24.4 直线与圆的位置关系（第3课时 切线长定理）（教学课件）数学沪科版九年级下册

九年级沪科版数学下册 第二十四章 圆 24.4 直线与圆的位置关系 第3课时 切线长定理 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1. 掌握切线长的定义及切线长定理.（重点） 2. 初步学会运用切线长定理进行计算与证明.（难点） 情景导入 情景：如图，纸上有一个⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B. 问题1：OB是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？ 问题2：猜一猜图中的PA与PB有什么关系？∠APO与∠BPO有什么关系？ . O P. A B 新知探究 例4 如图，点P是⊙O外一点，过点P 作直线与⊙O相切. O. P A B 作法： 1. 连接OP. 2. 以OP为直径作圆，设此圆 交⊙O于点A，B. 3. 连接PA，PB. 则直线PA，PB即为所作. 过圆外一点能够作圆的两条切线． 切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长． 新知探究 1. 在透明纸上画出下图，设PA，PB是 ⊙O的两条切线，A，B是切点． 沿沿直线OP将图形折叠，有什么发现？ O P A B 解：PA = PB，∠APO =∠BPO. 证明：连接OA，OB，如图. ∵ PA切☉O于点A， ∴ OA⊥PA. 同理可得 OB⊥PB. ∵ OA = OB，OP = OP， ∴ Rt△OAP ≌ Rt△OBP， ∴ PA = PB，∠APO =∠BPO. 概念归纳 切线长定理 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线 长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角． 课本例题 例5 已知：如图四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于点E，F，G，H.求证：AB+CD=DA+BC. A B C D E F H O · 证明：∵AB，BC，CD，DA都与⊙O相切，E，F，G，H是切点， ∴AE=AH，BE=BF， CG=CF，DG=DH. ∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH， 即AB+CD=DA+BC. G 课堂练习 1． 已知：⊙O的半径是30cm，点 P与圆心 O 的距离是60cm，PA，PB 是⊙O的两条切 线，A，B 是切点，求∠APB的大小与 PA的长． 解：连接 OA，OB，PO，如图所示. 因为 PA，PB 是⊙O的两条切线，A，B是切点， 所以 OA⊥PA，OB⊥PB. 因为 OA=30 cm，PO=60cm， 所以 ∠APO=30°，同理，∠BPO =30°，即∠APB=60°. 因为 ∠PAO = 90°，OA = 30 cm，OP=60cm， 由勾股定理可知 PA=30cm. 2. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，直线OP交交⊙O于点Q、D，交AB于C. B A P O C Q D （1）写出图中所有的垂直关系； OA⊥AP，OB ⊥BP，AC ⊥PQ （2）写出图中所有的全等三角形； △OAP≌ △OBP， △ACO≌ △BCO， △ACP≌ △BCP 3． 已知：PA，PB 是⊙O的切线，A，B 是切点，∠APB ＝60°， 点 C是⊙O上异于 A，B的任意一点，求∠ACB的大小 解：由点C是⊙O上异于A，B的任意一点，故点C有两种可能： ①在AB所对的优弧上；②在AB所对的劣弧上. C 在优弧上时，连接OA，OB. 因为PA，PB是⊙O的切线，所以OA⊥PA，OB⊥PB. 因为∠APB=60°，所以∠AOB=120°，故∠ACB=60°. 同理，可得C₂在劣弧上时，∠AC₂B=120°. 分层练习-基础 1．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于________． 1 2．[2024·淮南七中月考]如图，直线PA，PB，MN分别与⊙O相切于点A，B，D，PA＝PB＝4 cm，△PMN的周长是________． 8 cm 【点拨】∵直线PA，PB，MN分别与⊙O相切于点A，B，D，∴AM＝DM，BN＝DN. ∵PA＝PB＝4 cm， ∴△PMN的周长是PM＋PN＋MN＝PM＋PN＋DM＋DN＝(PM＋DM)＋(PN＋DN)＝(PM＋AM)＋(PN＋BN)＝AP＋BP＝8 cm.故答案为8 cm. 3．[2024·常州钟楼区月考]如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B，AC是⊙O的直径．若∠P＝60°，BC＝2，则PA的长为________． 【点拨】如图，连接AB. ∵PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B， ∴PA⊥AC，PA＝PB.