第一章第01讲 等腰三角形的性质与判定（2个知识点+9类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（北师大版）

第01讲 等腰三角形的性质与判定 课程标准 学习目标 ①推理能力 ②等腰三角形的性质 ③等腰三角形的判定 1.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力. 2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容，能证明等腰三角形的性质. 3.有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性. 知识点01 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 等腰三角形的其他性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 【即学即练1】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）在等腰三角形中，，则 ，如果， ． 【答案】 或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，对于第一空可确定是顶角，据此根据等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数；对于第二空分是顶角和是底角两种情况根据等边对等角和三角形内角和定理讨论求解即可． 【详解】解：∵在等腰三角形中，， ∴是顶角， ∴； 当，且为顶角时，则； 当，且为底角时，若为底角，则， 若为顶角，则， ∴， 故答案为：；或或． 【即学即练2】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，，是中线，，则是 度．    【答案】 【知识点】三线合一、三角形的外角的定义及性质 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】，， ， ，是边上的中线， ， ， ， ， 故答案为：． 【即学即练3】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，是的平分线交于点，，，，则 ． 【答案】 【知识点】根据等角对等边求边长、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质 【分析】在上截取，连接，则，再证明，则，，可推导出，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图所示，在上截取，连接， ，， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等腰三角形的判定等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 知识点02 等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 【即学即练1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，是的平分线，，交于点E，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边对等角、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及平行线的性质． （1）根据角平分线和平行的性质求出即可； （2）根据角平分线和平行线的性质得到，从而求得的度数，然后利用等边对等角得到另一个底角的度数，从而求得顶角的度数． 【详解】（1）证明：是的平分线， ， 又∵， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：， ， ， ， ． 【即学即练2】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，G为中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明等腰三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，正确添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用等腰三角形的性质可得，然后利用等角的余角相等可得，再根据对顶角相等可得，从而可得，最后利用等角对等边即可解答； （2）如图：过点E作，垂足为F，利用等腰三角形的三线合一性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：图：过点E作，垂足为F， ∴， ∵， ∴， ∵G为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为8． 题型01 根据等腰三角形等边对等角求角的度数 例题：（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）等腰三角形的顶角为，底角的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等， ∴底角为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南漯河·期中）一个等腰三角形的内角为，则其顶角的度数为 ． 【答案】或/或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查三角形内角定理及等腰三角形性质，等腰三角形这个的内角可能是顶角，也可能是底角．根据等腰三角形的内角和定理及等腰三角形两个底角相等的性质，即可分别计算出当这个角是顶角时的底角度数、当这个角是底角时顶角的度数．掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键． 【详解】解：当等腰三角形的顶角是时， 它的两个底角：； 当等腰三角形的底角是时， 顶角为：； ∴它的顶角的度数是或． 故答案为：或． 2．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）等腰三角形中一个角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的底角相等，内角和等于180度，可判断出的角只能为等腰三角形的顶角． 【详解】解：， 的角只能为等腰三角形的顶角， 这个等腰三角形的顶角的度数为， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形顶角的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形的外角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和为180度，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，等边对等角． 根据题意进行分类讨论：①如答图①，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在等腰三角形外部．由题意得，．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角；②如答图②，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在等腰三角形内部，此时有，，结合三角形内角和即可解答． 【详解】解：①如图①，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在等腰三角形外部． 由题意得，． ∴； ②如图②，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在等腰三角形内部， 此时有，， ∴， 故答案为或． 题型02 根据等腰三角形腰相等求第三边或周长 例题：（24-25八年级上·全国·随堂练习）已知一个三角形的两边长分别是2和5，且第三边为奇数，则第三边长为 ．按边分类，这个三角形是 三角形． 【答案】 5 等腰 【知识点】三角形的分类、确定第三边的取值范围、等腰三角形的定义 【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类，关键是掌握三角形的三边关系定理． 