专题03 正比例函数与反比例函数（考点串讲，3个常考点+11种重难点题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版）

八年级数学上学期·期末复习大串讲 专题03 正比例函数与反比例函数 沪教版 考点透视 【清单01】函数 定义：在某个变化过程中有两个变量x和y，在变量x的允许取值范围内，变量y随x的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫x的函数. 函数记号：y=f(x),f(a)表示x＝a时的函数值. 设f(x)为整式，则 函数y=f(x)的定义域：一切实数；函数的定义域：满足f(x)≠0的实数；函数的定义域：满足f(x)≥0的实数. 【清单02】正比例函数与反比例函数   正比例函数 反比例函数 定义 形如的函数，其中k是比例系数 形如的函数，其中k是比例系数 定义域 一切实数 不等于零的一切实数 图像 经过原点（0，0）和点（1，k）的一条直线； 双曲线，它有两支 性质 当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；y的值随x的值增大而增大； 当时，正比例函数的图像经过第二、四象限；y的值随x的值增大而减小。   当时，反比例函数的图像经过第一、三象限；在每一个象限内，y的值随x的值增大而减小； 当时，反比例函数的图像经过第二、四象限；在每一个象限内，y的值随x的值增大而增大。 图像与两支无限接近坐标轴，但不相交. 【清单03】函数的表示法 1、解析法：用等式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法，这个等式称为函数的解析式（或函数关系式）．简单明了，能从解析式了解函数与自变量之间的关系，便于理论上的分析与研究，但求对应值时需要逐个计算，且有的函数无法用解析式表示． 2、列表法：用表格形式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；从表格中直接找到自变量对应的函数值，查找方便，但无法将自变量与函数值的全部对应值都列出来，且难以看出规律． 3、图像法：用图像来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；函数与自变量的对应关系、函数的变化情况及趋势能够很直观地显示出来，但从图像上找自变量与函数的对应值一般只能是近似的，且只能反映出变量间关系的一部分而不是全体． 4、三种表示法的相互联系与转化：由函数的解析式画函数的图像，一般分为“列表、描点、连线”三个步骤，通常称作描点作图法；同样，函数图像中点的坐标或表格中自变量与函数的对应值，也是函数解析式所表示的方程的一个解． 1.函数 的定义域是　 　． 【解析】解：由题意得2x+1≥0，解得x≥- ， 故答案为x≥- ． 题型一．函数自变量的取值范围 题型剖析 2.函数 中自变量x的取值范围是 ______ ． x≠-1 【解析】解：由题意得：x+1≠0， 解得：x≠-1， 故答案为：x≠-1． 5 3.函数 的定义域是 _____ ． 【解析】解：由题意得：2-x≥0且x-3≠0， 解得：x≤2且x≠3， ∴x≤2， 故答案为：x≤2． x≤2 题型二：函数值 4.如果f(x)=x2- x,那么 = ____ ． 6 【解析】解：当x=2 时， f( )=(2 )2- 2 =12-6=6． 故答案为：6． 6 5.已知函数 ，那么 =　　． 【解析】解：将x=- 代入 中，得 = ． 故答案为： ． 6.已知 ，那么 =　　． 【解析】解：f( )= = =2- ． 故答案为：2- ． 7 7.下面各组变量的关系中，成正比例关系的有( ____ ) A.人的身高与年龄 B.汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度 C.正方形的面积与它的边长 D.圆的周长与它的半径 【解析】解：A、人的身高与年龄不成比例，故此选项不符合题意； B、汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度成反比例关系，故此选项不符合题意； C、正方形的面积与它的边长的平方成正比例；故此选项不符合题意； D、圆的周长与它的半径成正比例关系，故此选项符合题意； 故选：D． D 题型三：正比例函数的定义 8 8.已知y=(a-2)x+a2-a-2是正比例函数，则a= ____ ． 【解析】解：根据题意得a-2≠0且a2-a-2=0， 解得a=-1． 故答案为：-1． -1 题型四：正比例函数的性质 9.