∴∠PAC＝90°. ∵∠P＝60°，∴△PAB为等边三角形. ∴AB＝PA，∠PAB＝60°.∴∠BAC＝30°. 4. 如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE＋∠BCD＝236°，则∠E＝(　　) A．56° B．60° C．68° D．70° 【点拨】如图，连接AD. ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BAD＋∠BCD＝180°. ∵∠BAE＋∠BCD＝236°， ∴∠EAD＋∠BAD＋∠BCD＝∠EAD＋180°＝236°. ∴∠EAD＝56°. ∵EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D， ∴EA＝ED.∴∠EDA＝∠EAD＝56°. ∴∠E＝180°－∠EDA－∠EAD＝180°－56°－56°＝68°. 【答案】 C 5．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M.给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【点拨】∵ PA，PB是⊙O的两条切线， ∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO, 故①正确. ∴PO⊥AB, 故②正确. ∵ PA，PB是⊙O的两条切线， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°. ∴点A，B在以OP为直径的圆上. ∴四边形OAPB有外接圆，故③正确. ∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM， ∴M不一定是△AOP外接圆的圆心，故④错误. 故选C. 【答案】 C 6．如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝28°，则∠APB的度数为(　　) A．28° B．50° C．56° D．62° 【点拨】如图，连接OB.∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝28°.∴∠AOB＝124°. ∵PA，PB切⊙O于A，B，∴OA⊥PA，OB⊥PB. ∴∠OAP＋∠OBP＝180°. ∴∠APB＋∠AOB＝180°. ∴∠APB＝56°.故选C. 【答案】 C 7. 我们古代数学家擅长通过计算来研究图形的性质．例如《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而立，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何？”意思是： 如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，已知AC＝48步，BC＝90步，AB与⊙O相切于点D，CE，CF分别与⊙O相切于为点E，F，求⊙O的半径．根据题意，⊙O的半径是(　　) A．100步 B．120步 C．140步 D．160步 【点拨】如图，连接OD，OE，OF. ∵CF，CE是⊙O的切线.∴OF⊥CF，OE⊥CE. ∴∠F＝∠E＝90°.又∵∠ACB＝90°. ∴四边形OECF是矩形.∵OE＝OF.∴四边形OECF是正方形. 设OE＝OF＝EC＝FC＝r步，则BF＝FC－BC＝(r－90)步，AE＝EC－AC＝(r－48)步. 【答案】 B 8．已知PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，点C是⊙O上异于A，B的一点，过点C作⊙O的切线分别交PA和PB于点D，E，若PA＝10 cm，DE＝7 cm，则△PDE的周长为________cm. 20或34 【点拨】分两种情况：(1)点C在劣弧AB上时，如图①.根据切线长定理得AD＝CD，BE＝CE，PA＝PB，则△PDE的周长为PD＋DE＋PE＝PD＋CD＋CE＋PE＝PD＋AD＋PE＋BE＝PA＋PB＝2PA＝20 cm. (2)点C在优弧AB上时，如图②.根据切线长定理得AD＝CD，BE＝CE，PA＝PB，则△PDE的周长为PD＋DE＋PE＝PA＋AD＋CD＋CE＋BE＋PB＝2PA＋2CD＋2CE＝2PA＋2DE＝2×10＋2×7＝34(cm)．综上，△PDE的周长为20 cm或34 cm. 【点易错】题目中没有给出图形，需要根据题意画出草图，本题易因考虑问题不全面而导致漏解． 分层练习-巩固 9．[2024·北京师范大学附属中学期中]如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，连接OA，OA＝OB. (1)求证：∠ABC＝30°； 【证明】∵∠ACB＝90°，∴OC⊥AC. ∴AC为⊙O的切线.∵AB为⊙O的切线， ∴AO平分∠CAB.∴∠OAC＝∠OAB. ∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB. ∴∠CAB＝2∠B.