计算即可； （2）先去分母再移项合并同类项进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）解下列不等式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的解法，正确掌握基本解题方法是解题关键． （1）移项即可求得； （2）去分母、移项、合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：， 移项得：； （2）解：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：． 3．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）解下列不等式． (1)，并将解表示在数轴上； (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． （1）不等式移项，合并同类项，把系数化为，求出解集，表示在数轴上即可； （2）根据解一元一次不等式的步骤去分母、去括号、移项、合并同类项系数化为1，求解即可． 【详解】（1）解：移项得：， 合并同类项得：， 原不等式的解集是； 在数轴上表示为：   （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）解不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再合并同类项，然后系数化1，即可作答． （2）先去分母，移项，再合并同类项，然后系数化1，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式：，并把解集在数轴上表示出来．    【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．根据解一元一次不等式的方法可以求得该不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解： ． 表示在数轴上如下：   ． 【题型5 一元一次不等式的含参问题】 1．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若关于x的不等式的最小整数解是2，则实数m的值可能是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解．解不等式得出，根据不等式的最小整数解是即可确定的取值范围，继而得出结论． 【详解】解：∵， 解得：， ∵关于x的不等式的最小整数解是， ∴， ∴， ∴实数的值可能是． 故选：C． 2．（23-24七年级下·重庆江津·阶段练习）关于x的不等式有且只有三个负整数解，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解的情况求参数，先求出解集，然后根据正数解的情况得到参数的取值，根据解的情况求出参数的取值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的不等式有且只有三个负整数解， ∴x的负整数解有：， ∴， 解得：， 故选：C． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的含参问题，掌握求一元一次不等式的方法，取值方法是解题的关键． 首先解不等式，然后根据不等式只有3个正整数解即可得到一个关于m的不等式，求得m的范围． 【详解】解： 移项，得： ， 合并同类项，得： ， 系数化为1，得： ， ∵不等式只有3个正整数解， ∴， 故答案为： ． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解； 首先求出不等式的解集，得出这三个正整数解分别是1，2，3，进而可得m的取值范围． 【详解】解：解不等式得：， ∵关于x的不等式只有3个正整数解， ∴这三个正整数解分别是1，2，3， ∴， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求m的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式： （1）先解方程得到，再根据题意得到，解不等式即可得到答案； （2）先按照去括号，移项， 合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，进而求出不等式的最小整数解，再结合（1）列出方程求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：， ∵该方程的解满足， ∴， ∴； （2）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的最小整数解为4， ∴， 解得． 【题型6 在数轴上表示不等式的解集】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）不等式 在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式与数轴之间的关系是解题的关键． 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．再结合选项进行判定即可． 【详解】解：在数轴上表示左侧的所有实数，不含于解集即为空心点； 故选A． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）在数轴上表示不等式的解，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集． 先解不等式，再根据解集的表示方法判定即可． 【详解】解：不等式的解集为：． 在数轴上表示为： 故选：C． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知如图是关于的不等式的解集，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．解不等式得出，结合数轴知，据此可得关于的方程，解之可得答案． 【详解】解：解不等式得：， 由数轴知不等式的解集为， ， 解得：， 故答案为：1． 4．（23-24九年级上·陕西榆林·开学考试）若关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式的解集是 .    【答案】 【分析】用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【详解】解：根据数轴可得，不等式的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的关键． 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）解不等式并把解表示到数轴上： (1)； (2) 【答案】(1)，解集在数轴上表示见解析； (2)，解集在数轴上表示见解析． 【分析】（）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可； （）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为先求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可； 本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ∴解集在数轴上表示如图， ； （2）解： ， ∴解集在数轴上表示如图， ． 【题型7 一元一次不等式的实际问题】 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）商店里一种12瓦（即千瓦）节能灯的亮度相当于60瓦（即千瓦）的炽灯．节能灯售价20元，白炽灯售价5元．如果电价是0.5元千瓦时，问节能灯使用多少小时后，总费用（售价加电费）比选用白炽灯的费用节省（电灯的用电量千瓦数用电时数）？ 【答案】小时 【分析】本题考查了用一元一次不等式解决实际问题，认真审题，找出题中的不等关系并正确列出不等式是解题的关键． 设节能灯使用x小时后，总费用比选用白炽灯的费用节省，依据题意列出不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】解：设节能灯使用x小时后，总费用比选用白炽灯的费用节省， 依据题意可得： ， 解得：， 答：节能灯使用小时后，总费用比选用白炽灯的费用节省． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）某体育用品商场的采购员到厂家批发购进篮球和排球共100个，要求付款总额不超过11815元．两种球的厂家批发价和商场零售价如表所示： 厂家批发价/（元/个） 商场零售价/（元/个） 篮球 130 160 排球 100 120 (1)该采购员最多可购进篮球多少个？ (2)若该商场把这100个球全部以零售价售出，为使商场获得的利润不低于2580元，则该采购员最少购进篮球多少个？ 【答案】(1)该采购员最多可购进篮球60个 (2)该采购员最少购进篮球58个 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用： （1）设该采购员购进篮球x个，则购进排球个，再根据总费用不超过11815元列出不等式求解即可； （2）设该采购员购进篮球m个，则购进排球个，再根据总利润不低于2580元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设该采购员购进篮球x个，则购进排球个， 由题意得，， 解得， ∵x为整数， ∴x的最大值为60， ∴该采购员最多可购进篮球60个； （2）解：设该采购员购进篮球m个，则购进排球个， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为58， ∴该采购员最少购进篮球58个． 3．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）“金秋墨彩庆华诞，笔落惊云书国魂．”为庆祝建国周年，年级决定举行书法比赛，为奖励在比赛中表现优秀的同学，年级提前购买了甲、乙两种奖品．甲种奖品买了个，乙种奖品买了个，共花费元，其中甲种奖品的单价比乙种奖品的单价高元． (1)甲、乙两种奖品的单价各是多少元？ (2)同学们热情高涨，踊跃报名，经统计，实际报名人数远远多于预计人数，于是年级决定再次购买甲、乙两种奖品共个．