专题01 三角形（考点串讲）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（鲁教版五四制）

七年级新鲁教版（2024）数学上册期末考点大串讲 串讲01 三角形 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 七大常考点：知识梳理 八大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 期末真题对应考点练 考点透视 1.三角形的概念： (1)三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形. (3)三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段； 2.三角形角与边的有关定理： (1)三角形的内角和等于180°. (2)直接三角形两个锐角互余. (3)三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. 3.全等三角形的概念： 能够完全重合的两个图形叫做全等形；两个三角形是全等形,它们就是全等三角形；相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角是对应角； 4.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 5.全等三角形的判定： 三角形全等判定方法1： 在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； 三角形全等判定方法2： 在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等； 三角形全等判定方法3： 在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等； 三角形全等判定方法4： 在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等. （1）作一条线段等于已知线段， （2）作一个角等于已知角， （3）作一个三角形与已知三角形全等， （4）作一条线段的垂直平分线（补充了解）， （5）作已知线段的垂直平分线（补充了解）。 利用三角形全等测距离,实际上是构造出全等三角形，运用全等三角形的性质（对应边相等），把较难测量的距离转化为较容易测量的线段的长度。 6.基本尺规作图 7.利用三角形全等测距离 题型剖析 例1、三角形两条边分别是3cm，6cm，则第三边c的范围为 3＜c＜9 。 点拨：利用三角形三边之间的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 举一反三 A、4㎝ B、5㎝ C、11㎝ D、19㎝ 1.在下列长度的四根木棒中，能与5㎝，11㎝两根木棒围成三角形的是( C ) 题型一 三角形边之间的关系 例1、在△ABC中，已知∠A=32°，∠B=78°，则∠C的度数是 60° 。 点拨：利用三角形内角和为180°进行求解。 举一反三 A、 105° B、 125° C、 95° D、 120° 1.如图，在△ABC中，已知∠A=60° ∠B=65°，点D在BC的延长线上，则 ∠ACD=__B__. A B C D 题型二 三角形的内角 例1．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，若∠ABP＝20°，∠ACP＝60°，则∠A－∠P＝（　 D 　） A．70° B．60° C．50° D．40° 【答案】D 【解析】 ∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝60°， ∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝120°，∠MCP＝∠ACP＝60°，∠CBP＝∠ACP＝20°， ∴∠A＝∠ACM－∠ABC＝120° － 40°＝80°，∠P＝∠PCM － ∠CBP＝60° － 20°＝40°， ∴∠A － ∠P＝80° － 40°＝40°， 故选：D． 点拨：根据角平分线的性质及外角与内角的关系进行求解。 题型三 三角形中的重要线段 举一反三 1．已知的三个内角的度数之比：：：：，则　 　 度，　 　 度． 【答案】60；100 2．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，点D为AC边上一点，过点D作DE∥AB，交BC于点E，且DE＝BE，则∠BDE的度数是　 　． 【答案】40° 例1．已知点G是△ABC的重心，如果联结AG，并延长AG交边BC于点D，那么下列说法中错误的是（　　） A．BD＝CD B．AG＝GD C．AG＝2GD D．BC＝2BD 【答案】B 【解析】 如图， ∵点G是△ABC的重心， ∴AD为BC边上的中线， ∴BD＝CD，BC＝2BD，所以A、D选项的说法正确； ∵点G是△ABC的重心， ∴AG＝2GD，所以B选项的说法错误，C选项的说法正确． 故选：B． 点拨：根据三角形的中线与重心的性质进行求解。 题型四 三角形中的中线与重心 举一反三 1．如图，在△ABC中E是BC上的一点，BC＝3BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝　　． 【答案】 2 例1．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　） 【答案】D 【解析】 A选项中，BE与AC不垂直； B选项中，BE与AC不垂直； C选项中，BE与AC不垂直； ∴线段BE是△ABC的高的图是D选项 故选：D A B C D 点拨：根据三角形高的定义进行判断。 题型五 三角形的高 举一反三 1．已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°， （1）求∠BAC的度数． （2）△ABC是什么三角形． 【答案】（1）∠BAC的度数为90°或50°；（2）△ABC是直角三角形或钝角三角形． 2 1 3 4 C A B D E 例1.如图已知：∠1=∠2， ∠3=∠4 求证：BD=CD 证明：在△ABE和△ACE中 ∠1=∠2 ∠3=∠4 AE=AE ∴ △ABE≌△ACE (AAS) ∴ AB=AC 在△ABD和△ACD中 AB=AC ∠1=∠2 AD=AD ∴ △ABD≌△ACD (SAS) ∴ BD=CD 题型六 三角形全等的判定 1．