∵∠CAB＋∠B＝90°， 即2∠B＋∠B＝90°，∴∠B＝30°. 10．[2024·盐城盐都区模拟]【感知】(1)如图①，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为点B，C，连接BC交OA于点D，点E在优弧BEC上，且∠BEC＝54°，BC＝4，则线段BD的长为______，∠ADB 的度数为________，∠BAO的度 数为________； 2 90° 36° 【点拨】如图，连接OB，OC. ∵∠BEC＝54°， ∴∠BOC＝2∠BEC＝108°. ∵AB，AC是⊙O的两条切线， ∴AB＝AC，∠ABO＝∠ACO＝90°. 【应用】请用无刻度的直尺与圆规完成下列作图(不写作法，保留作图痕迹)： (2)如图②，点A是⊙O外一点，请作出一条 经过点A的⊙O的切线AB，切点为点B； 【解】如图所示，直线AB即为所求. (3)如图③，点P，Q分别在直线MN的两侧，请在直线MN上确定一个点T，使得PT与∠QTN的角平分线TS在同一条直线上．请作出符合条件的∠QTN的角平分线TS. 【解】如图所示，直线AB即为所求. 分层练习-拓展 11. 如图，AB是⊙O的直径，点D，F是⊙O上异于A，B的点．点C在⊙O外，CA＝CD，延长BF与CA的延长线交于点M，点N在BA的延长线上， ∠AMN＝∠ABM，AM·BM＝ AB·MN.点H在直径AB上， ∠AHD＝90°，点E是线段DH 的中点． (1)求∠AFB的度数； 【解】∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°. (2)求证：直线CM与⊙O相切； (3)看一看，想一想，证一证：以下与线段CE、线段EB、线段CB有关的三个结论：CE＋EB＜CB，CE＋EB＝CB，CE＋EB＞CB，你认为哪个正确？请说明理由． 【解】正确的结论为：CE＋EB＝CB. 理由：连接OC，OD，过点B作⊙O的切线，交CD的延长线于点K，设BC与DH交于点G，如图. 习题 24.4 1．以边长为3cm的等边三角形ABC的顶点A为圆心、r为半径作圆.r为何值时： （1）⊙A与直线BC相交？ 解：过A作AD⊥BC于D，如图所示． ∵△ABC是等边三角形，边长为3， ∴BD= ．∴AD= ． （1）当r＞ cm时，⊙A和直线BC相交． 1．以边长为3cm的等边三角形ABC的顶点A为圆心、r为半径作圆. r为何值时： （2）⊙A与直线BC相切？ 解：（2）当 r = cm时，⊙A和直线BC相切． （3）⊙A与直线BC相离？ 解：（3）当 0cm＜r＜ cm 时， ⊙A和直线BC相离． 2．试证：如果圆的两条切线互相平行，那么连接两个切点的线段是圆的直径. 已知：AB和CD是⊙O的两条平行切线，切点分别为E，F，如图． 求证：EF为⊙O的直径． 证明：连接OE，OF，如图． ∵AB和CD是⊙O的切线， ∴OE⊥AB，OF⊥CD． ∵AB∥CD，∴OE⊥CD． ∴点E，O，F共线．∴EF为⊙O的直径． 解：该测量的原理为连接圆的两条平行切线的两个切点的线段是圆的直径． 3．如图，可以用游标卡尺测量圆形工件的直径.当两卡脚贴紧工件，从刻度尺上读出两卡脚之间的距离d的数值，即可测出直径的实际值，说明该测量的原理． 4．已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是的切线，切点为B，OC平行于弦AD. 求证：CD是⊙O的切线． 证明：如图，连接OD． ∵OA=OD， ∴∠A=∠ADO． ∵AD∥OC， ∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠COD． ∴∠BOC=∠COD． ∵OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC． ∴∠OBC=∠ODC． 又BC是⊙O的切线， ∴∠OBC=90°． ∴∠ODC=90°． ∴DC是⊙O的切线． 5．已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，DE⊥AC于点E. 求证：DE是⊙O的切线. 证明：如图，连接OD. ∵点D为BC的中点，点O为AB的中点， ∴OD为△ABC的中位线. ∴OD∥AC. ∴∠DEC=∠ODE. ∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°. ∴∠ODE=90°.∴DE⊥OD. ∴DE是⊙O的切线. 6．已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于点D，点E在AB上，DE=DC，以点D为圆心、DB为半径作⊙D. 求证：（1）AC是⊙D的切线； 证明：如图，过点D作DF⊥AC于F． ∵AB为⊙D的切线，∴∠B=90°． ∴AB⊥BC． ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，∴BD=DF．∴AC是⊙D的切线． （2）AB+EB=AC． 