精品解析：福建省石狮市石光中学2024-2025学年九年级上学期阶段考试数学试题

石光中学2024年秋阶段考（初三年数学科） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最简二次根式是满足下列两个条件的二次根式：1.被开方数的因数是整数，因式为整式；2.被开方因数因式不能再被开方． 【详解】A. ，故A不是最简二次根式； B. ，故B不是最简二次根式； C是最简二次根式； D. ，故D不是最简二次根式， 故选：C． 【点睛】本题考查最简二次根式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据得到，再逆用同分母分式加减的法则即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B 【点睛】本题考查了分式的加减等知识，理解同分母分式加减法则并根据题意正确逆用是解题关键，本题也可以根据比例的性质求解． 3. 不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（　　） A. 摸出的是3个白球 B. 摸出的是3个黑球 C. 摸出的是2个白球、1个黑球 D. 摸出的是2个黑球、1个白球 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知，不透明的袋子中总共有2个白球，从袋子中一次摸出3个球都是白球是不可能事件，故选A 4. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作AD⊥BC于D，利用勾股定理求出AB的长，再根据公式计算即可． 【详解】解：作AD⊥BC于D， 由图可知：AD=3，BD=3， 在Rt△ABD中，， ∴ =， 故选：B． 【点睛】此题考查求角的余弦值，勾股定理求边长，正确构建直角三角形并熟记余弦值公式是解题的关键． 5. 抛物线y＝﹣x2+2x﹣5的顶点坐标是（　　） A. （1，﹣4） B. （﹣1，4） C. （﹣1，﹣4） D. （1，4） 【答案】A 【解析】 【分析】先把二次函数的一般式化为顶点式，再由顶点式即可得出答案． 【详解】解：， 抛物线顶点坐标是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数的顶点坐标，解题的关键是要会把二次函数的一般式变形为顶点式． 6. 戴口罩能有效防止病毒感染．某一种口罩原价每盒20元，经过两次降价后每盒9元，设两次降价的百分率都为x，则x满足方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了增长率问题，常用公式：n次下降后的价格＝原价每次下降的百分率，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 利用经过两次降价后的价格＝原价每次降价的百分率，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设两次降价的百分率都为x，由题意得： ． 故选：C． 7. 如图，点，分别在的边，上，且，若，，则（ ） A. 4.5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选D． 8. 如图，在中，，点是的重心，，垂足为，若，则线段的长度为（ ） A. 10 B. 9 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于，如图，利用三角形重心的性质得到，，再证明，则可判断，然后利用相似比可求出的长，进而得到线段的长度． 【详解】解：延长交于，如图， 点是的重心， ，， ， ， 而， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．也考查了相似三角形的判定与性质，掌握三角形重心的性质是解决问题的关键． 9. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键． 把化为： 再结合题意可得，从而可得方程的解． 【详解】解：可化为： 关于一元二次方程有一个根为， 把看作是整体未知数，则 即有一根为． 故选D． 10. 如图，正方形的边长为2，点E、F分别在边、上，且，平分，连接，分别交、于点G，M．有下列三个结论：①垂直平分；②；③．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】证明，可判定①正确；先证明，得，可证，故②正确；根据，可得，故③错误． 本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分，故①正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴，故③错误． 综上所述：①②正确， 故选A． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 使根式有意义的x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义， 必须， 解得：， 故答案为：． 12. 任意掷一枚均匀的正方体骰子，“偶数点朝上”发生的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用列举法求概率．在正方体骰子中，写有偶数的有3面，一共有6面，根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比求解即可． 【详解】解：在正方体骰子中，朝上的数字为偶数的情况有3种，分别是：2，4，6，骰子共有6面， 偶数朝上发生的概率为：． 故答案为：． 13. 如图，河坝的横断面的坡比是，坝高米，则的长度是__________米． 【答案】8 【解析】 【分析】根据坡比概念解答即可． 【详解】根据题意可知，即， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用．理解坡比的概念是解题关键． 14. 在抛物线上有点，和三点，则，，的大小关系为________（用“”表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的性质；熟练运用二次函数图像的对称性和增减性是解题的关键． 根据二次函数的对称性与增减性解答即可． 【详解】解：函数的对称轴为直线：， ∵ ∴抛物线开口向下 ∵， ∴点离对称轴最远，点离对称轴最近 ∴ 故答案为：． 15. 如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F，，则＝________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，作辅助线；由DG∥BE得到：，故AE=3EG；证明EG=CG，即可解决问题． 【详解】如图，过点D作DG∥BE，交AC于点G， 则,； ∴,EG=3AE； ∵AD是△ABC的中线， ∴EG=CG， ∴EG=CG=3AE，AC=7AE， ∴,. 故答案为. 【点睛】当题目中涉及线段的比值时，可考虑平行线分线段成比例的定理，过点D作DG∥BE是解题关键. 16. 如图，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数．