14 第四章 微专题3 数列的综合问题-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步课件(人教A版2019)

第四章　数列 微专题3　数列的综合问题 类型1　等差、等比数列的综合应用 【例1】　已知{an}是递增的等比数列，且a3＝2，a2＋a4＝． (1)求数列{an}的通项公式； (2)在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 微专题3　数列的综合问题 [解]　(1)设等比数列{an}的公比为q， 因为{an}是递增的等比数列且a3＝2，所以q＞1， 由题意得，a2＋a4＝＋a3q＝＋2q＝， 解得q＝(舍)或q＝3， 所以an＝a3qn-3＝2·3n-3． (2)由题意知，an＋1＝an＋(n＋2－1)dn， 即dn＝＝＝， 假设存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列，则＝dmdp， 即＝， 因为m，k，p成等差数列，所以2k＝m＋p，代入上式得(k＋1)2＝(m＋1)(p＋1)， 所以＝(m＋1)(p＋1)， 化简得m＝p，所以m＝p＝k，不符合题意． 综上所述，不存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列． 反思领悟　解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面 (1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用． (2)对于解答题注意基本量及方程思想． (3)注重问题的转化，利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用公式和性质解题． (4)当题中出现多个数列时，既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系，又要横向考查各数列之间的内在联系． 类型1 类型2 类型3 微专题3　数列的综合问题 [学以致用]　1．(1)已知等比数列{an}的首项a1＝2，前n项和为Sn，且a1，2a2，4a3成等差数列，则(　　) A．Sn＋1＝Sn　　　　 B．Sn＋1＝Sn＋2 C．Sn＋1＝an＋1　　 D．Sn＋1＝an＋1 (2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2为S3和S4的等差中项，a2＋a3＝2，则S5＝________． √ 11 类型1 类型2 类型3 微专题3　数列的综合问题 (1)B　(2)11　[(1)设等比数列{an}的公比为q，由于a1，2a2，4a3成等差数列， 得4a2＝a1＋4a3，4a1q＝a1＋4a1q2，∵a1＝2，∴4q2－4q＋1＝(2q－1)2＝0，q＝， ∴an＝a1·qn-1＝2·＝22-n， Sn＝＝＝4＝4－22-n，则Sn＋1＝4－21-n， ∴Sn＋1＝Sn＋2．故选B． (2)由题意，设等比数列{an}的公比为q，∵S2为S3和S4的等差中项， ∴2S2＝S3＋S4，即2S2＝S2＋a3＋S2＋(a3＋a4)，化简整理，得2a3＋a4＝0，即a4＝－2a3， 则公比q＝＝－2，又∵a2＋a3＝2，即a1q＋a1q2＝2，代入q＝－2，解得a1＝1，∴S5＝＝＝11．] 类型2　数列与函数的交汇 【例2】　已知a1＝2，点(an，an＋1)在函数f (x)＝x2＋2x的图象上，其中n＝1，2，3，…． (1)求证数列{lg (1＋an)}是等比数列； (2)设Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)，求Tn及数列{an}的通项公式； (3)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn，并说明Sn＋＝1． 微专题3　数列的综合问题 [解]　(1)证明：由已知得an＋1＝＋2an， ∴an＋1＋1＝(an＋1)2． ∵a1＝2，∴an＋1＞1， 两边取对数得lg (1＋an＋1)＝2lg(1＋an)， 即＝2，又lg (1＋a1)＝lg 3， ∴数列{lg (1＋an)}是首项为lg 3，公比为2的等比数列． (2)由(1)知lg (1＋an)＝2n-1·lg 3＝，∴1＋an＝．(*) ∴Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)＝ ＝＝32n－1． 由(*)式得an＝－1． (3)∵an＋1＝＋2an， ∴an＋1＝an(an＋2)，∴＝，∴＝． 又∵bn＝，∴bn＝2， ∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn ＝2＝2． ∵an＝－1，∴an＋1＝－1， 又∵a1＝2，∴Sn＝．又∵Tn＝32n－1， ∴Sn＋＝＝1． 反思领悟　由于数列是特殊函数，因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集(或其子集)这一条件． 类型1 类型2 类型3 微专题3　数列的综合问题 [学以致用]　2．已知在等差数列{an}中，a1，a99是函数f (x)＝x2－10x＋16的两个零点，则a50＋a20＋a80＝________． 　[由题意可知a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两个根，则a1＋a99＝10， 又{an}是等差数列，a1＋a99＝2a50，所以a50＝5，a50＋a20＋a80＝a50＋2a50＝×5＝．] 类型1 类型2 类型3 微专题3　数列的综合问题 类型3　数列与不等式的交汇 【例3】　已知数列{an}的前n项和为Sn，点在直线y＝x＋上．数列{bn}满足bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N*)，b3＝11，且其前9项和为153． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，求使不等式Tn＞对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值． 微专题3　数列的综合问题 [解]　(1)由已知得＝n＋， ∴Sn＝n2＋n． 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝n＋5． 当n＝1时，a1＝S1＝6也适合上式． ∴an＝n＋5． 由bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N*)知{bn}是等差数列． 由{bn}的前9项和为153， 可得＝9b5＝153，得b5＝17． 又∵b3＝11，∴{bn}的公差d＝＝3． ∴bn＝b3＋(n－3)d＝11＋3(n－3)＝3n＋2． (2)∵cn＝＝＝， ∴Tn＝＝． ∵n增大时，Tn增大， ∴{Tn}是递增数列，∴Tn≥T1＝． 若Tn＞对一切n∈N*都成立， 则只要T1＝＞，∴k＜19，又k∈N*，则kmax＝18． 反思领悟　解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决． 类型1 类型2 类型3 微专题3　数列的综合问题 [学以致用]　3．已知数列{an}满足a1a2a3·…·an＝(n∈N*)，且对任意n∈N*都有＋…＋＜t，则实数t的取值范围为(　　) A．　　　　　 B． C．　　 D． √ 类型1 类型2 类型3 微专题3　数列的综合问题 D　[依题意，当n≥2时，an＝＝＝＝22n-1，又a1＝21＝22×1-1，因此an＝22n-1，n∈N*，＝，n∈N*，数列是以为首项，为公比的等比数列，等比数列的前n项和等于＝＜，因此实数t的取值范围是．] 题号 一、选择题 1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若－S1，S2，a3成等差数列，则数列{an}的公比为(　　) A．3　　B．－1或3　　C．－1或　　D． 微专题强化练(三)　数列的综合问题 1 3 5 2 4 6 8 7 9 √ 微专题3　数列的综合问题 22 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 B　[由题意，设等比数列{an}的公比为q，则－S1＝－a1，S2＝a1＋a2＝a1(1＋q)，a3＝a1q2， ∵－S1，S2，a3成等差数列，∴2S2＝－S1＋a3，即2a1(1＋q)＝－a1＋a1q2， 化简整理，得a1(q＋1)(q－3)＝0．∵数列{an}是等比数列，∴a1≠0， ∴(q＋1)(q－3)＝0，解得q＝－1或3．故选B．] 23 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 2．(多选)已知{an}为等比数列，Sn是其前n项和．若a3a7＝16a5，a4与2a5的等差中项为20，则(　　) A．a1＝1　　 B．公比q＝－2 C．an＝2n-1　　 D．Sn＝2n－1 √ √ √ 类型1 类型2 类型3 微专题3　数列的综合问题 24 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 ACD　[依题意，由a3a7＝16a5，可得＝16a5，解得a5＝16，又∵a4与2a5的等差中项为20，∴2a5＋a4＝40，解得a4＝8，∴公比q＝＝2，首项a1＝＝＝1，∴an＝1·2n-1＝2n-1，Sn＝＝2n－1，故ACD正确，B错误． 故选ACD．] 25 题号 3 2 4 5 6 8 7 9 1 3．已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1－an＝2n(n∈N*)，记数列的前n项和为Tn，若对于任意n∈N*，不等式λ＞Tn恒成立，则实数λ的取值范围为(　　) A．　　 B． C．　　 D． √ 类型1 类型2 类型3 微专题3　数列的综合问题 26 题号 3 2 4 5 6 8 7 9 1 C　[因为an＋1－an＝2n(n∈N*)，所以a2－a1＝21，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，an－an－1＝2n-1(n≥2)， 所以an－a1＝21＋22＋…＋2n-1＝＝2n－2(n≥2)，又a1＝1，即an＝2n－1，且a1符合上式， 所以an＋1＝2n， 所以＝＝， 所以Tn＝＋…＋＝＜． 所以λ的取值范围是．故选C．] 27 题号 4 2 3 5 6 8 7 9 1 4．已知数列{bn}满足bn＝2λ－n2，若数列{bn}是递减数列，则实数λ的取值范围是(　　) A．　　 B． C．(－1，1)　　 D． √ 类型1 类型2 类型3 微专题3　数列的综合问题 28 题号 4 2 3 5 6 8 7 9 1 A　[数列{bn}是递减数列，则bn＋1－bn＝2λ－(n＋1)2－2λ＋n2＝6λ－2n－1＜0恒成立， 当n为偶数时，6λ＜(2n＋1)·2n恒成立， 由于{(2n＋1)·2n}为递增数列， 所以数列{(2n＋1)·2n}的最小值为20，所以6λ＜20，即λ＜． 当n为奇数时，6λ＞－(2n＋1)·2n恒成立， 由于{－(2n＋1)·2n}为递减数列， 则数列{－(2n＋1)·2n}的最大值为－6，所以6λ＞－6， 所以λ＞－1． 综上所述，实数λ的取值范围是．] 29 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 1 5．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，当n≥2时＝0，且a1＝1．设bn＝log2Sn，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，若存在n∈N*，使不等式Tn＜mn－12成立，则正整数m的最小值是(　　) A．4　　B．5　　C．6　　D．7 √ 类型1 类型2 类型3 微专题3　数列的综合问题 30 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 1 D　[由题意a1＝1，当n≥2时＝0，即(Sn－Sn－1) (Sn－4Sn－1)＝0， ∵{an}是正项数列，∴Sn＝4Sn－1，即＝4，又S1＝a1＝1，可得{Sn}是首项为1，公比为4的等比数列， ∴Sn＝4n-1． ∵bn＝log2Sn＝2n－2， ∴{bn}是首项为0，公差为2的等差数列． ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝0＋2＋4＋…＋2n－2＝n(n－1)． 31 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 1 若存在n∈N*，使不等式Tn＜mn－12成立， 即n(n－1)＜mn－12成立， 可得＜m． 令f (n)＝n－1＋≥2－1＝4－1，当且仅当n＝，即 n＝2时取等号， 又∵n∈N*， ∴n＝3或4时，f (n)取得最小值为6． ∴正整数m的最小值是7．故选D．] 32 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 1 二、填空题 6．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a7＝4，则a6＋a7＋a8的最小值为________． 12　[设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，则a6＋a7＋a8＝＋4＋4q≥4＋2＝12，当且仅当4q＝，即q＝1时等号成立，所以a6＋a7＋a8的最小值为12．] 12 类型1 类型2 类型3 微专题3　数列的综合问题 33 题号 2 4 5 3 7 6 8 9 1 7．数列{an}的通项公式为an＝an2＋n，若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且an＞an＋1对n≥8恒成立，则实数a的取值范围是______________． 　[把an看成关于n的二次函数， an＝an2＋n的图象开口向下，对称轴为n＝－，易知对称轴应满足＜－＜，解得－＜a＜－．] 类型1 类型2 类型3 微专题3　数列的综合问题 34 题号 2 4 5 3 8 6 7 9 1 8．已知数列{an}满足a1＝1，an＝(n≥2)，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＜λ恒成立，则λ的最小值为________． 　[因为a1＝1，an＝(n≥2)， 当n＝1时，S1＝a1＝1，又当n≥2时，an＝＝＝， 所以Sn＝1＋＋…＋＝＜，因为Sn＜λ恒成立， 所以λ≥，即λ的最小值为．] 类型1 类型2 类型3 微专题3　数列的综合问题 35 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 1 三、解答题 9．在数列{an}中，a2＝7且2Sn＝nan＋4n(n∈N*)，其中Sn为{an}的前n项和． (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：＜(n∈N*)． 类型1 类型2 类型3 微专题3　数列的综合问题 36 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 1 [解]　(1)在2Sn＝nan＋4n中，令n＝1，则2a1＝a1＋4，解得a1＝4， 当n≥2时，由2Sn＝nan＋4n得2Sn－1＝(n－1)an－1＋4(n－1)， ∴2an＝2Sn－2Sn－1＝nan－(n－1)an－1＋4，即(n－2)an－(n－1)an－1＋4＝0(n≥2)①，∴(n－3)an－1－(n－2)an－2＋4＝0(n≥3)②， ①－②得(n－2)an－(2n－4)an－1＋(n－2)an－2＝0，即an＋an－2＝2an－1 (n≥3)，∴数列{an}为等差数列． 又a2＝7，∴公差d＝a2－a1＝7－4＝3， 综上，数列{an}的通项公式为an＝4＋3(n－1)＝3n＋1． 37 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 1 (2)证明：要证＜(n∈N*)，即证＋＋＜． ∵＜＝，∴＋…＋＜＝＝，即＜(n∈N*)． 38 $$