专题05 分式【知识梳理+解题方法+专题过关】-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

专题05 分式 一．分式的概念 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母． 注意： ①分式的概念可类比分数得出，分式的形式和分数类似，但它与分数有区别，分数的分子与分母都是整数，而分式的分子与分母都是整式，并且分母中含有字母，这也是分式的一个重要标志． ②分式实际上是一个商式，它的分子是被除式，分母是除式，分数线相当于除号，同时也有括号的作用．例如也可以表示为，但不是分式，因为它不符合的形式． ③分式中分母含有字母，而整式没有分母或有分母但分母中不含有字母；整式中的字母可以取任意实数，但分式中的字母取值不能使分母等于0． ④分式是一个形式定义，因此判断一个式子是不是分式，不能把原式化简后再判断，而只需看原式的本来“面目”是否符合分式的定义，与分子中的字母无关．例如，就是分式． 二．分式有意义、无意义的条件 1．分式有意义的条件：分式的分母不等于0．分式是由两个整式相除得来的，除式不能为0，所以在分式中，分母不能为0，这是分式有意义的条件． 2．分式无意义的条件：分式的分母等于0． 三．分式的值为0的条件 分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0． 注意： 分式的值是在分式有意义的前提下才可考虑的，所以使分式的值为0的条件是且，两者缺一不可． 四．分式的基本性质 1．分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 分式的基本性质是分式变形的理论依据．用式子表示为，，其中A，B，C是整式． 注意： ①基本性质中的A，B，C表示的是整式，其中是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调这个前提条件． ②应用分式基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误． ③若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一整式C． ④分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据． 2．分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变． 用式子表示为：或． 五．约分、最简分式 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，像这样分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式． 注意： ①约分的依据是分式的基本性质：，其中A，B，C是整式． ②约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式． 六．通分 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．也就是利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值．几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 注意： ①通分的依据是分式的基本性质：（C为整式，且）． ②通分的关键是确定几个分式的最简公分母． 七．分式的乘除法 1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 3．用式子表示是：，． 八．分式的乘方 分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方． 用式子表示是，其中n是正整数且． 九．分式的加减法 分式的加减法与分数的加减法一样，分为同分母分式相加减和异分母分式相加减两种． 1．同分母分式相加减 法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示为． 2．异分母分式相加减 法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减． 用式子表示为． 注意： 计算结果要化成最简分式或整式． 十．分式的混合运算 分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式． 分式的混合运算中要注意各分式中分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面． 十一．整数指数幂与科学记数法 1．整数指数幂 若m，n为正整数，，则． 又因为，所以． 一般地，当n是正整数时，，这就是说，是的倒数．由于是分式，所以也是分式，此时的指数“”是负整数，这样指数的取值范围就推广到全体整数．整数指数幂具有下列运算性质： ①； ②； ③； ④； ⑤． 上述式子中，m，n均为任意整数． 规定：，即任何不等于0的数的零次幂都等于1． 注意：当指数为负数和0时，一定要保证底数不是零． 2．科学记数法 用科学记数法表示大于1的正数时，应当表示为的形式，其中，n为原数整数部分的位数减1；用科学记数法表示小于1的正数时，应当表示为的形式，其中n为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前的那个0），． 十二．分式方程的定义 分母中含未知数的方程叫做分式方程． 