三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此即可解决问题， 【详解】解：设三角形第三边长是， 由题意得：， ， 第三边长为奇数， ∴， ∴这个三角形是等腰三角形． 故答案为：5，等腰． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山东济南·期中）等腰三角形的两边长为7和16，则它的周长为 ． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分类讨论是解题关键．分两种情况讨论，利用三角形的三边关系确定是否可以组成三角形，再求出周长即可． 【详解】解：若腰长为7，底边长为16， ， 不能组成三角形； 若腰长为16，底边长为7， ， 能组成三角形， 周长为， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·期中）若一个等腰三角形的周长为26，一边长为8，则它的腰长 ． 【答案】8或9/9或8 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分8为腰长和8为底边2种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：①8是腰长时，底边为， 此时三角形的三边分别为8、8、10， 能组成三角形， ②8是底边时，腰长为， 此时三角形的三边分别为8、9、9， 能组成三角形， 综上所述，它的腰长为8或9． 故答案为：8或9． 3．（2023·四川达州·模拟预测）已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长为 ． 【答案】17 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查非负性，等腰三角形的定义，根据非负性求出的值，再分的值为腰长和的值为腰长两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当3为腰长时，，不能构成三角形，不符合题意； 当7为腰长时，，符合题意，等腰三角形的周长为：； 故答案为：17 题型03 根据等角对等边求边的长度 例题：（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，的平分线相交于点O，过点O，且，分别交于点M、N．则的周长为 ． 【答案】18 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长 【分析】由在中，与的平分线相交于点，过点作，易证得与是等腰三角形，继而可得的周长等于．此题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的判定，三角形周长的求法，等量代换等知识点． 【详解】解：在中，、的平分线相交于点， ， ， ， ， ， 同理， 的周长是：． 故答案为：18． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在中，，，平分交于点，若，则的长度为 ． 【答案】4 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、根据等角对等边求边长、等腰三角形的定义 【分析】本题考查三角形角平分线的定义，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和定义．掌握等角对等边是解题关键．根据题意证明和是等腰三角形即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵平分， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：4． 2．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，交于点，，则 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、含30度角的直角三角形、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，含角的直角三角形的性质，由，根据三角形的内角和定理得，由垂直定义得，则，由角的直角三角形的性质得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）在中，点D，E分别在上，，的平分线交于点F，的平分线交于点G，若，则的长是 ． 【答案】4或6 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线，等角对等边．分情况求解是解题的关键． 由题意知，分在左侧，在右侧两种情况求解作答即可． 【详解】解：由题意知，分在左侧，在右侧两种情况求解； 当在左侧时，如图1， ∵，是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 当在右侧时，如图2， 同理，， ∴； 综上所述，的长为4或6， 故答案为：4或6 题型04 根据等腰三角形三线合一进行求解 例题：（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知在中，是边上的高，垂足为点，点在射线上，连接，若，，，则 ． 【答案】或 【知识点】三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质；根据三线合一的性质得出，然后分类讨论，即可求解． 【详解】解：如图所示，当点在的延长线上时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，当点在线段上时， ∵， ∴． 故答案为：或． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，于，则的长为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质．首先根据可以判断是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一定理可求的长度． 【详解】解：， ， 又， ， 又， ． 故答案为： ． 2．（24-25八年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，，，若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、三线合一 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质和等边对等角的性质，三角形内角和定理，根据，，可得出，，由三角形内角和定理求出，进而求出． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山西大同·期中）如图，在中，点E是边上一点，连接，且，过点E作于点D，若的周长为20，，则的周长为 ． 【答案】26 【知识点】三线合一 【分析】本题考查等腰三角形的性质．熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键． 由题意可知，，结合得到的周长等于的周长加上的长，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∵的周长为20， ∴， ∴的周长． 故答案为：26． 题型05 根据等腰三角形三线合一进行证明 例题：（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，如图，，，平分，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三线合一证明 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形三线合一，先证明，得到，根据三线合一即可得到． 【详解】证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即， ∴． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）如图，是等腰直角三角形，，D为斜边的中点，E，F分别为边上的点，且．若，．求的长． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；连接，根据等腰直角三角形的性质，易证，得到，得到，然后利用勾股定理，即可求出． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，点是的中点，点在的延长线上，点在的延长线上，． (1)求证：； (2)连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三线合一证明、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质： （1）连接，根据题意可得，再由等腰三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，可证明，即可求证； （2）在中，利用勾股定理解答，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，． 3．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，中，． (1)求的面积； (2)点E，D分别为上的点，且满是．判断和的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明、根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，解题的关键作出恰当的辅助线，构造全等三角形． （1）结合已知条件并利用勾股定理求得的值，再利用三角形面积公式即可得到结果． （2）连接，利用“三线合一”定理并结合已知条件设法证明即可得到结果． 【详解】（1），， ，即 ，即 （2）结论：， 连接， ， 在和中 ∵ 题型06 与等腰三角形的定义有关的多解题 例题：（24-25八年级上·青海海东·期中）如图，，点 A 是的反向延长线上的一点，，动点P从点A出发沿射线以的速度移动，动点Q从点O出发沿射线以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当 时，是等腰三角形． 【答案】10或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的定义 【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；然后根据等腰三角形的性质列出方程求解即可． 本题主要考查了等腰三角形的性质及一元一次方程的应用，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 【详解】解：如图，若点在上， ∵， ∴只有当时，是等腰三角形， ，， 当时，，解得； 如图，若在上，当或或时，是等腰三角形， ，， 当时，，解得； ∵， ∴当时，是等边三角形，此时，． 综上所述，当或10秒时，是等腰三角形． 故答案为：或10 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，已知直线与轴、轴分别交于点、A，在第一象限内，存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形，则点的坐标是 ． 【答案】或 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合及等腰直角三角形的性质，熟练掌握一次函数的图象与性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键；由题意可分当和当，然后根据等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定可进行分类求解． 【详解】解：令时，则有；令时，则有，即， ∴， ∴， 当是以为腰的等腰直角三角形，则可分：当时，如图所示， 过点P作轴于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，如图所示， 同理可得； 综上所述：当是以为腰的等腰直角三角形，点或； 故答案为或． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，点是射线上一点，，，动点从点开始出发沿射线的方向以的速度运动，动点从点出发沿射线以的速度运动，点，同时出发，设运动时间为，则当为等腰三角形时，运动时间的值为 ． 【答案】2.4或4 【知识点】等边三角形的判定和性质、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等边三角形的判定，根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点在线段上时；（2）当点在的延长线上时．分别列式计算即可求． 【详解】解：分以下两种情况： （1）当点在线段上时，，， 当是等腰三角形时， ∵， ∴， 是等边三角形， ∴，即， 解得； （2）当点在的延长线上时，此时，，， 当是等腰三角形时，只能， ∴， 解得， 故答案为：2.4或4． 3．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，直线，相交于点，，点是直线上的一个定点，点在直线上运动，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则的度数是 ． 【答案】或或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【详解】本题考查了等腰三角形的性质．根据为等腰三角形，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求得符合的点，即可得解． 【解答】解：要使为等腰三角形分三种情况讨论： ①当时，； ②当时，； ③当时，； 当时，； 综上所述，的度数是或或或， 故答案为：或或或． 题型07 根据等角对等边证明等腰三角形 例题：（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，以为边，作，满足，点为上一点，连接，，连接．下列结论中正确的是（   ） ①；②；③若，则；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握其判定方法是解题的关键． 如图所示，延长至点，使得，设交于点，可得，证明，可判定②④；根据，得到，平分，当时，则有，当时，无法说明，可判定①；设，则，若，可得，可判定③；由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至点，使得，设交于点， ∵， ∴，且， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，，故②正确； ∵， ∴， ∴平分， 当时，，则有， 当时，，则无法说明有，故①错误； 设，则， ∴， 若， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故选：B ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·期末）已知，如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 先证，可得，，可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得，，可得④正确． 【详解】解：①∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， 故结论①正确； ②∵为的角平分线，且，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故结论②正确； ③∵，，，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的角平分线，，而不垂直于， ∴， 故结论③错误； ④由③知， 故结论④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 故选：B． 2．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，在中，，，是边上的中点，点，分别是，边上的动点，与相交于点，且．以下个结论：①图中共有对全等三角形；②；③；④．其中不正确的结论有（　　）个 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】根据题意，则，，平分，根据全等三角形的判定和性质，则，根据，则，根据等量代换，全等三角形判定和性质，则，同理证明得到，可判断①；根据三角形的外角，则，，根据等量代换，即可判断②；根据，则，即可判断；根据全等三角形的性质，则，，再根据，，即可判断． 