恰好赶上商家促销，甲种奖品按单价的九折出售，乙种奖品在单价的基础上每个降价4元出售．如果此次购买奖品的总费用不超过上一次总费用的，则至多可以购买多少个甲种奖品？ 【答案】(1)甲种奖品的单价是元，乙种奖品的单价是元 (2)个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用．熟练掌握一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设乙种奖品的单价是元，则甲种奖品的单价是元，依题意得，，计算求解，然后作答即可；（2）设购买个甲种奖品，个乙种奖品，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：设乙种奖品的单价是元，则甲种奖品的单价是元， 依题意得，， 解得，， ∴， ∴甲种奖品的单价是元，乙种奖品的单价是元； （2）解：设购买个甲种奖品，个乙种奖品， 依题意得，， 解得，， ∴至多可以购买个甲种奖品． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）象山有着“中国柑橘之乡”的美誉，经营户老张近期主要销售“红美人”和“象山青”两个柑橘品种． 红美人 象山青 进价（元斤） 20 5 售价（元斤） 35 10 (1)上周的“红美人”和“象山青”的进价和售价如下表所示，老张用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，上周售完后一共能赚多少钱？ (2)本周保持进价不变，老张仍用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，但在运输过程中“红美人”损坏了，而“象山青”没有损坏仍按原价销售．要想本周售完后的利润不低于上周的利润，“红美人”的售价最低定为多少？（精确到0.1元） 【答案】(1)2500元 (2)36.7元斤 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式解决问题． （1）设上周购进“红美人”斤，则利润为元，根据用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤得：，解出的值可得答案； （2）设“红美人”的售价为元斤，根据本周售完后的利润不低于上周的利润得：，解出的范围，即可得到答案． 【详解】（1）解：设上周购进“红美人”斤，则购进“象山青”斤，利润为元， 根据题意得：， 解得， ， 上周售完后一共能赚2500元； （2）解：设“红美人”的售价为元斤， 根据题意得：， 解得， “红美人”的售价最低定为36.7元斤，本周售完后的利润不低于上周的利润． 5．（2024八年级上·浙江·专题练习）根据以下素材，探索完成任务． 探索如何选择家庭用电方式？ 素材1 用电背景 每天至是用电高峰期，简称“峰时”，至次日是用电低谷期，简称“谷时”．某市电力部门提供两种用电方式：普通用电和峰谷分时用电 素材2 该市电价 普通用电：元/度； 分时用电：峰时元/度，谷时元/度． 素材3 调查统计 以小明家为例，小明家采用峰谷分时用电，第一季度用电如下： 1月份用电量：峰时90度，谷时10度； 2月份用电量：峰时88度，谷时12度； 3月份用电量：峰时160度，谷时40度． 问题解决 任务1 仔细计算 通过计算，并与普通用电方式比较，小明家哪个月份使用分时用电方式更合算？ 任务2 观察猜想 观察小明家每月峰时用电量和该月总用电量的比值，猜想当它们的比值满足 　 　时，家庭使用分时用电方式更合算． 任务3 推理验证 说明任务2中的猜想是正确的． 过程如下：设某家庭某月用电a度，其中峰时用电x度，则谷时用电度．（请你继续完成上述过程） 【答案】任务1：小明家3月份使用分时用电方式更合算；任务2：小于；任务3：当它们的比值小于时，家庭使用分时用电方式更合算 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，熟练掌握知识点，有理数的混合运算，解一元一次不等式，正确理解题意是解题的关键． （任务1）当小明家采用普通用电方式时，分别求出小明家1月份、2月份及3月份应交电费金额；当小明家采用峰谷分时用电方式时，分别求出小明家1月份、2月份及3月份应交电费金额，将3组数据比较后，即可得出结论； （任务2）分析（任务1）中的数据，可猜测当它们的比值小于时，家庭使用分时用电方式更合算； （任务3）设某家庭某月用电a度，其中峰时用电x度，则谷时用电度，根据家庭使用分时用电方式更合算，可列出关于x的一元一次不等式（a看成常数），解之可得出x的取值范围，进而可得出，由此可得出任务2中的猜想是正确的． 【详解】解：（任务1）当小明家采用普通用电方式时， 1月份应交电费（元）； 2月份应交电费（元）； 3月份应交电费（元）； 当小明家采用峰谷分时用电方式时， 1月份应交电费（元）； 2月份应交电费（元）； 3月份应交电费（元）． ∵， ∴小明家3月份使用分时用电方式更合算； （任务2）∵小明家2月份采用两种用电方式所需费用相同，3月份使用分时用电方式更合算， ∴，， ∴当它们的比值小于时，家庭使用分时用电方式更合算． 故答案为：小于； （任务3）设某家庭某月用电a度，其中峰时用电x度，则谷时用电度， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴当它们的比值小于时，家庭使用分时用电方式更合算． 【题型8 不等式组的解集】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）解不等式组请按下列步骤完成解答． (1)解不等式①，得______． (2)解不等式②，得______． (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集是______． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）求出不等式的解集即可； （2）求出不等式的解集即可； （3）在数轴上表示出不等式组的解集即可； （4）根据数轴写出不等式组的解集． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：； （2）解： ， ， 故答案为：； （3）解：不等式组的解集在数轴上表示如下： （4）解：不等式组的解集为：， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）解一元一次不等式组． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】不等式组的解集为，不等式组的整数解为 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解题方法是关键； 根据题意，分别求出两个不等式的解集，根据“同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，小小大大找不到”即可求出不等式组的解集． 【详解】解：因为， 去括号得， 移项、合并同类项得， 把系数化为1得； 解不等式， 去分母得， 移项、合并同类项得， 把系数化为1得； 所以该不等式组的解集为． 所以该不等式组的整数解为． 4．（23-24·山东济南·一模）解一元一次不等式组并把解表示在如图所示的数轴上． 【答案】，画图见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握求不等式组的解集是解题的关键．分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴， 解集表示在数轴上为： 不等式组的解集为：． 5．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）已知关于x的不等式组的解集为． (1)求a和b的值． (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了不等式组的解法和二元一次方程组的解法，掌握不等式组的解法是解题的关键．不等式组的解法：先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解． （1）先求出每个一元一次不等式的解集，从而得到不等式组的解集，再根据不等式组的解集也是列出关于a，b的二元一次方程组，求出a、b即可； （2）根据，得出，根据，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：不等式组 由①得，， 由②得，， ∵原不等式组有解， ∴不等式组的解集为：， 又∵关于x的不等式组的解集为， ∴， 整理得：， 解得． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 即． 【题型9 解特殊不等式组】 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）我们已经学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： (1)阅读理解：解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或， 解不等式组，得；解不等式组，得． 原不等式的解集为或． 问题解决：根据以上材料，解不等式． (2)已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的的整数值． 【答案】(1) (2)可取的整数值为，． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及二元一次方程组的解法，熟练掌握求不等式组的解集及二元一次方程组的解的方法是解题关键． （1）根据阅读材料可得：当和异号时不等式成立，据此即可转化为不等式问题求解即可； （2）根据题意求出方程组的解，然后代入不等式组求解即可． 【详解】（1）解：根据两数相乘，异号得负，原不等式可以转化为：或． 解不等式组，不等式组无解； 解不等式组 ，解得． 所以原不等式组的解集为：； （2）解： 得：，解得， 将代入①得，， ∴方程组的解为， ∵， ∴， 解不等式组得：， ∴可取的整数值为，． 2．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）阅读下列材料： 解答“已知，且，试确定的取值范围”有如下解法： 解：∵，又∵，∴，   又，∴．…① 同理得：．