15 第四章 4.4 数学归纳法-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步课件(人教A版2019)

第四章　数列 4.4*　数学归纳法 整体感知 [学习目标]　1．借助教材实例了解数学归纳法的原理．(数学抽象) 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(逻辑推理) 3．能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的数学问题．(数学运算、逻辑推理) 4.4*　数学归纳法 (教师用书) 中国过去有个习俗，子女从父亲的姓氏，如父亲姓王，其子女都姓王．假设我们知道一个男子姓王，假设他每一代后代都有男子，而且严格按照我国过去的习俗，那么他的儿子姓什么？孙子呢？玄孙呢？……如果他有32代孙，你能确定他的32代孙的姓吗？如果他有无限代孙呢？ 为了保证各代孙辈都姓王，必须严格按照中国过去的习俗，否则无法递推下去，也就是说要保证第n代孙姓王能推出第n＋1代孙也姓王，当然要求第1个人必须姓王了． 思考：通过这个例子，你能得到什么启示呢？ 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 [讨论交流] 问题1．数学归纳法的原理是什么？ 问题2．数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？ 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系． 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 探究建构 探究1　数学归纳法的理解 探究问题1　如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？ [提示]　不能．通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法．不完全归纳法得到的结论不一定正确． 4.4*　数学归纳法 探究问题2　在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一位同学不小心将第一辆自行车弄倒了，那么整排自行车就会倒下．试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？这种现象对你有何启发？ [提示]　需要具备的条件：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．这种现象使我们想到一些与正整数n有关的数学问题． 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 [新知生成] 1．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)归纳奠基：证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)归纳递推：以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当________时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法． n＝k＋1 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 2．数学归纳法的证明形式 记P(n)是一个关于正整数n的命题，可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1)P(n0)为真．(2)若P(k)(k∈N*，k≥n0)为真，则P(k＋1)也为真． 结论：P(n)为真． 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 3．数学归纳法的框图表示 n＝n0 n＝k(k≥n0) n＝k＋1 从n0开始所有 的正整数n 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 【教用·微提醒】　初始值n0不一定是1，要结合具体的结论而定． 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 [学以致用]　1．(1)用数学归纳法证明“2n＞n2对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值n0应取(　　) A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．5 (2)用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n-1＝2n－1(n∈N*)的过程如下： ①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立， 即1＋2＋22＋…＋2k-1＝2k－1， 则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k-1＋2k＝＝2k+1－1，所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N*，等式都成立． 上述证明，错误的是________(填序号)． √ ② 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 (1)D　(2)②　[(1)显然当n＝1时，21＞12，而当n＝2时，22＝22，A错误； 当n＝3时，23＜32，B错误； 当n＝4时，24＝42，C错误； 当n＝5时，25＞52，符合要求，D正确． (2)本题在由n＝k成立证明n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用归纳假设，这与数学归纳法的要求不符．] 【链接·教材例题】 例2　用数学归纳法证明： 12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)(n∈N*)．① 分析：用数学归纳法证明时，第二步要证明的是一个以“当n＝k时，①式成立”为条件，得出“当n＝k＋1时，①式也成立”的命题，证明时必须用上上述条件． 探究2　用数学归纳法证明等式 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 [证明]　(1)当n＝1时，①式的左边＝12＝1， 右边＝×1×(1＋1)×(2×1＋1)＝＝1， 所以①式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，①式成立，即 12＋22＋…＋k2＝k(k＋1)(2k＋1)， 在上式两边同时加上(k＋1)2，有12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2 ＝k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2＝ ＝＝ ＝(k＋1)[(k＋1)＋1][2(k＋1)＋1]， 即当n＝k＋1时，①式也成立． 由(1)(2)可知，①式对任何n∈N*都成立． [典例讲评]　1．