函数 (m为常数)中，y的值随x的增大而减小，那么m的取值范围是 　　 ． 【解析】解：∵y=kx,k＜0时，∴ ＜0，即2m-3＜0，解得m ． 故答案为：m ． 9 10.在正比例函数y=kx(k≠0)中，当x= 时，y= ，那么k= ____ ． 【解析】解：∵正比例函数y=kx(k≠0)中，当x= 时 ， ∴ k= ．解得k=2. 故答案为：2 2 题型五．反比例函数的图象 11.如果k＜0，那么函数y=kx与 在同一坐标系中的图象是( ____ ) A.___ B.___ C.___ D.__ C 10 12.如果k＜0，那么函数y=(1-k)x与y= 在同一坐标系中的图象可能是( ____ ) A.___ B.___ C. D.___ C 11 13.关于反比例函数y=- ，下列说法正确的是( ____ ) A.函数图象经过点(2，2) B.函数图象位于第一、三象限 C.当x＞0时，函数值y随着x的增大而增大 D.当x＞1时，y＜-4 C 题型六．反比例函数的性质 14.已知反比例函数 的图象在每个象限内，y随x的值增大而减小，那么常数m的取值范围是　　 ． m＞ 12 15.下列函数中，函数值y随x的增大而增大的是( ____ ) A. B. C. D. B 16.已知函数y=kx中，y随x的增大而减小，那么反比例函数 图象在( ____ ) A.第二、四象限内 B.第一、二象限内 C.第三、四象限内 D.第一、三象限内 A 题型七．反比例函数图象上点的坐标特征 17.在反比例函数 的图象上有三点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，若x1＞x2＞0＞x3，则下列各式正确的是( ____ ) A.y3＞y1＞y2 B.y3＞y2＞y1 C.y1＞y2＞y3 D.y1＞y3＞y2 A 13 18.已知三点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(1，-2)都在反比例函数 的图象上，若x1＜0＜x2，则下列式子正确的是( ____ ) A.y1＜y2＜0 B.y1＜0＜y2 C.y1＞y2＞0 D.y1＞0＞y2 D 19.已知三点(a,m)、(b,n)和(c,t)在反比例函数y= (k＞0)的图象上，若a＜0＜b＜c,则m、n和t的大小关系是 ________ ．(用“＜”连接) m＜t＜n 20.已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数 图象上的两点．若x1＜x2＜0，则y1 ____ y2(填“＜”、“=”或“＞”)． ＜ 14 21.如图，点P1是反比例函数在第一象限图象上的一点，点A1的坐标为(2，0)，若△P1OA1，△P2A1A2均为等边三角形，则点A2的坐标为 　　． 【解析】解：过P1作P1C⊥OA1，垂足为C， ∵点A1的坐标为(2，0)，∴OA1=2， ∴△P2OA1为边长是2的等边三角形，∴OC=1，P1C=2× = ∴P1(1， )．代入y= ，得k= ， ∴反比例函数的解析式为y= ．作P2D⊥A2A2，垂足为D． 设A1D=a,则OD=2+a,P2D= a,∴P3(2+a,a)． ∵P2(2+a, a)在反比例函数的图象上，∴代入y= ， 得(2+a)• a= ，化简得a2+2a-1=0，解得：a=-1± ． ∵a＞0，∴a=-1+ ．∴A1A2=-2+2 ，∴OA2=OA1+A1A2=2 ， ∴点A2的坐标为( ，0)．故答案为：(2 ，0)． 15 22.已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例．当x=1时，y=7；当x=2时y=5．求y关于x的函数表达式． 【解析】解：∵y1与x成正比例，y2与x成反比例， ∴y1=kx,y2= ． ∵y=y1+y2， ∴y=kx+ ， ∵当x=1时，y=7，当x=2时，y=5，∴7=k+m,5=2k+ ， 解得k=1，m=6． ∴y=x+ ． 题型八．待定系数法求反比例函数解析式 16 23.已知y与x成反比例，z与y成正比例．又当x=8时，y= 当y= 时，z=-2．试说明z是x的函数吗？当x=16时，z的值是多少？ 【解析】解：设y= ，∵当x=8时，y= ， ∴ = ，∴k=4，∴y= ； 设z=ny,∵当y= 时，z=-2， ∴-2= n,∴n=-6，∴z=-6y,∴z=-6× ，即z=- ， 将x=16代入，得z=- =- ． 17 24.