第一章第02讲 等边三角形的性质与判定（3个知识点+8类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（北师大版）

第02讲 等边三角形的性质与判定 课程标准 学习目标 ①等边三角形的性质 ②等边三角形的判定 ③30°角的直角三角形 1.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力； 2.经历实际操作，探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力； 3.在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力. 知识点01 等边三角形及其性质 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 【即学即练1】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，在等边三角形中，是边上的高，延长至点，使，则的长为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，根据题意可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵在等边三角形中，是边上的高， ∴， 又∵， ∴ ∴ 故答案为：． 【即学即练2】（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，是等边三角形，点、、分别在、、上，，，则 ． 【答案】50 【知识点】等边三角形的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，证明，可得结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：50． 【即学即练3】（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，已知，分别是等边三角形中，边上的点，且，连接，，交于点．请判断与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识点，由等边三角形的性质得，，进而可得，再利用外角的性质即可得解，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决此题的关键． 【详解】解：，理由如下， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ， 是的一个外角， ． 知识点02 等边三角形的判定 定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【即学即练1】（广东省汕头市八校联考2024-2025学年八年级上学期11月数学试卷）如图，，，，． (1)求的度数； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等边三角形，见解析 【知识点】等边对等角、等边三角形的判定、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等，等边三角形的判定方法． （1）由等腰三角形的性质推出，由三角形内角和定理即可求出； （2）由垂直的定义得到，由直角三角形三角形的性质求出，得到，判定是等边三角形． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： ，， ， 由（1）知， ， ， ， 是等边三角形． 【即学即练2】（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边三角形的判定、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得解； （2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解． 【详解】（1）证明：∵，点是边的中点， ∴垂直平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：由（1）得，， ∴在中，． ∵， ∴． ∵在中，是高，点是边的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【即学即练3】（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，点D在线段上，，． (1)求证：； (2)判断是什么特殊三角形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，证明是解答本题的关键． （1）先证明，然后根据可证； （2）由全等三角形的性质得，结合可证是等边三角形． 【详解】（1）∵， ， ∴， 在和中， ， ∴； （2）答：是等边三角形． 理由：∵ ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 知识点03 含30°角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【注意】 （1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 【即学即练1】（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，交于点，，则 ． 【答案】 【知识点】根据等角对等边求边长、含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，含角的直角三角形的性质，由，根据三角形的内角和定理得，由垂直定义得，则，由角的直角三角形的性质得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【即学即练2】（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，是等边三角形，，是边上一点，于点．若，则的长为 ． 【答案】2 【知识点】等边三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，含的直角三角形的性质，掌握“直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”是解本题的关键． 首先根据等边三角形的性质得到，，求出 可得，从而可得答案． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ∴ ∴． 故答案为：2． 【即学即练3】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形中，，，，，，则 ． 【答案】3 【知识点】根据等角对等边证明边相等、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的三角形是解题的关键．延长交于点E，利用等角对等边得，再利用含角的直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：延长交于点E， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：3． 题型01 利用等边三角形的性质求角 例题：（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，是等边三角形的中线，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接，则的度数是 ． 【答案】/75度 【知识点】等边对等角、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质．根据等边三角形的性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用等腰三角形的性质可得,即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ， 是的中线， ， 由题意得：， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·甘肃临夏·期中）如图，已知等边，直线，则的度数为 ．    【答案】/70度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、等边三角形的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，等边三角形的性质，先求解，再证明即可． 