第04讲 函数的极值与导数（思维导图+2知识点+四大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

第04讲 函数的极值与导数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 【考点一：函数图像与极值（点）的联系】 【考点二：不含参数的函数求极值（点）】 【考点三：含参数的函数求极值（点）】 【考点四：已知函数的极值（点）求参数】 模块四 小试牛刀过关测 1.理解函数极值的概念,会用导数求函数的极大值与极小值,提升直观想象与数学运算素养. 一、函数的极值 （1）函数的极小值 如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极小值，记作． （2）函数的极大值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极大值，记作． （3）极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 二、求函数极值的步骤 ①先确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的解； ④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 【注意】 （1）可导函数的极值点．必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点． 即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f′(x0)＝0”的充分不必要条件． 不可导的点可能是极值点也可能不是极值点． 例如：①导数为0的点是极值点：y＝x2，y′|x＝0＝0，x＝0是极值点． ②导数为0的点不是极值点：y＝x3，y′|x＝0＝0，x＝0不是极值点． ③不可导的点是极值点：y＝|sinx|，x＝0不可导，但x＝0是极值点． （2）函数的极值只是一个局部性的概念，是仅对某一点及左、右两侧区域而言的．在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大，如图， 点x1、x3是极大值点，x2、x4是极小值点，且在点x1处的极大值小于在点上x4处的极小值． （3）极值点是自变量的值，极值指的是函数值． （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点． （5）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝对不会是单调函数，即在区间上的单调函数没有极值． 【考点一：函数图像与极值（点）的联系】 一、单选题 1．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）已知函数的导函数的大致图象如图所示，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由导函数的图象结合的单调性和极值即可得出答案. 【详解】由图象可得在上单调递减， 在单调递增，所以，故B、C错误，D正确； 和为的极值点，所以， 但无法确定值的大小，故A错误. 故选：D. 2．（23-24高二下·浙江·期中）函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设函数的两个极值点分别为、，且，求出，结合二次函数的性质分析、、的符号，又由函数与轴交点在轴上方，则有，综合可得答案． 【详解】根据题意，由函数图象易知存在两个极值点， 设两个极值点分别为、，且，， 在区间上，为减函数，此时， 在区间上，为增函数，此时， 在区间上，为减函数，此时， 则是开口向下的二次函数，，有两个根，即和， 则有，则有，， 函数与轴交点在轴上方，则有． 故选：A． 二、多选题 3．（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（    ） A．函数在处取得极大值 B．函数在处取得极值 C．在区间上单调递减 D．的图象在处的切线斜率小于零 【答案】ACD 【分析】由图可根据导函数的符号，确定函数的单调性，从而确定极值点，判断函数图象上某点处切线的斜率符号. 【详解】由图可得，当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减，即C正确； 可得函数在处取得极大值，即A正确； 因时，，且时，，故在处没有取得极值，B错误； 又，即的图象在处的切线斜率小于零，故D正确. 故选：ACD. 4．（23-24高二下·河北唐山·期中）观察图象，下列结论错误的有（  ） A．若图中为图象，则在处取极小值 B．若图中为图象，则两个极值点 C．若图中为图象，则在上单调递增 D．若图中为图象，则的解集为 【答案】ABCD 【分析】根据导函数以及原函数图象关系，极值，单调性，逐个选项判断即可. 【详解】对于A，若图中为图象，，且在左右均为增，A错； 对于B，若图中为图象，则在和上递减，在和上递增，所以有两个极小值点和一个极大值点，B错； 对于C，若图中为图象，则时，已知图象与正负相同，所以，单调递减，C错； 对于D，若图中为图象，则 时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 所以的解集为，D错. 故选：ABCD 【考点二：不含参数的函数求极值（点）】 一、单选题 1．（23-24高二下·江西吉安·期末）函数满足，则的极大值点为（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据得，即可求导，根据函数单调性求解极值点. 【详解】，解得， 故，则， 令，解得，令，解得，或， 故在单调递减，在单调递增，故是的极大值点， 故选：B 2．（22-23高二下·广西柳州·阶段练习）若函数的极值点为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，再求出极值点即可. 【详解】函数，求导得， 由，得，当时，，当时，， 因此是函数的极小值点，无极大值点， 所以函数的极值点为. 故选：C 3．（24-25高二上·全国·课后作业）函数的极大值与极小值之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对原函数求导，再解出极小值和极大值，求和即可. 【详解】由题意知：， 当时，单调递减；当时， 单调递增，所以的极大值为， 极小值为，故. 故选：D. 4．（23-24高二下·江西新余·期末）若函数，则的极大值点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先分析函数的对称轴，再求导结合极大值点的定义求解即可. 【详解】由题意，， 故关于对称. 考虑在上，，则. 令， 当时，则为减函数， 设的零点为，则当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 又，故当时，，即，单调递增. 当时，，，故，单调递减. 故在上，有唯一极大值点，又关于对称，故在上，有唯一极大值点，综上的极大值点有和. 故选：B 二、填空题 5．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数，则的极小值点为 . 【答案】 【分析】首先求出导函数，然后根据极值点的定义可得 【详解】解：的定义域为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，所以是的极小值点 故答案为： 6．（23-24高三上·江苏·阶段练习）函数的极大值是 ． 【答案】 【分析】根据导数求函数的极大值即可. 【详解】由，则， 令，解得或， 则当，时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 则当时，函数取得极大值， . 故答案为： 【考点三：含参数的函数求极值（点）】 一、解答题 1．（23-24高二下·四川内江·期中）已知函数， (1)讨论函数的极值点情况； (2)若，证明. 【答案】(1)时，无极值点；时，极小值点为，无极大值点 (2)证明见解析 【分析】（1）分、讨论，利用导数可得答案； （2）令，利用导数求出的最小值可得答案， 【详解】（1）， 当时，，单调递增，无极值点； 当时，由得，由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处有极小值，无极大值， 即极小值点为，无极大值点. 综上所述，时，无极值点； 时，极小值点为，无极大值点； （2）若，令， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 即. 2．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知函数． (1)当时，求过点的切线方程； (2)若有极值且恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出、，利用直线的点斜式方程可得答案； （2）转化为，利用导数求出最小值，由可得答案． 【详解】（1）的定义域，当时，， ，，， 所以过点的切线方程为，即； （2）由得，． 当时，，在上单调递减， 无极值，故舍去； 当时，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以存在极小值，且． 令，， ，因为，所以， 所以在上单调递增， 且，由得， 所以． 3．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)求的极值； (2)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【分析】（1）先对函数进行求导，对参数分类讨论，求解函数极值； （2）根据有两个零点转化为，令，利用函数求导判断函数单调性和在不同范围内函数的值域求得的取值范围. 【详解】（1）． 当时，在上单增，既没有极大值，也没有极小值． 当时，令，则 当时，在上单减， 当时，在上单增， 所以的极小值为，没有极大值. （2）由得，．令． 则，当时，单增； 当时，单减．因此． 显然当时，；当时，． 当时，直线与函数的图象有且仅有两个公共点， 即函数有两个零点． 故的取值范围是． 4．（2024·山东济南·一模）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)讨论极值点的个数. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为； (2)答案见解析. 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得到函数的极值点个数. 【详解】（1）当时，定义域为， 又， 所以， 由，解得，此时单调递增； 由，解得，此时单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）函数的定义域为， 由题意知，， 当时，，所以在上单调递增， 即极值点的个数为个； 当时，易知， 故解关于的方程得，，， 所以， 又，， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 即极值点的个数为个. 综上，当时，极值点的个数为个；当时，极值点的个数为个. 5．（22-23高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的极值点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）结合导数的几何意义计算即可得； （2）结合导数对的值进行分类讨论即可得. 【详解】（1）当时，，切点为． ，斜率， 所求切线方程为，即； （2）函数的定义域为， ，令，则， ，令，解得， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， ， ①当时，，函数单调递增，函数无极值点； ②当时，， ，即，因此函数在上有唯一零点， 当时，，因此函数在上有唯一零点， 当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减； 当时，，即函数在上单调递增． 又当时，函数有两个极值点． 综上，当时，函数无极值点；当时，函数有两个极值点． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若均不为零，讨论函数的极值． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为． (2)答案见解析 【分析】（1）由题意得，求导得，再结合导数正负区间从而可求解； （2）根据题意可知函数的定义域为，然后分①，②，③，④共4种情况讨论，从而可求解. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，，则， 令，令， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）的定义域为． ①当时，则恒成立，在区间内单调递增，无极值； ②当时，则恒成立，在区间内单调递减，无极值； ③当时，令，得（舍去），， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 故有唯一极小值点，极小值为，无极大值； ④当时，令，得（舍去），， 当时，，单调递增； 当时，单调递减． 故有唯一极大值点，极大值为，无极小值． 综上所述，当时，函数无极值， 当时，有极小值，无极大值， 当时，有极大值，无极小值． 【考点四：已知函数的极值（点）求参数】 一、单选题 1．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数在处有极大值，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先根据，求，再代入验证，即可求解. 【详解】， 由题意可知，，得或， 当时，，得或， 当，得或，，得， 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是， 所以是极小值，故， 时，，得或， 当，得或，，得， 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是， 所以是极大值，故. 故选：C 2．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数，当时，有极大值．则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据题中条件列出方程组，解出，，验证即可； 【详解】由题意得， 因为时，有极大值， 所以，解得，， 经检验，当，时，, 故当在上单调递减， 当在上单调递减， 故在时有极大值，符合题意，所以成立． 故选：B． 3．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知函数在处取得极小值10，则的值为（    ） A．2或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】函数在处取得极小值10，则有，解出的值并检验极小值点，再求的值即可. 【详解】 ， ， 又 在 处取得极小值10， 则有 ，可得 ， 解得， 或， 当 ， 时， ， 当 时， ，当 时， ， 在处取得极小值； 当 ， 时， ， 当 时， ，当 时， ， 在处取得极大值，不合题意. 所以，， 则有 故选：C. 二、填空题 4．（24-25高二下·全国·课后作业）写出“使得函数在区间上有唯一极值点”的整数的一个值 ． 【答案】（或） 【分析】问题转化为在区间有且只有一个变号零点，再结合“对钩函数”的单调性分析及端点处函数值的大小和符号，求出的取值范围即可. 【详解】由题意可转化为在区间有且只有一个变号零点， 在区间上单调递减，在内单调递增， 又知，故只需，解得， 所以的取值可以为或． 故答案为：（或） 5．（23-24高二下·福建龙岩·期中）函数既有极大值，又有极小值，则整数a的最大值为 ． 【答案】 【分析】求导，当时，恒成立，不合要求，，至少有两个变号零点，令，则至少有两个不等正根，由根的判别式和韦达定理得到不等式，求出，得到答案. 【详解】定义域为R，， 当时，恒成立， 故在R上单调递增，故不存在极值，不合要求， 故，且至少有两个变号零点， 令，则需有两个不等正根， 令， 需满足，解得， 综上，，故整数a的最大值为. 故答案为： 6．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）若函数在区间无零点但有2个极值点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意在区间无解，在区间有2两个不同解，然后参变分离，转换成图像交点问题即可. 【详解】由题意在区间无解， 即在区间无解，设，则， 所以当时，，在单调递减， 当当时，，在单调递增， 所以，显然当趋于无穷大时，趋于无穷大，所以； 又函数在区间有2个极值点， 所以在区间有2两个不同解， 即在区间有2两个不同解， 设，则， 所以当时，，在单调递减， 当当时，，在单调递增， 所以，显然当趋于无穷大和0时，都趋于无穷大， 所以，所以，所以实数的取值范围是. 故选：B. 【点晴】方法点睛：对于方程有解问题，常常参变分离，通过构造函数，求得函数的最值，从而求得参数的变化范围. 一、单选题 1．（23-24高二下·甘肃天水·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图，则下列叙述正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在处取得极小值 C．函数在处取得极值 D．函数只有一个极值点 【答案】D 【分析】由图象得出函数的单调性以及极值. 【详解】由导函数的图象可知，函数在上单调递增，故A选项错误； 在的左右，所以函数在处不能取得极值，故C选项错误； 当时，；当时，，即函数在上单调递增， 在上单调递减，即函数在出取得极大值， 且是函数的唯一极值点，故B选项错误，D选项正确. 故选：D. 2．（23-24高二下·山东淄博·阶段练习）若函数在内无极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在内无变号零点，根据函数的单调性确定最小值和最大值的范围即可求解. 【详解】函数在内无极值， 所以在内无变号零点， 根据二次函数的对称性和单调性知，在区间单调递增， 所以或即可， 解得或， 故选：C. 3．（23-24高二下·河南周口·阶段练习）已知函数的极值为，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数分析函数的单调性，确定函数的极值点，利用极值点的函数值为，求参数的值. 【详解】由题目条件可得：函数的定义域为，． 当时，在上恒成立，所以在上单调递增，无极值；， 当，令，得；令，得． 所以函数在区间上单调递增，在上单调递减． 则是函数的极大值点，故，解得． 故选：A 4．（23-24高二下·北京大兴·期中）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得．令，由函数有两个极值点在区间上有两个实数根，然后利用导数研究函数的性质进而即得. 【详解】因为，， 令， 函数有两个极值点，则在区间上有两个实数根， 又，当时，，则函数在区间单调递增， 因此在区间上不可能有两个实数根，舍去， 当时，令，解得， 令，解得，此时函数单调递增， 令，解得，此时函数单调递减， 当时，函数取得极大值， 当趋近于0与趋近于时，， 要使在区间上有两个实数根， 则，解得， 实数的取值范围是． 故选：D. 二、多选题 5．（23-24高三上·广东江门·开学考试）已知函数，且满足，则（    ） A．函数在处有极大值 B．函数在区间上是增函数 C．函数在有极大值 D．函数在区间和上是增函数 【答案】CD 【分析】求导，根据得，即可根据导数求解函数的单调性以及极值. 【详解】的定义域为 故 令或；令或 在和上单调递增，在和上单调递减 有极大值，有极小值. 故选：CD 6．（23-24高二下·四川凉山·期中）若函数有两个极值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】借助导数计算，结合题意可得有两个变号正零点，设出两个零点，利用二次函数的性质与韦达定理计算即可得解. 【详解】，令，， 由函数有两个极值，则有两个变号正零点， 设这两个变号正零点分别为，且， 则，且有，，， 即可得，且. 故选：ACD. 7．（23-24高二下·广东·阶段练习）如图，已知直线与曲线相切于两点，函数，则关于函数有关极值的结论错误的是（    ） A．有极小值没有极大值 B．有极大值没有极小值 C．至少有两个极小值和一个极大值 D．只有一个极小值和两个极大值 【答案】ABD 【分析】如图，记直线与曲线切点横坐标，，结合图形，根据导数在研究函数单调性的应用和导数的几何意义可得当时，则，当时，则，由极值点的定义知是的极小值点.同理可得、c分别是的极小、大值点. 【详解】如图， 记直线与曲线的切点横坐标为，， 将直线向下平移到与曲线相切，设切点横坐标为， 由图可知，当时，单调递增，所以有且. 对于， 有，所以在时单调递减； 当时，单调递减，所以有且. 有，所以在时单调递增； 所以是的极小值点. 同理可得是的极小值点，是的极大值点. 故选：ABD. 8．（23-24高二下·四川凉山·期中）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．若是上的增函数，则 B．当时，函数有两个极值 C．当时，函数有两零点 D．当时，在点处的切线与只有唯一个公共点 【答案】AB 【分析】对A：借助导数，令导函数大于等于零恒成立即可得；对B：借助导数研究函数的单调性即可得；对C：举出反例即可得；对D：计算出在点处的切线方程后，联立，解出方程即可得. 【详解】对A：，由是上的增函数， 则有恒成立，即，解得，故A正确； 对B：由，则当时，， 故有两个不等实根，设这两个根分别为且， 则当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 故函数有两个极值，故B正确； 对C：令， 对，有，若，则， 此时有两个非零不等实根，即有三个零点，故C错误； 对D：当时，，则， ，由，则在点处的切线为， 令，即有，解得或， 故在点处的切线与有两个公共点，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 9．（23-24高二下·河北石家庄·期末）函数在处有极值10，则实数 ． 【答案】 【分析】将函数求导，由题意得和，联立求得，再回代检验是否符合题意即得. 【详解】由求导得，， 依题意，①，②， 联立① ，② ，解得：或. 当，时，， ，函数为增函数，显然不符合题意，故舍去； 当，时，， ，当时，，此时为减函数， 当时，，此时为增函数，故在处有极小值为，符合题意. 故答案为：. 10．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数有极值，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出函数在其定义域上单调递增和单调递减时的取值范围，求出其补集即为所求的范围． 【详解】∵， ∴． ①若函数在上单调递增， 则在上恒成立， ∴在上恒成立， 由于在上无最大值， ∴函数在上不单调递增． ②若函数在上单调递减， 则在上恒成立， ∴在上恒成立， 又，当且仅当，即时等号成立， ∴． 综上可得当函数在其定义域上不单调时，实数的取值范围是，此时有极值． 故答案为：. 四、解答题 11．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知曲线：. (1)求在点处的切线方程； (2)求的极值. 【答案】(1) (2)极大值为，极小值为 【分析】（1）先求出导数，再求出切线的斜率，再由点斜式方程求解； （2）求出导数，令，解得，再列表，给出函数的单调性求解. 【详解】（1）因为，得 ， 又因为，故切点为， 所以切线方程为，即； （2）由（1）知，令，解得或3， ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数的极大值为，极小值为． 12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)极小值，无极大值． (2)答案见解析 【分析】（1）当时，求得，得出函数的单调区间，进而求得函数的极值； （2）求得，分和，分类讨论，结合导数的符号，进而得到函数的单调区间. 【详解】（1）解：当时，，可得， 令，则；令，则， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 所以函数在处取得极小值，无极大值． （2）解：由函数，可得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，则， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增． 13．（23-24高二下·北京朝阳·期中）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)设函数，求的单调区间； (3)指出极值点的个数，并说明理由. 