【详解】解：∵在中，，，是边上的中点， ∴是等腰直角三角形，，，平分， ∴，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 共对全等三角形，①正确； ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴③正确； ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴④正确； ∴不正确的结论为个； 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，等腰中，，D、E分别在线段、上，，和交于点N，交于点F，交于点M，交的延长线于点G．下列说法：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 ． 【答案】①③⑤ 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质与添加适当的辅助线是解答此题的关键． 如图1，根据同角的余角相等，即可判断①∶通过证明得，进而得出，从而可以判断②；由，再证、、，进而可以判断③；利用线段的等量代换可以判断④；通过证明，即可判断⑤． 【详解】解：设于Q，于K，如图1所示， ∵， ∴， ∴， 故①正确； 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 若，则为等边三角形， ∴， 但题目中没有条件得到， 故②不一定成立； 如图2所示，连接， 由可得， ∴， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， 又， ∴垂直平分， ∵， ∴ ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， 在与中 ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故③正确； ∵，， ∴的周长为：， ∵， ∴， ∴， ∴的周长， 故④错误； 如图3所示，过点N作于I，过点F作于P， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴即， ∵， ∴； 故⑤正确： 故答案为：①③⑤． 题型08 与等腰三角形性质和判定的多结论题 例题：（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、与角平分线有关的三角形内角和问题、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）证明，得到，再根据三角形内角和定理即可求解； 本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期中）如图1，在中，和的平分线相交于点，过点作，分别交和于点和． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查等腰三角形判定，平行线的性质及角平分线的性质．有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． （1）根据角平分线的定义及平行线的性质即可证明是等腰三角形， （2）同理可得，再由等腰三角形的性质得，则的周长，从而得出答案． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：由（1）得：，同理可得， ∴的周长， ∵，， ∴的周长． 2．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，在中，点D为上一点，点E为的中点，连接并延长到点F使得，连接． (1)求证：； (2)若平分，求证：为等腰三角形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先根据线段中点的定义可得，然后利用证明，从而可得； （2）根据可得，根据平分得出，即可得，根据等角对等边即可证明． 【详解】（1）证明：∵为中点， ， 在和中， ， ， ∴； （2）证明：∵， ， ∵平分， ， ， ， ∴为等腰三角形． 3．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，长方形纸片，，，现将该纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为， (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求线段的长； (3)求折痕的长． 【答案】(1)为等腰三角形，理由见详解 (2) (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明等腰三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查折叠的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键； （1）由折叠的性质可知，然后可得，进而问题可求解； （2）设，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解； （3）过点E作于点H，由题意易得，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）解：为等腰三角形，理由如下： 由折叠的性质可知，， 在长方形中，， ∴， ∴，即为等腰三角形； （2）解：在长方形中，， 由（1）可设，则有， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴； （3）解：过点E作于点H，如图所示： 在长方形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型09 等腰三角形的性质和判定综合应用 例题：（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，，点在边上，且．    (1)如图1，____，____． (2)如图2，若为线段上的点，过点作直线于点，分别交直线、于点、． ①求证：是等腰三角形． ②试猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)36；72； (2)①证明见解析；②，证明见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理与外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据等边对等角的性质，得到，，再根据三角形外角的性质，得到，进而得出，再结合三角形内角和定理求解即可； （2）①结合（1）的结论，证明，得到，即可得出答案； ②由①可知，，再结合已知条件，得出，，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：36；72； （2）解：①由（1）可知，，， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形． ②，证明如下： 由①可知，， ，， ，， ， 即． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知等腰中，，D为外一点，且，．    (1)如图1，当，求； (2)如图2，作于E交于F，当，，，求； (3)若，且是等腰三角形，求的值． 【答案】(1) (2)8 (3)或或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SSS综合（SSS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）由，得出，，利用三角形内角和定理及等腰三角形的性质、角的和差关系即可求得； （2）作于，由（1）得出，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，由直角三角形的性质得出，，在中，由勾股定理得出即可求出； （3）分三种情况，①时，②时，③时；由全等三角形的性质，等腰三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解∶ ， ， ， ，， ， 设， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：作于，如图2所示：   ， 由（1）得：， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解∶分情况讨论∶ ①时，如图3所示∶   ， ， 在和中， ， ， ， 即； ②时，如4图所示∶      同①得， ， ， ，即； ③时， 如5图所示∶    点在的垂直平分线上， 或， 即或； 综上所述，若，且是等腰三角形，则为或或或． 