精品解析：浙江省杭州市锦绣育才学校2024—2025学年上学期12月月考九年级数学试题

锦绣育才教育集团2024学年第一学期12月月评 九年级数学问卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形，若四边形和四边形的周长比为．则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 点A、B、C在上的位置如图所示，，的半径为3，则的长是（ ） A B. C. D. 6. 二次函数的图象先向左平移4个单位，再向下平移3个单位．得到一个新的二次函数图象，其表达式为（） A B. C. D. 7. 如图，已知为中边上的中线，过重心G作，交于点E，，则的长为（　　） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 8. 阅读理解：如图①，在平面内选一定点，引一条有方向射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点的位置可由的度数与的长度确定，有序数对称为点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”． 应用：在图②的极坐标系下，如果正六边形的边长为，有一边在射线上，则正六边形顶点的极坐标应记为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　） A. B. C. D. 10. 抛物线交x轴于点，，交y轴的负半轴于点C．顶点为D．下列结论，①；②；③当m为任意实数时，；④方程的两个根为，；⑤抛物线上有两点和，若，且，则．其中正确的有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、选择题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则______． 12. 在一个不透明的袋子里放有4个红球和若干个黄球．它们除领色外其余都相同．从这个袋子里任意摸出一个球，摸出的球是红球的概率是，则袋子里有______个黄球． 13. 悦悦同学在晨间音乐会中表演了小提琴演奏，同学们发现，小提琴的设计中，蕴含着数学知识，如图，点C是小提琴长的黄金分割点（），已知悦悦的琴长，则琴身的长为______． 14. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是_________． 15. 如图，是边长为6的等边三角形，点D、E、F分别在的三边上，将沿进行折叠，使点C与点D重合，若，则______． 16. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，抛物线顶点为．若直线交直线于点，且，则的值为______． 三、解答题（17、18题每题6分，19、20每题8分，21、22题每题10分，23、24题每题12分，共72分） 17. 响应国家“双减”政策，大力推行课后服务，丰富学生课后生活，某校开设A班剪纸、B班戏曲、C班武术三门特色课程，甲、乙两位同学各需选择一门课程学习． （1）求甲同学选择A班剪纸课的概率． （2）利用树状图或列表法求甲、乙两人选择同一门课程的概率． 18. 已知抛物线的顶点坐标为．且经过点． （1）求该抛物线的表达式； （2）请判断点是否在该抛物线上，并说明理由． 19. 如图，为半圆直径，为半圆上一点，为弧的中点，交弦于点，若，求： （1）的长． （2）阴影部分的面积． 20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E． （1）求证：△BDE∽△CAD． （2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长． 21. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4.4米，当太阳光线与地面的夹角为时． （1）求遮阳棚边缘点A到墙体的距离； （2）求阴影的长． （结果精确到米．参考数据：，，） 22. 如图，在中，∠ACB=90°，AC=BC，O是AB的中点，连结OC，点F，E分别在边AB和BC上，过E点作EM⊥AB，垂足为M，满足∠FCO=∠EFM． （1）求证：CF=EF； （2）求证：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，． （1）求抛物线的函数解析式； （2）将抛物线向左平移个单位，当抛物线经过点时，求的值； （3）若是抛物线上位于第一象限内的一点，且，求点的坐标． 24. 如图，⊙O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连结DE，BF⊥EC交AE于点F． （1）求证：BD＝BE； （2）当AF：EF＝4：3，AC＝8时，求AE的长． （3）设＝m，tan∠DAE＝n．求n关于m的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 锦绣育才教育集团2024学年第一学期12月月评 九年级数学问卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d>r. 解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符. 故选D. “点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系. 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据合分比性质，可得答案. 【详解】解：， ， 代入； 故选：A． 3. 如图，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据，可得，即可求解． 【详解】解：， ， ，，， ， ， 故选：B． 4. 四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形，若四边形和四边形的周长比为．则的值是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质以及相似图形的性质，根据位似比等于相似比，相似多边形的周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形，四边形和四边形的周长比为， 四边形和的相似比为， ． 故选：A． 5. 点A、B、C在上的位置如图所示，，的半径为3，则的长是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长计算公式，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握弧长公式，先根据圆周角定理求出，然后根据弧长计算公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的长为：， 故选：B． 6. 二次函数的图象先向左平移4个单位，再向下平移3个单位．得到一个新的二次函数图象，其表达式为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数平移变换，正确记忆平移规律是解题关键．利用二次函数平移规律，左加右减，上加下减分别分析得出即可． 【详解】解：二次函数的图象先向左平移4个单位，再向下平移3个单位，得到一个新的二次函数表达式是，即． 故选：C． 7. 如图，已知为中边上的中线，过重心G作，交于点E，，则的长为（　　） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据重心的概念得到，根据平行线分线段成比例定理解答． 