如图，AB与CD相交于点O，且O是AB，CD的中点，则△AOC与△BOD全等的理由是（　B　） A．SAS B．ASA C．SSS D．HL 举一反三 2．如图，已知BF＝DE，AB∥CD，要使△ABF≌△CDE，添加的条件可以是（　C　） A．BE＝DF B．AF＝CE C．AF∥CE D．∠B＝∠D 例1．已知三边作三角形，用到的基本作图是(　　) A．作一个角等于已知角 B．作已知直线的垂线 C．作一条线段等于已知线段 D．作一条线段等于已知线段的和 点拨：在已知三边作三角形时，是作边等于已知线段，即作一条线段等于已知线段． C 题型七 三角形中的尺规作图 举一反三 解：如图． (1)作射线OA. (2)以OA为一边，作∠BOA，使∠BOA＝∠α. (3)以OB为一边在∠AOB内作∠BOC，使∠BOC＝∠β，则∠AOC＝∠α－∠β.故∠AOC＝∠γ就是所求作的角． 1．如图，已知∠α，∠β且∠α＞∠β.求作∠γ，使∠γ＝∠α－∠β. 例1.如图，公园里有一条“Z”字型道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段道路旁各有一只小石凳E，M，F，M恰为BC的中点，且E，M，F在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗？ 请说明其中的道理. 题型八 利用三角形全等测距离 解：因为AB∥CD,所以∠B=∠C. 在△BME和△CMF中， ∠B=∠C，BM=CM，∠BME=∠CMF， 所以△BME≌△CMF(ASA)，所以BE=CF. 故只要测量CF即可得B，E之间的距离. 点拨：利用三角形全等测距离,实际上是构造出全等三角形，运用全等三角形的性质（对应边相等），把较难测量的距离转化为较容易测量的线段的长度. 1、如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB 的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长。判定△EDC≌△ABC的理由是( ) A、SSS B、ASA C、AAS D、SAS B A ● ● D C E F B 举一反三 易错易混 例1．如图，在△ABC中，D为BC的中点．若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围． 易错题型一——倍长中线 解：如图，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE. 因为D为BC的中点，所以CD＝BD. 又因为AD＝ED，∠ADC＝∠EDB， 所以△ADC≌△EDB(SAS)．所以AC＝EB. 因为AB－BE<AE<AB＋BE，所以AB－AC<2AD<AB＋AC. 因为AB＝5，AC＝3，所以2<2AD<8.所以1<AD<4. 点拨：本题运用了倍长中线法构造全等三角形，将求线段取值范围的问题转化为证明全等，从而利用全等三角形的性质解决问题． 易错题型二——三角形三边关系 例1、等腰三角形的一边长为7cm，另一边长为12cm，则其周长（ C ） A、26cm B、31cm C、26cM或31cm D、28cm 点拨：注意等腰三角形的特殊形，利用分类讨论的思想然后结合三角形三边关系进行求解，不要遗漏答案． 易错题型三——三角形全等方法的应用 例1、已知，线段AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC. 求证：AO＝DO． ∠ABC＝∠DCB(已知）， BC＝CB（公共边）， ∠ACB＝∠DBC（已知）， 证明： 在△ABC和△DCB中， ∴△ABC≌△DCB（ASA ）. ∴AB=DC ∠A＝∠D 点拨：运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等” 和“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”进行判定． B C A D O ∠AOB＝∠DOC(对顶角）， ∠A＝∠D （已知）， AB＝DC（已知）， 在△ABO和△DCO中， ∴△ABO≌△DCO（AAS ）. ∴AO=DO 易错题针对训练 2.判定两个三角形全等，给出如下四组条件： ①两边和一角对应相等；②两角和一边对应相等； ③两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等；④三个角对应相等；其中能判定这两个三角形全等的条件是（ C ） A、①和② B、 ①和④ C、②和③ D、③和④ 1．已知△ABC中，∠A＝50°，两条高BD，CE所在的直线 相交于点H，则∠BHC的度数为 130°或50°． 3.已知：如图, ∠1=∠2，∠3=∠4, 你可以得到的结论是AE=DB。 （写出一个即可，不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母） 押题预测 练习&巩固 如图，要测量河中礁石A离岸边B点的距离，采取的方法如下：顺着河岸的方向任作一条线段BC，作∠CBA′＝∠CBA，∠BCA′＝∠BCA.可得△A′BC≌△ABC，所以A′B＝AB，所以测量A′B的长即可得AB的长．判定图中两个三角形全等的理由是(　 ) A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS B 1.（2023-2024七年级上·山东泰安·期末） 如图，太阳光线AC与A′C′是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗？说说你的理由？ 2.（2023-2024七年级上·山东临沂·期末） 解：一样长， 理由:因为AC∥AC , 所以∠ACB=∠A C B (两直线平行，同位角相等). ′ ′ ′ 所以BC =B C (全等三角形的对应边相等). ′ ′ 所以△ABC≌△A B C（AAS）. ′ ′ ′ ∠ABC=∠A B C =90°, 　∠ACB=∠A C B , AB=A B′, ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ 在△ABC和△A B C 中， ′ ′ ′ 3.（2023-2024七年级上·山东青岛·期末） 如图所示，小明设计了一种测工件内径AB的卡钳 (只要测出CD，就知道AB)，问：在卡钳的设计中，AO， BO，CO，DO 应满足下列的哪个条件（ ） (A)AO=CO (B)BO=DO (C)AC=BD (D)AO=CO且BO=DO D O D C B A $$