专题05 位置与坐标（考点串讲）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（鲁教版五四制）

七年级新鲁教版（2024）数学上册期末考点大串讲 串讲05 位置与坐标 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 四大常考点：知识梳理 六大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 期末真题对应考点练 考点透视 1.点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 2.坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 3.坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 4.两点间距离公式 两点间的距离公式： 设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝ 5.轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 6.轴对称的性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 知识点3：关于x、y轴、原点对称的点坐标 （1）与x轴做轴对称变换时，x不变，y变为相反数。 （2）与y轴做轴对称变换时，y不变，x变为相反数。 （3）与原点做轴对称变换时，y与x都变为相反数。 7.坐标与图形变化 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） （4）关于原点对称的点的坐标特点 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． 关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 题型剖析 题型一 确定位置 例1.如图，一艘船在 A 处遇险后向相距50海里位于 B 处的救生船报警.用方向和距离描述遇险船相 对于救生船的位置是(　B　) B A. 南偏西75°方向，距离50海里 B. 南偏西15°方向，距离50海里 C. 北偏东15°方向，距离50海里 D. 北偏东75°方向，距离50海里 举一反三 1. 如图，线段 OB ， OC ， OA 的长度分别是1，2，3，且 OC 平分∠ AO B. 若将 A 点表示为(3，30°)， B 点表示为(1，120°)，则 C 点可表示为 . (2，75°)　 【点拨】 由题意可知∠ AOB ＝120°－30°＝90°. 因为 OC 平分∠ AOB ，所以∠ AOC ＝45°. 因为45°＋30°＝75°， 所以若将 A 点表示为(3，30°)， B 点表示为(1，120°)， 则 C 点可表示为(2，75°). 题型二 平面直角坐标系 例1. 下列说法错误的是(　A　) A. 平面内两条互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系 B. 平面直角坐标系中两条数轴是互相垂直的 C. 坐标平面被两条坐标轴分成了四个部分，每个部分称为 象限 D. 坐标轴上的点不属于任何象限 A 例2. 下列选项中，平面直角坐标系的画法正确的是(　B　) B 举一反三 1. 在平面直角坐标系中，点 A ， B ， C ， D ， E 的位置如图. (1)分别写出点 A ， B ， C ， D ， E 的坐标； 【解】 A (3，2)， B (－1，3)， C (－2，－2)， D (0，3)， E (－5，0). (2)在坐标平面内，描出点 F (3，0)， G (2，－4). 【解】描出的点 F ， G 如图所示. 题型三 关于坐标轴对称 例1.在平面直角坐标系中，若点 A ( m ，3)与点 B (4， n )关于 x 轴对称，则点 C ( m ， n )所在的象限是(　D　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 D 例2.已知点 A (－3， a )与点 B (3，4)关于 y 轴对称，那么 a 的值为(　C　) A. 3 B. －3 C. 4 D. －4 C 举一反三 1. 如果点 A ( m ＋2， m －1)在 x 轴上，那么点 B ( m ＋3， m －2)关于 x 轴的对称点在(　A　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 所以 m ＋3＝4， m －2＝－1， 所以点 B (4，－1)， 所以点 B 在第四象限， 所以点 B 关于 x 轴的对称点在第一象限. 【点拨】 因为点 A ( m ＋2， m －1)在 x 轴上， 所以 m －1＝0，即 m ＝1， 【答案】A A 题型四 点坐标的综合应用 例1. 在坐标平面内有一个轴对称图形，其中 A 和 B 是图形上的一对对称点，若此图形上另有一点 C (－2，－9)，则点 C 的对称点的坐标是(　A　) A. (－2，1) B. C. D. (－2，－1) 【点拨】 因为 A 和 B 是轴对称图形上的一对对 称点， 所以该轴对称图形的对称轴为直线 y ＝－4， 所以该图形上的点 C (－2，－9)的对称点的坐标为(－2，1). 举一反三 1.已知点 A 的坐标为(0，2)，点 B 的坐标为(2，3).点 P 为 x 轴上一动点，求 PA ＋ PB 的最小值. 【解】如图，作点 A 关于 x 轴的对称点A'，则点A'的坐标 为(0， －2)，过点 B 作 BC ⊥ y 轴，垂足为 C ， 因为点 B 的坐标为(2，3)， 所以点 C 的坐标为(0，3)， 所以A'C＝3－(－2)＝5， BC ＝2. (2)当线段 AB ∥ y 轴，且 AB ＝4时，求△ AOB 的面积. 【解】当线段 AB ∥ y 轴时， A ， B 两点的横坐标相 同，所以 a ＝－2.所以△ AOB 的 AB 边上的高为2.因为 AB ＝4，所以 S△ AOB ＝ ×4×2＝4. 题型五 成轴对称的图形与坐标变化 例1.如图，在平面直角坐标系中， △ ABC 的三个顶点的坐标分别为 A (－2，4)， B (－4，1)， C (－1，2). (1)作出△ ABC 关于 y 轴对称的 △ A1 B1 C1，并写出点 A1的坐标； 【解】如图，△ A1 B1 C1即为所求， A1(2，4). (2)求△ ABC 的面积. 【解】由图可知， S△ ABC ＝3×3－ ×2×3－ ×3×1－ ×2×1 ＝9－3－ －1 ＝ . 举一反三 1. 如图，△ ABC 经过两次轴对称( x 轴和 y 轴为对称轴)变换 后，得到△ DEF ，若 A ， B ， C 各点的坐标分别为 A (－5，1)， B (－2，0)， C (1，3)，则 D ， E ， F 各点的坐标 分别为 D ， E ， F ⁠. (5，－1)　 (2，0)　 (－1，－3)　 题型六 规律性问题 例1.如图所示，正方形以原点为中心，且正方形的各边与 x 轴或 y 轴平行.从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用 A1， A2， A3， A4，…表示，则顶点 A55的坐标是(　C　) A. (13，13) B. (－13，－13) C. (14，14) D. (－14，－14) 【点拨】 由题意易知， A3的坐标为(1，1)， A7的坐标为(2，2)， A11的坐标为(3，3)，…， 因为55＝4×13＋3，所以 A55的坐标为(14，14). 【答案】C C 易错易混 易错题型一——位置确定的规律性问题 1. 将从1开始的连续自然数按以下规律 排列： 请根据上述规律解答下面的问题： (1)第6行有 个数；第 n 行有 个数(用含 n 的式子表示). 11　 (2 n －1)　 易错题型二——点坐标的综合应用 1. 有一张图纸被污染，上面只有如图所示的两个标志点 A (－2，1)， B (－3，－4)可识别.请根据以上信息解答下列问题： (1)在图中画出平面直角坐标系， 并标出主要建筑 C (3，2)的位置； 【解】画出平面直角坐标系，并标出主要建筑 C (3，2)的位置如图所示. (2)求出标志点 A 与主要建筑 C 的图上距离. 【解】 AC ＝ ＝ . 易错题型三——平面直角坐标系中点的坐标特征 例1. 点 P (3－2 x ，5－ x )在第二、四象限的角 平分线上，则 x ＝(　A　) A. B. 2 C. － D. －2 【解析】 A 因为点 P (3－2 x ，5－ x )在第二、四象限的角平分线上， 所以点 P 的横、纵坐标互为相反数， 即3－2 x ＝－(5－ x )，解得 x ＝ . 【分析】本题（1）根据题意易得 |b+4|=0, (c-3)2=0，然后进行求解即可； （2）根据（1）可得a+b+c的值，然后根据平方根可进行求解． 【详解】（1）解：∵+|b+4|+(c-3)2=0，且 |b+4|0, (c-3)20， ∴ |b+4|=0, (c-3)2=0， 解得：a=5,b=-4,c=3； （2）解：由（1）得：a=5,b=-4,c=3， ∴a+b+c=5-4+3=4， ∴4的平方根为±2， 即a+b+c的平方根为±2． 点拨：本题主要考查偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性、平方根，熟练掌握偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键； 易错题针对训练 1.已知点 A 的坐标为(2，3)，直线 AB ∥ y 轴，且 AB ＝5，则点 B 的坐标为(　B　) A. (2，8) B. (2，8)或(2，－2) C. (7，3) D. (7，3)或(－3，3) 又因为 AB ＝5， 所以点 B 的纵坐标为3＋5＝8或3－5＝－2， 所以点 B 的坐标为(2，8)或(2，－2). 【点拨】 因为 AB ∥ y 轴，点 A 的坐标为(2，3)， 所以 A ， B 两点的横坐标相同，都为2. 【答案】B B 押题预测 练习&巩固 1.[2023年烟台市7年级上册期末] 若点 A ( n ，3)在 y 轴上，则点 B ( n ＋1， n －1)在(　D　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【点拨】 由题意得 n ＝0， 所以 n ＋1＝1， n －1＝－1， 所以点 B (1，－1)，即点 B 在第四象限. D 2. [2023年济宁市7年级上册期末] 如图，这是台州市地图的一部分，分别以正东、正北方向为 x 轴、 y 轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示1 km，甲、乙两人对着地 图如下描述路桥区 A 处的位置. 甲：路桥区 A 处的坐标是 (2，0)； 乙：路桥区 A 处在椒江区 B 处南偏西30°方向，相距16 km处. 求椒江区 B 处的坐标. 【解】如图，建立直角坐标系， 连接 AB ，作 BC ⊥ x 轴于点 C . 由题知在Rt△ ABC 中， AB ＝16 km， ∠ ABC ＝30°， 所以 AC ＝8 km， 所以 OC ＝ OA ＋ AC ＝2＋8＝10(km)， BC ＝ ＝ ＝8 (km). 所以椒江区 B 处的坐标为(10，8 ). 3． [2023年泰安市7年级期中 已知｜ a ｜＝5， ＝3，且 ab ＞0，求 a － b 的值. 解：因为｜ a ｜＝5， ＝3，且 ab ＞0， 所以有 a ＝5， b ＝3和 a ＝－5， b ＝－3两种情况. 当 a ＝5， b ＝3时， a － b ＝5－3＝2； 当 a ＝－5， b ＝－3时， a － b ＝－2. 综上所述， a － b 的值为2或－2. 4. [2023年济宁市7年级上册月考] 在平面直角坐标系 xOy 中，有点 A ( a ，3)，点 B (－2， b ). (1)当 A ， B 两点关于直线 x ＝－1对称时，求 AB 的长； 【解】因为 A ， B 两点关于直线 x ＝－1对称，所以 A ， B 两点的纵坐标相同， a －(－1)＝－1－(－2)，所以 b ＝3， a ＝0，即 A (0，3)， B (－2，3)，所以 AB ＝2. (2)当线段 AB ∥ y 轴，且 AB ＝4时，求△ AOB 的面积. 【解】当线段 AB ∥ y 轴时， A ， B 两点的横坐标相同，所以 a ＝－2.所以△ AOB 的 AB 边上的高为2.因为 AB ＝4，所以 S△ AOB ＝ ×4×2＝4. 5. [2023年临沂市7年级上册月考] 如图，△ AOB 与△A'OB关于 x 轴对称，若△ AOB 内任意一点 P 的坐标是( a ，b )，则它在△A'OB中的对应点 Q 的坐标是(　D　) A. ( a ， b ) B. (－ a ， b ) C. (－ a ，－ b ) D. ( a ，－ b ) 【点拨】 因为△ AOB 与△A'OB关于 x 轴对称， 所以点 P ( a ， b )在△A'OB中的对应点 Q 的坐标是( a ，－ b ). $$