证明：在Rt△BDE和Rt△DCF中， ∵BD=DF，DE=DC， ∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）． ∴EB=FC． ∵AB=AF， ∴AB+EB=AF+FC，即AB+EB=AC． 7．已知：如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，作OK⊥AB，垂足为K. 求证：∠BAC=∠AOK． 证明：∵AC是⊙O的切线， ∴OA⊥AC．∴∠OAC=90°． ∴∠BAC+∠OAK=90°． ∵OK⊥AB， ∴∠OAK+∠AOK=90°． ∴∠BAC=∠AOK． 8．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为非直径的弦，∠CAE=∠B. 求证：AE与⊙O相切于点A． 证明：作直径AM，连接CM，则∠B=∠M． ∵∠EAC=∠B，∴∠EAC=∠M． ∵AM是⊙O的直径，∴∠ACM=90°． ∴∠CAM+∠M=90°． ∴∠EAC+∠CAM=90°．∴EA⊥AM． ∵OA是半径，∴AE是⊙O的切线． 9．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是 切点，OP交AB于点D、交⊙O于点C，AD=2 ，DC=2，求⊙O的半径及PA，PC的长. 解：∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA=PB，AP⊥OA． ∴∠OAP=90°． 又OA=OB，∴OP垂直平分AB． ∴∠ADO=90°． 在Rt△AOD中，AD=2 ， OD=OA-DC=OA-2．由勾股定理知OA2=OD2+AD2， 即OA2=（OA-2）2+12． 解得OA=4，即⊙O的半径是4． ∴OD=OA-DC=2． ∵∠ADO=∠OAP=90°，∠DOA=∠AOP， ∴△OAD∽△OPA． ∴ ，即 ． 解得OP=8，PA=4．∴PC=OP-OC=4． 10．已知：如图，AB，CD是⊙O的两条平行切线，A，C是切点，⊙O的另一条切线BD与AB，CD分别相交于B，D两点.求证：BO⊥OD． 证明：作OE⊥BD于E，如图． ∵BD为⊙O的切线， ∴OE为⊙O的半径，即点E为切点． ∵AB，CD是⊙O的两条切线， ∴OB平分∠ABE，OD平分∠CDE． ∴∠OBE= ∠ABD，∠ODE= ∠CDB． ∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°． ∴∠OBE+∠ODE=90°．∴∠BOD=90°．∴BO⊥OD． 11．已知：如图，点P在⊙O外，PA，PB 是⊙O的切线，A，B为切点. BC是直径，连接CA.求证：CA∥OP. 证明：连接AB． ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO． ∴PO⊥AB． ∵BC是直径， ∴CA⊥AB．∴CA∥OP． 课堂小结 切线长 切线长定理 作用 图形的轴对称性 原理 提供了证线段和角相等的新方法 辅助线 分别连接圆心和切点； 连接两切点； 连接圆心和圆外一点. 【点拨】∵PA，PB是⊙O的两条切线， ∴∠APO＝∠BPO＝∠APB，∠PAO＝90°. ∵∠APB＝60°，∴∠APO＝30°. ∵PO＝2，∴AO＝1.故答案为1. 2 ∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°. ∴AC＝2BC＝4. 由勾股定理得AB＝＝2， ∴PA＝AB＝2.故答案为2. ∵AB，AE，BF是⊙O的切线. ∴BD＝BF＝(r－90)步，AD＝AE＝(r－48)步. ∵AB＝＝102步. ∴AD＋BD＝102步. ∴r－48＋r－90＝102.∴r＝120.故选B. (2)连接AD，若AD＝，则⊙O的半径为________． 【点拨】设⊙O的半径为r， 由(1)知，∠OAC＝∠OAB＝∠OBA＝30°. 在Rt△OAC中，∵∠OAC＝30°，∴AC＝r. 在Rt△ADC中，2＋2＝2， 解得r＝，即⊙O的半径为. 又∵OB＝OC，∴AO垂直平分BC. ∴BD＝CD＝BC＝2，∠ADB＝∠ADC＝90°， ∠COA＝∠BOA＝∠BOC＝54°. ∴∠BAO＝90°－54°＝36°.故答案为2；90°；36°. 【证明】∵AM·BM＝AB·MN，∴＝. 又∵∠AMN＝∠ABM，∴△AMN∽△ABM. ∴∠NAM＝∠MAB. ∵∠NAM＋∠MAB＝180°， ∴∠NAM＝∠MAB＝90°.∴∠OAM＝90°，即OA⊥CM. ∵OA为⊙O的半径，∴直线CM与⊙O相切. 在△OAC和△ODC中， ∴△OAC≌△ODC(SSS).∴∠OAC＝∠ODC. 又由(2)知：OA⊥CM，∴∠OAC＝∠ODC＝90°. ∴OD⊥CD.∵OD为⊙O的半径，∴CK为⊙O的切线. ∵BK为⊙O的切线，∴DK＝BK，BK⊥AB. ∵DH⊥AB，CA⊥AB，∴AC∥DH∥BK. ∴△BHG∽△BAC，△CDG∽△CKB，＝. ∴＝，＝.∴＝，＝＝. ∴＝.∵CA＝CD，∴GH＝GD. ∴点G是线段DH的中点.∵点E是线段DH的中点， ∴点G与点E重合.∴线段BC经过点E.∴CE＋EB＝CB. $$