2．（24-25八年级上·北京·阶段练习）在中，，，是边的中线，是边上一点，，交于点． (1)如图①，判断的形状并证明； (2)如图②，， ①补全图形； ②用等式表示，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)等腰三角形，理由见解析 (2)①补全图形见解析，②，理由见解析． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点，做出正确的辅助线是解题的关键． (1)利用等腰三角形三线合一的性质和三角形外角的性质可推导出，即可得到是等腰三角形． (2) ①根据题意补全图形即可； ②过点E作于点H，利用已知条件和等腰三角形的性质可得到，，．继而可证得，即可推导出，所以． 【详解】（1）解：的形状等腰三角形．证明如下： ∵，是边的中线， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴是等腰三角形． （2）①补全图形，如图． ②之间的数量关系是． 证明：过点E作于点H． ∵，是边的中线，， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴． ∴． 在中，， ∴． ∴， ∴． ∵由（1）知：， ∴． 3．（24-25八年级上·云南昭通·期中）在中，，，的平分线交边于点D． (1)如图1，求证：为等腰三角形； (2)如图2，若的平分线交边于点E，在上截取，连接，求证：； (3)如图3，若外角的平分线交延长线于点E，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质及三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）先由三角形内角和定理得，再由角平分线的定义可得，再证明，最后由等角对等边可得结论； （2）由平分，可得，再证明，可得，，从而得出，最后由等腰三角形的判定可得结论； （3）在上截取，连接．先求得，再由平分，可得，从而得出，证得．得出，再证得．即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， 即， ∴为等腰三角形； （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）证明：由（1）得：为等腰三角形， ∴， ∴． 如图，在上截取，连接． ， ∴， ∵， ∴ ∵， 又∵． ∵平分， ∴， ∴，，则， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 一、单选题 1．（24-25八年级上·全国·期末）等腰三角形一边长等于，一边长等于，则它的周长是   （   ） A．6 B．10 C．8或10 D．8 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分2为底边和腰两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当2为底边长时，，能构成三角形，周长为， 当为腰长时，，不能构成三角形， 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如果等腰三角形的一个角是，则它的顶角度数是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形的内角和为，等腰三角形两底角相等，解题的关键是熟练掌握相关内容．分两种情况讨论：①当角为底角时；②当的角为顶角时，结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：①当底角为时，顶角， ②当顶角为时，顶角度数， 综上：顶角度数为或； 故选：B． 3．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在三角形中，过点，作，，，交于点，若，，，则线段的长度为   ) A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， 在与中， ， ， ， ， 故选：C． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪“能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒、组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解题的关键． 根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步可知，求出的度数，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 5．（24-25八年级上·四川南充·期中）如图，在中，，是上的一点，在上分别截取，连接．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．②④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得，再证，得到，，根据平角的性质，三角形内角和定理可得，可判定①②④；根据等腰三角形的三线合一进行判定即可判定③；由此即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴ ， ∵， ∴，故①正确； 由上述证明可得，故②正确； ∵， ∴，故④正确； ∵， ∴当时，平分，是的中线， ∴， 根据题意，可得是上的一点， ∴当点是中点时，，否则不一定垂直，故③错误； 综上所述，正确的有①②④， 故选：D ． 二、填空题 6．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）等腰三角形的周长为20，其中一边为5，则另两边的长分别为 ． 【答案】7.5、7.5 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目—定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．题中没有指明长为5的边长是腰还是底，则分两种情况进行分析，还应验证是否满足三角形的三边关系． 【详解】当腰长是5时，底边长， ∵， ∴5、5、10不能构成三角形； 当底长是5时，三角形的腰， ∵， ∴5、7.5、7.5能构成三角形，其他两边长为7.5、7.5． 故答案为：7.5、7.5． 7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，是的平分线，则 ． 【答案】5 【知识点】三线合一 【分析】本题考查三线合一，根据等腰三角形三线合一，即可得出结果． 【详解】解：，的平分线交边于点，， ． 故答案为：5 8．（24-25八年级上·全国·期末）中，．若边上的高，则底边 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义、二次根式的混合运算 【分析】本题考查等腰三角形，勾股定理，二次根式的混合运算，分为锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：分两种情况： ①如图1，当是锐角三角形时， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 在中，由勾股定理得： ； ②如图2，当是钝角三角形时， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 在中，由勾股定理得： ； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 9．（24-25九年级下·全国·期中）如图，在中，是的平分线，M是的中点，交于F，交的延长线于E．