【答案】(1) (2)在，单调递增，在单调递减 (3)2个，理由见解析 【分析】（1）根据题意，求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）由（1），求得，结合和，即可求解； （3）由（2）中函数得到单调性，分，和，三种情况讨论，结合零点的存在性定理，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且， 可得直线的斜率，且，所以切线方程为，即. （2）解：由（1）知，可得， 令，即，解得或， 当，；当，；当，， 所以函数在，单调递增，在单调递减. （3）解：函数有2个极值点，理由如下： 由（2）知，①当时，函数在区间上单调递增， 且，， 所以存在唯一，使； ②当时，函数在区间上单调递减， 且，， 所以存在唯一，使； ③当时，在区间上单调递增， 且，恒有，故该区间内无零点， 综上可得：当，；当，；当，， 所以当时取到极小值；当时取到极大值；故有2个极值点. 14．（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数． (1)在定义域内单调递减，求的范围； (2)讨论函数在定义域内的极值点的个数； (3)若函数在处取得极值，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得，由导函数恒小于0，可求的范围； （2）分类讨论有：当时，函数没有极值点，当时，函数有一个极值点； （3）由题意可得，原问题等价于恒成立，讨论函数的性质可得实数的取值范围是. 【详解】（1）函数定义域为， ，因为在定义域内单调递减， 则在上恒成立，可得， 函数在单调递减，的取值范围为； （2）当时，在定义域内单调递减， ∴在上没有极值点； 当时，得，得， ∴在上递减，在上递增， 即在处有极小值． ∴当时在上没有极值点， 当时，在上有一个极值点． （3）∵函数在处取得极值，，∴， ∴， 令，， ，则， 可得在上递减，在上递增， ∴，即． 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 15．（23-24高二下·河南洛阳·期中）给定函数. (1)判断函数的单调性，并求出函数的极值; (2)证明:当时，. 【答案】(1)在区间上单调递减，在区间上单调递增，极小值. (2)证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数与函数单调性的关系，求解函数的单调区间，再求函数的极值； （2）首先由不等式构造函数，转化为证明函数的最小值大于0. 【详解】（1）函数的定义域为. . 令，解得. 当变化时，的变化情况如下表 负 0 正 单调递减 极小值 单调递增 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，有极小值. （2）要证明当时，， 即证明当时，. 令函数. 则. 当时，. 设函数. 则，故在上单调递增. 又 所以存在唯一的使得. 且. 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以 设函数 则 即在单调递增. 所以原不等式得证. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用隐零点问题求函数的最小值. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 函数的极值与导数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 【考点一：函数图像与极值（点）的联系】 【考点二：不含参数的函数求极值（点）】 【考点三：含参数的函数求极值（点）】 【考点四：已知函数的极值（点）求参数】 模块四 小试牛刀过关测 1.理解函数极值的概念,会用导数求函数的极大值与极小值,提升直观想象与数学运算素养. 一、函数的极值 （1）函数的极小值 如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极小值，记作． （2）函数的极大值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极大值，记作． （3）极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 二、求函数极值的步骤 ①先确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的解； ④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 【注意】 （1）可导函数的极值点．必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点． 即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f′(x0)＝0”的充分不必要条件． 不可导的点可能是极值点也可能不是极值点． 例如：①导数为0的点是极值点：y＝x2，y′|x＝0＝0，x＝0是极值点． ②导数为0的点不是极值点：y＝x3，y′|x＝0＝0，x＝0不是极值点． ③不可导的点是极值点：y＝|sinx|，x＝0不可导，但x＝0是极值点． （2）函数的极值只是一个局部性的概念，是仅对某一点及左、右两侧区域而言的．在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大，如图， 点x1、x3是极大值点，x2、x4是极小值点，且在点x1处的极大值小于在点上x4处的极小值． （3）极值点是自变量的值，极值指的是函数值． （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点． （5）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝对不会是单调函数，即在区间上的单调函数没有极值． 【考点一：函数图像与极值（点）的联系】 一、单选题 1．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）已知函数的导函数的大致图象如图所示，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·浙江·期中）函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（    ） A．函数在处取得极大值 B．函数在处取得极值 C．在区间上单调递减 D．的图象在处的切线斜率小于零 4．（23-24高二下·河北唐山·期中）观察图象，下列结论错误的有（  ） A．若图中为图象，则在处取极小值 B．