04 第四章 4.2.1 第2课时 等差数列的性质及应用-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步讲义(人教A版2019)

第2课时　等差数列的性质及应用 [学习目标]　1．能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质，理解等差数列与项有关的性质．(逻辑推理) 2．能灵活运用等差数列的性质简化运算，解决简单的数列问题．(逻辑推理、数学运算) 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应问题．(数学建模、数学运算) (教师用书) 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得构成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种质量单位) [讨论交流]　 问题1．等差数列的子数列是如何定义的？ 问题2．等差数列的子数列有什么样的性质？ 问题3．等差数列的任意两项间有什么样的数量关系？ 问题4．等差数列的“下标和”性质是什么？ [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　等差数列的性质 探究问题　已知an，am是等差数列{an}中的任意两项，你能利用通项公式建立两者之间的关系吗？ [提示]　由an＝a1＋(n－1)d，am＝a1＋(m－1)d，两式相减得an－am＝(n－m)d，即an＝am＋(n－m)d． [新知生成] 等差数列的性质 (1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq． ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak． ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…． (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列． (3)若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列． (4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列． 【教用·微提醒】　(1){an}是等差数列，且am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q不一定成立，如常数列2，2，2，2，…中，a1＋a2＝a3＋a4，但1＋2≠3＋4． (2)推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az，该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同． 【链接·教材例题】 例5　已知数列{an}是等差数列，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t．求证ap＋aq＝as＋at． 分析：只要根据等差数列的定义写出ap，aq，as，at，再利用已知条件即可得证． [证明]　设数列{an}的公差为d，则 ap＝a1＋(p－1)d， aq＝a1＋(q－1)d， as＝a1＋(s－1)d， at＝a1＋(t－1)d． 所以 ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d， as＋at＝2a1＋(s＋t－2)d． 因为p＋q＝s＋t， 所以ap＋aq＝as＋at． [典例讲评]　1．(1)已知等差数列{an}，a5＝10，a15＝25，求a25的值． (2)已知等差数列{an}，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝70，求a1＋a9的值． (3)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，求a19－b19的值． [解]　(1)法一：设{an}的公差为d， 则解得 故a25＝a1＋24d＝4＋24×＝40． 法二：因为5＋25＝2×15，所以在等差数列{an}中有a5＋a25＝2a15，从而a25＝2a15－a5＝2×25－10＝40． 法三：因为5，15，25成等差数列，所以a5，a15，a25也成等差数列，因此a25－a15＝a15－a5，即a25－25＝25－10，解得a25＝40． (2)由等差数列的性质，得a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a1＋a9，所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝70，于是a5＝14，故a1＋a9＝2a5＝28． (3)令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，设其公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2，故a19－b19＝c19＝5＋18×2＝41． [母题探究]　本例(1)中条件变为“已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8”，求5a4＋a7的值． [解]　法一：设等差数列{an}的公差为d，则a3＋a6＝2a1＋7d＝8， 所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24． 法二：在等差数列中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq， ∴a2＋a6＝a3＋a5＝2a4， ∴5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7． 又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5， ∴5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24． 　(1)灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担． (2)等差数列运算的两种常用思路 ①基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量． ②巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar． [学以致用]　1．(1)已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________． (2)已知两个等差数列{an}：5，8，11，…，{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝________；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是________． (1)27　(2)12n－1　25　[(1)法一：由性质可知，数列a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9是等差数列， 所以2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)，则a3＋a6＋a9＝2×33－39＝27． 法二：设等差数列{an}的公差为d， 则(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝(a2－a1)＋(a5－a4)＋(a8－a7)＝3d＝－6， 解得d＝－2， 所以a3＋a6＋a9＝a2＋d＋a5＋d＋a8＋d＝27． (2)由于数列{an}和{bn}都是等差数列， 所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12， 又c1＝11，故cn＝11＋12(n－1)＝12n－1． 又a100＝302，b100＝399， 所以 解得1≤n≤25．故{cn}的项数为25．] 探究2　等差数列中项的设法 [典例讲评]　2．(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数； (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． [解]　(1)设这三个数依次为a－d，a，a＋d， 则 解得所以这三个数为4，3，2． (2)设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意得2a＝2且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， 所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1． 又四个数成递增等差数列，所以d＞0， 所以d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4． 　等差数列的设项方法和技巧 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式． (2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d．若有5项、7项……可同理设出． (3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d．若有6项、8项……可同理设出． [学以致用]　2．已知成等差数列的四个数的和为26，第二个数与第三个数的积为40，求这四个数． [解]　设这四个数依次是a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(a，d∈R)． 可得 解得或 所以这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2． 探究3　等差数列的实际应用 【链接·教材例题】 例3　某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d万元(d为正常数)．已知这台设备的安全使用年限为10年，第11年期间，它的价值将低于购进价值的5%，设备需在这年年初报废．请确定d的取值范围． 分析：这台设备使用满n年时的价值构成一个数列{an}．由题意可知，使用满10年时，这台设备的价值应不小于(220×5%＝)11万元；而第11年年底，这台设备的价值应小于11万元．可以利用{an}的通项公式列不等式求解． [解]　设使用满n年时，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}．由已知条件，得 an＝an－1－d(n≥2)． 由于d是与n无关的常数，所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列．因为购进设备的价值为220万元，所以a1＝220－d，于是 an＝a1＋(n－1)(－d)＝220－nd． 根据题意，得 即解这个不等式组，得 19＜d≤20.9． 所以，d的取值范围为19＜d≤20.9． [典例讲评]　3．《周髀算经》是中国古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列．若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为(　　) A．15.5尺　　　　　　　 B．12.5尺 C．9.5尺 D．6.5尺 D　[设该等差数列为{an}，冬至、小寒、大寒……芒种的日影子长分别记为a1，a2，a3，…，a12，公差为d，由题意可得， 即 解得 所以立夏的日影子长为a10＝a1＋9d＝6.5(尺)．] 　解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点 (1)解答等差数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意．②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题．③判型，即判断该数列是否为等差数列．④求解，即求出该问题的数学解．⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中． (2)解决等差数列实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题． [学以致用]　3．(源自北师大版教材)一个木制梯形架的上、下两底边分别为33 cm，75 cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各对应分点，构成梯形架的各级．试计算梯形架间各级的宽度． [解]　记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为{an}，则由梯形中位线的性质，易知相邻三项均成等差数列，即数列{an}成等差数列．依题意，有 a1＝33 cm，a7＝75 cm． 现要求a2，a3，…，a6，即中间5级的宽度． 依等差数列的定义，有 d＝＝＝7(cm)， 所以a2＝33＋7＝40(cm)，a3＝40＋7＝47(cm)，a4＝47＋7＝54(cm)，a5＝54＋7＝61(cm)，a6＝61＋7＝68(cm)． 因此，梯形架中间各级的宽度自上而下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm． 1．在等差数列{an}中，a4＋a6＋a8＋a10＝22，则a1＋a13的值为(　　) A．－11 B．11 C．22 D．33 B　[由等差数列的性质可知，a4＋a10＝a6＋a8＝a1＋a13，又因为a4＋a6＋a8＋a10＝22，所以2(a1＋a13)＝22，即a1＋a13＝11．故选B．] 2．(多选)若{an}是等差数列，则下列数列为等差数列的有(　　) A． B．} C．{an＋1＋an} D．{2an＋n} ACD　[设等差数列{an}的公差为d，当n≥2时，an－an－1＝d．对于A，an＋1＋3－(an＋3)＝an＋1－an＝d，为常数，因此{an＋3}是等差数列；对于＝(an＋1＋an)(an＋1－an)＝d[2a1＋(2n－1)d]，不为常数，因此}不是等差数列；对于C，(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝an＋2－an＝2d，为常数，因此{an＋1＋an}是等差数列；对于D，2an＋1＋(n＋1)－(2an＋n)＝2(an＋1－an)＋1＝2d＋1，为常数，因此{2an＋n}是等差数列．] 3．已知等差数列{an}满足a2＝4，a5＝10，则公差d＝________． 2　[因为{an}是等差数列，所以公差d＝＝＝2．] 4．若数列{2an＋1}是等差数列，其公差d＝1，且a3＝5，则a10＝________． 　[因为{2an＋1}是等差数列，则2a10＋1＝2a3＋1＋7d＝18，所以a10＝．] 课时分层作业(四)　等差数列的性质及应用 一、选择题 1．在等差数列{an}中，若a3＋a9＝26，则a3＋3a7＝(　　) A．13 B．26 C．39 D．52 D　[因为{an}是等差数列， 所以a3＋a9＝2a6＝26，解得a6＝13， 所以a3＋3a7＝a3＋a7＋2a7＝2(a5＋a7)＝4a6＝52． 故选D．] 2．已知数列{an}为等差数列，且a1＋a5＋a9＝4π，则tan(a3＋a7)＝(　　) A． B．－ C．－ D． C　[∵数列{an}为等差数列，且a1＋a5＋a9＝4π＝3a5，∴a5＝，则tan (a3＋a7)＝tan 2a5＝tan ＝tan ＝－tan ＝－． 故选C．] 3．(多选)若{an}是等差数列，则下列数列为等差数列的有(　　) A． B．} C．{an＋1－an} D．{2an} ACD　[设等差数列{an}的公差为d． 对于A，(an＋an＋2)－(an－1＋an＋1)＝(an－an－1)＋(an＋2－an＋1)＝2d(n≥2)，所以{an＋an＋2}是以2d为公差的等差数列； 对于＝＝．因为不一定为常数，所以}不一定是等差数列； 对于C，因为an＋1－an＝d，所以{an＋1－an}为等差数列； 对于D，因为2an＋1－2an＝2d，所以{2an}为等差数列．] 4．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a19＋a20＞0，a19a20＜0，则使an＞－a1成立的最大自然数n是(　　) A．20 B．37 C．38 D．40 C　[因为{an}是等差数列，a19＋a20＞0，a19a20＜0，所以a19，a20异号，所以{an}非常数等差数列而是单调数列，又a1＞0，所以a19＞0，a20＜0，由a19＋a20＞0⇒a1＋a38＞0，由a20＜0⇒2a20＜0⇒a1＋a39＜0，因此使an＞－a1成立的最大自然数n是38．] 5．在等差数列{an}中，若a1－a4－a8－a12＋a15＝，则sin (a3＋a13)的值为(　　) A． B．1 C．－1 D．0 C　[由等差数列的性质可知，a1＋a15＝a4＋a12， 则a1－a4－a8－a12＋a15＝－a8＝，解得a8＝－，∵a3＋a13＝2a8，∴sin (a3＋a13)＝sin (2a8)＝sin ＝－1．故选C．] 二、填空题 6．已知数列{an}是等差数列，a9＝20，a20＝9，则这个数列的公差d＝________． －1　[等差数列{an}中，a9＝20，a20＝9，所以公差d＝＝＝－1．] 7．已知{an}为等差数列，a3＋a9＝28，则a13－a20＝________． 7　[设等差数列{an}的公差为d， 因为{an}为等差数列，a3＋a9＝28，所以a6＝＝14． 所以a13－a20＝(a1＋12d)－(a1＋19d)＝(a1＋5d)＝a6＝7．] 8．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，则a15＝________，若ak＝15，则k＝________． 11　21　[∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝． 又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7． 故d＝＝＝． ∴a15＝a9＋(15－9)d＝7＋6×＝11，∵ak＝a9＋(k－9)d＝15，∴15－7＝(k－9)×，∴k＝21．] 三、解答题 9．若数列{bn}对任意n∈N*，都有bn＋2－bn＝d(d为常数)，则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．例如cn＝则数列{cn}是公差为8的准等差数列．设数列{an}满足：a1＝a，对于任意n∈N*，都有an＋an＋1＝2n． (1)求证：数列{an}为准等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． [解]　(1)证明：因为an＋an＋1＝2n(n∈N*)①， 所以an＋1＋an＋2＝2(n＋1)②， ②－①得an＋2－an＝2(n∈N*)， 所以数列{an}是公差为2的准等差数列． (2)因为a1＝a，an＋an＋1＝2n(n∈N*)， 所以a1＋a2＝2×1，即a2＝2－a． 因为a1，a3，a5，…是以a为首项，2为公差的等差数列，a2，a4，a6，…是以2－a为首项，2为公差的等差数列，所以当n为奇数时，an＝a＋×2＝n＋a－1， 当n为偶数时，an＝2－a＋×2＝n－a， 所以an＝ 10．已知{an}和{bn}是两个等差数列，且(1≤k≤5)是常值，若a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3的值为(　　) A．64 B．128 C．256 D．512 B　[由题意可得＝，则b5＝64，故b3＝＝＝128．] 11．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝3n－1和bn＝4n－3，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合A∩{n|n≤2 024，n∈N*}中元素的个数为(　　) A．166 B．168 C．169 D．170 C　[由题意可知，数列{an}为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，…，数列{bn}为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，…， 将集合A中的元素由小到大进行排序，构成数列{cn}为5，17，29，…， 易知数列{cn}是首项为5，公差为12的等差数列，则cn＝5＋12(n－1)＝12n－7． 由cn＝12n－7≤2 024，可得n≤169＋，因此，集合A∩{n|n≤2 024，n∈N*}中元素的个数为169．故选C．] 12．若关于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R，且m≠n)的四个根组成首项为的等差数列，则m＋n的值为________． 　[设方程x2－x＋m＝0 的根是x1，x2，方程x2－x＋n＝0 的根是x3，x4， ∴x1＋x2＝1，x3＋x4＝1，四个根组成等差数列，不妨设为x1，x3，x4，x2， 则x1＝，于是x2＝，m＝x1x2＝， d＝＝＝，因此x3＝＝，x4＝＝， ∴n＝x3x4＝，m＋n＝＝．] 13．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 024这2 024个数中，能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为________． 135　[因为能被3除余1且被5除余1的数即为能被15除余1的数，故an＝15n－14(n∈N*)，又an≤2 024，解得n＝135．] 14．已知数列{an}满足a1＝2，a3＝8，且2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)∀m∈N*，将数列{an}中落在区间(3 m，32m)内的项的个数记为bm，求数列{bm}的通项公式． [解]　(1)当n≥2时，an＋1－an＝an－an－1，∴{an}为等差数列，设公差为d． ∵a3－a1＝6＝2d，∴d＝3，∴an＝2＋3(n－1)＝3n－1． (2)由(1)得3m＜3n－1＜32m，∴3m-1＋＜n＜32m-1＋，∴n＝3m-1＋1，3m-1＋2，3m-1＋3，…，32m-1，∴bm＝32m-1－3m-1． 15．有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售．某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？ [解]　设某单位需购买电视机n台． 在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{an}，an＝780＋(n－1)×(－20)＝－20n＋800， 由an＝－20n＋800≥440，得n≤18， 即购买台数不超过18台时，每台售价(800－20n)元； 购买台数超过18台时，每台售价440元． 到乙商场购买时， 每台售价为800×75%＝600(元)． 比较在甲、乙两家家电商场的费用(800－20n)n－600n＝20n(10－n)． 当n＜10时，(800－20n)n＞600n，到乙商场购买花费较少； 当n＝10时，(800－20n)n＝600n，到甲、乙商场购买花费相同； 当10＜n≤18时，(800－20n)n＜600n，到甲商场购买花费较少； 当n＞18时，440n＜600n，到甲商场购买花费较少． 因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机为10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少． 13/13 学科网（北京）股份有限公司 $$