注意： ①从分式方程的定义中可以看出分式方程的重要特征：一是方程；二是方程中含分母；三是分母中含有未知数． ②整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含有未知数． ③分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程． 十三．分式方程的解法 1．解分式方程的基本思想： 把分式方程转化为整式方程，然后通过解整式方程，求得分式方程的解，这是解分式方程的关键． 2．解分式方程的一般步骤：去分母；解整式方程；检验． 注意： ①用分式方程中的最简公分母同乘方程的两边，从而约去分母，但要注意用最简公分母乘方程两边各项时，不要漏乘不含分母的项． ②解分式方程可能产生不适合原方程的解，所以检验是解分式方程的必要步骤． 2．产生不适合原方程解的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解． 十四．分式方程的应用 分式方程的应用主要是列方程解应用题，它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的． 【专题过关】 一．分式的概念及存在性（共7小题） 1．下列式子是分式的是（　　） A． B． C． D． 2．在代数式，，，中，是分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若分式有意义，则x的取值范围为（　　） A．且 B．且 C． D． 4．若分式的值为0，则（　　） A． B． C． D． 5．当　 　时，分式无意义． 6．若使分式有意义，则x的取值范围是　 　． 7．分式的值为0，那么x的值为　 　． 二．分式取值（共6小题） 8．若分式的值为负数，则x的取值范围是（　　） A．x为任意数 B． C． D． 9．若m、n互为相反数，p、q互为倒数，则的值是 　 　． 10．已知，则的值为　 　． 11．若为正整数，且a也为正整数，则a的值为 　 　． 12．若，则分式的值为 　 　． 13．已知非零实数x，y满足，则的值等于　 　． 三．分式基本性质的应用（共4小题） 14．若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，且，那么分式的值（　　） A．扩大到原来的3倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 15．若将中的x与y同时扩大为原来的2倍，则分式的值将是原来的（　　） A．不变 B．2倍 C．4倍 D． 16．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数， 　 　． 17．不改变分式的值，将分式的分子与分母的各项系数化为整数为　 　． 四．用科学记数法表示较小的数（共3小题） 18．已知某种植物花粉的直径为0.000035米，用科学记数法表示该数据是 　 　米． 19．将0.00000201用科学记数法表示为 　 　． 20．某种微粒的直径为0.000058米，则该微粒的直径用科学记数法可以表示为 　 　． 五．分式的乘除法（共4小题） 21．若，则A等于 　 　． 22．有下列各式：①；②；③；④．其中，计算结果为分式的是　 　． （填序号） 23．计算： （1）； （2）． 24．如图，将长、宽分别为a、b的矩形硬纸片拼成一个“带孔”的正方形，已知拼成的大正方形面积为49， 中间的小正方形的面积为1． 求的值． 六．分式的加减法（共6小题） 25．若a，b互为倒数，且，则分式的值为　 　． 26．计算　 　． 27．计算　 　． 28．若分式A与分式B的差等于它们的积，，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与 ， 因为，， 所以是的“友好分式”． 则的“友好分式”是 　 　． 29．计算： （1）； （2）． 30．下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 异分母的分式加减法回顾与反思 【回顾】 今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下： 下面是我在课堂上化简分式的过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 【反思】 总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： （1）在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是 　 　； A．函数思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．统计思想 （2）以上化简过程中，第 　 　步是分式的通分，通分的依据是 　 　； （3）我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，从第 　 　步开始出现错误，化简的正确结果应该是 　 　． 七．分式的混合运算（共4小题） 31．已知三个实数a，b，c，满足，，则 　 　． 32．计算： （1）； （2）． 33．计算： （1）； （2）． 34．计算： （1）； （2）； （3）． 八．分式的化简求值（共5小题） 35．先化简，再求值：，在中选一个整数求值． 36．先化简，再求值：，在，，2中选一个合适的数代入求值． 37．化简，并从2，，0选择一个适当的x的值代入求值． 38．