过点C作于点G，连接交于点H，先求得，证明，由三角函数的定义设，则，由勾股定理可得，得到，利用面积法可得，据此即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点G，连接交于点H， ∵，，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）1 （2）1 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解答此题的关键． （1）根据二次根式的乘除法运算法则、特殊角的三角函数值，进行计算化简即可； （2）根据二次根式的乘法运算法则、特殊角的三角函数值，进行计算化简即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的知识内容，涉及到因式分解法以及公式法； （1）整理后，先提公因式，再运用因式分解法进行作答即可； （2）运用公式法进行作答即可． 【小问1详解】 解：整理得， ∴， ∴，， 解得：，； 【小问2详解】 解：∵， ，，， ∴， ∵， 解得：，． 19. 某学校开展以素质提升为主题的研学活动，推出了以下四个项目供学生选择：A．模拟驾驶；B．军事竞技；C．家乡导游；D．植物识别．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中一个项目．八年级（3）班班主任刘老师对全班学生选择的项目情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）八年级（3）班学生总人数是　 　，并将条形统计图补充完整； （2）刘老师发现报名参加“植物识别”的学生中恰好有两名男生，现准备从这些学生中任意挑选两名担任活动记录员，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的概率． 【答案】(1)40人，补图见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）利用A项目的频数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后计算出C项目的人数后补全条形统计图； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的结果数，然后利用概率公式求解． 【详解】（1）调查的总人数为12÷30%=40（人）， 所以C项目的人数为40-12-14-4=10（人） 条形统计图补充为： 故答案为40人； （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的结果数为8， 所以恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的概率=． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图． 20. 抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C． （1）求出A，B，C三点的坐标； （2）抛物线的顶点为点D，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与坐标轴的交点和配方求顶点，掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点的坐标的求法是解题的关键． （1）当时，解方程即可得到、的坐标，将代入即可得到点的坐标； （2）把二次函数的解析式配方成顶点式，然后写出顶点坐标．进而求出. 【小问1详解】 解：当时，， ，， ，， 将代入得：， ； 【小问2详解】 解： ， 顶点坐标：． ∴ 21. 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE=60°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）如果AB=3，EC=，求DC的长． 【答案】（1）见解析；（2）DC=1或DC=2． 【解析】 【分析】（1）△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60°，AB=AC，推出∠BAD=∠CDE，得到△ABD∽△DCE； （2）由△ABD∽△DCE，得到，然后代入数值求得结果． 【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，AB=AC， ∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°， ∴∠BAD=∠CDE ∴△ABD∽△DCE； （2）解：由（1）证得△ABD∽△DCE， ∴， 设CD=x，则BD=3﹣x， ∴= ∴x=1或x=2， ∴DC=1或DC=2． 【点睛】考点：相似三角形的判定与性质． 22. 在中，，． （1）求作射线，交边于点M，使．（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若线段长为，求边长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据可得，结合三角形内角和可得平分，故作的角平分线交边于点M，即可解题； （2）过点M作，垂足为H，根据解三角形很容易求出，，进而求出边长． 本题主要考查了解三角形，利用又，得是解题关键． 【小问1详解】 解：∵在中，，． ∴， 又∵， ∴， ∴平分， 如图，作的角平分线交边于点M，即：射线为所求． 【小问2详解】 过点M作，垂足为H， ∵，， ∴， ， ∴， ∴ 23 综合与实践 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值： 时刻（时） 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 1 【问题解决】 （1）如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； （2）如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）过作于，则四边形是正方形，得出，解直角三角形得出，再由计算即可得解； （2）过作于，过作于，则四边形为矩形，得出，求出，解直角三角形得出，再由计算即可得解． 【小问1详解】 解：如图1，过作于， ， 则， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 在中，，即， ， ， 答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为． 【小问2详解】 解：过作于，过作于， ， 则， 四边形为矩形， ， ， ， 由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小， 当14时，点最靠近墙角，此时DE的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离， 在中，， 即， ， ， 答：绿萝摆放位置与墙壁的最大距离为． 24. 定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断：一元二次方程_____“限根方程”（填“是”或“不是”）； （2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根、满足，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 【答案】（1）是 （2）k的值为9 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，也考查了解一元二次方程． （1）先利用因式分解法解方程得到，，然后根据“限根方程”的定义进行判断； （2）先利用根与系数的关系得，，再利用得到，则可求得，，然后分别利用因式分解法解方程，最后利用“限根方程”的定义确定的值； （3）利用因式分解法解方程得到或，再根据“限根方程”的定义得到时，当时，，然后解关于的不等式即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 所以，， ，， 所以一元二次方程为“限根方程”， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：根据根与系数的关系得，， ， ，即， 解得，， 当时，方程化为， 解得，， ，， 方程是“限根方程”， 当时，方程化为， 解得，， ， 方程化不是“限根方程”， 综上所述，的值为9； 【小问3详解】 解：， ， 或， 解得或， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上所述，的取值范围为或． 