…② 由①+②得，∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： 已知关于x、y的方程组的解都为正数． (1)求a的取值范围； (2)已知，且求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求解关于x、y的二元一次方程组，根据解的情况建立关于参数的不等式组，即可求解； （2）由，，可得的取值范围，同理可得的取值范围，故可求的取值范围． 【详解】（1）解： 由得： 解得： 将代入得： ∴方程组的解为： ∵方程组的解都为正数 ∴ 解得： （2）解：∵，且 ∴， ∵ ∴ ∵，且 ∴， ∵ ∴ 【点睛】本题考查了已知二元一次方程组解的情况求参数取值范围、解特殊不等式等．正确理解题意是解题关键． 3．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式． 解：∵，∴可化为． 由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得 ①② 解不等式组①，得；解不等式组②，得， ∴的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． (1)一元二次不等式的解集为_______； (2)试解一元二次不等式； (3)试解不等式． 【答案】(1)或 (2)一元二次不等式的解集为0＜x＜5 (3)的解集为1＜x＜4 【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解； （2）利用提公因式法对不等式的左边进行因式分解，再求解可得； （3）需要分类讨论：①     ②据此求解可得． 【详解】（1）解：由原不等式得：（x+3）（x-3）＞0 ∴ 或 解得：x＞3或x＜-3． 故答案为：或 ； （2）∵， ∴可化为． 由有理数的乘法法则：两数相乘，异号得负，得 ①     ② 解不等式组①，得0＜x＜5； 解不等式组②，无解， ∴的解集为0＜x＜5， 即一元二次不等式的解集为：0＜x＜5． （3）由有理数的除法法则：两数相除，异号得负，得 ①     ② 解不等式组①，得1＜x＜4； 解不等式组②，无解， ∴的解集为1＜x＜4． 【点睛】本题考查不等式组的解法，一元一次不等式组的应用．利用了转化的思想，这种转化思想的依据为：两数相乘（除），同号得正，异号得负的符号法则． 4．（23-24八年级下·四川达州·期末）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则 即可以写成： 解不等式组得： ②当若，则 即可以写成： 解不等式组得： 综合以上两种情况：不等式解集：或． （以上解法依据：若，则a，b同号）请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据例题可得：此题分两个不等式组和，分别解出两个不等式组即可； （2）根据两数相乘，异号得负可得此题也分两种情况）①，②，解出不等式组即可． 【详解】（1）当时，， 可以写成, 解得：； 当时，， 可以写成, 解得：， 综上：不等式解集：或； （2）当时，， 可以写成， 解得； 当时，， 可以写成， 解得：无解， 综上：不等式解集：． 【点睛】此题主要考查了不等式的解法，关键是正确理解例题的解题根据，然后再进行计算． 5．（23-24八年级下·福建三明·期中）阅读理解题： （1）原理：对于任意两个实数、， 若，则和同号，即：或 若，则和异号，即：或 （2）分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）． （3）应用：解不等式 ① ② 【答案】（3）①或；② 【分析】（3）①根据题中所给方法进行分类求解不等式即可； ②先提取公因式，然后再根据题中所给方法进行求解即可． 【详解】解：（3）①， ∴当时，解得：； 当时，解得：； ∴原不等式的解集为或； ② ∴当时，解得：； 当时，不等式组无解； ∴原不等式的解集为． 【点睛】本题主要考查不等式组的求解，解题的关键是根据题中所给方法进行求解． 【题型10 一元一次不等式组的含参问题】 1．（23-24八年级下·广东佛山·期末）已知不等式组①，解决下列问题： (1)求不等式组①的解集； (2)若不等式组的解集与①的解集相同，求a、b的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求解两个不等式，得到不等式组的解集即可； （2）先求出不等式组的解集，然后根据不等式组的解集与①的解集相同得出关于a、b的方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由不等式得：， 由不等式得：， ∴不等式组的解集为：； （2）解：， 由不等式得：， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组的解集与①的解集相同， ∴， 解得：． 2．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知关于 x，y 的二元一次方程组 的解满足． (1)求 k 的取值范围； (2)在 (1) 的条件下，若不等式的解为，请写出符合条件的 k 的整数值． 【答案】(1) (2) ， 【分析】（1）观察方程两式相见即可得到，再根据代入求解即可得到答案； （2）分类解出不等式的解集，再根据求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， 得， ， ∵， ∴ ， 解得； （2）解：不等式移项可得， 当 时， ，不符合题意舍去； 时，，解得 ， 由（1）得， ∴符合的k值有 ，． 【点睛】本题考查含参方程组的解的问题及不等式含参解的问题，解题关键是正确解方程组及不等式． 3．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）关于的不等式组的解集为，则，的值分别是多少？ 【答案】，的值分别是-3和3． 【分析】求出不等式组的解集，结合题意，即可列出关于a，b的二元一次方程组，再解出a，b的值即可． 【详解】解： 解不等式，得：， 解不等式，得：． ∵关于的不等式组的解集为， ∴， 解得：． 故，的值分别是-3和3． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，二元一次方程组的应用．掌握求一元一次不等式组的方法和步骤是解题关键． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）若关于x的不等式2x+a＞2的解集为x＞﹣1，求a的值． 【答案】4 【分析】用a表示出不等式的解集，再由已知解集确定出a的值即可． 【详解】解答：解：不等式2x+a＞2， 变形得： ， ∵x>-1， ∴， 解得：a＝4． 【点睛】本题考查由不等式的解集确定参数．掌握解一元一次不等式的方法是解题关键． 5．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a#b=a﹣3b+7，等式右边是通常的加减运算．例如：3#5=3﹣3×5+7． （1）求5#x>0解集； （2）若3m<2#x＜7有解，求x的取值范围； （3）在（2）的条件下，若x的解集中恰有3个整数解，求m的取值范围． 【答案】（1）x＜4；（2）；（3）-1≤m＜0 【分析】（1）根据新定义得出关于x的不等式，解之即可； （2）根据新定义列出关于x的不等式组，再分别求解即可得出其解集； （3）由不等式组整数解的个数得出关于m的不等式组，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）由题意得5-3x+7＞0， 解得x＜4； （2）由题意，得：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：x＜3-m， 则不等式组的解集为； （3）∵该不等式组有3个整数解， ∴3＜3-m≤4， 解得-1≤m＜0． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【题型11 不等式组和方程组结合的问题】 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的取值范围． (2)若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数、一元一次不等式组的求解以及等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握相关结论即可. （1）方程组，得：，进而得，即可求解； （2）解方程组得：，可知x，y不可能是等腰三角形的两腰；分类讨论若x是等腰三角形的腰，若是等腰三角形的腰，两种情况，利用三角形的三边关系加以验证即可． 【详解】（1）解：方程组，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）解：解方程组得：， 可知x，y不可能是等腰三角形的两腰； 若x是等腰三角形的腰， 则，解得：； 此时等腰三角形的三边长为：，不能构成三角形； 若是等腰三角形的腰， 则，解得：； 此时等腰三角形的三边长为：，能构成三角形； 综上所述： 2．（23-24八年级下·江西九江·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m得取值范围． (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求一元一次不等式组的整数解，根据不等式的解集求参数： （1）先利用加减消元法求出方程组的解为，进而得到，解不等式组即可得到答案； （2）先把原不等式变形为，根据解集为得到，进而求出，据此可得答案． 【详解】（1）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为， ∵x为非正数，y为负数， ∴，， ∴， 解得， ∴m的取值范围是． （2）解：将不等式整理，得， ∵其解集为， ∴， 解得 ∴． 结合m取整数，可得， 即当时，不等式的解集为． 3．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知关于，的方程组，其中为非负数，为正数，求的整数解． 【答案】，，，， 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，解方程组得到含a的表示x和y的代数式，是解题的关键．