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行 一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： （1）接力中，自己负责的一步出现错误的同学是 　 　； （2）请你书写正确的化简过程，并在“，0，1”中选择一个合适的数代入求值． 39．简答下列各题； （1）已知，，求和的值； （2）若，求的值；若，求的值． 九．负整数指数幂（共4小题） 40．已知，，则的值是 　 　． 41．计算：　 　． 42．计算：　 　． 43．若有意义，则x的取值范围是 　 　． 十．分式方程的定义（共2小题） 44．已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥， 分式方程的个数是（　　） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 45．下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）； （5），其中是分式方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 十一．解分式方程（共8小题） 46．定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，存在．若，则x的值 为 　 　． 47．若代数式与的值相等，则x＝　 　． 48．分式方程的解是 　 　． 49．解下列分式方程： （1）； （2）． 50．解方程： （1）； （2）． 51．对于形如的分式方程，若，，容易检验，是分式方程 的解，所以称该分式方程为“易解方程”． 例如：可化为，容易检验，是方程的解，∴是“易解方程”； 又如可化为，容易检验∴，是方程的解， ∴也是“易解方程”． 根据上面的学习解答下列问题： 【概念理解】 （1）判断是不是“易解方程”，若是“易解方程”，求该方程的解，；若不是，说明理由． 【类比引申】 （2）若，是“易解方程”的两个解，求的值； 【拓展提高】 （3）设n为自然数，若关于x的“易解方程”的两个解分别为，，求的值． 52．关于x的方程的解是；关于x的方程的解是；关于x的方程 的解是；关于x的方程（即）的解是； （1）请观察上述方程与解的特征，猜想关于x的方程（）的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证； （2）的解是x＝　 　，的解是x＝　 　． （3）利用阅读材料，解关于x的方程． 53．阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：． 解：设，则原方程化为，方程两边同时乘y，得， 解得．经检验：都是方程的解． 当时，，解得；当时，，解得． 经检验：和都是原分式方程的解， 所以原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 用换元法解：． 十二．含参分式方程（共6小题） 54．当m＝　 　时，解分式方程会出现增根． 55．若关于x的分式方程有增根，则m的值是 　 　． 56．若关于x的方程有增根，则k的值为　 　． 57．（1）已知关于x的分式方程有增根，求a的值． （2）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值． 58．已知，关于x的方程：． （1）若方程有增根，求m的取值； （2）若方程无解，求m的取值； （3）若方程的解为整数，求整数m的取值范围． 59．已知关于x的分式方程． （1）若分式方程有增根，求m的值； （2）若分式方程的解是负数，求m的取值范围． 十三．分式方程的应用（共6小题） 60．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为把一份文件用慢马送到900里外 的城市需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是 慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（　　） A．快马的速度 B．慢马的速度 C．规定的时间 D．以上都不对 61．某商店需要购进甲乙两种商品，已知甲的进价比乙多50元，分别用2万元进货甲乙两种商品，购买乙 的件数比甲多20件，现设乙的进价为x元，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 62．乡村振兴，交通先行．近年来，某县高质量推进“四好”农村公路建设，着力打通农村交通基础设施．该 县准备修一条道路，在修建600米后，剩下的4800米道路采用新的修建技术，每天修建的长度是原来的2 倍，结果共用15天完成了全部任务．设原来每天修建道路x米，则根据题意可列方程：　 　． 63．某工厂一台机器的工作效率相当于一个工人工作效率的12倍，用这台机器生产60个零件比8个工人 生产这些零件少用2小时，设一个工人每小时生产x个零件，根据题意列方程　 　． 64．2020年，一场新冠肺炎疫情牵扯着人们的心灵，各界人士齐心协力，众志成城．针对资源急需问题， 某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有8人不能到厂生产．为了应对疫情， 已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变．原来每天 能生产防护服600套，现在每天能生产防护服450套．求原来生产防护服的工人有多少人？ 65．一条小船顺流航行50km后，又立即返回原地．如果船在静水中的速度为akm/h，水流的速度为8km/h， 那么顺流航行比逆流航行少用多少小时？