已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x-2成反比例，且当x=1时，y=-1，当x=3时，y=5．求y与x的函数关系式． 【解析】解：设y1=k1x(k1≠0)，y2= ∴y=k1x+ ∵当x=1时，y=-1，当x=3时，y=5， ∴ ．所以y=x+ ． 18 25.如图，点P是一个反比例函数与正比例函数y=-2x的图象的交点，PQ垂直于x轴，垂足Q的坐标为（2，0)． (1)求这个反比例函数的解析式． (2)如果点M在这个反比例函数的图象上，且△MPQ的面积为6，求点M的坐标． 【解析】解：(1)当x=2时，y=-2×2=-4，∴P（2，-4） 设反比例函数的解析式为 ， 则 ，k=-8，∴反比例函数的解析式为 ； (2)设△MPQ的高为h.∵ ，∴ ，h=3， 当点M在直线PQ右侧时，M(5， )； 当点M在直线PQ左侧时，M(-1，8） 题型九．正比例函数与一次函数的交点问题 19 26.在平面直角坐标系中，直线y= x经过点A(m,2), 反比例函数 (k≠0)的图象经过点A和点B(8，n)． (1)求反比例函数的解析式； (2)求△AOB的面积； (3)直线y= x上有一点C，使得S△ABC= ，直接写出点C的坐标． 【解析】解：(1)由题意，∵直线y= x 经过点A（m,2）， ∴ =2．∴m=4．∴A(4，2)． ∵反比例函数y= 的图象经过点A，∴ =2．∴k=8． ∴反比例函数解析式为y= ． 20 (2)如图，连接AB、OB，分别过A，B作AG⊥OH于G，作BH⊥OH于H．____ ∵B(8，n)在反比例函数y= 上， ∴n=1．∴B(8，1)．∵A(4，2)， ∴S△AOB=S△AOG+S梯形AGHB-S△BOH = OG•AG+ （AG+BH）•GH- OH•BH = ×4×2+ （2+1）×4- ×8×1 =4+6-4 =6． ∴S△AOB=6． 21 (3)由题意，作图如下． ①C在A上方．作CE⊥OH于E．_ ∵S△ABC= ，∴ AC•h= × OA•h.． ∴AC= OA． ∴ = ． ∵CE⊥OH，AG⊥OH， ∴AG∥CE． ∴ ．∴CE= AG= ，OE= OG = =6． ∴C(6，3)． 22 ②当C在A下方时，作CD⊥OH． ____ ∵S△ABC= ，∴ AC•h= × OA•h ． ∴AC= OA． ∵CD⊥OH，AG⊥OH， ∴AG∥CD． ∴ ． ∴OD= OG= ，CD= AG= =1．∴C(2，1)． 综上，C(6，3)或(2，1)． 23 26.某科研团队在大棚中栽培新品种的蘑菇，发现其在18℃的条件下生长最快，因此用装有恒温系统的大棚载培．某一天恒温系统从0℃开启升温到保持恒温，及关闭降温的过程中，大棚内温度y(℃)随时间x(时)变化的函数图象如图，其中OA段和BC段分别是正比例函数和反比例函数图象的一部分． (1)分别求出OA段和BC段所对应的y与x的函数关系式； (2)若该蘑菇适宜生长的温度不低于12℃，则一天中该种蘑菇适宜生长的时间有多少个小时？ 【解析】解：(1)设OA段所在的解析式为y=kx, ∵A(2，18)在函数图象上，∴18=2k,k=9， ∴OA段所在的解析式为y=9x, 设BC段所在的曲线解析式为y= ，∵B(12，18)在函数图象上，∴m=216，∴BC段所在的曲线解析式为y= ， 题型十．反比例函数的应用 24 (2)当y=12时，12=9x，x= (h)，12= ，x=18(h)， ∴该蘑菇适宜生长的温度不低于12℃， 则一天中该种蘑菇适宜生长的时间有18- = (h)． 26.某科研团队在大棚中栽培新品种的蘑菇，发现其在18℃的条件下生长最快，因此用装有恒温系统的大棚载培．某一天恒温系统从0℃开启升温到保持恒温，及关闭降温的过程中，大棚内温度y(℃)随时间x(时)变化的函数图象如图，其中OA段和BC段分别是正比例函数和反比例函数图象的一部分． (1)分别求出OA段和BC段所对应的y与x的函数关系式； (2)若该蘑菇适宜生长的温度不低于12℃，则一天中该种蘑菇适宜生长的时间有多少个小时？ 25 27.越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为t小时，平均速度为v千米/小时(骑行速度不超过40千米/小时)．根据以往的骑行经验，v、t的一些对应值如下表： v(千米/小时) 15 20 25 30 t(小时) 2 1.5 1.2 1 (1)根据表中的数据，求出平均速度v(千米/小时)关于行驶时间t(小时)的函数表达式； (2)如果这位骑行爱好者上午8：30从家出发，能否在上午9：10之前到达上海蟠龙天地？