【详解】解：如图，    ∵等边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 2．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，是等边三角形，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】等边对等角、等边三角形的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等边三角形的性质可得出，由可得出为等腰直角三角形，进而可得出及，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出的度数即可得出结论． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，是等边三角形，D为边上一点，以为边作等边，连接．若，则的度数是 ． 【答案】/100度 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，根据证明得，从而可得结论． 【详解】解：∵和均为等边三角形， ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型02 利用等边三角形的性质求边 例题：（23-24八年级下·江西抚州·阶段练习）如图，是等边三角形，平分，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求长度、三线合一、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得，再根据等腰三角形的三线合一的性质得出是边上的中线，即可得解．解题的关键是掌握：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴， ∵平分， ∴是边上的中线， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图，是周长为的等边三角形，D是上一点，，交于点E，则线段 ． 【答案】2 【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 先求出等边得边长，再在中，由可得，从而求出即可解决问题． 【详解】解：∵是等边三角形，周长为， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在等边中，于点D，于点E，若，那么的长是 ． 【答案】2 【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形 【分析】此题考查了等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由在等边三角形中，，可求得，则可求得，又由，由三线合一的知识，得出，即可求得答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：2． 3．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，是等边三角形，点 是边的中点，过点 作于点，延长 交 的反向延长线于点．若，则 的长为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查等边三角形的性质及应用，含30度角的直角三角形的性质；由是等边三角形，点E是的中点，得，，根据，得，得到，在中，求得，在中，可得，进而求得，在中，根据含30度角的直角三角形的性质，即可得答案． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形，点E是的中点， ∴，， ∵， ∴，，即， ∴， 在中，， ∴ 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 题型03 利用等边三角形的性质求动点问题 例题：（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，点D在上，，点P、E分别是、上动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形和直角三角形等知识点，当点、、 （关于的对称点）三点共线且于点时，的值最小，再根据等边三角形的性质，即可求出答案，熟练掌握轴对称最短路径问题，等边三角形的性质和直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键． 【详解】如图所示，以为对称轴作，的对称点为， ， 当三点共线时，且时，的值最小， ∵，，， ∴， ， ， ， 是等边三角形， ， 故答案为：14． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，，C为边上一动点（不与点A、点B重合），以为边在的上方作等边三角形，过点C作的垂线，E为垂线上任意一点，连接，F为的中点，连接，则的最小值是 ． 【答案】6 【知识点】垂线段最短、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查垂线段最短，含30度角的直角三角形，等边三角形的性质，解题的关键是利用垂线段最短解决最值问题． 连接，，设交于点H，根据垂线的性质及直角三角形斜边中线的性质得出，利用等边三角的性质证明得出，再运用垂线段最短及含30度角的直角三角形的性质可得答案． 【详解】连接，如图，连接，，设交于点H， ， F为的中点， ， 为等边三角形， ， 在和中 ， ， ， 当时，的值最小，如图所示，设点为垂足， 在中，， ， 故答案为：6． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，过边长为2的等边的顶点C作直线，然后作关于直线l对称的，P为线段上一动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】4 【知识点】等边三角形的性质、等边三角形的判定和性质、画轴对称图形 【分析】本题考查轴对称的性质及等边三角形的性质，连接，利用全等三角形将的长转化为的长即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵与关于直线l对称，且是边长为2的等边三角形， ∴ 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 根据“两点之间，线段最短”可知， 当点P在点C位置时，取得最小值为的长度4， 所以的最小值是4． 故答案为：4． 题型04 利用等边三角形的性质证明 例题：（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在等边中，D为边的中点，过点D作，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为60 【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，所对的直角边是斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得，然后结合等边三角形的性质，证明，即可作答． （2）由等边三角形的性质得，再结合所对的直角边是斜边的一半，则，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∵D是的中点， ∴． 在和中 ∴ ∴． （2）解：∵为等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴的周长为60． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）已知：在等边三角形中，点为边上一点，为延长线上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点，若点为中点，且，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的性质、三角形的外角的定义及性质、含30度角的直角三角形 【分析】（1）如图所示，过点作，可得是等边三角形，，，，证明，即可求解； （2）如图所示，过点作，由（1）的证明可得，是等边三角形，，由等边三角形的性质，外角和的性质，对顶角相等的知识可得，，，则有，根据，得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过点作， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点作， 由（1）的证明可得，是等边三角形， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，则， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角和的性质，含角的直角三角形的性质等知识的综合，掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质是解题的关键． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图是等边三角形，，，点E，F分别在，上，且． (1)求证：； (2)若的边长为1，求的周长． (3)探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明过程见详解； (2)2 (3)，理由见详解． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、等边对等角 【分析】本题是三角形的综合题，考查了等边三角形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的综合运用．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）延长到，使，连接，求出，根据证，推出，，求出，根据证明，推出，即可得出答案； （2）由（1）得的周长等于，即可解答； （3）根据（1）中的即可解答． 【详解】（1）证明：延长到，使，连接， 是等边三角形， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ； （2）解：是边长为1的等边三角形， ， ， 的周长为：； （3）解：， 理由如下：由（1）知：， ． 题型05 含30°角的直角三角形 例题：（24-25八年级上·山西朔州·期中）如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若，长为米，则乘电梯从点到点上升的高度 米． 【答案】4 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，掌握添加合理的辅助线，构造直角三角形，运用含角的直角三角形的性质是解题解题的关键． 根据题意，过点作延长线于点，则，可得，运用运用含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作延长线于点，则， ∵， ∴， ∴在中，（米）， ∴点到点上升的高度米， 故答案为：4 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，，，于，则 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，根据含30 度角的直角三角形的性质，推出，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 2．（24-25八年级上·重庆綦江·期中）如图，平分， ，，于点D，，则的面积是= ． 【答案】 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查平行线的性质、等腰三角形的判定及含30度直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质、等腰三角形的判定及含30度直角三角形的性质是解题的关键；过点P作于点E，由题意易得，，然后根据三角形面积公式可进行求解． 【详解】解：过点P作于点E，如图所示： ∵平分， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 题型06 等边三角形的判定 例题：（24-25八年级上·陕西延安·期中）如图，在中，D是上一点，于点E，的延长线与的延长线交于点F，，试判断的形状，并说明理由． 【答案】等边三角形，见解析 【知识点】等边三角形的判定 【分析】本题考查了等边三角形的判定、直角三角形的性质，由角的互余关系、等腰三角形的性质以及对顶角相等证出，再由，得出，即可得出结论． 【详解】解：是等边三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ∴是等边三角形． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知和，点C在线段上，． (1)求证； (2)若，连接，求证是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、等边三角形的判定、全等三角形的性质 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定． （1）由，，，根据证明； （2）由全等三角形的性质得，，则可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：由（1）得， ， 是等边三角形． 2．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，，交于点，且，，其两边分别交边，于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【知识点】等边三角形的性质、等边三角形的判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）由等腰三角形三线合一的性质可得，再结合即可证明结论； （2）由等边三角形的性质可得，再结合可得，易证可得，再根据等边三角形的性质可得，即；最后根据四边形的周长公式以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵交于点，是等边三角形， ∴，即 ∴四边形的周长为 ． 题型07 等边三角形的性质和判定多结论题 例题：（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，和都是等边三角形，、相交于点O，交于点M，交于点N，连接，则下列结论不一定成立的（   ） A． B． C．是等边三角形 D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，先根据等边三角形的性质得到，判断A；然后根据全等三角形的性质判断D；再根据三角形的内角和定理判断B；然后根据的情况判断C即可解题． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∴，，故D正确，不符合题意； ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵不一定是， ∴不一定是等边三角形，故C错误，符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，等腰，，，于点D．点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④；其中正确的是（） A．①③④ B．①③ C．②④ D．①②③④ 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、等边三角形的判定和性质 【分析】①利用等边对等角，即可证得：，，则，据此即可求解；②因为点是线段上一点，所以不一定是的角平分线，可作判断；③证明且，即可证得是等边三角形；④首先证明，则，． 【详解】解：①如图1，连接， ，， ，， ， ， ， ，， ；故①正确； ②由①知：，， 点是线段上一点， 与不一定相等，则与不一定相等，故②不正确； ③， ， ， ， ， ， 是等边三角形；故③正确； ④如图2，在上截取，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ；故④正确； 本题正确的结论有：①③④， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 2．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，C为线段上一动点（不与A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（    ） A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】通过证明，可判断①正确；通过证明，推出，，可判断③正确；通过证明为等边三角形，可判断②正确；通过，可判断④错误；在上取点H，令，构造等边三角形，证明，推出，可判断⑤正确． 