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 分式 一．分式的概念 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母． 注意： ①分式的概念可类比分数得出，分式的形式和分数类似，但它与分数有区别，分数的分子与分母都是整数，而分式的分子与分母都是整式，并且分母中含有字母，这也是分式的一个重要标志． ②分式实际上是一个商式，它的分子是被除式，分母是除式，分数线相当于除号，同时也有括号的作用．例如也可以表示为，但不是分式，因为它不符合的形式． ③分式中分母含有字母，而整式没有分母或有分母但分母中不含有字母；整式中的字母可以取任意实数，但分式中的字母取值不能使分母等于0． ④分式是一个形式定义，因此判断一个式子是不是分式，不能把原式化简后再判断，而只需看原式的本来“面目”是否符合分式的定义，与分子中的字母无关．例如，就是分式． 二．分式有意义、无意义的条件 1．分式有意义的条件：分式的分母不等于0．分式是由两个整式相除得来的，除式不能为0，所以在分式中，分母不能为0，这是分式有意义的条件． 2．分式无意义的条件：分式的分母等于0． 三．分式的值为0的条件 分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0． 注意： 分式的值是在分式有意义的前提下才可考虑的，所以使分式的值为0的条件是且，两者缺一不可． 四．分式的基本性质 1．分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 分式的基本性质是分式变形的理论依据．用式子表示为，，其中A，B，C是整式． 注意： ①基本性质中的A，B，C表示的是整式，其中是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调这个前提条件． ②应用分式基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误． ③若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一整式C． ④分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据． 2．分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变． 用式子表示为：或． 五．约分、最简分式 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，像这样分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式． 注意： ①约分的依据是分式的基本性质：，其中A，B，C是整式． ②约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式． 六．通分 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．也就是利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值．几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 注意： ①通分的依据是分式的基本性质：（C为整式，且）． ②通分的关键是确定几个分式的最简公分母． 七．分式的乘除法 1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 3．用式子表示是：，． 八．分式的乘方 分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方． 用式子表示是，其中n是正整数且． 九．分式的加减法 分式的加减法与分数的加减法一样，分为同分母分式相加减和异分母分式相加减两种． 1．同分母分式相加减 法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示为． 2．异分母分式相加减 法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减． 用式子表示为． 注意： 计算结果要化成最简分式或整式． 十．分式的混合运算 分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式． 分式的混合运算中要注意各分式中分子、分母符号的处理，结果中分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面． 十一．整数指数幂与科学记数法 1．整数指数幂 若m，n为正整数，，则． 又因为，所以． 一般地，当n是正整数时，，这就是说，是的倒数．由于是分式，所以也是分式，此时的指数“”是负整数，这样指数的取值范围就推广到全体整数．整数指数幂具有下列运算性质： ①； ②； ③； ④； ⑤． 上述式子中，m，n均为任意整数． 规定：，即任何不等于0的数的零次幂都等于1． 注意：当指数为负数和0时，一定要保证底数不是零． 2．科学记数法 用科学记数法表示大于1的正数时，应当表示为的形式，其中，n为原数整数部分的位数减1；用科学记数法表示小于1的正数时，应当表示为的形式，其中n为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前的那个0），． 十二．分式方程的定义 分母中含未知数的方程叫做分式方程． 