首先对方程组进行化简即可求得含a的表示x和y的代数式，根据方程的解满足x为非负数，y为正数，得到不等式组，解不等式组就可以得出的取值范围，最后求出其整数解即可． 【详解】解： ， 得：， 解得：； 得， 解得：， ∴ ， ∵x为非负数，y为正数， ∴， 解得：, ∴a的整数解为，，，，． 4．（23-24八年级上·浙江金华·期中）已知：关于x，y的方程组的解为负数，求m的最大负整数值． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组，先利用加减消元法，用含m的代数式表示出x和y，再根据解为负数，列关于m的一元一次不等式组，求出不等式组的最大负整数解即可． 【详解】解：解方程组， 得，， 由解为负数可得：， 解得， 所以m的最大负整数值为． 5．（2022·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知关于x，y的二元一次方程组 (1)用含有m的式子表示上述方程组的解是__________________； (2)若x、y是相反数，求m的值； (3)若方程组的解满足，求满足条件的m的所有非负整数值． 【答案】(1)； (2)； (3)0，1，2． 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）根据（1）的结论以及相反数的定义列方程求解即可； （3）根据（1）的结论，代入已知不等式求出m的范围，确定出m的所有非负整数解即可． 【详解】（1）解： ①+②得：， ∴， 把 代入②得， ∴， 故方程组的解为， 故答案为：； （2）由题意，得， 解得； （3）由（1）得， ∵， ∴， ∴， 所以满足条件的的所有非负整数值为：0，1，2． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【题型12 一元一次不等式组的实际问题】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）生活常识告诉我们：糖水里再添加糖，在糖完全溶解的情况下，糖水会变的更甜．我们把含糖的质量与糖水质量的比值称之为甜度，甜度越大糖水越甜．小观现在有一杯质量为100克的糖水，其中含有a克糖（）；他试了一下感觉不够甜，又向其中添加了10克糖，并搅拌至完全溶解． (1)原来的甜度为 ，加糖后的甜度为 ． (2)根据加糖前后的甜度，请你利用不等式的基本性质证明加糖后确实变甜了． (3)要使糖水口感好，又比较健康，甜度应不低于，又不超过．如果上述操作后甜度符合要求，那么a应该在什么范围？ 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含a的代数式表示出原来的甜度及加糖后的甜度；（2）作差后，找出；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．（1）根据甜度公式计算即可得到含a的代数式表示出原来的甜度及加糖后的甜度； （2）二者作差后，可得出，结合，进而可证出加糖后确实变甜了； （3）根据加糖后的甜度不低于又不超过，可列出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意得：原来的甜度为，加糖后的甜度为； （2）解：加糖前的甜度为，加糖后的甜度为， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴加糖后确实变甜了； （3）解：根据题意得：， 解得：， ∴a的取值范围为． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）我校即将进行秋季实践活动，计划租用A、B两种型号的大巴车，已知租用3辆A型大巴车和2辆台B型大巴车，共需费用2100元；4辆台A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元． (1)求A型大巴车和B型大巴车每辆俩各需多少元； (2)若计划租用A、B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用采购总费用不超过11500元，共有哪几种采购方案？ (3)在（2）的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】(1)每辆型大巴车需500元，每辆型大巴车需300元 (2)该校共有3种租车方案，方案1：租用10辆型大巴车，20辆型大巴车；方案2：租用11辆型大巴车，19辆型大巴车；方案3：租用12辆型大巴车，8辆型大巴车； (3)采用租车方案1可使总费用最低，最低费用是11000元 【分析】（1）设每辆型大巴车需元，每辆型大巴车需元，根据“租用3辆型大巴车和2辆台型大巴车，共需费用2100元；4辆台型大巴车比5辆型大巴车的费用多500元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型大巴车，则租用辆型大巴车，根据“型大巴车的辆数不少于型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用总费用不超过11500元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金每辆型大巴车的租金租用型大巴车的数量每辆型大巴车的租金租用型大巴车的数量，可求出采用各租车方案所需费用，比较后即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，求出采用各租车方案所需费用． 【详解】（1）解：设每辆型大巴车需元，每辆型大巴车需元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型大巴车需500元，每辆型大巴车需300元； （2）解：设租用辆型大巴车，则租用辆型大巴车， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为10，11，12， 该校共有3种租车方案， 方案1：租用10辆型大巴车，20辆型大巴车； 方案2：租用11辆型大巴车，19辆型大巴车； 方案3：租用12辆型大巴车，8辆型大巴车； （3）解：采用租车方案1所需费用为（元）； 采用租车方案2所需费用为（元）； 采用租车方案3所需费用为（元）． ， 采用租车方案1可使总费用最低，最低费用是11000元． 3．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）为了节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，将居民的每月生活用水水价分为三个等级：一级：20吨及以下，二级：大于20吨，不超过30吨，三级：30吨以上．以下是小青家水费发票的部分信息：（居民生活水费自来水费污水处理费） 丽水市xx县自来水公司水费专用 发票联 计费日期：2023-07-01至2023-08-11                         付款期限： 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量/吨 本期用水量/吨 884 919 35 自来水费 污水处理费 用水量/吨 单价/元 金额/元 用水量/吨 单价/元 金额/元 阶梯一20 1.30 26.00 20 0.50 10.00 阶梯二10 19.00 10 0.50 5.00 阶梯三5 15.00 5 0.50 2.50 本期实付金额 （大写）染拾染元伍角整 77.50元 (1)从以上信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）：每月用水20吨及以内为_______元/吨，每月用水20~30吨（含30吨）为______元/吨，30吨及以上为______元/吨． (2)随着气温的降低，小青家的用水量也在逐步下降，已知2024年2月份小青家所缴的水费为55.20元，请你计算小青家该月份的用水量为多少吨？ (3)为了提倡节约用水，小青家打算将水费控制在不少于48元，不超过74元，那么用水量应该如何控制？ 【答案】(1)1.8，2.4，3.5； (2)小青家该月份的用水量为28吨； (3)用水量应该控制在25吨至34吨之间（含25元和34吨）． 【分析】本题主要考查一元一次方程及一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据居民生活到户水价=居民生活自来水费+居民生活污水处理费，从小青家的用水信息即可得出答案； （2）设小青家该月份的用水量为x吨，然后根据题意可列方程进行求解； （3）设用水量为y吨，然后根据题意可列不等式组进行求解． 【详解】（1）解：根据表格得： 每月用水20吨及以内为（元/吨）；每月用水20~30吨（含30吨）为（元/吨）；30吨及以上为（元/吨）； 故答案为1.8；2.4；3.5； （2）解：由（1）可知：当用水量为30吨时，则水费为（元）， 设小青家该月份的用水量为x吨，由可知： ， 解得：； 答：小青家该月份的用水量为28吨． （3）解：设用水量为y吨，由题意得： 解得：； 答：用水量应该控制在25吨至34吨之间（含25元和34吨）． 4．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）某茶叶店准备从茶农处采购甲、乙两种不同品质的茶叶，已知采购2斤甲型茶叶和1斤乙型茶叶共需要1100元，采购3斤甲型茶叶和2斤乙型茶叶共需要1800元． (1)甲、乙两种型号的茶叶每斤分别是多少元？ (2)该茶叶店准备用不超过10200元的资金采购甲、乙两种型号的茶叶共30斤，其中购进甲种型号的茶叶的斤数不少于购进乙种茶叶的，采购的斤数需为整数，那么该茶店有哪几种采购方案？ 【答案】(1)400元，300元 (2)采购方案见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设甲型号的茶叶每斤是元，乙型号的茶叶每斤是元，根据采购2斤甲型茶叶和1斤乙型茶叶共需要1100元，采购3斤甲型茶叶和2斤乙型茶叶共需要1800元，列出方程组，求解即可； （2）设采购甲型号的茶叶斤，则采购乙型号的茶叶斤，根据该茶叶店准备用不超过10200元的资金采购甲、乙两种型号的茶叶共30斤，其中购进甲种型号的茶叶的斤数不少于购进乙种茶叶的，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设甲型号的茶叶每斤是元，乙型号的茶叶每斤是元， 由题意得：， 解得：， 答：甲型号的茶叶每斤是400元，乙型号的茶叶每斤是300元； （2）解：设采购甲型号的茶叶斤，则采购乙型号的茶叶斤， 由题意得：， 解得：， 为正整数， ，11，12， 该茶店有3种采购方案： ①采购甲型号的茶叶10斤，乙型号的茶叶20斤； ②采购甲型号的茶叶11斤，乙型号的茶叶19斤； ③采购甲型号的茶叶12斤，乙型号的茶叶18斤． 