25. 如图，，点为内的一个动点，过点作与，使得，分别交、于点、. （1）求证：； （2）连接，若，试求的值； （3）记，，，若，，且、、为整数，求、、的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3），，. 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理可得出即可证明结论； （2）结合角的三角函数以及相似三角形的性质可得出，利用，得出，最后利用勾股定理求解即可； （3）设，则，，将式子转化为关于x的一元二次方程求解，利用求根公式以及a，b，的取值范围可求出c的求值范围，再求出整数解即可；同理可以令，求a的取值范围再求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． （2）由（1）得：， ∴． ∵， ∴． 又， ∴是等腰三角形． ∴，即， ∴，即． ∵， ∴． 在中，设，则， 由勾股定理，得． ∴． （3）解法一：由（1）知：，即， 设，则，． ∵， ∴，即（*） 又∵， ∴，即， ∴方程（*）应有根， ∴， ∴，（舍去） 由，解得：． 又∵为整数， ∴． 当时，方程（*）的根为无理数，此时不为整数，不合题意． 当时，，此时，，． 综上所述，，，． 解法二：由（1）知：，即， 设，则，． ∵， ∴，即（*） 又∵， ∴， 即方程（*）应有根满足． ∴或 解得：或， ∴ 又∵为整数， ∴． 当时，方程（*）化为：， 解得：． ∴，． 当时，方程（*）的根为无理数，此时不为整数，不合题意． 综上所述，，，． 【点睛】本题是一道关于相似三角形的综合题目，用到的知识点有相似三角形的判定定理及其性质，解一元二次方程，一元二次方程的根的判别式等，掌握以上知识点是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石光中学2024年秋阶段考（初三年数学科） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 2. 若，则值为（ ） A. B. C. D. 3. 不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（　　） A. 摸出的是3个白球 B. 摸出的是3个黑球 C. 摸出的是2个白球、1个黑球 D. 摸出的是2个黑球、1个白球 4. 如图，顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线y＝﹣x2+2x﹣5的顶点坐标是（　　） A. （1，﹣4） B. （﹣1，4） C. （﹣1，﹣4） D. （1，4） 6. 戴口罩能有效防止病毒感染．某一种口罩原价每盒20元，经过两次降价后每盒9元，设两次降价的百分率都为x，则x满足方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点，分别在边，上，且，若，，则（ ） A. 4.5 B. 6 C. 8 D. 9 8. 如图，在中，，点是的重心，，垂足为，若，则线段的长度为（ ） A. 10 B. 9 C. 6 D. 9. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为2，点E、F分别在边、上，且，平分，连接，分别交、于点G，M．有下列三个结论：①垂直平分；②；③．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 使根式有意义的x的取值范围是___． 12. 任意掷一枚均匀的正方体骰子，“偶数点朝上”发生的概率为_____． 13. 如图，河坝的横断面的坡比是，坝高米，则的长度是__________米． 14. 在抛物线上有点，和三点，则，，的大小关系为________（用“”表示） 15. 如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F，，则＝________． 16. 如图，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，，则________． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. 某学校开展以素质提升为主题的研学活动，推出了以下四个项目供学生选择：A．模拟驾驶；B．军事竞技；C．家乡导游；D．植物识别．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中一个项目．八年级（3）班班主任刘老师对全班学生选择的项目情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）八年级（3）班学生总人数是　 　，并将条形统计图补充完整； （2）刘老师发现报名参加“植物识别”的学生中恰好有两名男生，现准备从这些学生中任意挑选两名担任活动记录员，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的概率． 20. 抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C． （1）求出A，B，C三点的坐标； （2）抛物线的顶点为点D，求． 21. 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE=60°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）如果AB=3，EC=，求DC长． 22. 在中，，． （1）求作射线，交边于点M，使．（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若线段长为，求边长． 23. 综合与实践 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值： 时刻（时） 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 1 【问题解决】 （1）如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； （2）如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？ 24. 定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断：一元二次方程_____“限根方程”（填“是”或“不是”）； （2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根、满足，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 25. 如图，，点为内一个动点，过点作与，使得，分别交、于点、. （1）求证：； （2）连接，若，试求的值； （3）记，，，若，，且、、为整数，求、、的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $