专题02 轴对称（考点串讲）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（鲁教版五四制）

七年级新鲁教版（2024）数学上册期末考点大串讲 串讲02 轴对称 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 九大常考点：知识梳理 六大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 期末真题对应考点练 考点透视 生活中的轴对称 轴对称的性质 轴对称图形 两个图形成轴对称 镜面对称 线段 角 等腰三角形 轴对称的应用 1、轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2、轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称， 这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 3、轴对称和轴对称图形的区别和联系 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 4、轴对称和轴对称图形的性质 轴对称的性质： 垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同） 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 5、等腰三角形 1.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形是轴对称图形 （2）等腰三角形两个底角相等 （3）“三线合一” （4）等边三角形有三条对称轴 2.等腰三角形的判定 （1）有两条边相等的三角形 （2）有两个角相等的三角形 3.等边三角形的判定 （1）三边相等的三角形 （2）有两个内角是60°的三角形 （3）有一个内角是60°的等腰三角形 7、角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 角平分线的判定： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 6、线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 线段垂直平分线的判定： 到线段两端点的距离相等的点在线段垂直平分线上. 8、含30°角的直角三角形的性质： 直角三角形中如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半 9、生活中的轴对称图形 剪纸 轴对称设计图形 题型剖析 题型一 轴对称图形的判断 例1.如图的标志中，可以看作是轴对称图形的是(　　) D 举一反三 练习&巩固 1.如图，关于虚线成轴对称的有(　　)个． A．1 B．2 C．3 D．4 B 题型二 画图形的对称轴及轴对称图形 例1.观察下面的图形，哪些图形是轴对称图形？如果是轴对称图形，请画出它的对称轴． 举一反三 探索&交流 下列交通标志中哪些是轴对称图形？ × √ × √ 题型三 轴对称中的面积问题 例1．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形 (顶点是网格线交点的三角形)△ABC关于直线l对称的图形为△A1B1C1其中A1是A的对称点． (1)请作出对称轴直线l及△ABC关于直线l对称的△A1B1C1； (2)在直线l上画出点P，使得△PAC的周长最小； (3)直接写出四边形ABB1A1的面积为 ． 【详解】（1）如图，直线l和△A1B1C1即为所求； （2）如图，连接A1C，交直线l于点P，连接AP 此时PA+PC=PA1+PC=PA1+PC=A1C，为最小值， ∴PA+PC+AC最小， 即△PAC的周长最小，则点P即为所求； （3）四边形ABB1A1的面积为： 【点拨】本题考查作图一轴对称变换、轴对称一最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质 是解答本题的关键． 举一反三 1.当钟表的秒针旋转了五周时，分针旋转的角度是____度. 30 图1 2.如图1，正方形的边长是 ，则图中阴影部分的面积是___ . 8 题型四 轴对称中的折叠问题 例1．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上一点，沿线段BE对折后，若∠ABF比∠EBF大15°，则∠EBC的度数是（    ） A．15° B．20° C．25° D．30° 【详解】解：由翻折变换可知，∠EBC=∠FBE， 设∠EBC=x，则∠ABF=15°+x ， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°， ∴x+ x+15°+ x=90°， 解得x=25°， 【点拨】本题考查角的计算，翻折变换以及一元一次方程的应用．根据翻折变换的性质，设未知数，列方程求解即可． 举一反三 1．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，点B的对应点为点E，∠BAD=∠ABC=26°，则∠CDE的度数为 °． 【详解】解：∵∠ADC=∠BAD+∠B=52°， ∴∠ADB=180°—∠ADC=180°—52°=128°， 根据翻折的性质得∠ADE=∠ADB=128°， ∴∠CDE=∠ADE—∠ADC=128°—52°=76°． 【点拨】此题考查了折叠的性质、三角形外角的性质、邻补角等知识。 题型五 轴对称中的最值问题 例1．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点M，N分别是线段BD、BC上一动点，AB＞BD且S△ABC=10，AB=5，则CM+MN的最小值为 ． 【详解】解：作点N关于BD的对称点N，连接MN，，过点C作CH⊥AB于点H．∵BD平分∠ABC， ∴点N关于BD的对称点在BA上，∴MN=MN，， ∵MN+MC= MN，+MC≥CH， ∵S△ABC=10，AB=5，∴0.5×5×CH=10， ∴CH=4，∴MN+MC≥4， ∴MN+MC的最小值为4． 【点拨】本题考查轴对称—最短问题，坐标有图形性质，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． 举一反三 1．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=6，点M为AC边上一动点，点N为线段AB上一点，且AN=2BN，则线段BM+MN的最小值为 ． 【详解】解：如图连接BD， ∵将△ABC沿AC翻折得到△ACD，点B的对应点为点D， ∴DM=BM，AD=AB=6， ∴BM+MN=DM+MN≥DN， ∴BM+MN的最小值为DN的长， ∵AB=6，AN=2BN， ∴AN=4， 在Rt△ADN中， 【点拨】本题考查轴对称—最短路线问题，解答中涉及轴对称的性质，两点之间线段最短，勾股定理，掌握将军饮马模型是解题的关键． 题型六 等腰三角形中的三线合一问题 例1．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的中线，∠B=72°，则∠DAC= °． 【详解】解：∵AB=AC，AD为△ABC的中线，∠B=72°， ∴∠C=∠B=72°，AD平分∠BAC， ∴∠DAC=∠DAC=∠BAC= ×（180°-72°-72°）=18°； 【点拨】本题考查等边对等角，三线合一，根据等边对等角结合三角形的内角和定理求出∠BAC，根据三线合一求出∠DAC的度数即可． 举一反三 1．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC与点E，∠A=∠ABE．若AC=7，BC=4，则BD的长为 ． 【详解】解：∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD=∠ECD， ∵BE⊥CD，∴∠BDC=∠EDC=90°， ∵CD=CD，∴△BDC≌△EDC（ASA），∴BD=DE， 又∵∠A=∠ABE，∴AE=BE， ∵AC=7，BC=4， ∴AE=AC-CE=3， ∴BE=AE=3， ∴BD=BE=． 【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质。 易错易混 易错题型一 台球桌面上的轴对称问题 例1．如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中∠1叫做入射角，∠2叫做反射线，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的（    ） A．A号袋 B．B号袋 C．C号袋 D．D号袋 【详解】解：如右下图所示：球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的C号袋中， 【点拨】此题主要考查了生活中的轴对称现象，解题的关键是掌握每次的入射角总是等于反射角． 易错题针对训练 1．如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有 个． 【详解】解：如图，将B球射向桌面的点1和点6，可使一次反弹后击中A球，故可以瞄准的点有2个， 【点拨】本题考查轴对称的性质，解题关键是根据轴对称性质找到使入射角等于反射角相等的点． 易错题型二 轴对称中的光线反射问题 例1．通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线成轴对称（图1）．在图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（     ） 【详解】根据直线的性质补全图2并作出法线OK， 如右下图所示： 根据图形可以看出OB是反射光线， 【点拨】本题主要考查轴对称的性质，垂线的画法，根据轴对称的性质得相等的角是补全光线的关键． 易错题针对训练 1．光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线EF与水平线的夹角∠AFE=30°时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即FG⊥AB，则调整后平面镜与水平线的夹角∠AFC为（      ） A． B． C．70° D．80° 【详解】解：过点F，作FH⊥CD，则∠HFC=90°， 依题意得：∠EFH=∠GFH， ∵∠AFE=30°，FG⊥AB， ∴∠GFE=∠AFE+∠AFG=30°+90°=120°， ∴∠EFG=∠GFH=∠GFE=60°， ∴∠CFE=∠HFC-∠EFH=30°， ∴∠AFC=∠AFE+∠CFE=60° 【点拨】本题考查相交线，垂线等知识，作出法线是解题的关键． 易错题型三 数字对称问题 例1．如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是 ． 【详解】解：根据镜面对称的性质，关于镜面对称，又在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是3265， 故答案为：3265． 【点拨】此题考查了镜面对称，正确理解对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同． 易错题针对训练 1．平面镜成像中，像和物成轴对称图形．小芳在梳妆镜中发现，放在梳妆镜台桌面上的手机中的时间如图所示，则这时的实际时间应该是 ． 【详解】解：根据镜面对称的性质，因此15:02的真实图像应该是12:05． 【点拨】此题主要考查了镜面对称图形的性质，解决此类问题要注意所学知识与实际情况的结合．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 押题预测 练习&巩固 1．（2023-2024七年级上·山东济南·期中） 如图，已知△ ABC 和△ ADC 关于直线 AC 成轴对称，∠ B ＝30°，∠ BAD ＝46°，求∠ BCD 的度数. 【解】连接 BD . 因为△ ABC 和△ ADC 关于直线 AC 成轴对称， 所以∠ ADC ＝∠ ABC ＝30°. 因为∠ BAD ＝46°， 所以∠ ABD ＋∠ ADB ＝134°. 所以∠ CDB ＋∠ CBD ＝134°－30°－30°＝74°， 所以∠ BCD ＝180°－74°＝106°. 2．（2023-2024七年级·山东淄博·期末） 如图，在△ ABC 中， DE 是 BC 的垂直平分线.若 AB ＝5， AC ＝8，则△ ABD 的周长是 13 ⁠. 所以△ ABD 的周长＝ AB ＋ AD ＋ BD ＝ AB ＋ AC ＝5＋8 ＝13. 【解析】 因为 DE 是 BC 的垂直平分线. 所以 BD ＝ CD ，所以 AC ＝ AD ＋ CD ＝ AD ＋ BD ， 3．（2023-2024七年级上·山东临沂·期末） 如图，在△ ABC 中，∠ BAC 和∠ ABC 的平分线交于点 O ， AB ＝6 cm， BC ＝9 cm，△ ABO 的面积为6 cm2，则△ BOC 的面积为(　 A 　) A. 9 cm2 B. 18 cm2 C. cm2 D. 36 cm2 【解析】 过点 O 作 OD ⊥ AB 于点 D ， OE ⊥ BC 于点 E . 因为 BO 平分∠ ABC ，所以 OD ＝ OE ， 所以 S△ BOC ∶ S△ AOB ＝ BC ∶ AB ＝9∶6， 所以 S△ BOC ＝ ×6＝9(cm2). 【答案】A 4．（2023-2024七年级上·山东青岛·期末） 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，∠ B ＝30°， CD 是斜边 AB 上的高，若 AD ＝3，则 BD 的长是(　 B B　) A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 【点拨】 因为 CD ⊥ AB ，所以∠ ADC ＝90°. 因为∠ B ＝30°，∠ ACB ＝90°， 所以∠ A ＝90°－∠ B ＝60°， 所以∠ ACD ＝90°－∠ A ＝30°. 因为 AD ＝3，所以 AC ＝2 AD ＝6，所以 AB ＝2 AC ＝12， 所以 BD ＝ AB － AD ＝12－3＝9. 【答案】B 5．（2023-2024七年级上·山东泰安·期末） 如图，在△ABC中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，DE为折痕，求△ABE的周长． 解：由折叠知，△AED和△CED关于DE所在直线对称，因此AE＝EC， 所以BE＋AE＝BE＋EC＝BC＝5 cm. 所以△ABE的周长＝AB＋BE＋AE ＝AB＋BC ＝3＋5 ＝8(cm)． 6．（2023-2024七年级上·山东临沂·期末） 如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站，分别向A，B两个开发区运货，若要求货物中转站到A，B两个开发区的距离和最小，那么货物中转站应修建在何处？说明理由． 解：①作点A关于直线MN的对称点A′； ②连接BA′交MN于点P，则点P就是 货物中转站的位置．如图. 理由：如图，在直线MN上另取一点P′，连接AP，A′P′，AP′，BP′.因为直线MN是点A，A′的对称轴，点P，P′在对称轴上，所以PA＝PA′，P′A＝P′A′.所以PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B. 在△A′P′B中，因为A′B＜P′A′＋P′B， 所以PA＋PB＜P′A′＋P′B，即PA＋PB＜P′A＋P′B，所以PA＋PB最小． $$