24.5 三角形的内切圆（教学课件）数学沪科版九年级下册

九年级沪科版数学下册 第二十四章 圆 24.5 三角形的内切圆 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1. 了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念. 2. 掌握三角形内心的性质并能加以应用. (重点) 3. 学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想. (难点) 情景导入 如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ 新知探究 有一块三角形材料，如何从中剪下一个面积最大的圆？ （1）如果最大圆存在，它与三角形的各边应有怎样的位置关系？ 新知探究 如图，⊙O按其位置与三角形的边是否相切分四种情形：图(1)的⊙O与三边都不相切， 图(2)的⊙O只与一边相切，图(3)的 ⊙O与两边相切，图(4)的⊙O与三边都相切． 图(1)(2)(3)中的圆面积都不是最大的 （试一试，可作出一个面积更大的圆来），由此猜想： 要使剪下的圆面积最大，这个圆应与三角形的三边都相切，如图(4). 新知探究 （2）求作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切． 如图，如果半径为 r 的⊙I 与△ABC 的三边都相切，那么其圆心 I 应与△ABC 的三边距离相等，都等于半径 r，所以圆心 I 应是三角形的三条角平分线的交点． C A B I r r r 新知探究 C A B I D 作法 1． 如图，作△ ABC的∠B、∠C 平分线 BE，CF，设 它们交于点I． 2． 过点 I 作 ID⊥BC 于点 D． 3． 以点 I 为圆心、ID 为半径作⊙I． 则⊙I 即为所作. E 概念归纳 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形 . 三角形的内心到三角形的三边距离相等. 课本例题 A B C I 例 如图，在△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数. 解 连接IB，IC. 因为点I是△ABC的内心， 所以IB，IC分别是∠B、∠C的平分线. 在△IBC中，有 ∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB） =180°- （∠B+∠C） =180°- （43°+61°）=128° 课堂练习 1． 在 △ABC中，AB＝AC ＝4cm，以点 A 为圆心、2cm 为半径的圆与 BC 相切，求∠BAC的度数． 解：设以点4为圆心、2cm为半径的圆与BC相切于点D，连接AD， 则AD=2，AD⊥BC ∵ AB=AC=4cm， ∴ ∠B=∠C=30°. ∵ ∠B+∠C+∠BAC =180°， ∴∠BAC=120°. 2． 在 △ABC中，∠A ＝80°，点 I是内心，求∠BIC 的度数． 解：∵点I是内心， ∴ BI是∠ABC的平分，CI 是∠ACB的平分线. ∴ ∠ABC=2∠IBC， ∠ACB =2∠ICB. ∵ ∠A+ ∠ABC+∠ACB=180°， ∴ ∠A+2∠IBC +2∠ICB=180°. ∵ ∠A=80°，∴ ∠IBC+∠ICB=50°. ∵ ∠BIC+ ∠IBC+∠ICB=180°，∴ ∠BIC=180°-50°=130°. ３． 在 △ABC 中，∠C＝90°，BC ＝3，AC ＝4，求这个三角形的内切圆半径． 解：在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4， 则 AB=5. 设这个直角三角形的内切圆的半径为r， 则 r = 故这个三角形的内切圆半径是1. 4． 在一块周长为12cm、面积为的三角形材料中作一个内切圆，问这个圆的半径是多少厘米？ 解：设三角形的三边长分别为a，b，c，AB=c，BC=a，AC=b， ⊙O内切于△ABC于三点D，E，F，连接OD，OE，OF，OA，OB，OC.则 OD ⊥ AB，OF ⊥AC，OE ⊥BC.如图所示.设OD=OF=OE=r， 则S△ABC = cr+ ar+ br= r(a+b+c). ∵ a+b+c =12 cm， S△ABC =6， ∴ r12=6，r=1cm. 答：这个圆的半径是1cm. 分层练习-基础 1．如图，有一块三角形材料(△ABC)，请你画出 一个圆，使其与△ABC的各边都相切． 【解】如图所示，⊙P即为所求作的圆. 2. 下列说法错误的是(　　) A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切 B．一个三角形一定有唯一一个内切圆 C．