请说明理由； (3)若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间t满足0.8≤t≤1.6，求平均速度v的取值范围 26 【解析】解：(1)根据表中数据可知，vt=30， ∴v= ， ∴平均速度v(千米/小时)关于行驶时间t(小时)的函数表达式v= ； (2)骑行者在上午9：10之前不能到达上海蟠龙天地，理由： ∵从上午8：30到上午9：10，骑行者用时40分钟，即 小时， 当t= 时，v= =45（千米/小时）， ∵骑行速度不超过40千米/小时， ∴骑行者在上午9：10之前不能到达上海蟠龙天地； (3)∵t= ， ∴当0.8≤t≤1.6时，0.8≤ ≤1.6， 解得18.75≤v≤37.5，∴平均速度v的取值范围为18.75≤v≤37.5． 27 28.为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例(如图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题： (1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 　　，自变量x的取值范围为 　　；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为 　　． (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始至少需要经过　　分钟后，员工才能回到办公室； (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 28 【解析】解：(1)设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=k1x(k1＞0)代入(8，6)为6=8k1 ∴k1= 设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y= k2＞0)代入(8，6)为6= ∴k2=48 ∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为y= x(0≤x≤8)药物燃烧后y关于x的函数关系式为y= （x＞8） (2)结合实际，令y= 中y≤1.6得x≥30 即从消毒开始，至少需要经过 30分钟后，员工才能回到办公室． (3)把y=3代入y= x,得：x=4 把y=3代入y= ，得：x=16 ∵16-4=12 所以这次消毒是有效的． 29 29.如图，在直角坐标平面内，正比例函数y= ，的图象与一个反比例函数图象在第一象限内的交点为点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，AB=3． (1)求反比例函数的解析式； (2)在直线AB上是否存在点C，使点C到直线OA的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标，若不存在，请说明理由； (3)已知点P在直线AB上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【解析】解：(1)∵AB=3，∴点A的纵坐标为3， 题型十一：反比例函数综合题 ∵正比例函数y= x的图象经过点A， 当y=3时，x= ，∴A( )， 设反比例函数的解析式为y= (k≠0)， 将点A( ，3)代入得k=3 ， ∴反比例函数的解析式为：y= ； 30 (2)∵AB⊥x轴于点B，设点C的坐标为( ，y）， 在Rt△ABO中，OB= ，AB=3，由勾股定理得：OA= =2 ， ∵OB= ，∴∠OAB=30°， 过点C作CG⊥OA于G，由题意得CB=CG， 当点C在AB上时，则OC平分∠AOB， ∴∠BOC=30°，∴BC= =1，∴C( ，1)， 当点C在AB延长线上时，同理可得C'( ，-3)， 综上所述：C( ，1)或( -3）； 31 (3)当AO=AP=2 时，则P( ，3- )或( ，3+2 )， 当OA=OP时，由OB⊥AP得，AB=BP，∴P( ，-3)， 当PA=PO时，∴∠OAP=∠POA=30°， 则OP平分∠AOB，∴P( ，1)， 综上所述：P( ，3-2 )或（ ，3+2 ） 或（ ，-3)或( ，1） 32 30.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点 ，正比例 x的图象与反比例函数y= (x＞0)的图象都经过点A(2，m)． (1)求反比例函数的解析式； (2)点B在x轴上，且OA=BA，反比例函数图象上有一点C，且∠ABC=90°，求点C坐标． 【解析】解：∵正比例函数y= x的图象经过点A(2,m) ∴m= ， ∴点A的坐标为(2， )， ∴k=4 ， ∴反比例函数的解析式为y= ； 33 (2)作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E， 设点C的坐标为(x, )， ∵AO=AB，AD⊥x轴，∴OD=DB=2，AD= ， ∴AB= =4，∴∠DAB=30°，∴∠ABD=60°， ∵∠ABC=90°，∴∠CBE=30°，∴CE= BC， 由勾股定理得，BE= CE ，∴ × =x-4， 解得，x1=-2(舍去)，x2=6，则点C的坐标为(6， )． 34 31.如图，直线y=mx(m＞0)的图象与双曲线 交于A、B两点，且点A的坐标为（2，4），过A作AC⊥y轴，垂足为点C． (1)求m和n的值； (2)联结BC，直接写出点B的坐标，并求出△ABC的面积； (3)如果在双曲线 上有一点D，点D在第一象限且满足 求点D的坐标． 【解析】解： (1)∵直线y=mx(m≠0)与双曲线y= 相交于A(2，4), ∴2m=4，4= ∴m=2，n=8； 35 (2)∵m=2，n=8， ∴直线的解析式为y=2x,双曲线的解析式为y= 解方程组 ， 解得 ， ， 则点A的坐标为(2，4)，点B的坐标为（-2，-4）, ∵AC⊥y轴，∴点C的坐标为(0，4)， ∴S△ABC= ×2×(4+4)=8； 36 (3)∵点D在双曲线 上 ∴设点D的坐标为(a, )(a＞8)，（a＞0） ∵AC⊥y轴，S△ABC=8，S△ADC= S△ABC，C(2，4) ∴ ×2×| -4|=2，解得a= 或a=4， ∴点D的坐标为(4，2)或( ,6) 37 32.如图，直线OA与反比例函数 的图象在第一象限交于点A．已知OA=4,直线OA与y轴的夹角为30°． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点P是坐标轴上的一点，当△AOP是直角三角形时，直接写出点P的坐标． 【解析】解：(1)如图1，过点A作AE⊥x轴于E， ∵∠AOE=60°，AE⊥OE， ∴∠OAE=30°， ∴OE= OA=2,AE= OE=2 ， ∴点A(2，2 )；∵反比例函数y= 的图象过点A， ∴m=2×2 =4 ， ∴反比例函数解析式为y= ； 38 (2)如图，当点P1在y轴上时，且∠AP1O=90°， 又∵∠AOP1=30°，∴AP1=2，OP1= AP1=2 ， ∴点P1(0，2 )；当点P2在x轴上，且∠AP2O=90°， 又∵∠OAP2=30°，∴OP2=2，∴点P2(2，0)； 当点P3在y轴上，且∠P3AO=90°， 又∵∠AOP3=30°，∴OP3=2AP3，AO= AP3=4， ∴OP3= ，∴点P3(0， )； 当点P4在x轴上，且∠P4AO=90°， ∵∠AOP4=60°，∴∠AP4O=30°， ∴OP4=2OA=8，∴点P4(8，0)； 综上所述：点P的坐标为(0，2 )或(2， 0 )或(0， )或(8,0)． 39 33.如图，在平面直角坐标系中，已知四边形OABC是长方形，且OA=8，OC=6， CE：BE=1：3．反比例函数y= （x＞0）的图象分别交BC、AB于点E、点F． (1)求反比例函数的解析式； (2)联结EF、OE、OF，求△OEF的面积； (3)是否存在x轴上的一点P，使得△EFP是不以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出符合题意的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【解析】解：(1)∵四边形OABC是矩形， ∴BC=OA=8，AB=OC=6， ∵CE：BE=1：3， ∴ ，BE=6， 所以点E的坐标为(2，6)， 点E在反比例函数上，代入 ,得到k1=12，故反比例函数解析式为 ； 40 (2)如图1，连接EF、OE，OF，___ ∵OA=8，∴x=8时， ， ∴ ， 即， ， ， ∴S△OEF=S矩形-S△OCE-S△OFA-S△BEF = = ； 41 (3)存在x轴上的一点P，使得△EFP是不以点P为直角顶点的直角三角形，理由如下： 如图2，设所求点P坐标为(a,0)，∵ ，E(2，6） ∴ ， EP2=(a-2)2+(0-6)2=a2-4a+40， ， 当∠EFP=90°时，EF2+FP2=EP2，即， ， 解得， ，故 ； 当∠FEP=90°时，FP2=EP2+EF2，即， ， 解得， ，故 ， 综上所述；存在点P，坐标为 ， ． 42 $$