【详解】解：和均为等边三角形， ，，，， ， ， 又，， ， ，故①正确； ， ，即， 又，， ， ，，故③正确； ，， 为等边三角形， ， ，故②正确； ， ， ， ， ，故④错误； 如图，在上取点H，令， ， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， 又，， ， ， ， 故⑤正确， 综上可知，正确的有①②③⑤， 故选C． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的定义和性质等，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型08 等边三角形的性质和判定综合题 例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，、相交于点，，相交于点．求证： (1)； (2)是等边三角形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握并应用相关性质及判定定理． （1）根据等边三角形的性质和题意，证明，可得，从而进一步得出结论； （2）利用（2）中的结论，根据全等三角形的判定可得，进一步根据全等三角形的性质得证，从而根据等边三角形的判定可以证明是等边三角形． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ，， ， 在和中， ≌， ，， 即， ， ； （2）证明：由知，≌， 则， ，， ， 在和中， ≌， ， ， 是等边三角形 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，，是边的中点，以点为直角顶点向上方作等腰直角三角形，边经过点C，与交于点G． (1)求证：是等边三角形； (2)若，为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】等边三角形的性质、等边三角形的判定和性质、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（）由角所对直角边是斜边的一半得，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，则，最后等边三角形的判定即可求证； （）由是等边三角形，则，从而得出，，由角所对直角边是斜边的一半得，然后根据等腰三角形的判定得，则，再由是等腰直角三角形，且，则，求出即可； 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵是边中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·湖北·阶段练习）在等边中，点D，E分别是上的动点，且，交于点F． (1)如图1，填空：D，E在运动过程中，与的数量关系为：______；的度数为______； (2)如图2，过C作于P，； ①求之长； ②若，求之长； (3)如图3，于P，连接，若，求证：． 【答案】(1)相等， (2)①；② (3)见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）证即可求解； （2）①由（1）可得，即可求解；②由题意得，进一步推出，求得，即可求解； （3）作，交的延长线于点，连接，证得，再证得，推出是等边三角形，证，即可求证； 【详解】（1）解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：相等， （2）解：①∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， 由①可求得：， ∴， ∴ （3）证明：作，交的延长线于点，连接，如图所示： ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及含度角的直角三角形的性质等知识点，掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知等边的一边长为2，则它的周长是（   ） A．2 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】等边三角形的性质 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键；因此此题可根据等边三角形的三条边都相等进行求解即可． 【详解】解：由等边的一边长为2，可知：该等边三角形的三条边都为2，所以它的周长为6； 故选C． 2．（24-25八年级上·湖北·阶段练习）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，角度和差，由，，，根据三角形的内角和定理得，最后由线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，已知是等边三角形，，是上的点，，与交于点．若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边三角形的性质、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质，三角形的外角的性质；由等边三角形的性质求出，由得，进而可得，再根据三角形外角性质求出的度数即可． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， 又，， ， ， ， 故选：B． 4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知，，点、、在射线上，点、、在射线上，、、、…均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A．32 B．64 C．128 D．256 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出，，进而发现规律是解题关键．根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，进而得出答案． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， 、是等边三角形， ∴， ∴，， ，， ， ， ， 以此类推：的边长为， 故选：C． 5．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图所示，在等边三角形内有一点D，连接、，以为边做一个等边三角形，连接，下列结论：①；②；③若，则；④若B、D、C三点共线，则，其中正确的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明，即可得到，，判断①②，结合等边三角形的性质判断③④，即可得出结论． 【详解】解：∵，均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，，故①②正确； 若，则：， ∴， ∴，故③正确； 当B、D、C三点共线时，则点D在线段上，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， 故不可能等于，故④错误； 综上：正确的有3个； 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，等边的边长为6，的角平分线交于点D，过点D作，交、于点E、F，则的周长为 ． 【答案】 【知识点】两直线平行内错角相等、等边三角形的性质、角平分线的有关计算 【分析】本题考查等边三角形的性质，角平分线的定义和平行线的性质，根据和分别平分和，和，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出，．然后即可得出答案． 【详解】解：解：∵在中，和分别平分和， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴的周长为， 故答案为：． 7．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，为等边三角形，点D为延长线上一点．若，，则的长为 ． 【答案】2 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质．过点A作于点E，根据等边三角形的性质，可得，从而得到，进而得到是等腰直角三角形，再由勾股定理可得，然后在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2 8．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在等边中，已知，，将沿折叠，点与点对应，且，则等边的边长 ． 【答案】/ 【知识点】三角形折叠中的角度问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】设于G,交于H，由等边三角形的性质可得，根据折叠的性质可得，根据垂直的定义得到，根据勾股定理得到，设，根据等边三角形的性质列方程求解即可． 【详解】解：设于G，交于H， ∵是等边三角形， ∴， ∵将沿折叠，点与点对应， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 设, ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）、等边三角形的性质、直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 9．（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，已知等边三角形的边长为，，点为边上一点，且．若点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若与全等，则点的运动速度是 ． 【答案】2或 【知识点】全等三角形的性质、等边三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边三角形的性质．由于，所以当与全等时，分两种情况：①；②．根据全等三角形的对应边相等求出，再根据速度路程时间即可． 【详解】解：设点、的运动时间为，则． 三角形是等边三角形， ， 当与全等时，分两种情况： ①如果，那么， 点的运动速度是； ②如果，那么， ， 点的运动时间为：， 点的运动速度是． 综上可知，点的运动速度是2或． 故答案为：2或． 10．（2024·河南濮阳·一模）等边中，，D是上一点，沿折叠得到． 当时，的长为 【答案】或 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、折叠问题 【分析】根据折叠性质可知：，分两种情况：当在外部，当在内部时，由、，求出的度数，进而利用含度、度直角三角形的性质求出即可. 【详解】解：折叠性质可知：， 当在外部时，如图1， ∵在等边中，， ∴， ∴， 过点作，垂足为H， ∴，， ∴， 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴. 当在内部时，如图2， ∵在等边中，， ∴， ∴， ∴ 过点作，垂足为，同理可求， 故， 故答案为：或. 【点睛】本题考查等边三角形的性质，轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用分类讨论的思想的原则做到不遗漏、不重复． 三、解答题 11．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【知识点】等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角得出，证明，即可得证； （2）证明为等边三角形．得出，由直角三角形的性质可得，求出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形． ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 12．（24-25八年级上·北京·期中）如图，是等边三角形，于D，为边中线，，相交于点O，连接． (1)判断的形状，并说明理由 (2)若，求的长． 【答案】(1)等边三角形，理由见解析 (2)4 【知识点】等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】该题主要考查了等边三角形的判定及其性质，直角三角形的性质；解决本题的关键是熟练掌握等边三角形的判定及其性质，直角三角形的性质． （1）由等边三角形的性质可得，，可得出，由为边上的中线，得出，从而得出，再由等边三角形的判定可得结论； （2）先证明，再由可得，再求解即可． 【详解】（1）解：等边三角形，理由如下： 在等边中，，， ，， ， 又为边上的中线， ， ， 又， 是等边三角形； （2）解：由（1）知：、分别是的中线， ，， ， ， ， ． 13．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据平行线判定与性质证明、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和，等腰三角形的判定与性质，比较基础，难度不大． （1）根据是等边三角形和平行线的性质，可证，再根据三角形内角和为，即可求得． （2）根据题意易证，从而可得到，故此可证为等腰三角形． （3）根据等边三角形的性质可得，再根据，可得，然后由进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （3）解：由（1）可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 14．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，点O是等边内一点，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，α为多少度？ 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边三角形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟记等边三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质、等边三角形的性质求出，根据等边三角形的判定推出即可； （2）根据全等三角形的性质及等边三角形的性质求出，，则，，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：． 15．（24-25八年级上·河南新乡·期中）已知定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半，”下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种， 完成证明． 已知：如图1，在中，．求证：， 方法一：如图2，延长到点D，使得，连接． 方法二：如图3，在线段上取一点D，使 得，连接． 【答案】见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 若选择方法一：先根据直角三角形的两个锐角互余求出，再利用平角定义求出，从而可得，然后利用证明，从而可得，进而可得是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得，即可解答； 若选择方法二：先根据直角三角形的两个锐角互余求出，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用等量代换可得，即可解答． 【详解】解：选择方法一： 如图：延长到点D，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 选择方法二： 如图，在线段上取一点D，使得，连接， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 16．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，是中线，延长至E，使，若． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形； (3)在中，点P是边上的定点，点M、N分别是边、上的动点．当的周长取最小值时，直接写出此时的度数． 【答案】(1)见解答 (2)见解答 (3) 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）利用等边对等角和三角形外角的性质证明即可； （2）先求出，再利用有一个角等于的等腰三角形是等边三角形证明即可； （3）作出的周长取最小值时，的位置，再利用三角形内角和定理及其推论即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ． （2）证明：∵是中线， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ∴是等边三角形； （3）解：． 