注意： ①从分式方程的定义中可以看出分式方程的重要特征：一是方程；二是方程中含分母；三是分母中含有未知数． ②整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含有未知数． ③分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程． 十三．分式方程的解法 1．解分式方程的基本思想： 把分式方程转化为整式方程，然后通过解整式方程，求得分式方程的解，这是解分式方程的关键． 2．解分式方程的一般步骤：去分母；解整式方程；检验． 注意： ①用分式方程中的最简公分母同乘方程的两边，从而约去分母，但要注意用最简公分母乘方程两边各项时，不要漏乘不含分母的项． ②解分式方程可能产生不适合原方程的解，所以检验是解分式方程的必要步骤． 2．产生不适合原方程解的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解． 十四．分式方程的应用 分式方程的应用主要是列方程解应用题，它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的． 【专题过关】 一．分式的概念及存在性（共7小题） 1．下列式子是分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：A．分母中不含字母，是整式，故此选项不符合题意； B．是分式，故此选项符合题意； C．分母中不含字母，是整式，故此选项不符合题意； D．分母中不含字母，是整式，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．在代数式，，，中，是分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B． 【解析】解：根据分式的定义，为分式，有2个， 故选：B． 3．若分式有意义，则x的取值范围为（　　） A．且 B．且 C． D． 【答案】B． 【解析】解：根据题意， ∵分式有意义， ∴分式的分母不能为零， ∴且， 解得且． 故选：B． 4．若分式的值为0，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：∵分式的值为0， ∴，． ∴，且． ∴． 故选：C． 5．当　 　时，分式无意义． 【答案】1． 【解析】解：要使分式无意义， 则分母为零， 即， 解得． 故答案为：1． 6．若使分式有意义，则x的取值范围是　 　． 【答案】． 【解析】解：由题意得， 解得：， 故答案为：． 7．分式的值为0，那么x的值为　 　． 【答案】3． 【解析】解：由题意可得：且， 解得． 故答案为：3． 二．分式取值（共6小题） 8．若分式的值为负数，则x的取值范围是（　　） A．x为任意数 B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：∵，分式的值为负数， ∴， ∴． 故选：B． 9．若m、n互为相反数，p、q互为倒数，则的值是 　 　． 【答案】3． 【解析】解：∵m和n互为相反数，p和q互为倒数， ∴，， ∴． 故答案为：3． 10．已知，则的值为　 　． 【答案】46． 【解析】解：方程两边同时除以x，得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：46． 11．若为正整数，且a也为正整数，则a的值为 　 　． 【答案】2或6． 【解析】解：， ∵为正整数， ∴或或， ∴或或， ∵a为正整数， ∴或， 故答案为：2或6． 12．若，则分式的值为 　 　． 【答案】． 【解析】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．已知非零实数x，y满足，则的值等于　 　． 【答案】5． 【解析】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 三．分式基本性质的应用（共4小题） 14．若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，且，那么分式的值（　　） A．扩大到原来的3倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【答案】C． 【解析】解：根据题意可知，， 即分式的值缩小到原来的． 故选：C． 15．若将中的x与y同时扩大为原来的2倍，则分式的值将是原来的（　　） A．不变 B．2倍 C．4倍 D． 【答案】C． 【解析】解：∵， ∴分式的值将是原来的4倍． 故选：C． 16．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数， 　 　． 【答案】． 【解析】解：不改变分式的值，把它的分子、分母的各项系数都化为整数，所得结果为， 故答案为：． 17．不改变分式的值，将分式的分子与分母的各项系数化为整数为　 　． 【答案】． 【解析】解：将分子分母同时乘以10，则分式变为：． 四．用科学记数法表示较小的数（共3小题） 18．已知某种植物花粉的直径为0.000035米，用科学记数法表示该数据是 　 　米． 【答案】． 【解析】解：． 故答案为：． 19．将0.00000201用科学记数法表示为 　 　． 【答案】． 【解析】解：． 故答案为：． 20．某种微粒的直径为0.000058米，则该微粒的直径用科学记数法可以表示为 　 　． 【答案】． 【解析】解：． 故答案为：． 五．分式的乘除法（共4小题） 21．若，则A等于 　 　． 【答案】． 【解析】解：∵， ∴， 故答案为：． 22．有下列各式：①；②；③；④．其中，计算结果为分式的是　 　． （填序号） 【答案】②④． 【解析】解：①，结果不是分式； ②，结果是分式； ③，结果不是分式； ④，结果是分式； 所以结果为负分式的有②④， 故答案为：②④． 23．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】解：（1）； （2）． 24．如图，将长、宽分别为a、b的矩形硬纸片拼成一个“带孔”的正方形，已知拼成的大正方形面积为49， 中间的小正方形的面积为1． 求的值． 【答案】14． 【解析】解：由题意得，，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴原式． 六．分式的加减法（共6小题） 25．若a，b互为倒数，且，则分式的值为　 　． 【答案】． 【解析】解：∵a，b互为倒数， ∴， ∴原式． 故答案为：． 26．计算　 　． 【答案】． 【解析】解：原式． 故答案为：． 27．计算　 　． 【答案】． 【解析】解：原式． 故答案为：． 28．若分式A与分式B的差等于它们的积，，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与 ， 因为，， 所以是的“友好分式”． 则的“友好分式”是 　 　． 【答案】． 【解析】解：∵分式A与分式B的差等于它们的积，，则称分式B是分式A的“友好分式”， 设分式为分式A，它的“友好分式”是B， ∴， ∵， ∴， ∴分式的“友好分式”为． 29．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】解：（1）原式； （2）原式． 30．下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 异分母的分式加减法回顾与反思 【回顾】 今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下： 下面是我在课堂上化简分式的过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 【反思】 总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： （1）在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是 　 　； A．函数思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．统计思想 （2）以上化简过程中，第 　 　步是分式的通分，通分的依据是 　 　； （3）我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，从第 　 　步开始出现错误，化简的正确结果应该是 　 　． 【答案】（1）C；（2）三，分式的基本性质；（3）四；． 【解析】解：（1）在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是转化思想，故C正确； 故选：C； （2）以上化简过程中，第三步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质． 故答案为：三；分式的基本性质； （3）从第四步开始出现错误， ． 因此正确结果为：． 故答案为：四；． 七．分式的混合运算（共4小题） 31．已知三个实数a，b，c，满足，，则 　 　． 【答案】． 【解析】解：∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 32．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】解：（1）原式； （2）原式 ． 33．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】解：（1） ； （2）． 34．计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式． 八．分式的化简求值（共5小题） 35．先化简，再求值：，在中选一个整数求值． 【答案】． 【解析】解：原式， ∵，， ∴，， ∵，且a为整数， ∴a取值为3， ∴当时，原式． 36．先化简，再求值：，在，，2中选一个合适的数代入求值． 【答案】． 【解析】解：， 当时，分式无意义，所以取， 当时，原式． 37．化简，并从2，，0选择一个适当的x的值代入求值． 【答案】． 【解析】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴原式． 38．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行 一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： （1）接力中，自己负责的一步出现错误的同学是 　 　； （2）请你书写正确的化简过程，并在“，0，1”中选择一个合适的数代入求值． 【答案】（1）甲；（2）． 【解析】解：（1）接力中，自己负责的一步出现错误的同学是甲， 故答案为：甲； （2） ， ∵，， ∴，， ∴当时，原式． 39．简答下列各题； （1）已知，，求和的值； （2）若，求的值；若，求的值． 【答案】（1），；（2）119． 【解析】解：（1）∵，， ∴， ， ∴，； （2）∵， ∴两边平方得， 即， ∴； ∵， ∴两边平方得， 即， ∴两边平方得， ∴． 九．负整数指数幂（共4小题） 40．已知，，则的值是 　 　． 【答案】． 【解析】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 41．计算：　 　． 【答案】． 