若图中为图象，则两个极值点 C．若图中为图象，则在上单调递增 D．若图中为图象，则的解集为 【考点二：不含参数的函数求极值（点）】 一、单选题 1．（23-24高二下·江西吉安·期末）函数满足，则的极大值点为（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 2．（22-23高二下·广西柳州·阶段练习）若函数的极值点为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）函数的极大值与极小值之和为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江西新余·期末）若函数，则的极大值点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 5．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数，则的极小值点为 . 6．（23-24高三上·江苏·阶段练习）函数的极大值是 ． 【考点三：含参数的函数求极值（点）】 一、解答题 1．（23-24高二下·四川内江·期中）已知函数， (1)讨论函数的极值点情况； (2)若，证明. 2．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知函数． (1)当时，求过点的切线方程； (2)若有极值且恒成立，求的取值范围． 3．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)求的极值； (2)若有两个零点，求的取值范围． 4．（2024·山东济南·一模）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)讨论极值点的个数. 5．（22-23高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的极值点个数． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若均不为零，讨论函数的极值． 【考点四：已知函数的极值（点）求参数】 一、单选题 1．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数在处有极大值，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数，当时，有极大值．则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 3．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知函数在处取得极小值10，则的值为（    ） A．2或 B．或 C． D． 二、填空题 4．（24-25高二下·全国·课后作业）写出“使得函数在区间上有唯一极值点”的整数的一个值 ． 5．（23-24高二下·福建龙岩·期中）函数既有极大值，又有极小值，则整数a的最大值为 ． 6．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）若函数在区间无零点但有2个极值点，则实数的取值范围是 ． 一、单选题 1．（23-24高二下·甘肃天水·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图，则下列叙述正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数在处取得极小值 C．函数在处取得极值 D．函数只有一个极值点 2．（23-24高二下·山东淄博·阶段练习）若函数在内无极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河南周口·阶段练习）已知函数的极值为，则实数（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·北京大兴·期中）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高三上·广东江门·开学考试）已知函数，且满足，则（    ） A．函数在处有极大值 B．函数在区间上是增函数 C．函数在有极大值 D．函数在区间和上是增函数 6．（23-24高二下·四川凉山·期中）若函数有两个极值，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·广东·阶段练习）如图，已知直线与曲线相切于两点，函数，则关于函数有关极值的结论错误的是（    ） A．有极小值没有极大值 B．有极大值没有极小值 C．至少有两个极小值和一个极大值 D．只有一个极小值和两个极大值 8．（23-24高二下·四川凉山·期中）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．若是上的增函数，则 B．当时，函数有两个极值 C．当时，函数有两零点 D．当时，在点处的切线与只有唯一个公共点 三、填空题 9．（23-24高二下·河北石家庄·期末）函数在处有极值10，则实数 ． 10．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数有极值，则a的取值范围是 . 四、解答题 11．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知曲线：. (1)求在点处的切线方程； (2)求的极值. 12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论的单调性． 13．（23-24高二下·北京朝阳·期中）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)设函数，求的单调区间； (3)指出极值点的个数，并说明理由. 14．（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数． (1)在定义域内单调递减，求的范围； (2)讨论函数在定义域内的极值点的个数； (3)若函数在处取得极值，恒成立，求实数的取值范围． 15．（23-24高二下·河南洛阳·期中）给定函数. (1)判断函数的单调性，并求出函数的极值; (2)证明:当时，. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$