5．（2024八年级上·浙江·专题练习）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． (1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 【答案】(1)A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元 (2)见解析 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式组的运用， （1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共需4500元，B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，根据“此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出共有3种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元； （2）解：设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）； 方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）； 方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）． ∵， ∴为了节约资金，学校应选择购买方案1． 过关检测 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）以下表达式：；；；；．其中不等式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的定义，根据不等式的定义进行判断即可，熟知用不等号连接的式子是不等式是解本题的关键． 【详解】解：是不等式； 是不等式； 是整式； 是等式； 是不等式； 综上：是不等式，共个， 故选：． 2．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）已知，下列式子中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．根据不等式的基本性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、由，可得，原不等式不成立，不符合题意； B、由，可得，原不等式不成立，不符合题意； C、由，可得一定成立，符合题意； D、由，可得，原不等式不成立，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期中）若不等式组无解，则m的值可能（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的解集，由不等式组无解得出是解题的关键．解不等式组可得，，由不等式组无解可得，求出m的范围即可求解． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组无解， ， ， 故选：． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）若关于的方程的解为自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的和为 （   ） A．5 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的整数解、一元一次不等式组的解集，熟练掌握解一元一次方程，学会根据不等式组的解的情况求参数是解题的关键．先求出的解为，从而推出，再整理不等式组为，结合不等式组无解得到，最后利用整数的值以及是自然数的条件即可解答． 【详解】解：由，解得， 方程的解为自然数， ， 解得：， 把整理得：， 不等式组无解， ， ，即整数， 是自然数， 或， 则符合条件的整数的值的和为． 故选：C． 5．（23-24八年级·全国·假期作业）若关于的方程的解为自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的和为（   ） A．5 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据一元一次不等式组的解集情况求参数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．先求出的解为，从而推出，整理不等式组可得整理得：，根据不等式组无解得到，则，再由整数k和是自然数进行求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵方程的解为自然数， ∴0， ∴，且为自然数， 把整理得：， 由不等式组无解，得到， ∴，即整数，1，2，3， ∵是自然数， ∴，3， 综上，，3， 则符合条件的整数k的值的和为4． 故选：C． 6．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）根据语句“的倍与的差小于列不等式”： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据题意得出不等式即可，读懂题意，列出不等式是解题的关键． 【详解】解：∵的倍与的差小于， ∴列不等式为：， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）若关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次不等式组，熟练掌握二元一次方程组和不等式的解法是解题关键．将方程组内两个方程相加，整理得，再代入不等式组求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：， 得：， ， ∵， ， 解得：， 的取值范围是， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·浙江·期中）八（1）班同学开展了“庆国庆”课外阅读知识竞赛．一共有20道题，答对每题加5分，不答不扣分，答错每题倒扣2分．已知小明答错的题数与不答的题数一样多，最后比赛得分超过75分．设小明答错了道题，根据题意，可列出关于的不等式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式；设小明答错了道题，则答对的题数为道，根据最后比赛得分超过75分列出一元一次不等式即可． 【详解】解：设小明答错了道题，则答对的题数为道， 根据题意，． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）“”是美国十年级数学竞赛的缩写．共有道选择题，每一道选择题答对得分，留空得分，答错不得分．预估得分达到分的参赛者有机会被邀请参加美国高中数学邀请赛，那么至少需要答对 题才有机会进入邀请赛． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，利用得分答对题目数留空题目数，结合得分不少于分，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设答对题才有机会进入邀请赛， 根据题意得：， 解得：， ∴至少需要答对题才有机会进入邀请赛， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·浙江·期中）定义运算表示求不超过的最大整数．如，，，．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，根据题意得出，即，据此可得，解之即可，解题的关键是根据新定义列出关于的不等式组． 【详解】解：根据题意得： ∴， ∴， ∴则， 解得：， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）解不等式并把解表示到数轴上： (1)； (2) 【答案】(1)，解集在数轴上表示见解析； (2)，解集在数轴上表示见解析． 【分析】（）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可； （）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为先求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可； 本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ∴解集在数轴上表示如图， ； （2）解： ， ∴解集在数轴上表示如图， ． 12．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）已知关于x的不等式组的解集为． (1)求a和b的值． (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了不等式组的解法和二元一次方程组的解法，掌握不等式组的解法是解题的关键．不等式组的解法：先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解． （1）先求出每个一元一次不等式的解集，从而得到不等式组的解集，再根据不等式组的解集也是列出关于a，b的二元一次方程组，求出a、b即可； （2）根据，得出，根据，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：不等式组 由①得，， 由②得，， ∵原不等式组有解， ∴不等式组的解集为：， 又∵关于x的不等式组的解集为， ∴， 整理得：， 解得． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 即． 13．（24-25八年级上·浙江金华·期中）红糖是义乌特产，为促进销量，某批发商销售A、B两种包装的红糖，若购买9箱A种包装和6箱B种包装共需390元；若购买5箱A包装和8箱B包装需310元． (1)A种包装、B种包装每箱价格分别是多少元？ (2)若某公司购买A、B两种包装共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)A种包装每箱价格是30元，B种包装每箱价格是20元 (2)购买A种包装18箱，购买B种包装12箱，才能使总费用最少，最少费用为780元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，正确建立方程组和不等式组是解题关键． （1）设A种包装每箱价格是m元，B种包装每箱价格是n元，根据题意建立方程组求解即可； （2）设购买A种包装x箱，总费用为y元，则购买B种包装箱，根据题意建立不等式组，解不等式组可得x的取值范围，再结合为正整数可得m所有可能的取值，然后根据（1）的结果逐个计算总费用，找出总费用最少的购买方案即可． 【详解】（1）解：设A种包装每箱价格是m元，B种包装每箱价格是n元， 根据题意得：，解得：． ∴A种包装每箱价格是30元，B种包装每箱价格是20元． （2）解：设购买A种包装x箱，总费用为y元，则购买B种包装箱， ∵A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍， ∴，解得：， ∵x为整数， ∴当，19或20 ∴当时，此时，费用为（元）： 当时，此时，费用为（元）； 当时，此时，费用为（元）： ∵ ∴购买A种包装18箱，购买B种包装12箱，才能使总费用最少，最少费用为780元． 14．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元． 素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 【答案】任务1：共有2种租车方案，如下： 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆；方案2：租用A型车3辆，B型车5辆 任务2：花费最少的是方案1，比预算节省了200元 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用——方案问题，熟练掌握并利用一元一次不等式解决实际问题是解题的关键； 任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，根据总载客量不少于305人且总租金不超过2900元，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出租车方案； 任务2：求出选择每种租车方案所需总租金，比较后，用2900元减去花费最少的总租金，即可得出结论． 【详解】解：任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆， 根据题意得， 解得， 又因为a为正整数， 所以a可以为或， 当时，， 当时，， 所以共有2种租车方案， 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆； 方案2：租用A型车3辆，B型车5辆； 任务2：选择方案1所需总租金为（元）； 选择方案2所需总租金为（元）． （元）， 花费最少的是方案1，比预算节省了200元． 15．（24-25八年级上·浙江·期中）某体育专卖店销售进价分别为100元，80元的，两种型号的乒乓球拍，下表是近两周的销售情况．（进价、售价均保持不变，利润=销售收入－进货成本） 销售时段 销售数量（块） 销售收入（元） A型号 B型号 第一周 3 5 890 第二周 4 8 1320 (1)求A，B两种型号乒乓球拍的销售单价； (2)若超市准备用不多于1850元的金额再采购这两种型号的乒乓球拍共20块，求型号乒乓球拍最多能采购多少块？ (3)在（2）的条件下（即超市用不多于1850元的金额采购这两种型号的乒乓球拍共20块），超市销售完这20块乒乓球拍能否实现利润超过500元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A，B两种型号乒乓球拍的销售单价分别为130元，100元； (2)12块； (3)符合条件的方案有2种：A型号11块，B型号9块；A型号12块，B型号8块． 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的运用，理解数量关系，掌握二元一次方程组，一元一次不等式解决实际问题的方法是解题的关键． （1）设A，B乒乓球拍的销售单价分别为元，元，由此列二元一次方程组求解即可； （2）设A号乒乓球拍采购块，根据数量关系列不等式，求解即可； （3）由已知得，由此即可求解． 【详解】（1）解：设A，B乒乓球拍的销售单价分别为元，元， ， 解得， 答：A，B两种型号乒乓球拍的销售单价分别为130元，100元； （2）解：设A号乒乓球拍采购块，则B号乒乓球拍采购块， ∴， 解得， 答：型号乒乓球拍最多能采购12块； （3）解：A，B两种型号乒乓球拍的进价分别为100元，80元，销售单价分别为130元，100元， ∴， 解得， 所以：， 符合条件的方案有2种：A型号11块，B型号9块；A型号12块，B型号8块． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元一次不等式 （8个知识回顾+12种重点题型归纳+过关检测） 题型聚焦：核心考点+中考题型，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 不等式的定义】 【题型2 不等式的解集】 【题型3 不等式的性质】 【题型4 求一元一次不等式的解集】 【题型5 一元一次不等式的含参问题】 【题型6 在数轴上表示不等式的解集】 【题型7 一元一次不等式的实际问题】 【题型8 不等式组的解集】 【题型9 解特殊不等式组】 【题型10 一元一次不等式组的含参问题】 【题型11 不等式组和方程组结合的问题】 【题型12 一元一次不等式组的实际问题】 知识点01不等式的定义 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2）常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 知识点02不等式的基本性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 知识点03 不等式的解集 不等式的解集 ①概念：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。 ②用数轴表示不等式解集 解集x>−4在数轴上表示为 解集x≥−4在数轴上表示为 解集 x < 4 在数轴上表示为 解集 x ≤在数轴上表示为 知识点04 一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 注意：一元一次不等式满足的条件： ①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1 知识点05 解一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。 （1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。 （2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。 （3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。 （4）合并同类项。 （5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。 （6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 知识点06 一元一次不等式组的概念 由几个含有同一个 未知数的 一元一次不等式 组成的不等式组 知识点07 一元一次不等式组的解法 1．分别求出不等式组中各个不等式的解集； 2．利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集 3. 不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型（设a>b）（重难点） 不等式组 图示 解集 （同大取大） （同小取小） （大小交叉取中间） 无解（大小分离解为空） 知识点08 根据实际问题列出一元一次不等式； 积分、分配和行程问题 1. 积分问题 2. 分类问题 3. 行程问题，常用等量关系：路程=速度×时间 经济与方案问题 1.经济问题： 常见等量关系： 利润=售价-成本. 利润率=（售价-成本）/成本 X100%. 售价=成本X（1+利润率） 2.方案问题 题型归纳 【题型1 不等式的定义】 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）以下表达式：；；；；．其中不等式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（23-24八年级下·山东济南·期中）下列各式：①，②，③，④，⑤，其中属于不等式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为 ． 4．（23-24七年级下·浙江台州·期末）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是 ． 5．（2023七年级下·江苏·专题练习）用适当的符号表示下列关系： (1)x的与x的2倍的和是非正数； (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米； (3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元； (4)明天下雨的可能性不小于； (5)小明的体重不比小刚轻． 【题型2 不等式的解集】 1．（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 2．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江苏徐州·阶段练习）若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 4．（23-24七年级下·北京西城·阶段练习）写出一个解集为的一元一次不等式 ． 5．（23-24七年级下·全国·假期作业）下列各式哪些是不等式2(2x+1)＞25的解？哪些不是？ (1)x=1． (2)x=3． (3)x=10． (4)x=12． 