理由：作点关于的对称点，连接，分别交于点，连接，此时则的周长取最小值， 如图，当点共线时，的周长取最小值， 由题意知， 则， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称-最短路线问题，两点之间线段最短，三角形内角和定理及其推论，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键． 17．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，是边长为6的等边三角形，是边上一动点，由点向点运动（与，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点． (1)若设，则______，______；（用含的式子表示） (2)时，求的长； (3)在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2)； (3)当点P、Q运动时，线段的长度不会改变，． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】（1）根据题意得，然后得到，； （2）在中利用角直角三角形的性质列方程求解即可； （3）过点P作的平行线交AB于点M，首先证明出是等边三角形，然后得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，， ∵是边长为6的等边三角形， ∴，， ∴，； 故答案为：，； （2）解：在中，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：当点P、Q运动时，线段的长度不会改变，， 理由如下： 如图：过点P作的平行线交AB于点M，    ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角直角三角形的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 18．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，是等边三角形，点沿的边从点运动到点，再从点运动到点，点是边上一点，运动过程中始终满足． (1)如图1，当点在边上时，连接相交于点． ①求证：． ②求的度数． (2)如图2，当点在边上时，延长至点，使，连接．判断与是否相等？并说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)，见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质和判定， （1）①根据等边三角形的性质得，再根据，可得，然后根据全等三角形对应边相等得出答案； ②根据全等三角形的对应角相等得，再根据得出答案； （2）在上截取，连接，可得，再根据等边三角形的性质证明，进而得出答案. 【详解】（1）证明：①如图1，是等边三角形， ． ， ， ． ②解：， ． ， ． （2）解：． 理由如下：如图，在上截取，连接， 则． 又是等边三角形， ． ． 是等边三角形． ， ， ． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 等边三角形的性质与判定 课程标准 学习目标 ①等边三角形的性质 ②等边三角形的判定 ③30°角的直角三角形 1.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力； 2.经历实际操作，探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力； 3.在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力. 知识点01 等边三角形及其性质 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 【即学即练1】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，在等边三角形中，是边上的高，延长至点，使，则的长为 ． 【即学即练2】（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，是等边三角形，点、、分别在、、上，，，则 ． 【即学即练3】（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，已知，分别是等边三角形中，边上的点，且，连接，，交于点．请判断与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 知识点02 等边三角形的判定 定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【即学即练1】（广东省汕头市八校联考2024-2025学年八年级上学期11月数学试卷）如图，，，，． (1)求的度数； (2)判断的形状，并说明理由． 【即学即练2】（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求长． 【即学即练3】（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，点D在线段上，，． (1)求证：； (2)判断是什么特殊三角形，并说明理由． 知识点03 含30°角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【注意】 （1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 【即学即练1】（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，交于点，，则 ． 【即学即练2】（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，是等边三角形，，是边上一点，于点．若，则的长为 ． 【即学即练3】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形中，，，，，，则 ． 题型01 利用等边三角形的性质求角 例题：（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，是等边三角形的中线，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接，则的度数是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·甘肃临夏·期中）如图，已知等边，直线，则的度数为 ．    2．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，是等边三角形，，，则的度数为 ． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，是等边三角形，D为边上一点，以为边作等边，连接．若，则的度数是 ． 题型02 利用等边三角形的性质求边 例题：（23-24八年级下·江西抚州·阶段练习）如图，是等边三角形，平分，若，则的长为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图，是周长为的等边三角形，D是上一点，，交于点E，则线段 ． 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在等边中，于点D，于点E，若，那么的长是 ． 3．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，是等边三角形，点 是边的中点，过点 作于点，延长 交 的反向延长线于点．若，则 的长为 ． 题型03 利用等边三角形的性质求动点问题 例题：（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，点D在上，，点P、E分别是、上动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，，C为边上一动点（不与点A、点B重合），以为边在的上方作等边三角形，过点C作的垂线，E为垂线上任意一点，连接，F为的中点，连接，则的最小值是 ． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，过边长为2的等边的顶点C作直线，然后作关于直线l对称的，P为线段上一动点，连接，，则的最小值是 ． 