【解析】解：原式． 故答案为：． 42．计算：　 　． 【答案】． 【解析】解：原式， 故答案为：． 43．若有意义，则x的取值范围是 　 　． 【答案】且． 【解析】解：由题意得：且， 解得：且， ∴若有意义，则x的取值范围是且， 故答案为：且． 十．分式方程的定义（共2小题） 44．已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥， 分式方程的个数是（　　） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C． 【解析】解：根据分式方程的定义，②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程， 故选：C． 45．下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）； （5），其中是分式方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A． 【解析】解：（1）关于x的方程分母中含有未知数，（1）是分式方程； （2）关于x的方程分母中不含有未知数，（2）不是分式方程； （3）关于x的方程分母b是常数，分母中不含有未知数，（3）不是分式方程； （4）关于x的方程分母a是常数，分母中不含有未知数，（4）不是分式方程； （5）关于x的方程分母中是常数，不含有未知数，（5）不是分式方程． 综上所述：是分式方程的有1个． 故选：A． 十一．解分式方程（共8小题） 46．定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，存在．若，则x的值 为 　 　． 【答案】． 【解析】解：由新定义可知：， ∴， 解得， 检验，当时，， ∴， 故答案为：． 47．若代数式与的值相等，则x＝　 　． 【答案】16． 【解析】解：根据题意得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 解得：． 经检验，是原方程的解， 故答案为：16． 48．分式方程的解是 　 　． 【答案】． 【解析】解：去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 故答案为：． 49．解下列分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）原方程无解． 【解析】解：（1）原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为； （2）原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 则是分式方程的增根， 故原方程无解． 50．解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）原方程无解． 【解析】解：（1）方程两边同乘，得， 解这个整式方程，得， 经检验：是原方程的解； （2）方程两边都乘以得：， 解这个整式方程，得， 检验：当时，， 所以，是增根，原方程无解． 51．对于形如的分式方程，若，，容易检验，是分式方程 的解，所以称该分式方程为“易解方程”． 例如：可化为，容易检验，是方程的解，∴是“易解方程”； 又如可化为，容易检验∴，是方程的解， ∴也是“易解方程”． 根据上面的学习解答下列问题： 【概念理解】 （1）判断是不是“易解方程”，若是“易解方程”，求该方程的解，；若不是，说明理由． 【类比引申】 （2）若，是“易解方程”的两个解，求的值； 【拓展提高】 （3）设n为自然数，若关于x的“易解方程”的两个解分别为，，求的值． 【答案】（1）是“易解方程”，理由见解析；（2）；（3）2． 【解析】解：（1）是“易解方程”，理由如下： 可化为， ∵， ∴是“易解方程”． ∴方程的解为，； （2）∵，是“易解方程”的两个解， ∴，， 则； （3）设，方程可化为， ∵是“易解方程”， ∴n和是这个方程的解， ∵n为自然数， ∴， ∴必有，， ∴，， ∴． 52．关于x的方程的解是；关于x的方程的解是；关于x的方程 的解是；关于x的方程（即）的解是； （1）请观察上述方程与解的特征，猜想关于x的方程（）的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证； （2）的解是x＝　 　，的解是x＝　 　． （3）利用阅读材料，解关于x的方程． 【答案】（1）猜想关于x的方程（）的解是，理由见解析；（2）10，4；（3）． 【解析】解：（1）猜想关于x的方程（）的解是， 理由如下： 把代入得：左边，右边， 左边＝右边， 即是方程的解； （2）由题意可得， 的解是， ， 由题意可得，， 解得， 即的解是． 故答案为：10，4； （3）， 方程变形为：， 由（1）得：， 即， ∵，即， ∴， 经检验，是分式方程的解． 53．阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：． 解：设，则原方程化为，方程两边同时乘y，得， 解得．经检验：都是方程的解． 当时，，解得；当时，，解得． 经检验：和都是原分式方程的解， 所以原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 用换元法解：． 【答案】和． 【解析】解：设，则原方程化为． 方程两边同时乘y，得： ， 解得． 经检验：都是的解． 当时， ， 解得． 当时， ， 解得． 经检验：和都是原分式方程的解． 所以原分式方程的解为和． 十二．含参分式方程（共6小题） 54．当m＝　 　时，解分式方程会出现增根． 