【详解】解：∵G是重心， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形重心的概念和性质，平行线分线段成比例，解题的关键是熟记重心的性质． 8. 阅读理解：如图①，在平面内选一定点，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点的位置可由的度数与的长度确定，有序数对称为点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”． 应用：在图②的极坐标系下，如果正六边形的边长为，有一边在射线上，则正六边形顶点的极坐标应记为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形，坐标确定位置，含的直角三角形的性质，主要利用了正六边形的性质，读懂题目信息，理解“极坐标”的定义是解题的关键．过作于，根据正六边形的性质，得到与都是含的直角三角形，根据含的直角三角形的性质先得到、的长度，再得到的长度，然后根据“极坐标”的定义写出即可． 【详解】解：如图，过作于， 六边形是正六边形， ，， ，， 在中，，， 在中，． 正六边形的顶点的极坐标应记为． 故选：C． 9. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以cos∠APC＝cos∠EDC即可得答案． 【详解】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图． 则DE∥AB， ∴∠APC＝∠EDC． 在△DCE中，有，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴cos∠APC＝cos∠EDC＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键． 10. 抛物线交x轴于点，，交y轴的负半轴于点C．顶点为D．下列结论，①；②；③当m为任意实数时，；④方程的两个根为，；⑤抛物线上有两点和，若，且，则．其中正确的有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据所给函数图象，得出抛物线的对称轴为直线，则可得出a与b之间的关系，再将代入函数解析式可得出b与c之间的关系，最后利用数形结合的思想及二次函数与一元二次方程之间的关系即可解决问题． 【详解】解：因为抛物线经过点，， 所以抛物线的对称轴为直线， 则，即．故①正确． 将代入函数解析式得，， 又因为， 所以， 即．故②错误． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 所以当时，函数取得最小值， 所以当时总有，， 即．故③错误． 由题知，方程的两个解为． 方程可转化为， 所以1或3， 则．故④正确． 因为， 所以点P在直线左侧，点Q在直线右侧， 又因为， 则． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 所以．故⑤正确． 故选：B． 二、选择题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了特殊的锐角三角函数值，解题的关键是熟记特殊的锐角三角函数值．根据特殊的锐角三角函数值求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 12. 在一个不透明的袋子里放有4个红球和若干个黄球．它们除领色外其余都相同．从这个袋子里任意摸出一个球，摸出的球是红球的概率是，则袋子里有______个黄球． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率．熟练掌握概率公式，是解题的关键． 设袋子里有x个黄球，利用概率公式进行列方程并解方程即可． 【详解】解：设袋子里有x个黄球， 则， 解得， 经检验是分式方程的解且符合题意， 即袋子里有个黄球． 故答案为：． 13. 悦悦同学在晨间音乐会中表演了小提琴演奏，同学们发现，小提琴的设计中，蕴含着数学知识，如图，点C是小提琴长的黄金分割点（），已知悦悦的琴长，则琴身的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．根据“点P是线段上一点，若满足，则称点P是的黄金分割点”．依据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：∵点C是小提琴长的黄金分割点（）， ， 故答案为：． 14. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是_________． 【答案】120 【解析】 【分析】解：如图，连接，由是的直径，可得，由，可得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故答案为：120． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，含的直角三角形，圆内接四边形的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 15. 如图，是边长为6的等边三角形，点D、E、F分别在的三边上，将沿进行折叠，使点C与点D重合，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠，相似三角形的判定和性质． 根据折叠的性质可得，再由等边三角形的性质可得∠，，，从而得到，进而得到，再由，可得到，即，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ，即， ∵等边的边长为6 ， ∴ ，解得： ． 故答案为： 16. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，抛物线顶点为．若直线交直线于点，且，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴交点，待定系数法求函数解析式，注意分类讨论思想的应用． 先求出A、B两点坐标，再分两种情况：当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，根据，分别求得点C坐标，然后用等定系数法求得直线的解析式为，把点C坐标分别代入求解即可． 【详解】解：令，则， ∴， ∵过点作轴的平行线交抛物线于点， ∴点纵坐标为， 当时，， 解得：，， ∴， ∴， ∵， 当点C在线段上时， ∴，， ∴， 当点C线段延长线上时， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设直线解析式为， 把代入，得， 解得：， ∴， 把代入，得， 解得：， 把代入，得， 解得：， 综上，的值为或． 故答案为：或． 三、解答题（17、18题每题6分，19、20每题8分，21、22题每题10分，23、24题每题12分，共72分） 17. 为响应国家“双减”政策，大力推行课后服务，丰富学生课后生活，某校开设A班剪纸、B班戏曲、C班武术三门特色课程，甲、乙两位同学各需选择一门课程学习． （1）求甲同学选择A班剪纸课的概率． （2）利用树状图或列表法求甲、乙两人选择同一门课程的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是列举法求概率和列表法或树状图法求概率，解题关键是熟练掌握列表法或树状图法求概率． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）完整列出表格，列清所有可能的情况及甲、乙两人选择同一门课程的情况，再根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：该校开设班剪纸、班戏曲、班武术共3门特色课程， 甲同学选择班剪纸课的概率为． 【小问2详解】 解：如下表所示： 　　乙 甲 共有9种可能的情况，其中甲、乙两人选择同一门课程的情况有3种， 甲、乙两人选择同一门课程的概率为． 18. 已知抛物线的顶点坐标为．且经过点． （1）求该抛物线的表达式； （2）请判断点是否在该抛物线上，并说明理由． 【答案】（1） （2）点不在抛物线上．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的性质． （1）设抛物线顶点式，将代入解析式求解． （2）将代入得，，由此判断即可． 【小问1详解】 解：抛物线顶点为， 设， 将代入得， 解得， ∴该抛物线的表达式为； 【小问2详解】 点不在抛物线上． 理由是： 将代入得，， 点不在抛物线上． 19. 如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧的中点，交弦于点，若，求： （1）的长． （2）阴影部分的面积． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理及扇形面积计算，掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． （1）由E是弧的中点，可得．根据垂径定理得：，在中，运用勾股定理可将的长求出，由即可求解； （2）利用阴影部分面积等于扇形面积减去面积即可求出． 【小问1详解】 解：∵E是弧的中点，， ∴， ∴， ∵为半圆O的直径，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴的长为1； 【小问2详解】 解：连接， 在中，， ， ， ， ， ． 20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E． （1）求证：△BDE∽△CAD． （2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可知∠B=∠C，再证∠DEB=∠ADC=90°即可解决问题； （2）先求出AD的长，由•AD•BD＝•AB•DE ，即可求解DE的长． 【小问1详解】 ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC，∠B＝∠C， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝∠ADC， ∴△BDE∽△CAD． 【小问2详解】 ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC， 在Rt△ADB中，AD＝ = ＝12， ∵•AD•BD＝•AB•DE， ∴DE＝ ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 21. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4.4米，当太阳光线与地面的夹角为时． （1）求遮阳棚边缘点A到墙体的距离； （2）求阴影的长． （结果精确到米．参考数据：，，） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度． （1）过作于，在中，根据余弦定义求出即可； （2）过作于，在中，根据余弦定义求出，根据矩形的判定与性质可得米，（米），而，知米，故，计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过作于， 在中， （米）， 即遮阳棚边缘点A到墙体的距离米； 【小问2详解】 解：过作于， 在中， （米）， ， 四边形是矩形， 米，（米）， 在中， ， 米， （米）， 阴影的长约为米． 22. 如图，在中，∠ACB=90°，AC=BC，O是AB的中点，连结OC，点F，E分别在边AB和BC上，过E点作EM⊥AB，垂足为M，满足∠FCO=∠EFM． （1）求证：CF=EF； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）证∠FCE=∠FEC即可； （2）证△EMF≌△FOC，再通过平行列比例式，通过线段相等进行代换即可． 【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠A=∠B=45°， ∵O是AB的中点， ∴CO⊥AB，∠BOC=90°， ∴∠BCO=45°， ∠FCE=∠BCO+∠FCO=45°+∠FCO， ∠FEC=∠B+∠EFM=45°+∠EFM， ∵∠FCO=∠EFM， ∴∠FCE=∠FEC， ∴CF=EF； （2）∵EM⊥AB， ∴∠EMF=∠COF=90°， ∵EF=CF，∠FCO=∠EFM， ∴△EMF≌△FOC， ∴FM=OC=OB， ∵EM∥CO， ∴， ∵EM∥NO， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练运用相关知识，整合已知条件，进行推理证明． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，． （1）求抛物线函数解析式； （2）将抛物线向左平移个单位，当抛物线经过点时，求的值； （3）若是抛物线上位于第一象限内的一点，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2）3 （3）， 【解析】 【分析】（1）用待定系数法直接求解即可； （2）根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”得出当抛物线向左平移个单位时，，再把代入，求解即可； （3）先由勾股定理的逆定理得出，从而由三角形面积公式得，再用待定系数法求得直线解析式：，然后设，则，，所以，根据，得，求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入抛物线，得 解得：， ． 【小问2详解】 解：， 当抛物线向左平移个单位时，， 把代入得 ， 解得：（舍），， ． 【小问3详解】 解：如图，过点作轴，交于点， ，，， ， ， ， 设直线解析式解析式为， 把分别代入，得 ，解得：， 直线解析式：， 设，则， ， ， ， ， 解得：，， ，． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数图象的平移，抛物线与一次函数的图象性质，三角形的面积，勾股定理的逆定理．此题属二次函数面积类综合题目，是中考试常考题目． 24. 如图，⊙O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连结DE，BF⊥EC交AE于点F． （1）求证：BD＝BE； （2）当AF：EF＝4：3，AC＝8时，求AE的长． （3）设＝m，tan∠DAE＝n．求n关于m的函数表达式． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质和圆周角定理解答即可； （2）过点作于点，根据等边三角形的性质求出，的长，在直角三角形中利用勾股定理解得即可； （3）过点作于点，由锐角三角函数求出的长，即可求解． 【详解】解：证明：（1）是等边三角形， ， ，， ， ； （2）如图1，过点作于点， 是等边三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，； （3）如图2，过点作于点， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$