题型04 利用等边三角形的性质证明 例题：（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在等边中，D为边的中点，过点D作，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）已知：在等边三角形中，点为边上一点，为延长线上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点，若点为中点，且，求的长． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图是等边三角形，，，点E，F分别在，上，且． (1)求证：； (2)若的边长为1，求的周长． (3)探究与的数量关系，并说明理由． 题型05 含30°角的直角三角形 例题：（24-25八年级上·山西朔州·期中）如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若，长为米，则乘电梯从点到点上升的高度 米． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，，，于，则 ． 2．（24-25八年级上·重庆綦江·期中）如图，平分， ，，于点D，，则的面积是= ． 题型06 等边三角形的判定 例题：（24-25八年级上·陕西延安·期中）如图，在中，D是上一点，于点E，的延长线与的延长线交于点F，，试判断的形状，并说明理由． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知和，点C在线段上，． (1)求证； (2)若，连接，求证是等边三角形． 2．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，，交于点，且，，其两边分别交边，于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求四边形的周长． 题型07 等边三角形的性质和判定多结论题 例题：（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，和都是等边三角形，、相交于点O，交于点M，交于点N，连接，则下列结论不一定成立的（   ） A． B． C．是等边三角形 D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，等腰，，，于点D．点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④；其中正确的是（） A．①③④ B．①③ C．②④ D．①②③④ 2．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，C为线段上一动点（不与A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（    ） A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 题型08 等边三角形的性质和判定综合题 例题：（24-25八年级上·全国·期末）已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，、相交于点，，相交于点．求证： (1)； (2)是等边三角形． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，，是边的中点，以点为直角顶点向上方作等腰直角三角形，边经过点C，与交于点G． (1)求证：是等边三角形； (2)若，为的中点，求的长． 2．（24-25九年级上·湖北·阶段练习）在等边中，点D，E分别是上的动点，且，交于点F． (1)如图1，填空：D，E在运动过程中，与的数量关系为：______；的度数为______； (2)如图2，过C作于P，； ①求之长； ②若，求之长； (3)如图3，于P，连接，若，求证：． 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知等边的一边长为2，则它的周长是（   ） A．2 B．5 C．6 D．8 2．（24-25八年级上·湖北·阶段练习）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，已知是等边三角形，，是上的点，，与交于点．若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知，，点、、在射线上，点、、在射线上，、、、…均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A．32 B．64 C．128 D．256 5．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图所示，在等边三角形内有一点D，连接、，以为边做一个等边三角形，连接，下列结论：①；②；③若，则；④若B、D、C三点共线，则，其中正确的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，等边的边长为6，的角平分线交于点D，过点D作，交、于点E、F，则的周长为 ． 7．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，为等边三角形，点D为延长线上一点．若，，则的长为 ． 8．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在等边中，已知，，将沿折叠，点与点对应，且，则等边的边长 ． 9．（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，已知等边三角形的边长为，，点为边上一点，且．若点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若与全等，则点的运动速度是 ． 10．（2024·河南濮阳·一模）等边中，，D是上一点，沿折叠得到． 当时，的长为 三、解答题 11．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 12．（24-25八年级上·北京·期中）如图，是等边三角形，于D，为边中线，，相交于点O，连接． (1)判断的形状，并说明理由 (2)若，求的长． 13．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，求的长． 14．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，点O是等边内一点，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，α为多少度？ 15．（24-25八年级上·河南新乡·期中）已知定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半，”下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种， 完成证明． 已知：如图1，在中，．求证：， 方法一：如图2，延长到点D，使得，连接． 方法二：如图3，在线段上取一点D，使 得，连接． 16．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，是中线，延长至E，使，若． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形； (3)在中，点P是边上的定点，点M、N分别是边、上的动点．当的周长取最小值时，直接写出此时的度数． 17．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，是边长为6的等边三角形，是边上一动点，由点向点运动（与，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点． (1)若设，则______，______；（用含的式子表示） (2)时，求的长； (3)在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 18．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，是等边三角形，点沿的边从点运动到点，再从点运动到点，点是边上一点，运动过程中始终满足． (1)如图1，当点在边上时，连接相交于点． ①求证：． ②求的度数． (2)如图2，当点在边上时，延长至点，使，连接．判断与是否相等？并说明理由． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$