【题型3 不等式的性质】 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如果，，那么下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）若，下列不等式不成立的是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）比较大小，用“”或“”填空：若，且，则a b． 4．（2024八年级上·浙江·专题练习）已知关于x的不等式的解集是，则m的取值范围是 ． 5．（24-25八年级上·浙江舟山·期中）仿例：已知，试比较与的大小． 方法一解：∵， ∴（不等式的基本性质3） 根据仿例，请解答：已知，试比较与的大小，两种方法解答． 【题型4 求一元一次不等式的解集】 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）解下列不等式： (1) (2) 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）解下列不等式． (1)； (2)． 3．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）解下列不等式． (1)，并将解表示在数轴上； (2)． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）解不等式： (1) (2) 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式：，并把解集在数轴上表示出来．    【题型5 一元一次不等式的含参问题】 1．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若关于x的不等式的最小整数解是2，则实数m的值可能是（    ） A． B． C．0 D．1 2．（23-24七年级下·重庆江津·阶段练习）关于x的不等式有且只有三个负整数解，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 5．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求m的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，m的值． 【题型6 在数轴上表示不等式的解集】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）不等式 在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）在数轴上表示不等式的解，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知如图是关于的不等式的解集，则的值为 ． 4．（23-24九年级上·陕西榆林·开学考试）若关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式的解集是 .    5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）解不等式并把解表示到数轴上： (1)； (2) 【题型7 一元一次不等式的实际问题】 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）商店里一种12瓦（即千瓦）节能灯的亮度相当于60瓦（即千瓦）的炽灯．节能灯售价20元，白炽灯售价5元．如果电价是0.5元千瓦时，问节能灯使用多少小时后，总费用（售价加电费）比选用白炽灯的费用节省（电灯的用电量千瓦数用电时数）？ 2．（2024八年级上·全国·专题练习）某体育用品商场的采购员到厂家批发购进篮球和排球共100个，要求付款总额不超过11815元．两种球的厂家批发价和商场零售价如表所示： 厂家批发价/（元/个） 商场零售价/（元/个） 篮球 130 160 排球 100 120 (1)该采购员最多可购进篮球多少个？ (2)若该商场把这100个球全部以零售价售出，为使商场获得的利润不低于2580元，则该采购员最少购进篮球多少个？ 3．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）“金秋墨彩庆华诞，笔落惊云书国魂．”为庆祝建国周年，年级决定举行书法比赛，为奖励在比赛中表现优秀的同学，年级提前购买了甲、乙两种奖品．甲种奖品买了个，乙种奖品买了个，共花费元，其中甲种奖品的单价比乙种奖品的单价高元． (1)甲、乙两种奖品的单价各是多少元？ (2)同学们热情高涨，踊跃报名，经统计，实际报名人数远远多于预计人数，于是年级决定再次购买甲、乙两种奖品共个．恰好赶上商家促销，甲种奖品按单价的九折出售，乙种奖品在单价的基础上每个降价4元出售．如果此次购买奖品的总费用不超过上一次总费用的，则至多可以购买多少个甲种奖品？ 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）象山有着“中国柑橘之乡”的美誉，经营户老张近期主要销售“红美人”和“象山青”两个柑橘品种． 红美人 象山青 进价（元斤） 20 5 售价（元斤） 35 10 (1)上周的“红美人”和“象山青”的进价和售价如下表所示，老张用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，上周售完后一共能赚多少钱？ (2)本周保持进价不变，老张仍用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，但在运输过程中“红美人”损坏了，而“象山青”没有损坏仍按原价销售．要想本周售完后的利润不低于上周的利润，“红美人”的售价最低定为多少？（精确到0.1元） 5．（2024八年级上·浙江·专题练习）根据以下素材，探索完成任务． 探索如何选择家庭用电方式？ 素材1 用电背景 每天至是用电高峰期，简称“峰时”，至次日是用电低谷期，简称“谷时”．某市电力部门提供两种用电方式：普通用电和峰谷分时用电 素材2 该市电价 普通用电：元/度； 分时用电：峰时元/度，谷时元/度． 素材3 调查统计 以小明家为例，小明家采用峰谷分时用电，第一季度用电如下： 1月份用电量：峰时90度，谷时10度； 2月份用电量：峰时88度，谷时12度； 3月份用电量：峰时160度，谷时40度． 问题解决 任务1 仔细计算 通过计算，并与普通用电方式比较，小明家哪个月份使用分时用电方式更合算？ 任务2 观察猜想 观察小明家每月峰时用电量和该月总用电量的比值，猜想当它们的比值满足 　 　时，家庭使用分时用电方式更合算． 任务3 推理验证 说明任务2中的猜想是正确的． 过程如下：设某家庭某月用电a度，其中峰时用电x度，则谷时用电度．（请你继续完成上述过程） 【题型8 不等式组的解集】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）解不等式组请按下列步骤完成解答． (1)解不等式①，得______． (2)解不等式②，得______． (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集是______． 2．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）解一元一次不等式组． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 4．（23-24·山东济南·一模）解一元一次不等式组并把解表示在如图所示的数轴上． 5．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）已知关于x的不等式组的解集为． (1)求a和b的值． (2)若，求的取值范围． 【题型9 解特殊不等式组】 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）我们已经学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： (1)阅读理解：解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或， 解不等式组，得；解不等式组，得． 原不等式的解集为或． 问题解决：根据以上材料，解不等式． (2)已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的的整数值． 2．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）阅读下列材料： 解答“已知，且，试确定的取值范围”有如下解法： 解：∵，又∵，∴，   又，∴．…① 同理得：．…② 由①+②得，∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： 已知关于x、y的方程组的解都为正数． (1)求a的取值范围； (2)已知，且求的取值范围； 3．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式． 解：∵，∴可化为． 由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得 ①② 解不等式组①，得；解不等式组②，得， ∴的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． (1)一元二次不等式的解集为_______； (2)试解一元二次不等式； (3)试解不等式． 4．（23-24八年级下·四川达州·期末）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则 即可以写成： 解不等式组得： ②当若，则 即可以写成： 解不等式组得： 综合以上两种情况：不等式解集：或． （以上解法依据：若，则a，b同号）请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 5．（23-24八年级下·福建三明·期中）阅读理解题： （1）原理：对于任意两个实数、， 若，则和同号，即：或 若，则和异号，即：或 （2）分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）． （3）应用：解不等式 ① ② 【题型10 一元一次不等式组的含参问题】 1．（23-24八年级下·广东佛山·期末）已知不等式组①，解决下列问题： (1)求不等式组①的解集； (2)若不等式组的解集与①的解集相同，求a、b的值． 2．