【答案】6． 【解析】解：分式方程会出现增根， 则即， ， 去分母得，， 将代入得， 即当时，原分式方程会出现增根． 故答案为：6． 55．若关于x的分式方程有增根，则m的值是 　 　． 【答案】． 【解析】解：∵关于x的分式方程有增根， ∴， 解得， ∵分式方程有增根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 56．若关于x的方程有增根，则k的值为　 　． 【答案】9． 【解析】解：方程两边同乘， 去分母得， 将增根代入得， 解得． 故答案为：9． 57．（1）已知关于x的分式方程有增根，求a的值． （2）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值． 【答案】（1）；（2）3或0或4． 【解析】解：（1）， 去分母得：， 解得：， 由题意得：， 解得：， ∴， 解得：， ∴a的值为3； （2）， 去分母得：， 解：， ∵有整数解， ∴或且， 解得：或3或0或4且， ∴此时整数m的值为3或0或4． 58．已知，关于x的方程：． （1）若方程有增根，求m的取值； （2）若方程无解，求m的取值； （3）若方程的解为整数，求整数m的取值范围． 【答案】（1）m的取值为6或12；（2）m的取值为6或9或12；（3）或10． 【解析】解：（1）去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得． 当时，得， 解得； 当时，得， 解得． ∴若方程有增根，m的取值为6或12． （2）∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或12时方程有增根， ∴若方程无解，m的取值为6或9或12． （3）∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，． 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或10． 59．已知关于x的分式方程． （1）若分式方程有增根，求m的值； （2）若分式方程的解是负数，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】解：（1）分式方程有增根，则方程的增根为， 原方程去分母并整理得， 将代入得， 解得； （2）由（1）得， 解这个方程得， ∵方程的解是负数， ∴， 解得， ∴当时，分式方程的解是负数． 十三．分式方程的应用（共6小题） 60．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为把一份文件用慢马送到900里外 的城市需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是 慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（　　） A．快马的速度 B．慢马的速度 C．规定的时间 D．以上都不对 【答案】C． 【解析】解：∵快马的速度是慢马的2倍，所列方程为， ∴表示慢马的速度，表示快马的速度； ∵把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天， ∴x表示规定的时间． 故选：C． 61．某商店需要购进甲乙两种商品，已知甲的进价比乙多50元，分别用2万元进货甲乙两种商品，购买乙 的件数比甲多20件，现设乙的进价为x元，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：设乙的进价为x元，则甲的进价是元， 根据题意得，． 故选：C． 62．乡村振兴，交通先行．近年来，某县高质量推进“四好”农村公路建设，着力打通农村交通基础设施．该 县准备修一条道路，在修建600米后，剩下的4800米道路采用新的修建技术，每天修建的长度是原来的2 倍，结果共用15天完成了全部任务．设原来每天修建道路x米，则根据题意可列方程：　 　． 【答案】． 【解析】解：设原来每天修建道路x米，则采用新的修建技术后每天修建道路米， 根据题意得：． 故答案为：． 63．某工厂一台机器的工作效率相当于一个工人工作效率的12倍，用这台机器生产60个零件比8个工人 生产这些零件少用2小时，设一个工人每小时生产x个零件，根据题意列方程　 　． 【答案】． 【解析】解：一个工人一小时生产x个，则8个工人一小时生产个，机器每小时生产个， 根据等量关系可列出方程：， 故答案为：． 64．2020年，一场新冠肺炎疫情牵扯着人们的心灵，各界人士齐心协力，众志成城．针对资源急需问题， 某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有8人不能到厂生产．为了应对疫情， 已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变．原来每天 能生产防护服600套，现在每天能生产防护服450套．求原来生产防护服的工人有多少人？ 【答案】． 【解析】解：设原来生产防护服的工人有x人，则现在生产防护服的工人有人，由题意得， 解得， 经检验，是所列方程的解， 答：原来生产防护服的工人有20人． 65．一条小船顺流航行50km后，又立即返回原地．如果船在静水中的速度为akm/h，水流的速度为8km/h， 那么顺流航行比逆流航行少用多少小时？ 【答案】顺流航行比逆流航行少用小时． 【解析】解：依题意有小时． 答：顺流航行比逆流航行少用小时． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！33 学科网（北京）股份有限公司 $$