则 【答案】5 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据平行线的性质探究角的关系、等腰三角形的性质和判定 【分析】作交的延长线于点N，再根据“角角边”证明，可得，然后根据角平分线的定义和平行线的性质得是等腰三角形，进而得出，最后根据可得答案． 【详解】如图，过点B作交的延长线于点N， ∴． ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴． ∵，平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴． ∵ ∴， ∴，则， 即． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”若等腰中，，则它的特征值 ． 【答案】7或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数，从而可求解． 【详解】解：①当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为： ∴特征值 ②当为底角时，顶角的度数为： ∴特征值 综上所述，特征值为或． 故答案为：7或． 三、解答题 11．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，厂房屋顶钢架是等腰三角形，其中，立柱，且顶角．求和的度数． 【答案】； 【知识点】三角形内角和定理的应用、三线合一、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质得是解题的关键．根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到，再由等腰三角形的性质三线合一即可得到的度数． 【详解】解：∵且， ∴， ∵，， ∴． 12．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）已知：如图中，，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据等角对等边证明边相等、两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及三角形周长计算，利用角平分线与平行结合构造等腰三角形是关键； （1）根据，平分，即可得到为等腰三角形； （2））根据，平分，可得到，再利用线段相等转化即可确定的周长； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 13．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，已知点D，E分别是的边和延长线上的点，平分，且． (1)判断的形状并说明理由； (2)平分交于点G，若，求的度数． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据等角对等边证明等腰三角形、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定． （1）由平分得到，由得到，，从而，根据“等角对等边”即可证得，即是等腰三角形； （2）由可求得，再根据角平分线的定义求得，根据即可求得． 【详解】（1）是等腰三角形； 理由：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形； （2）∵， ∴， ∵CG平分， ∴， ∵， ∴． 14．（23-24八年级下·陕西商洛·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． (1)若点在的角平分线上，求的值； (2)在整个运动中，求出当是等腰三角形时的值． 【答案】(1) (2)或或4 【知识点】三线合一、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等： （1）过点P作于点M，如图所示，先利用勾股定理求出，证明，得到，，则，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）分作为底和腰两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：过点P作于点M，如图所示：    在中，，，， 由勾股定理得：， 点P在的角平分线上， ， ，， 又， ， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得：， ∴， ∴， ∴若点P在的角平分线上，则t的值为； （2）解：当作为底边时，如图所示：    则，过点P作于M， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得： ∴； 当作为腰时，如图所示：      当，此时； 当时， ， ， ∴， 综上分析可知，t的值为或或4． 15．（23-24八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，点是上一点，于点，于点． (1)若点是的中点，求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边对等角、根据三线合一证明、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、垂线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由等腰三角形的性质可得，，证明，即可得出； （2）先求出，由垂线的定义可得，求出，由等边对等角得出，即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，，点是的中点， ∴，， ， ， ， ∴； （2）解：， ， ， ， 在中，， ∴， ， ， ∴． 16．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，对角线与交于点D，已知． (1)试说明：是等腰三角形； (2)若，求的长； (3)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理及三角形外角等知识，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质． （1）证明，则，即可得到结论； （2）由得到，，即可得到答案； （3）由得到，，则，再求出，根据三角形外角性质得到，则，即可得到的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在直角坐标系中，长方形纸片的边，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为． (1)求证：为等腰三角形； (2)求三角形面积； (3)求的函数表达式． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3) 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】（1）利用折叠的性质及平行线的性质推出即可； （2）设点E的坐标为，根据勾股定理求出，得到，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）根据勾股定理得到点F的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出解析式． 【详解】（1）证明：由折叠得， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）∵点B的坐标为，四边形为矩形， ∴， 设点E的坐标为， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴ ∴， ∴三角形面积； （3）∵，， ∴ ∴ ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得， ，解得， ∴直线的解析式为． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握矩形的性质与折叠问题是解题的关键． 18．（2024·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践 【思考尝试】（1）如图1，在和中，D是边上的一点，，连接．