(源于湘教版教材)用数学归纳法证明： 12＋22＋32＋…＋n2＝(n∈N*)． [证明]　(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝＝1，等式成立． (2)假设当n＝k时，等式成立，即 12＋22＋32＋…＋k2＝， 那么，当n＝k＋1时， 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2 ＝＋(k＋1)2＝ ＝＝ ＝． 这表明，当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)和(2)可以断定，等式对任何正整数n都成立． 反思领悟　用数学归纳法证明恒等式时应关注的三点 (1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况． (2)弄清从n＝k到n＝k＋1，等式两端增加了哪些项，减少了哪些项． (3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形． 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 [学以致用]　2．用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n-1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*)． [证明]　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2×(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立． 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 (2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立， 即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k-1＝2k(2k－3)＋3． 则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k-1＋(2k＋1)×2k ＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k ＝2k(4k－2)＋3＝2k+1[2(k＋1)－3]＋3， 即当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)知，等式对任何n∈N*都成立． 【链接·教材例题】 例4　设x为实数，且x＞－1，x≠0，n为大于1的正整数，记数列 x，x(1＋x)，x(1＋x)2，…，x(1＋x)n-1，… 的前n项和为Sn，试比较Sn与nx的大小，并用数学归纳法证明你的结论． 分析：该问题中涉及两个字母，x是大于－1且不等于零的实数，n是大于1的正整数．一种思路是不求和，而直接通过n取特殊值比较Sn与nx的大小关系，并作出猜想；另一种思路是先由等比数列的求和公式求出Sn，再通过n取特殊值比较Sn与nx的大小关系后作出猜想．两种做法都必须用数学归纳法证明得到的猜想． 探究3　用数学归纳法证明不等式 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 解法1：由已知可得 Sn＝x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n-1． 当n＝2时，S2＝x＋x(1＋x)＝x2＋2x，由x≠0，知x2＞0，可得 S2＞2x； 当n＝3时，S3＝x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＝x2(x＋3)＋3x，由x＞－1且x≠0，知x2(x＋3)＞0，可得 S3＞3x． 由此，我们猜想，当x＞－1且x≠0，n∈N*且n＞1时，Sn＞nx． 下面用数学归纳法证明这个猜想． (1)当n＝2时，由上述过程知，猜想成立． (2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥2)时，不等式成立，即Sk＞kx， 则Sk＋1＝Sk＋x(1＋x)k＞kx＋x(1＋x)k． ①当x＞0时，因为k＞1，所以(1＋x)k＞1，所以 x(1＋x)k＞x． ②当－1＜x＜0时，0＜1＋x＜1，且x2＞0．又因为k＞1，所以(1＋x)k＜1＋x， 可得x(1＋x)k＞x(1＋x)＝x＋x2＞x． 综合①②可得，当x＞－1且x≠0时， Sk＋1＞kx＋x(1＋x)k ＞kx＋x ＝(k＋1)x， 所以，当n＝k＋1时，猜想也成立． 由(1)(2)可知，不等式Sn＞nx对任何大于1的正整数n都成立． 解法2：因为x＞－1，x≠0，所以所给数列是等比数列，公比为1＋x，于是Sn＝x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n-1 ＝＝(1＋x)n－1． 当n＝2时，S2＝(1＋x)2－1＝x2＋2x，由x≠0，知x2＞0，可得 S2＞2x； 当n＝3时，S3＝(1＋x)3－1＝x2(x＋3)＋3x，由x＞－1，x≠0，得x2(x＋3)＞0，可得S3＞3x． 由此，我们猜想，当x＞－1且x≠0，n∈N*且n＞1时，Sn＞nx． 下面用数学归纳法证明． (1)当n＝2时，由上述过程知，猜想成立． (2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥2)时，不等式Sk＞kx成立，即 (1＋x)k－1＞kx， 亦即(1＋x)k＞1＋kx． 由x＞－1，得x＋1＞0． 又因为k＞1，x≠0，所以kx2＞0． 于是 Sk＋1＝(1＋x)k+1－1 ＝(1＋x)k(1＋x)－1＞(1＋kx)(1＋x)－1 ＝kx2＋(k＋1)x＞(k＋1)x． 所以，当n＝k＋1时，猜想也成立． 由(1)(2)可知，不等式Sn＞nx对任何大于1的正整数n都成立． [典例讲评]　2．用数学归纳法证明：1＋≤1＋＋…＋＋n(n∈N*)． [思路引导]　按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化． [证明]　(1)当n＝1时， ≤1＋，命题成立． 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 (2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立， 即1＋ ≤ 1＋ ＋ ＋… ＋ ≤ ＋k， 则当n＝k＋1时， 1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋ >1＋ ＋2k· ＝1＋ ． 又1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋ < ＋k＋2k· ＝ ＋(k＋1)， 即当n＝k＋1时，命题成立． 由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N*都成立． 反思领悟　用数学归纳法证明不等式的关键点 用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f (k)＞g(k)，求证f (k＋1)＞g(k＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点： (1)先凑假设，作等价变换． (2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论． 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 [学以致用]　3．已知n∈N*，n＞2． 求证：1＋＋…＋＞． [证明]　(1)当n＝3时，左边＝1＋，右边＝＝2，左边＞右边，不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*，k≥3)时，不等式成立， 即1＋＋…＋＞． 当n＝k＋1时，1＋＋…＋＞＝＝． 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 因为＞＝＝， 所以1＋＋…＋＞， 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 由(1)(2)知对一切n∈N*，n＞2，不等式恒成立． 【链接·教材例题】 例3　已知数列{an}满足a1＝0，2an＋1－anan＋1＝1(n∈N*)，试猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 分析：先将数列{an}的递推关系2an＋1－anan＋1＝1化为an＋1＝(n∈N*)，通过计算a2，a3，a4，a5的值，归纳共性并作出猜想，再应用数学归纳法证明猜想． 探究4　归纳—猜想—证明 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 [解]　由2an＋1－anan＋1＝1，可得 an＋1＝(n∈N*)． 由a1＝0， 可得a2＝＝． 同理可得 a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝． 归纳上述结果，猜想an＝(n∈N*)． ① 下面用数学归纳法证明这个猜想． (1)当n＝1时，①式左边＝a1＝0，右边＝＝0，猜想成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，①式成立，即ak＝， 那么ak＋1＝＝＝＝， 即当n＝k＋1时，猜想也成立． 由(1)(2)可知，猜想对任何n∈N*都成立． [典例讲评]　3．数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且Sn，Sn＋1，2S1成等差数列． (1)计算S1，S2，S3的值； (2)根据以上计算结果猜测Sn的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想． 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 [解]　(1)S1＝a1＝1，由已知有2S2＝S1＋2S1，得S2＝，又2S3＝S2＋2S1，得S3＝． (2)由(1)中结果猜测Sn＝． 用数学归纳法证明如下： ①当n＝1时，S1＝＝1，猜想成立． ②假设当n＝k时猜想成立，则有Sk＝， 当n＝k＋1时，因为2Sk＋1＝Sk＋2S1， 所以2Sk＋1＝＋2＝， 所以Sk＋1＝， 所以当n＝k＋1时猜想成立． 由①②可知，对任意正整数n，猜想都成立． 反思领悟　“归纳—猜想—证明”的一般步骤 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 [学以致用]　4．已知数列{an}满足a1＝－，an＝－(n≥2)． (1)求a2，a3；(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法给出证明． [解]　(1)a2＝－，a3＝－． (2)猜想数列{an}的通项公式an＝－，证明如下： 当n＝1时，a1＝－，猜想成立； 假设当n＝k时猜想成立，即ak＝－， 当n＝k＋1时，ak＋1＝－＝－＝－＝－， 所以当n＝k＋1时，an＝－成立，综上可得an＝－． 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 【教用·备选题】　(源自北师大版教材)用数学归纳法证明：x2n－y2n能被x＋y整除(n∈N*)． [证明]　(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)． 故x2－y2能被x＋y整除，命题成立． 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 (2)假设当n＝k(k≥1)时，x2k－y2k能被x＋y整除． 那么，当n＝k＋1时，x2k+2－y2k+2＝x2x2k－y2y2k．* 把x2k＝(xk＋yk)(xk－yk)＋y2k，代入*得x2k+2－y2k+2＝x2(xk＋yk)·(xk－yk)＋x2y2k－y2y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)，由假设知x2k－y2k能被x＋y整除，x2－y2能被x＋y整除，故x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 所以当n＝k＋1时，命题成立． 综上，对于n∈N*，原命题成立． 1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an+1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，等式左边计算所得的项是(　　) A．1　　 B．1＋a C．1＋a＋a2　　 D．1＋a＋a2＋a3 2 4 3 题号 1 应用迁移 √ C　[当n＝1时，左边＝1＋a＋a1+1＝1＋a＋a2．] 4.4*　数学归纳法 2 3 题号 1 4 2．用数学归纳法证明12＋22＋…＋n2＋…＋22＋12＝n(2n2＋1)，第二步从n＝k到n＝k＋1，等式左边应添加的项是(　　) A．(k2＋1)2　　 B．k2＋1 C．(k＋1)2＋k2　　 D．(k＋1)2＋2k2 √ C　[根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，① 当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，② 所以②－①得，等式左边应添加的式子是(k＋1)2＋k2．] 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 2 3 题号 4 1 3．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得(　　) A．n＝6时该命题不成立 B．n＝6时该命题成立 C．n＝4时该命题不成立 D．n＝4时该命题成立 √ C　[假设n＝4时该命题成立，由题意可得n＝5时，该命题成立，而n＝5时，该命题不成立，所以n＝4时，该命题不成立．而n＝5时，该命题不成立，不能推得n＝6该命题是否成立．故选C．] 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 2 4 3 题号 1 4．若f (n)＝1＋＋…＋(n∈N*)，用数学归纳法验证关于 f (n)的命题时，第一步计算f (1)＝________；第二步“从n＝k到n＝k＋1时”，f (k＋1)＝f (k)＋_________________． 　[f (1)＝1＋＝； 假设当n＝k时，f (k)＝1＋＋…＋， 那么，当n＝k＋1时，f (k＋1)＝1＋＋…＋， f (k＋1)＝f (k)＋．] 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 1．知识链：(1)数学归纳法的概念． (2)增加或减少项的个数问题． (3)用数学归纳法证明等式、不等式． (4)归纳—猜想—证明． 2．方法链：数学归纳法． 3．警示牌：(1)对n0取值时易出错． (2)增加或减少的项数易出错． 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．数学归纳法步骤可概括为“三个成立，一个结”是什么意思？ [提示]　“三个成立”是指：①n＝n0时验证命题成立，②n＝k，k≥n0时假设命题成立；③n＝k＋1时，应用归纳假设证明命题成立． “一个结”就是结论：断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 2．你认为在应用数学归纳法时应注意哪几点？ [提示]　(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1． (2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障． (3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明． 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)时，第一步应验证不等式(　　) A．1＋＜2　　 B．1＋＜2 C．1＋＜3　　 D．1＋＜3 课时分层作业(十一)　数学归纳法 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 B　[由题意得，当n＝2时，不等式为1＋＜2，故选B．] 4.4*　数学归纳法 51 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 2．用数学归纳法证明“5n－2n”“能被3整除”的第二步中n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k+1－2k+1变形为(　　) A．(5k－2k)＋4×5k－2k　　 B．5(5k－2k)＋3×2k C．(5－2)(5k－2k)　　 D．5(5k－2k)－3×5k √ 14 15 B　[根据数学归纳法，当n＝k＋1时， 应将5k+1－2k+1变形为5(5k－2k)＋3×2k， 此时，5(5k－2k)和3×2k都可以被3整除． 故该变形是合理的．故选B．] 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 52 题号 3 2 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 3．用数学归纳法证明＋…＋时，从n＝k到n＝k＋1，不等式左边需添加的项是(　　) A． B． C． D． √ 14 15 B　[不等式左边需添加的项是＝．故选B．] 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 53 题号 4 2 3 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 4．用数学归纳法证明2＋4＋6＋8＋…＋2n＝2n-1＋22n-2(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，等式左边增加的项数为(　　) A．1　　B．2k-1　　C．2k　　D．2k＋1 √ 14 15 B　[当n＝k时，等式左边＝2＋4＋6＋8＋…＋2k，当n＝k＋1时，等式左边＝2＋4＋6＋8＋…＋2k＋(2k＋2)＋(2k＋4)＋…＋(2k＋2k)，故由n＝k递推到n＝k＋1时等式左边增加的项为(2k＋2)＋(2k＋4)＋…＋(2k＋2k)，项数为2k-1．故选B．] 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 54 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 5．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时成立，则有n＝k＋1时命题也成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)成立，则有(　　) A．命题对所有正整数都成立 B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立 C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立 D．以上说法都不正确 √ 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 55 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 C　[由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立．在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，故选C．] 14 15 56 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 二、填空题 6．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋…＋＝2时，若已知假设n＝k(k≥2)为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证____________________． 14 15 n＝k＋2时等式成立　[由于n为正偶数，已知假设n＝k(k≥2)为偶数，则下一个偶数为n＝k＋2．故答案为n＝k＋2时等式成立．] n＝k＋2时等式成立 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 57 题号 2 4 5 3 7 6 8 9 10 11 12 13 1 7．用数学归纳法证明＋…＋＞．假设n＝ k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是 _______________________________________________． 14 15 ＋…＋＞　[观察不等式中各项的分母变化知，当n＝k＋1时，＋…＋＞．] ＋…＋＞ 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 58 题号 2 4 5 3 8 6 7 9 10 11 12 13 1 8．已知f (n)＝1＋＋…＋(n∈N*)，用数学归纳法证明f (2n)>时，f (2k+1)－f (2k)＝_________________________．　 14 15 ＋…＋　[假设n＝k时，f (2k)＝1＋＋…＋，当n＝k＋1时， f (2k+1)＝1＋＋…＋＋…＋， 所以f (2k+1)－f (2k)＝1＋＋…＋＋…＋－(1＋＋…＋) ＝＋…＋．] ＋…＋ 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 59 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 三、解答题 9．证明：＋…＋＝1－(n∈N*)． 14 15 [证明]　(1)当n＝1时，左边＝， 右边＝1－＝，等式成立． 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 60 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即＋…＋＝1－， 那么当n＝k＋1时， 左边＝＋…＋＝1－＝1－． 所以当n＝k＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任意n∈N*都成立． 14 15 61 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 10．(多选)用数学归纳法证明不等式＋…＋＞的过程中，下列说法正确的是(　　) A．使不等式成立的第一个自然数n0＝1 B．使不等式成立的第一个自然数n0＝2 C．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是 D．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是 √ 14 15 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 62 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 BC　[当n＝1时，＞不成立， 当n＝2时，＞成立，所以A错误，B正确； 当n＝k时，左边的代数式为＋…＋， 当n＝k＋1时，左边的代数式为＋…＋． 故用n＝k＋1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果，即＝为不等式的左边增加的项，故C正确，D错误．故选BC．] 14 15 63 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　) A．(k＋1)2 B．k2＋1 C． D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2 √ 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 64 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 D　[因为当n＝k时， 等号的左端为1＋2＋3＋…＋k2， 当n＝k＋1时，等号的左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2， 所以增加了(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2．] 14 15 65 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 12．用数学归纳法证明：1－＋…＋＝＋…＋，第一步应验证的等式是________；从“n＝k”到“n＝k＋1”左边需增加的等式是_____________________． 14 15 1－＝　[当n＝1时，应当验证的第一个式子是1－＝，从“n＝k”到“n＝k＋1”左边需增加的式子是．] 1－＝ 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 66 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 13．若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1，2，3，…)，则a5＝________，归纳猜想an＝________． 14 15 31　2n－1　[因为an＋1＝2an＋1(n＝1，2，3，…)，且a1＝1． 所以a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31． 31 2n－1 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 67 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 猜想an＝2n－1． 用数学归纳法证明： ①当n＝1时，显然猜想成立； ②假设n＝k时，ak＝2k－1，则ak＋1＝2ak＋1＝2×(2k－1)＋1＝2k+1－1， 故n＝k＋1时，猜想也成立． 综上，对所有正整数n，都有an＝2n－1．] 14 15 68 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14．试用数学归纳法证明：1＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N*)． 14 15 [证明]　(1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立． (2)假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时命题成立， 即1＋＋…＋<2－． 则当n＝k＋1时，1＋＋…＋<2－<2－＝2－＝2－，命题成立． 由(1)(2)知原不等式在n∈N*，n≥2时均成立． 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 69 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 15．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论． 14 15 [解]　当n＝1时，21＋2＝4＞n2＝1， 当n＝2时，22＋2＝6＞n2＝4， 当n＝3时，23＋2＝10＞n2＝9， 当n＝4时，24＋2＝18＞n2＝16， 整体感知 探究建构 应用迁移 4.4*　数学归纳法 70 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 由此可以猜想， 2n＋2＞n2(n∈N*)成立． 下面用数学归纳法证明： (1)当n＝1时， 左边＝21＋2＝4，右边＝1， 所以左边＞右边，所以原不等式成立． 当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4， 所以左边＞右边，所以原不等式成立． 当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9， 所以左边＞右边，所以原不等式成立． 14 15 71 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 (2)假设当n＝k(k≥3且k∈N*)时，不等式成立， 即2k＋2＞k2． 那么当n＝k＋1时，2k+1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2＞2k2－2． 又∵2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0， 即2k2－2≥(k＋1)2， 故2k+1＋2＞(k＋1)2成立． 根据(1)和(2)，原不等式对于任意n∈N*都成立． 14 15 72 $$