一个圆一定有唯一一个外切三角形 D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆 【点拨】一个圆可以有无数个外切三角形，但一个三角形只有一个内切圆. 【答案】 C 【点拨】∵点O到AB，BC，AC三边的距离相等， ∴点O是△ABC的内心，即点O是角平分线的交点．故选D. 【答案】 D 4．如图，⊙I是△ABC的内切圆，D，E，F为三个切点．若∠DEF＝52°，则∠A的度数为(　　) A．76° B．68° C．52° D．38° 【点拨】连接ID，IF. ∵⊙I是△ABC的内切圆，D，F为⊙I的切点， ∴ID⊥AB，IF⊥AC.∴∠IDA＝∠IFA＝90°. 又∵⊙I中，∠DIF ＝2∠DEF＝104°， ∴∠A＝360°－90°－90°－∠DIF＝76°.故选A. 【答案】 A 5. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，求该直角三角形能容纳的圆(内切圆)的直径”，则该圆的直径为(　　) A．6步 B．5步 C．4步 D．3步 【答案】 A 【答案】 B 【点拨】根据点D是△ABC的内心，画出△ABC的内切圆⊙D，如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，DH⊥AC，垂足分别为点E，F，H，连接AD，CD. 【答案】 C 8．[2024·滨州校级联考]我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．若直角三角 形的内切圆半径为2，大正方形的面 积为169，则小正方形的面积为 ________． 49 【点拨】∵△ABC是等边三角形， ∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆. 如图，设圆心为O，连接AO并延长，交BC于点D. 设AC与△ABC的内切圆切于点E，连接OE， 则OD＝OE＝r，AO＝R，AD＝h， ∴h＝R＋r，故A正确； 【答案】 C 分层练习-巩固 10．[2024·内江]如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E是BC边上一点，且BE＝2， 点I是△ABC的内心，BI的延 长线交AC于点D，P是BD上 一动点，连接PE，PC， 则PE＋PC的最小值为________． 【点拨】如图，在AB上取点F，使BF＝BE＝2，连接PF，CF，过点F作FH⊥BC于点H. ∵I是△ABC的内心，∴BI平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD. 又∵BP＝BP，BF＝BE， ∴△BFP≌△BEP(SAS)， ∴PF＝PE，∴PE＋PC＝PF＋PC≥CF. (5，1) (8 099，1) 【点拨】如图，作PD⊥OA于点D，PF⊥OB于点F，PE⊥AB于点E，连接AP，OP，PB，则PD＝PE＝PF. 易知P1，P2，P3，…Pn的纵坐标均为1. 设P1的横坐标为x， 根据切线长定理可得x－3＝3－1， 解得x＝5，∴P1(5，1). 易得P2的坐标为(3＋5＋4－1，1)，即(11，1)；P3的坐标为(3＋5＋4＋1，1)，即(13，1). ∵每滚动3次为一个循环，2 024÷3＝674……2， ∴第2 024次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2 024的横坐标是674×(3＋4＋5)＋11＝8 099， ∴P2 024(8 099，1). 12．[2024·合肥蜀山区一模]如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上不同于A，B的一点，I是△ABC的内心，AI的延长线交半圆O于点D，连接BI，BD，IO. (1)求证：DI＝DB； (2)若BD＝2，IO⊥BI，求AI的长． ∵BD＝2，∴OE＝1. ∵IO⊥BI，∴∠BIO＝90°， ∴∠OIE＋∠BID＝90°， ∴∠OIE＝45°，∴∠IOE＝45°＝∠OIE. ∴IE＝OE＝1. ∵DI＝DB＝2，∴AE＝DE＝3， ∴AD＝6，∴AI＝AD－DI＝6－2＝4. 分层练习-拓展 13．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，∠A＝60°，⊙O与边AB，AC相切于点E，F. (1)当⊙O的半径为2时，求弧EF的长； (2)当⊙O与BC边相切时，求⊙O的半径； 【解】如图，连接OA，OM，OE，OF，作OH⊥CB于点H，  则易得四边形OHCF是矩形，∴OH＝CF. 习题 24.5 1．证明：等边三角形的内心与外心重合，并且外接圆半径是内切圆半径的2倍. 已知：△ABC为等边三角形，点O为内心． 求证：点O为△ABC的外心，外接圆 半径是内切圆半径的2倍． 