用等式写出线段的数量关系，并说明理由； 【实践探究】（2）小睿受此问题启发，思考提出新的问题：如图2，在中，，E，F为边上的点，且．用等式写出线段的数量关系，并说明理由； 【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的问题，发现并提出新的探究点：如图3，在中，为直角，，平面内存在一点D，使．若，，求的面积． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）10或26 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由可知，再利用证明，得到，然后结合勾股定理即可得出结论； （2）把绕点A逆时针旋转得到，连接，利用证明，得到，再根据勾股定理即可得出结论； （3）延长到点，使，连接，易得是等腰直角三角形，利用证明，得到，因此得到是等腰直角三角形，进而可求出，故．    如解图3，过点A作交于点E，利用证明，得到，由勾股定理得，所以，进而可得． 【详解】解：（1）．理由如下： 由题意，得与均为等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ．     （2）．理由如下： 如解图1，把绕点A逆时针旋转得到，连接，则，．    ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ．   （3）如解图2，延长到点，使，连接． 易得是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ．    如解图3，过点A作交于点E，则． ， ． ， ． 又， ， ， ， ， ， ， ． 综上所述，的面积为10或26． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 等腰三角形的性质与判定 课程标准 学习目标 ①推理能力 ②等腰三角形的性质 ③等腰三角形的判定 1.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力. 2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容，能证明等腰三角形的性质. 3.有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性. 知识点01 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 等腰三角形的其他性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 【即学即练1】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）在等腰三角形中，，则 ，如果， ． 【即学即练2】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，，是中线，，则是 度．    【即学即练3】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，是的平分线交于点，，，，则 ． 知识点02 等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 【即学即练1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，是的平分线，，交于点E，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的度数． 【即学即练2】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，G为中点，求的长． 题型01 根据等腰三角形等边对等角求角的度数 例题：（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）等腰三角形的顶角为，底角的度数为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南漯河·期中）一个等腰三角形的内角为，则其顶角的度数为 ． 2．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）等腰三角形中一个角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形顶角的度数为 ． 题型02 根据等腰三角形腰相等求第三边或周长 例题：（24-25八年级上·全国·随堂练习）已知一个三角形的两边长分别是2和5，且第三边为奇数，则第三边长为 ．按边分类，这个三角形是 三角形． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山东济南·期中）等腰三角形的两边长为7和16，则它的周长为 ． 2．（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·期中）若一个等腰三角形的周长为26，一边长为8，则它的腰长 ． 3．（2023·四川达州·模拟预测）已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长为 ． 题型03 根据等角对等边求边的长度 例题：（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，的平分线相交于点O，过点O，且，分别交于点M、N．则的周长为 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在中，，，平分交于点，若，则的长度为 ． 2．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，交于点，，则 ． 3．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）在中，点D，E分别在上，，的平分线交于点F，的平分线交于点G，若，则的长是 ． 题型04 根据等腰三角形三线合一进行求解 例题：（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知在中，是边上的高，垂足为点，点在射线上，连接，若，，，则 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，于，则的长为 ． 2．（24-25八年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，，，若，则的度数为 ． 3．（24-25八年级上·山西大同·期中）如图，在中，点E是边上一点，连接，且，过点E作于点D，若的周长为20，，则的周长为 ． 题型05 根据等腰三角形三线合一进行证明 例题：（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，如图，，，平分，求证：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）如图，是等腰直角三角形，，D为斜边的中点，E，F分别为边上的点，且．若，．求的长． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，点是的中点，点在的延长线上，点在的延长线上，． (1)求证：； (2)连接，若，求的值． 3．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，中，． (1)求的面积； (2)点E，D分别为上的点，且满是．判断和的大小关系，并证明你的结论． 题型06 与等腰三角形的定义有关的多解题 例题：（24-25八年级上·青海海东·期中）如图，，点 A 是的反向延长线上的一点，，动点P从点A出发沿射线以的速度移动，动点Q从点O出发沿射线以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当 时，是等腰三角形． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，已知直线与轴、轴分别交于点、A，在第一象限内，存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形，则点的坐标是 ． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，点是射线上一点，，，动点从点开始出发沿射线的方向以的速度运动，动点从点出发沿射线以的速度运动，点，同时出发，设运动时间为，则当为等腰三角形时，运动时间的值为 ． 3．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，直线，相交于点，，点是直线上的一个定点，点在直线上运动，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则的度数是 ． 题型07 根据等角对等边证明等腰三角形 例题：（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，以为边，作，满足，点为上一点，连接，，连接．下列结论中正确的是（   ） ①；②；③若，则；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·期末）已知，如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 2．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，在中，，，是边上的中点，点，分别是，边上的动点，与相交于点，且．以下个结论：①图中共有对全等三角形；②；③；④．其中不正确的结论有（　　）个 A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，等腰中，，D、E分别在线段、上，，和交于点N，交于点F，交于点M，交的延长线于点G．下列说法：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 ． 题型08 与等腰三角形性质和判定的多结论题 例题：（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的度数． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期中）如图1，在中，和的平分线相交于点，过点作，分别交和于点和． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的周长． 2．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，在中，点D为上一点，点E为的中点，连接并延长到点F使得，连接． (1)求证：； (2)若平分，求证：为等腰三角形． 3．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，长方形纸片，，，现将该纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为， (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求线段的长； (3)求折痕的长． 题型09 等腰三角形的性质和判定综合应用 例题：（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，，点在边上，且．    (1)如图1，____，____． (2)如图2，若为线段上的点，过点作直线于点，分别交直线、于点、． ①求证：是等腰三角形． ②试猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知等腰中，，D为外一点，且，．    (1)如图1，当，求； (2)如图2，作于E交于F，当，，，求； (3)若，且是等腰三角形，求的值． 2．（24-25八年级上·北京·阶段练习）在中，，，是边的中线，是边上一点，，交于点． (1)如图①，判断的形状并证明； (2)如图②，， ①补全图形； ②用等式表示，，之间的数量关系并证明． 3．（24-25八年级上·云南昭通·期中）在中，，，的平分线交边于点D． (1)如图1，求证：为等腰三角形； (2)如图2，若的平分线交边于点E，在上截取，连接，求证：； (3)如图3，若外角的平分线交延长线于点E，求证：． 一、单选题 1．（24-25八年级上·全国·期末）等腰三角形一边长等于，一边长等于，则它的周长是   （   ） A．6 B．10 C．8或10 D．8 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如果等腰三角形的一个角是，则它的顶角度数是（   ） A． B．或 C．或 D． 3．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在三角形中，过点，作，，，交于点，若，，，则线段的长度为   ) A．2 B． C．3 D． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪“能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒、组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·四川南充·期中）如图，在中，，是上的一点，在上分别截取，连接．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．②④ C．①②③ D．①②④ 二、填空题 6．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）等腰三角形的周长为20，其中一边为5，则另两边的长分别为 ． 7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，是的平分线，则 ． 8．（24-25八年级上·全国·期末）中，．若边上的高，则底边 ． 9．（24-25九年级下·全国·期中）如图，在中，是的平分线，M是的中点，交于F，交的延长线于E．则 10．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”若等腰中，，则它的特征值 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，厂房屋顶钢架是等腰三角形，其中，立柱，且顶角．求和的度数． 12．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）已知：如图中，，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 13．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，已知点D，E分别是的边和延长线上的点，平分，且． (1)判断的形状并说明理由； (2)平分交于点G，若，求的度数． 14．（23-24八年级下·陕西商洛·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． (1)若点在的角平分线上，求的值； (2)在整个运动中，求出当是等腰三角形时的值． 15．（23-24八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，点是上一点，于点，于点． (1)若点是的中点，求证：； (2)若，求的度数． 16．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，对角线与交于点D，已知． (1)试说明：是等腰三角形； (2)若，求的长； (3)若，求的度数． 17．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在直角坐标系中，长方形纸片的边，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为． (1)求证：为等腰三角形； (2)求三角形面积； (3)求的函数表达式． 18．（2024·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践 【思考尝试】（1）如图1，在和中，D是边上的一点，，连接．用等式写出线段的数量关系，并说明理由； 【实践探究】（2）小睿受此问题启发，思考提出新的问题：如图2，在中，，E，F为边上的点，且．用等式写出线段的数量关系，并说明理由； 【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的问题，发现并提出新的探究点：如图3，在中，为直角，，平面内存在一点D，使．若，，求的面积． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$