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知关于 x，y 的二元一次方程组 的解满足． (1)求 k 的取值范围； (2)在 (1) 的条件下，若不等式的解为，请写出符合条件的 k 的整数值． 3．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）关于的不等式组的解集为，则，的值分别是多少？ 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）若关于x的不等式2x+a＞2的解集为x＞﹣1，求a的值． 5．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a#b=a﹣3b+7，等式右边是通常的加减运算．例如：3#5=3﹣3×5+7． （1）求5#x>0解集； （2）若3m<2#x＜7有解，求x的取值范围； （3）在（2）的条件下，若x的解集中恰有3个整数解，求m的取值范围． 【题型11 不等式组和方程组结合的问题】 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的取值范围． (2)若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值． 2．（23-24八年级下·江西九江·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m得取值范围． (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 3．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知关于，的方程组，其中为非负数，为正数，求的整数解． 4．（23-24八年级上·浙江金华·期中）已知：关于x，y的方程组的解为负数，求m的最大负整数值． 5．（2022·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知关于x，y的二元一次方程组 (1)用含有m的式子表示上述方程组的解是__________________； (2)若x、y是相反数，求m的值； (3)若方程组的解满足，求满足条件的m的所有非负整数值． 【题型12 一元一次不等式组的实际问题】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）生活常识告诉我们：糖水里再添加糖，在糖完全溶解的情况下，糖水会变的更甜．我们把含糖的质量与糖水质量的比值称之为甜度，甜度越大糖水越甜．小观现在有一杯质量为100克的糖水，其中含有a克糖（）；他试了一下感觉不够甜，又向其中添加了10克糖，并搅拌至完全溶解． (1)原来的甜度为 ，加糖后的甜度为 ． (2)根据加糖前后的甜度，请你利用不等式的基本性质证明加糖后确实变甜了． (3)要使糖水口感好，又比较健康，甜度应不低于，又不超过．如果上述操作后甜度符合要求，那么a应该在什么范围？ 2．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）我校即将进行秋季实践活动，计划租用A、B两种型号的大巴车，已知租用3辆A型大巴车和2辆台B型大巴车，共需费用2100元；4辆台A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元． (1)求A型大巴车和B型大巴车每辆俩各需多少元； (2)若计划租用A、B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用采购总费用不超过11500元，共有哪几种采购方案？ (3)在（2）的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 3．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）为了节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，将居民的每月生活用水水价分为三个等级：一级：20吨及以下，二级：大于20吨，不超过30吨，三级：30吨以上．以下是小青家水费发票的部分信息：（居民生活水费自来水费污水处理费） 丽水市xx县自来水公司水费专用 发票联 计费日期：2023-07-01至2023-08-11                         付款期限： 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量/吨 本期用水量/吨 884 919 35 自来水费 污水处理费 用水量/吨 单价/元 金额/元 用水量/吨 单价/元 金额/元 阶梯一20 1.30 26.00 20 0.50 10.00 阶梯二10 19.00 10 0.50 5.00 阶梯三5 15.00 5 0.50 2.50 本期实付金额 （大写）染拾染元伍角整 77.50元 (1)从以上信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）：每月用水20吨及以内为_______元/吨，每月用水20~30吨（含30吨）为______元/吨，30吨及以上为______元/吨． (2)随着气温的降低，小青家的用水量也在逐步下降，已知2024年2月份小青家所缴的水费为55.20元，请你计算小青家该月份的用水量为多少吨？ (3)为了提倡节约用水，小青家打算将水费控制在不少于48元，不超过74元，那么用水量应该如何控制？ 4．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）某茶叶店准备从茶农处采购甲、乙两种不同品质的茶叶，已知采购2斤甲型茶叶和1斤乙型茶叶共需要1100元，采购3斤甲型茶叶和2斤乙型茶叶共需要1800元． (1)甲、乙两种型号的茶叶每斤分别是多少元？ (2)该茶叶店准备用不超过10200元的资金采购甲、乙两种型号的茶叶共30斤，其中购进甲种型号的茶叶的斤数不少于购进乙种茶叶的，采购的斤数需为整数，那么该茶店有哪几种采购方案？ 5．（2024八年级上·浙江·专题练习）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． (1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 过关检测 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）以下表达式：；；；；．其中不等式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）已知，下列式子中成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期中）若不等式组无解，则m的值可能（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）若关于的方程的解为自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的和为 （   ） A．5 B．2 C．4 D．6 5．（23-24八年级·全国·假期作业）若关于的方程的解为自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的和为（   ） A．5 B．2 C．4 D．6 6．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）根据语句“的倍与的差小于列不等式”： ． 7．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）若关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围是 ． 8．（24-25八年级上·浙江·期中）八（1）班同学开展了“庆国庆”课外阅读知识竞赛．一共有20道题，答对每题加5分，不答不扣分，答错每题倒扣2分．已知小明答错的题数与不答的题数一样多，最后比赛得分超过75分．设小明答错了道题，根据题意，可列出关于的不等式为 ． 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）“”是美国十年级数学竞赛的缩写．共有道选择题，每一道选择题答对得分，留空得分，答错不得分．预估得分达到分的参赛者有机会被邀请参加美国高中数学邀请赛，那么至少需要答对 题才有机会进入邀请赛． 10．（24-25八年级上·浙江·期中）定义运算表示求不超过的最大整数．如，，，．若，则的取值范围是 ． 11．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）解不等式并把解表示到数轴上： (1)； (2) 12．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）已知关于x的不等式组的解集为． (1)求a和b的值． (2)若，求的取值范围． 13．（24-25八年级上·浙江金华·期中）红糖是义乌特产，为促进销量，某批发商销售A、B两种包装的红糖，若购买9箱A种包装和6箱B种包装共需390元；若购买5箱A包装和8箱B包装需310元． (1)A种包装、B种包装每箱价格分别是多少元？ (2)若某公司购买A、B两种包装共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 14．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元． 素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 15．（24-25八年级上·浙江·期中）某体育专卖店销售进价分别为100元，80元的，两种型号的乒乓球拍，下表是近两周的销售情况．（进价、售价均保持不变，利润=销售收入－进货成本） 销售时段 销售数量（块） 销售收入（元） A型号 B型号 第一周 3 5 890 第二周 4 8 1320 (1)求A，B两种型号乒乓球拍的销售单价； (2)若超市准备用不多于1850元的金额再采购这两种型号的乒乓球拍共20块，求型号乒乓球拍最多能采购多少块？ (3)在（2）的条件下（即超市用不多于1850元的金额采购这两种型号的乒乓球拍共20块），超市销售完这20块乒乓球拍能否实现利润超过500元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$