证明：连接AO并延长交BC于D， 连接BO并延长交AC于E，如图． ∵点O为△ABC的内心， ∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC． 而△ABC为等边三角形， ∴AD⊥BC，BD=CD，BE⊥AC，AE=CE． 即AD垂直平分BC，BE垂直平分AC． ∴点O为△ABC的外心． ∵OD⊥BC，∴OD为△ABC内切圆的半径． ∵OB平分∠ABC，∠ABC=60°，∴∠OBD=30°．∴OD= OB． ∴△ABC外接圆半径OB是内切圆半径OD的2倍． 所以等边三角形内心与外心重合，并且外接圆半径是内切圆半径的2倍． 2．已知：如图，在△ABC中，内切圆I与边BC，CA，AB分别相交于点D，E，F． 求证：∠FDE=90°- ∠A． 证明：连接IE，IF，如图． 由题意得IE⊥AC，IF⊥AB． ∴∠AEI=∠AFI=90°．∴∠A+∠EIF=180°． ∵∠EIF=2∠FDE，∴∠A+2∠FDE=180°． ∴∠FDE=90°- ∠A． 3．如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点为E，F，G，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D ,AC=4,CD=1．求⊙O的半径r. 解：连接OE，OF，如图． ∵⊙O为△ABC的内切圆， ∴OE⊥BC，OF⊥AC．而∠C=90°， ∴四边形OECF为正方形．∴OE=CE=r． ∴OE∥AC．∴△DOE∽△DAC． ∴ ，即 ．∴r = ． 证明：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，如图．∵⊙O为△ABC的内切圆，∴OD=OE=OF=r．∵∠ACB=90°， ∴四边形CEOF为正方形．∴CE=CF=r． ∴AE=AD=b-r, BF=BD=a-r． ∴b-r+a-r=c．∴r= （a+b-c）． 4．已知：在△ABC中，∠C=90°，三边长为a，b，c，△ABC的内切圆半径为r.求证：（1）r= （a+b-c）； 证明：如图，连接OA，OB，OC． ∵S△AOB+S△BOC+S△AOC=S△AOB， ∴ r•c+ r•a+ r•b= a•b． ∴r= ． 4．已知：在△ABC中，∠C=90°，三边长为a，b，c，△ABC的内切圆半径为r.求证：（2）r= . 5．已知：如图，在△ABC中，点E是内心，延长AE交三角形的外接圆于点D， 连接BD，DC.求证：DB=DC=DE． 证明：如图，连接BE． ∵E是△ABC的内心， ∴∠1=∠2，∠3=∠4．∴DB=DC． ∵∠BED=∠3+∠2，∠EBD=∠4+∠5， 且∠5=∠1，∴∠BED=∠EBD．∴DE=DB． ∴DB=DC=DE． 6．如图，三条直线l1，l2，l3两两相交构成三角形.在这个图中能找出几个到三条直线距离相等的点，为什么？ 解：能找出4个．理由： 如图，作三条直线l1，l2，l3两两相交构成的三角形的内角平分线和外角平分线，它们有4个交点，根据角平分线的性质得每个交点到三条直线的距离相等． 7．在△ABC中，BC=a=14 cm， AC=b=9 cm，AB=c=13 cm,它的内切圆与BC，AC，AB分别相切于 点D，E，F．求AF，BD，CE的长． 解:如图,设AF=xcm,BD=ycm,CE=zcm． ∵AF，AE是圆的切线，∴AE=AF=xcm. 同理BF=BD=ycm,CD=CE=zcm. 根据题意得 解得 ∴AF=4cm，BD=9cm,CE=5cm. 课堂小结 1. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆； 2. 三角形的内心到三角形的三边距离相等. 3. 某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，现要在绿地ABC内建一个休息点O，使它到AB，BC，AC三边的距离相等，下列作法正确的是(　　) 【点拨】根据勾股定理得斜边长为＝17(步)，则该直角三角形能容纳的圆(内切圆)的半径＝＝3(步)，∴该圆的直径为6步.故选A. 6．[2024·重庆渝中区期末]如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是内心，若CO＝2，△ABC的周长为16，则△ABC的面积为(　　) A．16 B．8 C．16 D．32 【点拨】如图所示，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，OG⊥BC于G，连接OA，OB. ∵点O是内心， ∴OE＝OF＝OG，CO平分∠ACB， ∴∠OCE＝∠ACB＝45°， ∴OE＝sin 45°·OC＝OC＝. ∵△ABC的周长为16，∴AB＋BC＋AC＝16. ∴S△ABC＝S△AOC＋S△AOB＋S△BOC＝AC·OE＋AB·OF＋BC·OG＝(AB＋AC＋BC)·OE＝×16×＝8.故选B. 7．[2024·滁州南谯区月考]如图，△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝3，点D是△ABC的内心，则BD的长度为(　　) A．2 B．3 C. D. 根据内切圆的性质可知，垂足E，F，H 也是△ABC三边与⊙D的切点， ∴DE＝DF＝DH，AE＝AH，BE＝BF，CF＝CH. ∵∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝3， ∴AB＝＝4.设BE＝BF＝x， 则AH＝AE＝AB－BE＝4－x，CH＝CF＝5－x. ∵AH＋CH＝AC，∴5－x＋4－x＝3，∴x＝3，即BE＝3. 设DE＝r，则DF＝DH＝r.∵S△ABC＝S△ADB＋S△BDC＋S△ADC， ∴×3×4＝r×(3＋4＋5)，∴r＝1，∴DE＝1， ∴在Rt△BDE中，BD＝＝.故选C. 【点拨】设直角三角形的三边长分别为a，b， c(c2＝a2＋b2)，其内切圆半径为r，面积为S， 则S＝ab＝r(a＋b＋c).∵r＝2，∴ab＝2(a＋b＋c). ∵大正方形的面积为169，∴c2＝169，∴c＝13， a2＋b2＝169.①∴ab＝2(a＋b＋13)．② 由①②可得ab＝60或ab＝0(舍去)， ∴S＝ab＝30.∴小正方形的面积为169－4S＝49. 9．如图，设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h，r，R，则下列结论不正确的是(　　) A．h＝R＋r 　　　　　B．R＝2r C．r＝a 　　　　　 D．R＝a ∵⊙O为△ABC的内切圆，∴AD平分∠BAC. ∴∠DAC＝∠BAC.易知OE⊥AC，∠BAC＝60°， ∴∠OEA＝90°，∠DAC＝∠BAC＝×60°＝30°， ∴在Rt△AOE中，AO＝2OE，即R＝2r，故B正确； ∵OE⊥AC，AC＝a，∴AE＝AC＝a. ∵在Rt△AOE中，AE2＋OE2＝AO2， ∴＋r2＝(2r)2，∴r＝a， 故C错误；∵R＝2r，∴R＝a，故D正确. 2 当C，P，F三点共线时，PE＋PC最小，最小值为CF. ∵FH⊥BC，∠ABC＝60°， ∴∠BFH＝30°，∴BH＝BF＝1， ∴FH＝＝，CH＝BC－BH＝7， ∴CF＝＝2， ∴PE＋PC的最小值为2. 11．[2024·东莞模拟]如图，把Rt△OAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是Rt△OAB内切圆的圆心． 将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，…，依此规律，则P1的坐标是________；第2 024次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2024的坐标是__________． ∵点A的坐标为(0，4)，点B的坐标为(3，0)， ∴OB＝3，OA＝4.∴AB＝＝＝5. 设PD＝PE＝PF＝r. ∵S△AOB＝OA·OB＝6，S△AOB＝S△APB＋S△AOP＋S△OPB＝AB·PE＋OA·PD＋OB·PF，∴×5r＋×4r＋×3r＝6， 解得r＝1.∴PD＝PF＝1.∴P(1，1). 【证明】∵I是△ABC的内心，∴AI，BI是△ABC的角平分线. ∴∠BAD＝∠BAC，∠ABI＝∠ABC. ∵AB是半圆O的直径，∴∠C＝∠D＝90°. ∴∠CAB＋∠CBA＝90°. ∴∠BID＝∠BAD＋∠ABI＝(∠BAC＋∠ABC)＝45°.∴∠IBD＝45°.∴∠IBD＝∠BID.∴DI＝DB. 【解】如图，过点O作OE⊥AD于点E， 则∠AEO＝∠D＝90°， ∴OE∥BD.∴△AOE∽△ABD. ∴＝＝＝.∴AE＝DE. 【解】连接OE，OF. ∵⊙O与AB，AC相切于点E，F， ∴∠AFO＝∠AEO＝90°. 又∵∠A＝60°，∴∠EOF＝120°， ∴弧EF的长＝＝. 解：当⊙O与BC边相切时，⊙O为Rt△ABC的内切圆. 设⊙O的半径为r.∵在Rt△ABC中，∠A＝60°，AC＝8， ∴BC＝ACtan60°＝8，AB＝＝16. ∴易得S△ABC＝×(8＋16＋8)r＝×8×8， 解得r＝4－4.即⊙O的半径为4－4. (3)如图②，当⊙O的半径为2时，⊙O与BC交于M，N两点，求MN的长， ∵⊙O与AB，AB相切于E，F， ∴∠OAE＝∠OAF＝∠CAB＝30°，AF＝AE. 又∵在Rt△OAE中，OE＝2，∴AO＝4. ∴AF＝AE＝＝6，∴OH＝CF＝2. 在Rt△HOM中，∵OM＝2， ∴HM2＝2－22＝8.∵HM＞0，∴HM＝2. ∵OH⊥MN，∴NH＝HM，∴MN＝2HM＝4. $$